平面直角坐标系经典讲义

七年级数学学案
平面直角坐标系
知识点概述
1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系
2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。

3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。

4、各个象限内点的特征:
第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；
第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；
第三象限：（-， -）点P（x,y），则x＜0,y＜0；
第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；
5、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。

两坐标轴的点不属于任何象限。

6、点的对称特征：已知点P(m,n),
关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号
关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号
关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号
7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；
平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

8、各象限角平分线上的点的坐标特征：
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)
第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)
9、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。

10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

例题精讲
例1、象限内的点的特征
1、原点O 的坐标是 ，点M （a ，0）在 轴上。

2、已知0=mn ，则点（m ，n ）在 。

3、若点B(a ，b)在第三象限，则点C(－a+1，3b －5) 在第 象限。

4、如果点A 的坐标为（a 2+1，－1－b 2），那么点A 在第几象限？为什么? 例2、点到坐标轴的距离
1、点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是 。

2、点A 在x 轴上，位于原点左侧，距离坐标原点7个单位长度，则此点的坐标为 ；
3、若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ）
A ．（3，0）
B ．（3，0）或（–3，0）
C ．（0，3）
D ．（0，3）或（0，–3） 例3、平行于坐标轴上的点的特征
1、在平面直角坐标系内，有一条直线PQ 平行于y 轴，已知直线PQ 上有两个点，坐标分别为（－a ，－2）和（3，6），则=a 。

2、已知AB ∥x 轴，A 点的坐标为（3，2），并且AB ＝5，则B 的坐标为 。

3、A （– 3，– 2）、B （2，– 2）、C （– 2，1）、D （3，1）是坐标平面内的四个点，则线段AB 与CD 的关系是 。

4、在坐标系内，点P （2，－2）和点Q （2，4）之间的距离等于 个单位长度。

线段PQ 的中点的坐标是 。

例4、关于坐标轴对称的点的特征
1、点A （﹣1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于x 轴对称的点的坐标为 ；点A 关于原点的对称点的坐标是 。

2、已知点M ()y x ,与点N ()3,2--关于x 轴对称，则______=+y x 。

3、已知点P （a +1，2a -1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围.
例5、图形的平移与点的坐标的变化
1、在平面直角坐标系内，把点P （－5，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。

2、如图，将△ABC 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的△A 1B 1C 1，在图中画出并写出点A 1、B 1、C 1的坐标.
例6、如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线. 实验与探究：
1、 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5)
关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C ' ； 归纳与发现：
2、 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线
l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）； 运用与拓广：
3、 已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l 上 确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和
最小，并求出Q 点坐标．
巩固练习 一. 选择题
1. 如果点M （a-1，a+1）在x 轴上，则a 的值为（ ）
A.a=1
B. a=-1
C. a>0
D. a 的值不能确定 2. 点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是（ ） A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5） C. （-3，5） D. （-3，-5）
3. 若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b-a ，a-b ）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
123456
-1-2-3-4-5-6-1
-2-3-4-5-612
34567O x
y
l
A
B
A
'
D
'
E 'C
(第22题图）
4. 已知正方形ABCD 的三个顶点坐标为A （2，1），B （5，1），D(2，4)，现将该正方形向下
平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C ’点的坐标为（ ） A. （5，4） B. （5，1） C. （1，1） D. （-1，-1） 5. 点M （a ，a-1）不可能在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 6. 到x 轴的距离等于2的点组成的图形是（ ）
A. 过点（0，2）且与x 轴平行的直线
B. 过点（2，0）且与y 轴平行的直线
C. 过点（0，-2且与x 轴平行的直线
D. 分别过（0，2）和（0，-2）且与x 轴平行的两条直线 二. 填空题
7. 直线a 平行于x 轴，且过点（-2，3）和（5，y ），则y= 8. 若点M （a-2，2a+3）是x 轴上的点，则a 的值是 9. 已知点P 的坐标（2-a ，3a+6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是 10. 若P （x ，y ）是第四象限内的点，且2,3x y ==，则点P 的坐标是
三. 解答题
11. 在平面直角坐标系内，已知点（1-2a ，a -2）在第三象限的角平分线上，求a 的值及点的坐标？
12．如图为风筝的图案．
（1）若原点用字母O 表示，写出图中点A ，B ，C 的坐标．
（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．
13.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形
x
(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ∆＝ABDC S 四边形，
若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．
(3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：
①
DCP BOP
CPO ∠+∠∠的值不变，②DCP CPO BOP
∠+∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结
论并求其值．。