中南大学《流体力学》第三章动力学
流体力学第三章 动力学
（二）欧拉法（Euler）：（检查法 或“站 岗法”） 欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对 象，而不是跟随个别质点。 • 其要点：分析流动空间某固定位置处，流 体运动要素随时间的变化规律；分析流体 由某一空间位置运动到另一空间位置时， 运动要素随位置的变化规律。 • 表征流体运动特征的速度、加速度、压强、 密度等物理量均是时间和空间坐标的连续 函数。
图 3-2 流体的出流
2、非定常流动
运动要素是时间和坐标的函数，即 p = p(x,y,z,t) u = u(x,y,z,t)
H3
0
0
t3 t2
t1
二、迹线与流线
• １．迹线——流场中，流体质点在某一段 时间间隔内的运动轨迹。如图示曲线AB就 是质点M的迹线
２．流线：
是速度场的向量线，它是某一固定时刻的空间曲线， 该曲线上任意一点的切向量与当地的速度向量重合。流线 仅仅表示了某一瞬时，许多处在这一流线上的流体质点的 运动情况。
M
T PL x
A
PL Tx 0
76160 N
50923 3 . 455 2 . 31
例2.5.2 圆柱体, d=2m, H1=2m, H2=1m。 求: 单位长度上所受到的静水压力 的水平分力和铅垂分力。 解:
H1 H2 H1 1 g H 2 1 Px hc1 Ax1 hc 2 Ax 2 g 2 2 2 g H12 H 2 2 14.7 kN
1 2
u 1 dA 1 u 2 dA 2
2
dQ 1 dQ
其物理意义是：在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水 断面的流量均相等。或者说，在任一流束段内的流体体积 (或质量)都保持不变。
流体力学第三章流体动力学ppt课件
以固定空 间、固定 断面或固 定点为对 象，应采 用欧拉法
x xt, y yt, z zt
3
a.流体质点的加速度
a
dv
dt
ax
dvx dt
vx t
vx x
dx dt
vx y
dy dt
m/ s2
ax 4m / s2
7
（2）
v
vx
i
v
y
j
(4y 6x)i (6y 9x) j 0
t t t
是非恒定流
（3）v v
vx
vx x
vy
vx y
i vx
vy x
vy
vy y
a bt
即
dx a
dt
0xd
x
t
0
adt
x
a
t
dy bt
dt
y
0
dy
t
0
btdt
y
b
t2 2
y
b 2a2
x2
——迹线方程（抛物线）
y
注意：流线与迹线不重合
o
x
13
例：已知速度vx=x+t，vy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
解：（1）流线： dx dy
（2）迹线方程及t =0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： dx dy
a bt
积分： y bt x c a
流体力学3
第3章理想流体动力学3.1系统和控制体3.1系统和控制体流体力学第三章 系统包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统以外的一切，统称为外界。
系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的曲面。
在流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团。
所有的力学定律都是由系统的观念推导而来的。
在系统与外界之间以边界来划分。
系统的边界随着流体一起运动。
在系统的边界处没有质量交换.在系统的边界上，受到外界作用在系统上的表面力。
在系统边界上可以有能量交换，如可以有能量（热或功）进入或跑出系统的边界。
系统流体力学第三章 系统是与拉格朗日观点相联系的。
以确定的流体质点所组成的流体团作为研究的对象。
对应的方程叫拉氏型方程.问题的提出: 但是对大多数实际的流体力学问题来说，感兴趣的往往是流体流过坐标系中某些固定位置时的情况。
例如，在飞机或导弹的飞行; 当燃气轮机在运行时，我们希望知道其进、出口截面处的诸流动参数的分布等等。
在处理流体力学问题时，采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引进控制体的概念。
相对于某个坐标系来说，被流体流过的的固定不变的任何体积称之为控制体。
控制体的边界面称之为控制面，其总是封闭表面。
占据控制体的流体质点是随着时间而改变的。
控制体是与欧拉观点相联系的。
控制面有如下特点：控制体的边界（控制面）相对于坐标系是固定的。
在控制面上可以有质量交换。
在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。
在控制面上可以有能量交换，即可以有能量（内能、动能、热或功）跑进或跑出控制面。
对应的方程叫欧拉型方程.V )(t S System Control Volume S )(t V Control Surface)(t F。
流体力学水利学第三章水动力学复习资料课件PPT
t = t0 ＝ 给定时刻， （x，y，z）＝ 变数
（x，y，z）＝ 给定 点，t ＝ 变数
同一时刻，不同空间 点上液体质点的流速 分布，即流场。
不同液体质点通过给 定空间点的流速变化
2.液体质点运动描述 1）质点运动速度
u=ux+uy+uz
z
ux= ux( x,y,z,t )
uy= uy( x,y,z,t ) uz
F pdA p dpdA gdAdz
2、 微分流段质量与加速度的乘积 Ma dAds du
dt
F Ma 即pdA p dpdA gdAdz dAds du dt
对于恒定元流，u us
du dt
du ds ds dt
u du ds
d u2
ds
2
pdA p dpdA gdAdz dAds du
3、流动稳定性演示
恒定流—运动要素不随时间变化
v=v(x,y,z,), p=p(x,y,z)
3、流动稳定性演示
非恒定流—运动要素随时间变化
v=v(x,y,z,t), p=p(x,y,z,t)
三、均匀流与非均匀流
1、均匀流（Uniform flow）
（1）定义：流线为相互平行直线的水流 或流线上的速度矢量都相同。
二、恒定流与非恒定流
1、恒定流（Steady flow）
所有运动要素≠f(t)-----不随时间变化 u=u(x,y,z), p=p(x,y,z)
ux/t= uy/t= uz/t=p/t=0
2、非恒定流（Unsteady flow）
任一运动要素=f(t)-----随时间变化 u=u(x,y,z,t)或 p=p(x,y,z,t)
因此，该方法在工程上很少采用, 但这个 方法在波浪运动中、PIV水流量测等问题研究中 多用这个方法。
《流体力学第三章》PPT课件
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利 用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及 总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能 量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程 在工程应用上的分析计算方法。
第一节 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场 中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它 以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综 合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流 动。——质点系法
ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
dx xt dt
dy y t dt
求解
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 t = 0 时过
M(-1,-1)：
x C1 e t t 1 y C2 e t t 1
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
r r(a, b, c, t )
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合； 非恒定流时流线和迹线不重合；
举例
已知直角坐标系中的速度场
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为
所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。 解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
中南大学流体力学课后答案
中南大学流体力学课后答案第1章 绪论1.1 解：339005.08.94410m kg m kg gV G V m =⨯===ρ 1.2 解：3132-⎪⎭⎫ ⎝⎛=h y h u dy du m 当25.0=h y 时，此处的流速梯度为h uh u dy du m m0583.1413231=⎪⎭⎫⎝⎛=-当50.0=h y 时，此处的流速梯度为huhu dy du m m8399.0213231=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.3 解：N N A dy du A T 1842.08.0001.0115.1=⨯⨯⨯===μτ 1.4 解：充入内外筒间隙中的实验液体，在外筒的带动下做圆周运动。
因间隙很小，速度可视为近似直线分布，不计内筒端面的影响，内桶剪切应力由牛顿内摩擦定律推得：δδωμδμμτ)(0+===r u dy du 作用于内筒的扭矩：h r r Ar M 22)(πδδωμτ+==()()s Pa s Pa hr r M ⋅=⋅+⨯⨯⨯⨯⨯=+=3219.4003.02.04.02.060102003.09.4222πδπωδμ1.5 解：体积压缩系数：dpV dV -=κmlPa ml N m VdpdV 8905.1)1011020(2001075.456210-=⨯-⨯⨯⨯⨯-=-=-κ（负号表示体积减少） 手轮转数：122.0418905.1422≈⨯⋅==πδπd dV n 1.6 解：νρμ=1()()νρρνμ035.1%101%1512=-+= 035.112=μμ，即2μ比1μ增加了3.5％。
1.7 解：测压管内液面超高：mm d h O H 98.28.292==mm dh Hg05.15.10-=-=当测压管内液面标高为5.437m 时，若箱内盛水，水箱液面高程为：m m m 34402.5100098.2347.5=-若箱内盛水银，水箱液面高程为：m m m 34805.5)100005.1(347.5=-- 1.8 解：当液体静止时，它所受到的单位质量力：{}}{g f f f f z y x -==,0,0,,。
流体力学流体动力学
连续方程
第三节 流体流动的连续性方程 一、基本原理
流体连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的 具体应用。
考虑到条件： (1) 在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间
理想流体、重力作用、稳定流动、不可压缩
图 3-16 总水头线和静水头线
理想流体微小流束的伯努利方程的意义
一、物理意义 在重力作用下，不可压缩理想流体稳定流动中，沿微小流束
上各点的比位能、比压力能、比动能之和总是相等的。 二、几何意义 在重力作用下，不可压缩理想流体稳定流动中，沿微小流束
上各点的位置水头、压力水头、速度水头之和总是相等的
实际流体微小流束的伯努利方程
实际流体因粘性而产生摩擦损失，所以总机械能逐渐减小 减少的这部分机械能损失，习惯上称为水头损失。
以单位重量流体为衡算基准进行能量衡算 即将式(1-20） 各项同除以重力加速度g，得到：
实际流体微小流束的伯努利方程：
z1pg 12 u1 g 2z2pg 22 ug 2 2hw'
对于理想流体（hf 0 ）
假设没有外功输入（ We 0 ），则
g1u z 2 1 2p 1w eg2 z u 2 2 2p 2 h f
g1 zu212p 1g2 zu22 2p 2
整理得：
z p u2 C
g 2g
即理想流体微小流束在重力作用下稳定流动得伯努利方程 理想流体微小流束伯努利方程的适用条件：
流体力学多媒体课件
朱亚珠
第三章 流体动力学基础
流体动力学的任务：研究流体的运动规律以及应 用这些规律解决工程实际中的问题。
流体力学第三章流体动力学(1)PPT课件
其它各运动参量也可用类似的方法来表示。如： pp(x,y,z,t)
欧拉加速度
ad uuud xud yudz dtt xdtydtzdt
a x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
a y
u y t
ux
u y x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
§3.1 描述液体运动的两种方法
液体和固体不同，液体运动是由无数质点构成的连续介质的流动，液体运 动的各物理量在空间和时间上都是连续分布和连续变化的。怎样用数学物 理的方法来描述液体的运动？这是从理论上研究液体运动规律首先要解决 的问题。
液体质点：物理点。是构成连续介质的液体的基本单位，宏观上无 穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含 许许多多的液体分子，体现了许多液体分子的统计学特性）。
（3）流线的性质
（1）流线是一条条光滑连续的曲线（含直线）；
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
第七讲
第三章 流体运动学
§3.1描述液体运动的两种方法 一、拉格朗日法（质点法） 二、欧拉法（流场法）
§3.2液体运动的一些基本概念 一、描述流体运动的基本概念 二、流体运动的类型 三、系统、控制体
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z pα nG
z+dz
G cos gdAdh cos gdAdz
0
0
对n－n， Fn 0
( p dp)dA pdA gdAdz 0
整理并积分，得 z p C
g
④ 符合水静力学基本规律，即z ： p C
第三章 流体动力学
在同一过流断面上，流体动压强分布规律与静压强相同。
即
z p C 或 g
p p0 gh
证明： 对微元柱体在 n－n 方向受力分析如下
n dA
p+dp
•
表面力： 柱体两端面压力 pdA 与(p+dp)dA
dh
质量力： 有重力分量
(b)恒定非均匀流
(c)非恒定非均匀流
第二节 基本概念
二、迹线和流线
迹线
z
t 2
dl
t1
o
x
y
udl dt
dx dy dz dt
ux uy uz
——迹线微分方程
第二节 基本概念
二、迹线和流线
z u2
u 1 dl
o
x
y
两矢量方向一致，则其叉积为零。
i jk
d l u dx dy dz 0 ux uy uz
四、过流断面、控制体、控制断面
平
曲
面
面
即控制体（流管）有流体流进流出的两个断面
第二节 基本概念
五、流量、断面平均速度、点速度
体积流量QV 质量流量Qm
QV
udA Av
A
Qm
udA Av
A
v Q AudA AA
v u
第二节 基本概念
欧拉法以流场作为研究对象，拉格朗日法以流体质点
dF1
dt dF2
dt dF3
dt
•
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
二、欧拉法
du
u
dt = t
t f 2
t f3
t
第一节 描述流体运动的方法
二、欧拉法
ux F1(x, y, z,t) uy F2 (x, y, z,t) uz F3(x, y, z,t)
x,y,z,t —欧拉变量
ax
a y
az
dux
dt du y
dt duz
dt
式中t为参变量，当作常数，积分得 ( x t)( y t) C
当t=0时流线即为
xy C
将x=-1,y=-1代入，得C=-1， 则过M点的瞬时流线为
xy 1
既流线为双曲线。如图AMB是在t=0瞬时过M点的流线。
第二节 基本概念
解： 由式 dx dy dt，得 dx x t, dy y t
第三节 均匀流特性
一、均匀流和非均匀流
位变加速度是否为0，流线是否是互相平行的直线 判别：过水断面的形状、大小 、• 方向是否有变化
① 过流断面为平面，且形状、尺寸沿流程不变。
② 均匀流中，同一流线上不同点的流 速应相等，从而各过流断面上的流 速分布相同，断面平均速度相等。
③ 均匀流过水断面上的压强分布规律
答案
为研究对象；在工程上欧拉法可行。
答案
•
不存在。引入流线概念是为了便于分析 流体的流动，确定流体运趋势。
答案
错
问题4：过流场中的一点可以有多条迹线。答案 C
A 根本不可能 B 在恒定流中是正确的 C 在非恒定流中是正确的
问题5：过流场中的一点可以有多条流线。
A 根本不可能 B 在恒定流中是正确的 C 在非恒定流中是正确的 答案 A
新的时刻t 质点 (x,y,z,t )
o (a ,b ,c ,t0) x
a,b,c,t — 拉格朗日变量
y
x
y
f1(a,b, c,t) f2 (a,b, c,t)
z f3(a,b, c,t)
u
x
u y
uz
x
t y
t z
t
f1
+ (u )u
•
时变加速度
由流速不恒 定性引起
位变 加速度 由流速不均
匀性引起
第一节 描述流体运动的方法
第二节 流体运动的基本概念
一、流动的分类
根据时变加速度是否为0 根据位变加速度是否为0
第三章 流体动力学
第二节 基本概念
下图所示AB中的水流各属于恒定 或非恒定流，均匀或非均匀流。
(a)非恒定均匀流
第一节 描述流体运动的方法
流场 —— 充满运动流体的空间称为流场
一、拉格朗日法
z
( x , y , z , t )初始时刻t0 某质点（a,b,c,to）
新的时刻t 质点 (x,y,z,t )
o (a ,b ,c ,t0) x
a,b,c,t — 拉格朗日变量
y
第三章 流体动力学
z
( x , y , z , t ) 初始时刻t0 某质点（a,b,c,to）
dx dy dz ——流线微分方程 ux uy uz
第二节 基本概念
1、实际流场中，除驻点、滞点、奇点外，流线不能相交，不能折转。
u1
1
u2
2
驻点 u=0
第二节 基本概念
三、流管、元流、总流
流 管
流 面
由无穷多元流组成的总的流束称为总流，即封闭曲线取在流场边界上。
dA
元流
u
总流
A
第二节 基本概念
流体力学电子教案
第三章 流体动力学基础
流体动力学主要研究流体在运动状态下的力学规律： 它以压强、速度为重点
阐述了流体运动的两种描述方法：拉格朗日法和欧拉法 介绍欧拉法的一些基本概念; 引入了总流分析方法，得出总流运动的三个基本方程式：
连续性方程、能量方程和动量方程 ; 三个基本方程在工程应用上的分析计算方法 。
ux uy
dt
dt
上两式是非齐次一次型常微分方程：
x y
C1et C2et
t 1 t 1
•
当t=0时，
x=-1,y=-1代入，得C1=0,C2=0
x t 1
y t 1
最后可得迹线方程
x y20
MC是t=0时刻过M点的质点在t>0时段的迹线。
第二节 基本概念
第一节 描述流体运动的方法
【例】 已知平面运动 ux x t, uy y t, uz 0
试求 （1）t=0 时，经过点M（-1，-1）的流线 （2）在t=0 时刻位于M点处流体质点的迹线
解： 由式 dx dy ，得
ux uy
dx dy x t •y t