高一第一学期数学期中考试卷(含答案)
第一学期期中考试 高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列关系正确的是（ ）A. ⌀⊆{0}B. ⌀∈{0}C. 0∈⌀D. {0}⊆⌀2. 函数f （x ）=√1+x +1x 的定义域是（ ）A. [−1,+∞)B. (−∞,0)∪(0,+∞)C. [−1,0)∪(0,+∞)D. R3. 设全集U =R ，集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，B ={x |x -1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {x|x ≤−1或x ≥3}B. {x|x <1或x ≥3}C. {x|x ≤1}D. {x|x ≤−1} 4. 已知函数f （x ）={x 2,x <0x+1,x≥0，则f [f （-2）]的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 55. 已知函数y =f （x ）为定义在R 上的奇函数，则下列结论中不正确的是（ ） A. f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相反 B. 图象过原点，且关于原点对称 C. f(2018)+f(−2018)=f(0)D. 如果x >0时，有f(x)>0成立，那么x <0时，f(x)<0也成立 6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. y =xB. y =1xC. y =−x 3D. y =(12)x7. 命题“∀n ∈N *，f （n ）≤n ”的否定形式是（ ）A. ∀n ∈N ∗，f(n)>nB. ∀n ∉N ∗，f(n)>nC. ∃n ∈N ∗，f(n)>nD. ∃n ∉N ∗，f(n)>n8. 函数f （x ）=1+log 2x 与g （x ）=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A.B. C. D.9. 如果不等式|x -a |＜1成立的充分不必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是（ ）A. 12<a <32B. 12≤a ≤32C. a >32或a <12D. a ≥32或a ≤1210. 已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则（ ）A. (a −1)(b −1)<0B. (a −1)(a −b)>0C. (b −1)(b −a)<0D. (b −1)(b −a)>011. 一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的a 倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（ ）A. √a 11−1B. √a 12−1C. a11D. a1212. 已知正实数x ，y 满足log 2（x +7y ）=0，则能使得不等式log 2x +log 2y ≤m 恒成立的整数m 的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数y =a x +ln e （a ＞0，且a ≠1，常数e =2.71828…为自然对数的底数）的图象恒过定点P （m ，n ），则m -n =______．14. 已知函数f （x ）为奇函数，且当x ∈（-∞，0）时，f （x ）=x （1-x ），则f （3）=______． 15. 设a =log 0.40.3，b =0.40.4，c =0.40.3，将a ，b ，c 从小到大依次排列为______． 16. 函数y =a x （a ＞0，且a ≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算下列各式的值：（1）(235)0+2−2(214)−12−(0.01)0.5（2）2log 214+lg120−lg5+(√2−1)lg1．18. 已知集合A ={x |（x -a ）[x -（a +3）]≤0}（a ∈R ），B ={x |x 2-4x -5＞0}．（ 1 ） 若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围； （ 2 ） 若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围． 19. 已知函数f(x)=2x −mx 的图象过点P （1，1）（1）求实数m 的值，并证明函数f （x ）为奇函数；（2）判断函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．20.某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．（1）求k的值；（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．21.本小题满分12分，已知函数f(x)=√2−x，集合A={x|m-2＜x＜2m}．2（1）求函数f（x）的定义域D；（2）若“x∈D”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．+a)．22.已知a＞0，函数f(x)=log2(1x（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若命题“∀x∈（0，2），f（x+a）＞f（a2）”为真命题，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：空集是任何集合的子集；∴∅⊆{0}正确．故选：A．根据空集是任何集合的子集即可判断出选项A正确．考查集合元素的概念，元素与集合的关系，空集是任何集合的子集．2.【答案】C【解析】解：由，解得：x≥-1且x≠0．∴函数f（x）=+的定义域是[-1，0）∪（0，+∞）．故选：C．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合即可得到函数的定义域．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.【答案】D【解析】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），由x2-2x-3＜0得-1＜x＜3，即A=（-1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（-1，+∞），则∁U（A∪B）=（-∞，-1]，故选：D．由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：f（-2）=4f[f（-2）]=f（4）=4+1=5故选：D．-2在x＜0这段上代入这段的解析式，将4代入x≥0段的解析式，求出函数值．本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求．5.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若f（x）为奇函数，则f（x）在（-∞，0]和[0，+∞）上的单调性相同，A错误；对于B，若f（x）为定义在R上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，B正确；对于C，若f（x）为奇函数，则f（-2018）=-f（2018），则f（-2018）+f（2018）=0，C正确；对于D，若x＞0时，有f（x）＞0成立，那么x＜0时，f（x）=-f（-x）＜0，C正确；故选：A．根据题意，结合函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：y=x斜率为1，在定义域R上是增函数；y=在（-∞，0）和（0，+∞）上均是减函数，但当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0，故y=在定义域上不是减函数．（）-x=2x≠±（）x，故y=（）x为非奇非偶函数，故选：C．根据函数的奇偶性定义和单调区间判断．本题考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，属于基础题．7.【答案】C解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．8.【答案】D【解析】解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；故选：D．化简g（x）的解析式，利用函数的单调性和图象的截距进行判断．本题考查了函数图象的判断，一般从函数的单调性，特殊点等方面去判断，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p，命题，为q；则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有，（等号不同时成立）；解可得；故选：B．一题意，解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组则有，（等号不同时成立）；，解可本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析．10.【答案】D【解析】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b-a＞0，b＞1，即（b-1）（b-a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b-a＜0，b＜1，即（b-1）（b-a）＞0，综上（b-1）（b-a）＞0，故选：D．根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．11.【答案】A【解析】解：设月平均增长率为x，一月份的产量为1，∵一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，∴（1+x）11=a，即1+x=，即x=-1，故选：A．设月平均增长率为x，建立方程关系，进行求解即可．本题主要考查指数幂的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：正实数x，y满足log2（x+7y）=0，∴x+7y=1．∴1≥2，化为：xy≤，当且仅当x=7y=时取等号．则不等式log2x+log2y≤m恒成立，化为：2m≥（xy）max，∴能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的正整数m的最小值为1．故选：B．正实数x，y满足log2（x+7y）=0，可得x+7y=1．利用基本不等式的性质可得：xy≤．不等式log2x+log2y≤m恒成立，化为：2m≥（xy）max，即可得出．本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】-2【解析】解：对于已知函数y=a x+lne（a＞0，且a≠1，常数e=2.71828…为自然对数的底数），令x=0求得y=2，可得函数的图象恒过定点（0，2），∵函数的图象经过定点P （m，n），∴m=0，n=2，则m-n=-2，故答案为：-2．令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的象恒过定点P的坐标，从而得出结论．本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：根据题意，当x∈（-∞，0）时，f（x）=x（1-x），则f（-3）=（-3）×（1+3）=-12，又由函数f（x）为奇函数，则f（3）=-f（-3）=12，故答案为：12．根据题意，由函数的解析式求出f（-3）的值，结合函数的奇偶性可得f（3）的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】b＜c＜a【解析】解：log0.40.3＞log0.40.4=1，0.40.4＜0.40.3＜0.40=1；故答案为：b ＜c ＜a ． 容易看出，，从而得出a ，b ，c 的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，减函数的定义． 16.【答案】12或32【解析】解：当a ＞1时，y=a x 在[1，2]上单调递增， 故a 2-a=，得a=；当0＜a ＜1时，y=a x 在[1，2]上单调递减， 故a-a 2=，得a=．故a=或a=． 答案或先研究函数的单调性，分两种情况讨论：①当a ＞1时，y=a x 在[1，2]上单调递增，②当0＜a ＜1时，y=a x 在[1，2]上单调递减，两个结果取并集．本题主要通过最值，来考查指数函数的单调性，一定记清楚，研究值域时，必须研究单调性．17.【答案】解：（1）原式=1+14×(23)−2×(−12)-0.1 =1+16-110=1615． （2）原式=14+lg 1205+1=14-2+1=-34． 【解析】（1）利用指数运算性质即可得出． （2）利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：A ={x |（x -a ）[x -（a +3）]≤0}={x |a ≤x ≤a +3}，B ={x |x 2-4x -5＞0}={x |x ＜-1（1）要使A ∩B =∅，则需满足下列不等式组{a ≥−1a+3≤5，解此不等式组得-1≤a ≤2，则实数a 的取值范围为[-1，2]…（8分）（2）要使A ∪B =B ，即A 是B 的子集，则需满足a +3＜-1或a ＞5， 解得a ＞5或a ＜-4，即a 的取值范围是{a |a ＞5或a ＜-4}…（12分） 【解析】（1）先化简集合A ，B ，再根据A∩B=∅，即可求得a 的值． （2）先求A ∪B=B ，即A 是B 的子集，即可求得a 的取值范围．本题考查了集合间的关系和运算，深刻理解集合间的关系和运算法则是解决此题的关键．19.【答案】解：（1）根据题意，函数f(x)=2x −mx 的图象过点P （1，1）则有1=2-m ，解可得m =1， 则f （x ）=2x -1x ，其定义域为{x |x ≠0}，且f （-x ）=2（-x ）-1(−x)=-（2x -1x ）=-f （x ）， 则函数f （x ）为奇函数；（2）根据题意，由（1）的结论，f （x ）=2x -1x ，则（0，+∞）上为增函数， 证明：设0＜x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=（2x 1-1x 1）-（2x 2-1x 2）=2（x 1-x 2）（x 1x 2+1x 1x 2），又由0＜x 1＜x 2，则（x 1-x 2）＜0， 则f （x 1）-f （x 2）＜0，则函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数． 【解析】（1）根据题意，将P 的坐标代入函数的解析式，可得1=2-m ，解可得m 的值，即可得函数f （x ）的解析式，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；（2）根据题意，设0＜x 1＜x 2，由作差法分析可得结论．本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是求出m 的值，属于基础题． 20.【答案】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y 元，题中的比例系数设为k ，每批购入x 台，则共需分3600x批，每批费用2000x 元．由题意知y =3600x ×400+k ×2000x ，当x =400时，y =43600，解得k =120∴y =3600x ×400+100x ≥2√3600x×400×100x =24000（元） 当且仅当3600x ×400=100x ，即x =120时等号成立．故只需每批购入120台，可以使资金够用．【解析】解答本题的关键是要求出运费和保管费的总费用y 关于每批购入台数x 的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答．但由于储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值（不含运费）的比例系数未知，故我们要先根据若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43 600元，求出比例k ．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．21.【答案】解：（1）要使f （x ）有意义，则：{x 2−1>02−x≥0；解得x ≤-1，或1＜x ≤2；∴f （x ）的定义域D ={x |1＜x ≤2，或x ≤-1}；（2）∵“x ∈D ”是“x ∈A ”的必要条件；∴A ⊆D ；∴①A =∅时，m -2≥2m ；∴m ≤-2；②A ≠∅时，{2m ≤−1m>−2或{m ＞−2m −2≥12m ≤2；解得−2＜m ≤−12；∴实数m 的取值范围为(−∞，−12]．【解析】（1）可看出，要使得函数f （x ）有意义，则需满足，从而得出D={x|1＜x≤2，或x≤-1}； （2）根据“x ∈D”是“x ∈A”的必要条件即可得出A ⊆D ，从而讨论A 是否为空集：A=∅时，m-2≥2m ；A≠∅时，或，解出m 的范围即可． 考查函数定义域的概念及求法，必要条件和子集的概念，空集的定义． 22.【答案】解：（1）当a =5时，f （x ）＞0，即为log 2（5+1x ）＞0，可得5+1x ＞1，即1+4xx ＞0，解得x ＞0或x ＜-14，即原不等式的解集为（-∞，-14）∪（0，+∞）；（2）a ＞0，函数f(x)=log 2(1x +a)在x ＞0递减，“∀x ∈（0，2），f （x +a ）＞f （a 2）”为真命题，即有x +a ＜a 2在x ∈（0，2）恒成立，可得a 2-a ≥2，解得a ≥2；（3）由f （x ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0得log 2（1x +a ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0．即log 2（1x +a ）=log 2[（a -4）x +2a -5]，即1x +a =（a -4）x +2a -5＞0，①则（a -4）x 2+（a -5）x -1=0，即（x +1）[（a -4）x -1]=0，②，当a =4时，方程②的解为x =-1，代入①，成立；当a =3时，方程②的解为x =-1，代入①，成立；当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =-1或x =1a−4，若x =-1是方程①的解，则1x +a =a -1＞0，即a ＞1，若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a -4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a =3或a =4．【解析】（1）运用对数的单调性和分式不等式的解法可得所求解集；（2）由a ＞0，函数在x ＞0递减，可得x+a ＜a 2在x ∈（0，2）恒成立，由恒成立思想可得所求范围；（3）由对数方程的解法和分类讨论思想方法，可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式恒成立问题解法，以及函数方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．高一上期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23. 若集合M ={-1，0，1}，集合N ={0，1，2}，则M ∪N 等于（ ）A. {0,1}B. {−1,0，1}C. {0,1，2}D. {−1,0，1，2}24. 设全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ={1，2，3，5}，B ={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A. {2}B. {4,6}C. {1,3，5}D. {4,6，7，8}25. 下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A. y =x 与y =(√| x |3)3B. y =(√x)2与y =| x |C. y =x x 与y =x 0D. y =x+1x 2−1与y =1x−1 26. 函数y =√2x−3x−2的定义域是（ ） A. [32,+∞)B. [32,2)∪(2,+∞)C. (32,2)∪(2,+∞)D. (−∞,2)∪(2,+∞) 27. 下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. y =(12)x B. y =1x C. y =−x 3 D. y =log 3(−x)28. 若函数f （x ）=（a 2-a -2）x 2+（a +1）x +2的定义域和值域都为R ，则（ ）A. a =2或a =−1B. a =2C. a =−1D. a 不存在29. 已知f （x ）是R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=-x 2+2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式是（ ）A. f(x)=−x(x +2)B. f(x)=x(x −2)C. f(x)=−x(x −2)D. f(x)=x(x +2)30. 若函数f （x ）=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据f （1）=-2f （1.5）=0.625 f （1.25）=-0.984 f （1.375）=-0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=-0.054那么方程的一个近似根（精确到）为（ ）A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.531. 若函数y =a x +b -1（a ＞0且a ≠1）的图象不经过第一象限，则有（ ）A. a >1且b ≤0B. a >1且b ≤1C. 0<a <1且b ≤0D. 0<a <1且b ≤132. 已知a =5log 23.4，b =5log 43.6，c =（15）log 70.3，则（ ）A. b >a >cB. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c33. 函数f （x ）=ln （x 2+1）的图象大致是（ ）A. B.C. D.34.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）={log12(x+1)，x∈[0，1)1−|x−3|，x∈[1，+∞)，则关于x的函数y=f（x）-a，（-1＜a＜0）的所有零点之和为（）A. 2a−1B. 2−a−1C. 1−2−aD. 1−2a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.函数y=a x-1-5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点______．36.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x-x2）}，则M∩N=______．37.方程4x-2x-1-3=0的解是______．38.已知f(x)={loga x,x>1(3a−1)x+4a,x≤1是R上的减函数，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39.计算下列各式：（1）（0.027）23+（27125）−13-（279）0.5（2）lg25+23lg8+lg5•lg20+（lg2）240.已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|1≤x≤6}，C={x|m+1≤x≤2m}．（Ⅰ）求A∩B．（Ⅱ）若B∪C=B，求实数m的取值范围．41.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象．（2）根据图象写出的单调区间和值域．42.已知函数f（x）=x1+x2是定义在（-1，1）上的函数．（1）用定义法证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；（2）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．43.已知函数f（x）=ln x+1x−1．（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，f（x）＞ln m(x−1)(7−x)恒成立，求实数m的取值范围．44.已知函数f（x）=1-2a x-a2x（a＞1）（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值和函数f（x）的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为M={-1，0，1}，N={0，1，2}，所以M∪N={-1，0，1}∪{0，1，2}={-1，0，1，2}．故选：D．集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．本题考查了并集及其运算，考查了并集的概念，是会考题型，是基础题．2.【答案】B【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选：B．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题．3.【答案】C【解析】解：对于A、∵y=x的定义域为R，的定义域为R．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B、∵的定义域[0，+∞），y=|x|的定义域均为R．∴两个函数不是同一个函数．对于C、∵的定义域为R且x≠0，y=x0的定义域为R且x≠0．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．对于D、的定义域是x≠±1，的定义域是x≠1，定义域不相同，∴不是同一个函数．故选：C．先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．4.【答案】B【解析】解：要使原式有意义只需：，解得且x≠2，故函数的定义域为[）∪（2，+∞）．故选：B．由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．5.【答案】C【解析】解：A中的函数是指数函数，不符合题意；B中的函数在定义域内不具有单调性，故不对；C中的函数是奇函数，且在定义域内是减函数，是正确选项；D中的函数定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：C．根据奇函数的定义与函数的单调性对四个选项逐一判断，不难得出答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，解题关键根据每个函数的解析式研究其定义域的对称性及函数图象的对称性以及函数的单调性是否是递减的性质．6.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=（a2-a-2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．∴a2-a-2=0，且a+1≠0即a=2，故选：B．函数f（x）=（a2-a-2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．根据条件可得答案．本题考查了函数的性质，对函数解析式的熟练理解掌握．7.【答案】D【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），当x≥0时，f（x）=-x2+2x，设x＜0，则-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）2+2（-x）]=x2+2x，故选：D．f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+2x，设x＜0时则-x＞0，转化为已知求解．本题考查了运用奇偶性求解析式，注意自变量的转化．8.【答案】C【解析】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4故选：C．由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．9.【答案】C【解析】解：当0＜a＜1时，y=a x的图象经过第一二象限，且恒经过点（0，1），∵函数y=a x+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，∴y=a x的图象向下平移大于等于一个单位，即1-b≥1，即b≤0，当a＞1时，函数，y=a x的图象经过第一二象限，无论如何平移都进过第一象限，综上所述，函数y=a x+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有0＜a＜1且b≤0．故选：C．根据指数函数的图象和性质，以及图象的平移即可得到答案．本题主要考查了指数函数的图象的性质和图象的平移，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：a=，b=，c=（）=5，∵log23.4＞＞=l．∴a＞b＞c．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．12.【答案】B【解析】解：作函数f（x）与y=a的图象如下，结合图象可知，函数f（x）与y=a的图象共有5个交点，故函数F（x）=f（x）-a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，∴b+c=2×（-3）=-6，e+f=2×3=6，=a，故x=-1+2-a，即d=-1+2-a，故b+c+d+e+f=-1+2-a，故选：B．作函数f（x）与y=a的图象，从而可得函数F（x）=f（x）-a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，从而结合图象解得．本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．13.【答案】（1，-4）【解析】解：对于函数y=a x-1-5（a＞0且a≠1），令x-1=0，求得x=1，y=-4，可得它的图象恒过定点（1，-4），故答案为：（1，-4）．令幂指数等于零，求得x、y的值，可得图象恒过定点的坐标．本题主要考查指数函数的图象恒过定点问题，属于基础题．14.【答案】（1，2）【解析】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}=（1，+∞），N={x|y=lg（2x-x2）}={x|2x-x2＞0}={x|0＜x＜2}=（0，2），则M∩N=（1，2）．故答案为：（1，2）．求定义域和值域得出集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：因为4x-2x-1-3=0，所以2×（2x）2-2x-6=0，所以2x=-（舍）或2x=2，解得x=1，故答案为：由二次方程的解法得：因为4x-2x-1-3=0，所以2×（2x）2-2x-6=0，所以2x=-（舍）或2x=2，解得x=1，得解本题考查了二次方程的解法，属中档题16.【答案】[17，13)【解析】解：由函数f （x ）为单调递减函数可得，g （x ）=（3a-1）x+4a 在（-∞，1]，函数h （x ）=log a x 在（1，+∞）单调递减，且g （1）≥h （1）∴∴故答案为： 由函数f （x ）为单调递减函数可得，g （x ）=（3a-1）x+4a 在（-∞，1]，函数h （x ）=log a x 在（1，+∞）单调递减，且g （1）≥h （1），代入解不等式可求a 的范围本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．17.【答案】解：（1）原式=0.09+53−53=0.09；（2）原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2=2+lg2•lg5+（lg5）2+lg2•lg5+（lg2）2=2+lg5•（lg2+lg5）+lg2•（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=2+1=3．【解析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数式的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算．18.【答案】解：（Ⅰ）∵A ={x |x ≤-1或x ≥3}，B ={x |1≤x ≤6}，∴A ∩B ={x |3≤x ≤6}；（Ⅱ）∵B ∪C =B ，∴C ⊆B ，当C =∅时，则有m +1＞2m ，即m ＜1；当C ≠∅时，则有{m +1≤2mm +1≥12m ≤6，即1≤m ≤3，综上所述，m 的取值范围是m ≤3．【解析】（Ⅰ）由A 与B ，求出两集合的交集即可；（Ⅱ）由B 与C 的并集为B ，得到C 为B 的子集，分C 为空集与不为空集两种情况求出m 的范围即可．此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．19.【答案】解：（1）由x ≥0时，f （x ）=x 2-2x ，当x ＜0时，-x ＞0，∴f （-x ）=x 2+2x又函数f （x ）为偶函数，∴f （x ）=x 2+2x -------------3’故函数的解析式为f(x)={x 2+2x(x <0)x 2−2x(x≥0)-------------4’函数图象如下图所示：--------------7’（2）由函数的图象可知，函数f （x ）的单调递增区间为[-1，0]、[1，+∞）单调递减区间为（-∞，-1]、[0，1]，函数f （x ）的值域为[-1，+∞）------12’【解析】（1）当x ＜0时，-x ＞0，由已知中当x≥0时，f （x ）=x 2-2x ，及函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，可求出当x ＜0时函数的解析式，进而得到答案，再由二次函数的图象画法可得到函数的草图；（2）根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递增区间，分析出函数值的取值范围后可得到答案本题考查的知识点是函数图象，函数的单调区间，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．20.【答案】解：（1）证明：对于任意的x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，则：f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵-1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1-x 2＜0，x 1x 2＜1，∴1-x 1x 2＞0．∴f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）．∴函数在（-1，1）上是增函数．（2）由函数的解析式及（1）知，f （x ）是奇函数且在（-1，1）上递增，f （x -1）+f （x ）＜0，即：f （x -1）＜-f （x ）=f （-x ），结合函数的定义域和单调性可得关于实数x 的不等式：{−1＜x −1＜1−1＜x ＜1x −1＜−x，求解关于实数x 的不等式组可得：0＜x ＜12，则不等式的解集为(0，12)．【解析】（1）利用函数的解析式结合函数的单调性的定义证明函数单调递增即可； （2）由函数的奇偶性结合（1）的结论得到关于实数x 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，抽象函数的解法等，属于中档题．21.【答案】解：（1）函数f （x ）=ln x+1x−1，∴x+1x−1＞0，解得：x ＞1或x ＜-1，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1或x ＜-1}．f （x ）=ln x+1x−1，那么：f （-x ）=ln 1−x −x−1=ln （x−1x+1）=ln (x+1x−1)−1=-ln x+1x−1=-f （x ）故函数f （x ）是奇函数；（2）由题意：x ∈[2，6]，∴（x -1）（7-x ）＞0，∵m (x−1)(7−x)＞0，可得：m ＞0．即：ln x+1x−1＞ln m (x−1)(7−x)恒成立，整理：ln x+1x−1-ln m (x−1)(7−x)＞0，化简：ln (x+1)(7−x)m ＞0，可得：(x+1)(7−x)m ＞1，（x +1）（7-x ）-m ＞0，即：-x 2+6x +7＞m ，（x ∈[2，6]）恒成立，只需m 小于-x 2+6x +7的最小值．令：y =-x 2+6x +7=-（x -3）2+16开口向下，x ∈[2，6]，当x =6时，y 取得最小值，即y min =−(6−3)2+16=7，所以：实数m 的取值范围（0，7）．【解析】（1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m 的取值范围．本题考查了对数函数的性质的运用能力和化简计算能力．属于基础题． 22.【答案】解：（Ⅰ）设a x =t ＞0∴y =-t 2-2t +1=-（t +1）2+2∵t =-1∉（1，+∞），∴y ═-t 2-2t +1在（0，+∞）上是减函数∴y ＜1，所以f （x ）的值域为（-∞，1）；（Ⅱ）∵x ∈[-2，1]a ＞1∴t ∈[1a 2，a ]由t =-1∉[1a 2，a ]∴y =-t 2-2t +1在[1a 2，a ]上是减函数-a 2-2a +1=-7∴a =2或a =-4（不合题意舍去）当t =1a 2=14时y 有最大值，即y max =-（14）2-2×14+1=716． 【解析】（Ⅰ）先进行换元，还原以后写出新变量t 的取值范围，则函数变化为关于t 的二次函数，问题转化为二次函数的单调性和值域，根据二次函数的性质，得到结果．（Ⅱ）根据所给的x 的范围，写出t 的范围，根据二次函数的性质，写出函数在定义域上的最值，根据最小值的结果，做出a 的值，进而得到函数的最大值．本题考查函数的最值，考查二次函数的性质，考查指数函数的定义域，是一个综合题目，这种题目可以作为压轴题目的一部分．。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
广东省深圳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年高一年级第一学期中考试数学试卷考试时长：120分钟 卷面总分：150分本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计100分.考试时间为120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（ ）A. B.C.D.3.已知幂函数图象过点，则等于（ ）A.12B.19C.24D.364.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（）A.B.1C.17D.255.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.6.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（ ）A. B.或C.或 D.或7.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D.{}1,0,1,2,3,{12}A B xx =-=-<∣…A B ⋂={}1,0-{}1,0,1-{}0,1{}0,1,22,12x x x ∀∈>-R 2,12x x x ∀∈<-R 2,12x x x ∀∈-R …2,12x x x ∃∈-R …2,12x x x∃∈<-R ()fx )2P ()6f ()245f x x mx =-+[)2,∞-+(,2]∞--()1f 7-x ∃∈R ()()22210m x m x -+-+...m 6m >26m <<26m < (2)m …()f x [)0,∞+()21f -=()1f x >{22}x x -<<∣{2xx <-∣2}x >{2xx <-∣02}x <<{2xx >∣20}x -<<()21f x -[]3,1-y ={}131,2⎛⎤ ⎥⎝⎦35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦51,2⎛⎤⎥⎝⎦8.若，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.当时，的最小值为C.若不等式的解集为，则D.“”是“”的充分不必要条件10.下列说法正确的是（ ）A.与B.命题，则C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.函数的值域为11.已知函数，则下列判断中正确的有（ ）A.存在，函数有4个根B.存在常数，使为奇函数C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或D.存在常数，使在上单调递减三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则__________.13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.a b >2ab =22(1)(1)a b ab-++-24-4-2-0x ∀>21x x >-0x ∃…21x x -…1x >121x x +-2+220ax x c ++>{12}xx -<<∣2a c +=1a >11a<y =y =:,01x p x x ∀∈>-R :,01x p x x ⌝∃∈≤-R ()()()2511x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩R a []3,1--1y x =-+1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(),f x x x a a =-∈R k ∈R ()y f x k =-a ()f x ()f x []0,1()1f a 2a ≤-2a ≥a ()f x []1,3{}1,3,2A m =-{}23,B m =B A ⊆m =()1ax f x x a-=-()2,∞+a14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.16.（15分）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少.17.（15分）已知满足.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式.19.（17分）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.()()()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨≤⎪⎩()1,32a a --a p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x -≤-B 1a =A B ⋂p q a x ()R x ()()225,(05)20100,(520),90061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-≤<⎨⎪⎪+-≥⎩()W x x ,0x y >6x y +=3y x y+()2244x y m x y +≥+m ()24ax b f x x +=+()2,2-()115f =()f x ()f x 2,2)-()()210f t f t +->R ()f x ,x y ∀∈R ()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+0x >()0f x >x ∈R ()1f x =（1）求证：为奇函数；（2）求证：在上单调递增；2024-2025学年第一学期期中考试高一年级数学试卷答案一､选择题（共小题）题号1234567891011()f x ()f x R 11选项B C D D C B D D BCD AD BC三､填空题（共3小题）12.13.14.四､解答题（共5小题）15.解：（1）：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.当时，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以；（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知时，集合，所以，则，又时，，符合是的真子集，时，，符合是的真子集，所以，综上，实数的取值范围为.16.解：（1）某开发商计划2024年全年投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为60元，则，又，2-(,1)(1,2]∞--⋃[)0,1p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x --…B 1a =2430x x -+…13x ……{}13A xx =∣ (5)02x x --…()()52020x x x ⎧--⎨-≠⎩…25x <…{25}B xx =<∣…{23}A B xx ⋂=<∣…p q B A ()22{25},4300B xx x ax a a =<-+>∣……0a >{}3A xa x a =∣……235a a ⎧⎨⎩ (5)23a ……2a ={}26A xx =∣……B A 53a =553A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭……B A 523a ……a 523aa ⎧⎫⎨⎬⎩⎭……x ()R x ()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……()()60300W x x R x =--()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……所以，即W ；（2）当时，单调递增，且当时，所以，当时，，则在上单调递增，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，故，，综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万.17.解：（1），当且仅当，即时取等号，即取得最小值.（2）由，得，即，不等式恒成立，即恒成立，()()26030025,056030020100,5209006030061565,20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<<⎪⎪=--+-<⎨⎪⎛⎫⎪--+- ⎪⎪⎝⎭⎩……()260325,0540200,520900265,20x x x x x x x x x ⎧⎪-<<⎪=-+-<⎨⎪⎪--+⎩……05x <<60325y x =-5x =25y =-()25W x <-520x <…()2240200(20)200W x x x x =-+-=--+()W x ()5,20()200W x <20x …()900900265265265205W x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭ (900)x x=30x =()max 205W x =20520025>>- ()33211211213113122y y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+-=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122⎛+-=+ ⎝…2y xx y=()62,61x y =-=3y x y +12+0,0,6x y x y >>+=60x y =->06y <<()2244x y m x y ++…2244x y m x y++…，当且仅当，即时取等号，因此当时，取得最小值，则，所以的取值范围.18.解：（1）函数是定义在上的奇函数，则，即，因为，解得，则，经检验，是奇函数.（2）在（上为增函数，证明如下：设，则，由于，则，即，又，则有，则在上是增函数.（3）由题意可得，在上为单调递增的奇函数，由可得，所以，解得，，故的范围为.19.解：（1）证明：的定义域为，关于原点对称，令，得，解得或，又不存在，使得，故，令，得，故，即，因此为奇函数；()()()2222225(2)322804(6)4512364363232y y x y y y y y x y y y y +-+++-+-+===++++()5163253282323333y y ⎡⎤=++-⋅=⎢⎥+⎣⎦…1622y y +=+2y =4,2x y ==2244x y x y ++8383m …m 83m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ (2)4ax bx ++()2,2-()004bf ==0b =()11145a f ==+1a =()24xf x x =+()f x ()f x 2,2)-22m n -<<<()()()()()()222244444m n mn m nf m f n m n m n ---=-=++++22m n -<<<0,4m n mn -<<40mn ->()()22440m n++>()()0f m f n -<()f x ()2,2-()f x ()2,2-()()210f t f t +->()()()211f t f t f t >--=-2212t t >>->-131t <<t 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x R 0x y ==()()()220010f f f =+()00f =()01f =±x ∈R ()1f x =()00f =y x =-()()()()()()001f x f x f x x f f x f x +--===+-()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x（2）证明：时，，则，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，则，于是时，，又为奇函数，则时，，于是对，任取，则，而，又，则，于是，故，因此在上单调递增；0x >0,022x x f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭()22212212x f x x f x f x f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭…12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ∈R ()1f x =12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭0x >()01f x <<()f x 0x <()()()1,0f x f x =--∈-(),11x f x ∀∈-<<R 12x x <()21210,0x x f x x ->->()()()()()()()()()()212121212121011f x f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x +--⎡⎤-=+-==>⎣⎦+--()()()12,1,1f x f x ∈-()()()121,1f x f x ∈-()()1210f x f x ->()()()()21210,f x f x f x f x ->>()f x R。
2024-2025学年度第一学期高一期中考试题数学试卷参考答案(评分标准)
哈工大附中2024-2025学年度第一学期期中试题高一学年 数学试卷参考答案一、单选题CCDD CBCB二、多选题9．AC. 10．BC.11．ABD.三、填空题12．2.13． 14．.四、解答题15．（13分）已知集合，或.（1）求；（2）若，实数的取值范围.【答案】（1）或，；（2）.【详解】（1）∵，或，∴，.......................3又，∴； .......................3（2），且，则需，解得，故实数的取值范围为. ......................716．（15分）求值：（1）（2）求值：.（3）已知，，求【详解】（1）； ......................5（2）；......................5（3）由，，则，，则，，所以.......................517．（15分）已知二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，试确定实数的取值范围.224x x ---23{|42}A x x =-<<{|5B x x =<-1}x >11{|}C x m x m =-≤≤+(),R A B A C B ⋂ B C φ⋂=m {|5x x <-}4x >-{|41}x x -<≤[4,0]-{|42}A x x =-<<{|5B x x =<-1}x >{|12A B x x ⋂=<<｝{|51}R C B x x =-≤≤(){|41}R A C B x x ⋂=-<≤B C =∅ C φ≠1511m m -≥-⎧⎨+≤⎩40m m ≥-⎧⎨≤⎩m [4,0]-()20π2-+-()92log 43lg5lg2lg50++⨯102m =105n =1125m n+()20π2-+-+131(244=++-()92log 43lg5lg2lg50++⨯3log 223(lg5l )lg 2(2lg 5g 2)++=+2222lg g (lg52l 5(lg ))2=+++22(lg 5lg 2)3=++=102m =105n =lg 2m =lg 5n =21log 10m =51log 10n =52log 10log 01112510102025m n ==+++=()f x ()()12f x f x x +-=()01f =()f x 11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()y f x =2y x m =+m【答案】(1)(2)【详解】（1）设，∵，∴， (1)又，∴，∴， (2)∴，∴， ......................2∴； (2)（2）当时，的图象恒在图象下方， ∴时，恒成立，即恒成立， ......................2令，，对称轴为，故函数在上单调递减， . (2)所以当时，， ......................2故只要，即，所以实数的范围......................218．（17分）已知函数（，且）.(1)若点在函数的图象上，求实数的值；(2)已知，函数，.若的最大值为8，求实数的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，，即，而，且，解得，所以. (5)（2）依题意，，，， ......................4令，有 ，函数是关于t 的开口向上，对称轴为 的二次函数，......................4显然，且，因此函数在时取得最大值，则，又，解得，所以. (4)19．（17分）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，()21f x x x =-+()5,+∞()()20f x ax bx c a =++≠()01f =1c =()()12f x f x x +-=()()()22112a x b x c ax bx c x ++++-++=22ax a b x ++=220a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=-⎩()21f x x x =-+11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()21y f x x x ==-+2y x m =+11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦212x x x m -+<+2310x x m -+-<()231g x x x m =-+-11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦32x =()g x 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()max 11315g x g m m =-=++-=-50m -<5m >m ()5,+∞()log a f x x =0a >1a ≠()16,2P ()f x a 1a >()28x x g x f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1[,8]2x ∈()g x a 4a =2a =(16)2f =2log 16216a a =⇔=0a >1a ≠4a =4a =1a >()log log (log log 2)(log 3log 2)28a a a a a a x x g x x x =⋅=--1[,8]2x ∈log a t x =[]log 2,3log 2a a t ∈-()()()log 23log 2a a h t t t =--2log 2a t =log 22log 23log 2a a a -<<log 22log 23log 22log 2a a a a -->-()h t log 2a t =-()28log 2a ()28log 28a =1a >2a =2a =ABCD EFGH AMQD MNFE BCPN PQHG MNPQ 2400m且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）．(1)用表示的长度，并写出的取值范围；(2)用表示花坛与地坪的造价之和；(3)设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价．【答案】(1)，(2)(3)当时，总造价最小为元【详解】（1）由题意：矩形的面积为，因此， (3)因为，所以． (2)（2）. (5)（3）由题意可得：，（） ......................3由基本不等式，当且仅当，即时，等号成立，所以当最小，最小值为元． ......................43AM ME NB ==MNPQ 10002/m 4002/m 2002/m AD x m x AM x x ()C x AD 24004x AM x-=020x <<2600160000y x =+AD =240000AMQD 203408x -（）234008x AM x -=⋅0AM >020x <<2221000400(400)600160000y x x x =+⨯-=+222216914001000400(400)2009642x y x x x ⎛⎫-=+⨯-+⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2225400001001400004x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭020x <<100140000240000y ≥⨯=2225400004x x =x =x =y 240000。
山西省太原市2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
2024~2025学年第一学期高一年级期中学业诊断数学试卷（答案在最后）（考试时间：上午7:30－9:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = A.{}2,3 B.{}0,1,2,3,4 C.[]2,3 D.[]0,42.已知a b >，则下列结论正确的是A.ac bc > B.22a b> C.1a b >- D.11b a>3.函数()ln f x x =的定义域是A.()0,+∞ B.(]0,2 C.()()0,22,+∞ D.[)2,+∞4.“0xy =”是“0x =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()11x f x a -=-（0a >，且1)a ≠的图象必经过的定点是A.()1,0 B.()1,1- C.()1,0- D.()1,1--5.已知不等式2220kx kx +-<对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是A.()2,0- B.(]2,0- C.()0,2 D.[)0,26.已知函数()()1,bf x ax a b x=++∈R ，且()10f -=，则()1f =A.－1B.1C.－2D.27.已知0,0x y >>，且满足2x y xy +=，若228x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是A.()1,9- B.()9,1- C.()(),19,-∞-+∞ D.()(),91,-∞-+∞ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知幂函数()f x 的图象经过点(，则下列结论正确的是A.()2f -= B.()f x 是增函数C.()f x 是偶函数D.不等式()1f x <的解集为{}01x x <<10.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是A.()00f = B.()1f -是函数()f x 的最大值C.当0x <时，()22f x x x=-+ D.不等式()0f x >的解集是()()2,02,-+∞ 11.已知函数()f x 对于一切实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，当0x >时，()01f x <<，()113f =，则下列结论正确的是A.()01f = B.若()9f m =，则2m =C.()f x 是增函数D.()0f x >三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是________13.已知函数()2,0,1,0x a x f x ax x ⎧-=⎨-<⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围________.14.对实数a 和b ，定义运算“◎”：,1,,1,a ab a b b a b -⎧=⎨->⎩◎，设函数()()222f x x x =+◎，x ∈R .若函数()y f x m =-的图象与x 轴恰有2个公共点，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.计算下列各式的值（每小题4分，共8分）（1）12023489-⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）21151133662262a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16.（本小题满分8分）已知全集U =R ，{}260A x x x =+-<，1282xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}212C x m x m =+<<-.（1）求()U A B ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分10分）已知函数()21xf x x =+.（1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）根据定义证明：()f x 在()1,1-上单调递增.18.（本小题满分10分）实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用。
贵州省六盘水市2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学(含答案)
六盘水市2024-2025学年度第一学期期中质量监测高一年级数学试题卷（考试时长：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1. 命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知集合，，则下列关系正确的是（）A.B. C. D. 3. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列函数中既是奇函数又在区间上为增函数是（）A. B. C. D.5. 已知，，，则的最小值为（）A. 9B. 8C. 4D. 36. 已知函数的部分图象如图所示，则（）的x ∃∈Q 220x -=x ∃∉Q 220x -≠x ∃∈Q 220x -≠x ∀∈Q 220x -≠x ∀∉Q 220x -≠{}22A x x =-≤≤{}0,1,2B =AA ⊆Z 1B ⊆B A⊆1x >2x >()0,∞+1y x=21y x =+y x x =1y x x=+0a >0b >21a b +=12a b+()1f x x x=-A. 的定义域为B. 的值域为C. 在区间上单调递减D. 的解集为7. 若关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）A. B. C. D. 8. 已知是上的偶函数，当时，．若，则的取值范围为（）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9. 下列命题为真命题的是（）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，则10. 下列说法正确的是（）A 若，则B. 若，则C. 若是偶函数，则是偶函数D. 若是奇函数，则的图象关于轴对称11. 已知函数，．，用表示，中的较大者，记为，则（）()f x ()f x ()f x (),0∞-()0f x >()()1,01,∞-⋃+x ()()21110a x a x -+--<x a (]3,1-()3,1-()(),31,-∞-+∞ ()[),31,-∞-⋃+∞()y f x =R 0x ≥()11f x x =+()1122f m ->m ()1,+∞()0,1()(),01,-∞⋃+∞(),0-∞a b >22ac bc >a b >c d >a d b c ->-a b >c d >ac bd >a b >1212b a->-()21f x x +=()39f =()21f x x =-()212f x x x+=+()y f x =()2y f x =-()y f x =()y f x =y ()3f x x =+()()21g x ax =+x ∀∈R ()M x ()f x ()g x ()()(){}max ,M x f x g x =A. 的解集为B. 当时，的值域为C. 若在上单调递增，则D. 当时，不等式有4个整数解三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）12. 函数的定义域为_________．13. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长．如果可供建造围墙的材料总长是，则当宽为_________时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的最大面积是_________．14. 已知定义在上的函数满足：①；②，，；③在上单调递减．则不等式解集为_________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知函数（1）求，的值；（2）若，求的取值范围．16. 设全集，集合，．（1）若，求，；（2）若，求的取值范围．17. 已知二次不等式的解集为．的()0f x >()3,-+∞1a =()M x [)1,+∞()M x 2,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3a ≥-106a -≤<()214g x x >()1f x =-20m 36m x m 2m R ()f x ()124f =x ∀y ∈R ()()()f x y f x f y +=()f x R ()()244f xf x ≥+()22,0,1,0.x x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩()1f -()()3ff -()3f a ≤a U =R {}13A x m x m =+≤≤224B y y x x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭2m =U A ðA B A B A = m 220ax bx ++<()2,1--（1）求不等式的解集；（2）已知，且，求最小值．18. 已知函数．（1）若是偶函数，求的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若在区间上最小值为，求的值．19. 已知集合，其中且．若集合满足：①；②对于中的任意两个元素，（，），满足；则称集合是关于实数的“压缩集”．例如，集合是关于的“压缩集”，理由如下：①；②，，．（1）判断集合是否是关于的“压缩集”，并说明理由：（2）若集合是关于的“压缩集”，（i ）求证：，；（提示：）（ii ）求中元素个数的最大值．的的2340x x a -+≥0m >0n >mn m n b =++m n +()()2122f x x a x a =-++-()f x a x ()0f x <()f x []1,2-1-a {}123,,,,n A x x x x +=⊆N n +∈N 3n ≥A 123n x x x x <<<< A i x j x i {}1,2,3,,j n ∈ 111i j x x K-≥A K {}2,3,4A =12K =234<<1112412-≥1113412-≥1112312-≥{}3,4,5A =20K =A 20K =1120i n n i x x --≥{}1,2,3,,i n ∈ 11202020n in i --++= A六盘水市2024-2025学年度第一学期期中质量监测高一年级数学试题卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】B二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.【答案】BD10.【答案】BCD11.【答案】ABD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）12.【答案】13.【答案】 ①. ②. 14.【答案】四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.【答案】（1），（2）16. 【解析】【分析】（1）利用基本不等式求得函数的值域，从而解得集合，再求结果即可；（2）根据题意可得，对参数的取值进行分类讨论，列出满足题意的不等式，求解即可.【小问1详解】因，当且仅当，也即，故，又时，，故或，.【小问2详解】由可得：；①若，即时，，满足题意；②若时，要满足题意，则，解得.综上所述，实数的取值范围为：.17.【解析】为[)3,∞-+9162[]1,2-()13f -=()()316f f -=[]1,2-224y x x=+B m 2244y x x =+≥=224x x =x =[)4,+∞224B y y x x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭[)4,=+∞2m ={|36}A x x =≤≤U A ð{|3x x =<6}x >A B {|3}x x =≥A B A = 13m m +>12m <A =∅12m ≥14m +≥[)3,m ∈+∞m [)1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据不等式的解集，求得，再解一元二次不等式即可；（2）根据（1）中所求，结合不等式，即可求得的最小值.【小问1详解】根据题意可得：，且，解得，经检验满足题意；，也即，，解得，故不等式的解集为：.【小问2详解】由（1）可知，也即，因为，故可得，也即，故，解得或，又，故，当且仅当，也即时取得等号；故的最小值为.18.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出二次函数的对称轴，代入计算，即可得到结果；（2）将不等式因式分解，然后按照两根的大小关系讨论，即可得到结果；（3）求出二次函数的对称轴，然后结合二次函数的图像特点，分类讨论，即可得到结果.【小问1详解】因为二次函数的对称轴为，,a b b ()214mn m n ≤+m n +()()221,21b a a-+-=--⨯-=1,3a b ==2340x x a -+≥23410x x -+≥()()3110x x --≥[)1,1,3x ⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦2340x x a -+≥[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦mn m n b =++3mn m n =++()214mn m n ≤+()2134m n m n ++≤+()()24120m n m n +-+-≥()()620m n m n +-++≥6m n +≥2m n +≤-0,0m n >>6m n +≥,3m n mn m n ==++3m n ==m n +61a =-1a =()()2122f x x a x a =-++-12a x +=若是偶函数，则对称轴为，即.【小问2详解】由可得，即，当时，即，不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；【小问3详解】二次函数的对称轴为，当时，即，此时函数在上单调递减，则，不符合题意；当时，即，此时，即，化简可得，解得或（舍）；当时，即，此时函数在上单调递增，则，即，解得（舍）；综上所述，.19. 【解析】【分析】（1）根据的“压缩集”定义判断即可；（2）设且，则，()f x 102a x +==1a =-()0f x <()21220x a x a -++-<()()210x x a ---<⎡⎤⎣⎦12a ->3a >21x a <<-12a -=3a =∅12a -<3a <12a x -<<3a >{}21x x a <<-3a =∅3a <{}12x a x -<<()()2122f x x a x a =-++-12a x +=122a +≥3a ≥()f x []1,2-()()min 20f x f ==1122a +-<<33a -<<()min 112a f x f +⎛⎫==- ⎪⎝⎭()211122122a a a a ++⎛⎫-+⋅+-=- ⎪⎝⎭()()150a a --=1a =5a =112a +≤-3a ≤-()f x []1,2-()()min 11f x f =-=-31a =-13a =-1a =20K =12{,,,,,,,}N i j n A x x x x x +=⊆ 121i j n n x x x x x x -<<<<<<<< 1211111i j nx x x x x >>>>>>>（i）根据，结合即可证；（ii ）根据定义，要使中元素个数最大必有，以为界点判断两侧最多能有几个元素属于集合A ，即可得答案.【小问1详解】集合是关于的“压缩集”，理由如下：由题意，对于有，且，，，所以，对于其中任意两个元素都有成立，故是关于的“压缩集”.【小问2详解】设且，所以，（i ）由题意，中的任意两个元素，（），满足，所以，得证；（ii ）由题意随递减，而，，所以中元素个数最大，则，即，若存在，则，可得，所以，若时，此时，显然与矛盾，所以，若必有，以下讨论和两种情况，当，1111120i j i j x x x x -=-≥112111111111i i n i n i i n x x x x x x x x ++-+-=-+-++- A {1,2,3,4,5}A ⊆20k x ={}3,4,5A =20K ={}3,4,5A =345<<111||3412-=112||3515-=111||4520-=11120i j x x -≥{}3,4,5A =20K ={}121,,,,,,N i n n A x x x x x -+=⊆ 121i n n x x x x x -<<<<<< A i x j x i <j 1111120i j i j x x x x -=-≥11211111111111202020n ii n i i i n i n n i x x x x x x x x ++-+---=-+-++-≥++=111n n x x --N n +∈1114520-=1111563020-=<A 1234512345x x x x x =<=<=<=<={1,2,3,4,5}A ⊆6x 6111520x -≥661320203x x ≤⇒≥67x ≥120n x -≥1111111102020n n n n x x x x ---≥⇒≤-≤n x +∈N 20n x ≥120n x -<20n x =20n x >20n x =则，此时，即，由，故在区间中最多有一个元素属于集合，当时，，显然与矛盾，此时最大元素为，同理可证均有，所以，，有，其中，即最多有7个元素；当，若，则，得且，即，同时，得且，即，而，且，故有，此时，综上，，则，其中，即最多有8个元素；同理讨论，均可得，即最多有8个元素；综上，中元素个数的最大值为8.120n x -<111120n n x x -≥+11111010n n x x --≥⇒≤11317107020-=<[7,10]A 67x =67711111120720x x x -≥⇒≤-⇒71401113x ≥>110n x -≤A 7n x x =68,9,10x =7n x x =20n x =6{1,2,3,4,5,,20}A x =6{7,8,9,10}x ∈20n x >119n x -=1111920n x -≥11380n x ≤n x +∈N 380n x ≥21111920n x --≥2139380n x -≥2n x -+∈N 29n x -≤67x ≥1121796320-=<26n x x -=268n n -=⇒=8380x ≥{}681,2,3,4,5,,19,A x x =6{7,8,9}x ∈1{11,12,13,14,15,16,17,18}n x -∈{}6781,2,3,4,5,,,A x x x =A。
福建省厦门2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
厦门2024-2025学年第一学期期中考高一数学试卷（答卷时间：120分钟 卷面总分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若命题，则命题的否定为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题，若命题是命题的充分不必要条件，则命题可以为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列幕函数满足：“①；②当时，为单调通增”的是（ ）A ． B ．C ．D ．5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知且，则的最小值是（ ）A ．B ． 25C ．5D ．{}0,1,2,3,4,5,6U ={}{}1,2,3,3,4,5,6A B ==U ()A B = ð{}1,2{}2,3{}1,2,3{}0,1,2,32:0,320p x x x ∃>-+>p 20,320x x x ∃>-+≤20,320x x x ∃≤-+≤20,320x x x ∀≤-+>20,320x x x ∀>-+≤:32p x -<≤q p q 31x -≤≤1x <31x -<<3x <-,()()x R f x f x ∀∈-=-(0,)x ∈+∞()f x ()f x =3()f x x=1()f x x-=2()f x x=()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-0,0x y >>3210x y +=32x y+52657．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，则与之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法比较二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分．9．下列函数中，与不是同一函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若，则下列不等式成立的是（ ）A ．B．C ．D ．11．设，用符号表示不大于的最大整数，如．若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的值域是C ．若，则D ．方程有2个不同的实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填写在答题卷相应位置上．12．计算________．13．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________．()f x ()g x (2,2)-[0,2]x ()()0f x g x ⋅>x (2,1)(0,1)-- (1,0)(0,1)- (1,0)(1,2)- (2,1)(1,2)-- 45342024120241,2024120241a b ++==++a b a b>a b <a b =y x =2y =u =y =2n m n=,0a b c a b c >>++=22a b <ac bc <11a b<32a a a b b+>+x R ∈[]x x [1.6]1,[ 1.6]2=-=-()[]f x x x =-[(1.5)]1f =-()f x [1,0]-()()f a f b =1a b -≥2()30f x x -+=21232927()((1.5)48---+=23208x kx -+-<x k14．某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为________人．优秀合格合计语文202848英语301848四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，集合．（1）当时，求，．（2）若，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）判断函数的奇偶性并用定义加以证明；（2）判断函数在上的单调性并用定义加以证明．17．（15分）已知函数．（1）若函数图像关于对称，求不等式的解集；（2）若当时函数的最小值为2，求当时，函数的最大值．18．（17分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：EXP ）与游玩时间（单位：小时）滴足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时国成正比例关系，正比例系数为50．（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游现时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围．19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知，求证：．{}34A x x =-<≤{}121B x k x k =+≤≤-2k ≠A B ()R A B ðA B B = k 2()f x x x=-()f x ()f x (0,)+∞2()23,f x x bx b R =-+∈()f x 2x =()0f x >[1,2]x ∈-()f x [1,2]e ∈-()f x E t 22016E t t a =++1a =E t ()E f t =E t ()H t 0a >a 1ab =11111a b+=++证明：原式．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：（1）已知，求的值；（2）若，解方程；（3）若正数满足，求的最小值．111111ab b ab a b b b=+=+=++++1ab =221111a b+++1abc =5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++,a b 1ab =11112M a b=+++高一数学期中考参考答案1234567891011A DCB DAABABDBDACD12．13．14．1215．解：（1）由题设，则，，则，（2）由，若时，，满足；若时，；综上，．16．解：（1）是奇函数，证明如下：由已知得的定义域是，则，都有，且，所以是定义域在上的奇函数．（2）在上单调递减，证明如下：，且，都有∵，∴，∵，∴∴，即，所以在上单调递减32({}3B ={}34A B x x =-<≤ {}()34R A x x x =≤->或ð()R A B = ð∅A B A B A =⇒⊆ B =∅1212k k k +>-⇒<B ≠∅12151322214k k k k k +≤-⎧⎪+>-⇒≤≤⎨⎪-≤⎩52k ≤()f x ()f x (,0)(0,)-∞+∞ (,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ (,0)(0,)x -∈-∞+∞ 22()()()f x x x f x x x-=--=-=--()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x (0,)+∞12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <22212121121212122222()()x x x x x x f x f x x x x x x x --+-=--+=222112************222()()x x x x x x x x x x x x x x x x --+⨯---==211212()(2)x x x x x x -⨯+=12x x <210x x ->12,(0,)x x ∈+∞120x x >12()()0f x f x ->12()()f x f x >()f x (0,)+∞17．解：（1）因为图像关于对称，所以：，所以：得：，即，解得或所以，原不等式的解集为：（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，①若，则在上是增函数所以：，解得：；所以：，②若，则在上是减函数，所以：，解得：（舍）；③若，则在上是减函数，在上是增函数；所以，解得：或（舍），所以：综上，当时，的最大值为11；当时，最大值为6．18．解：（1）当时，，，当时，，当时，当时，所以，当时，．（2）当时，，整理得：恒成立，令函数的对称轴是，当时，取得最小值，即，()f x 2x =2b =22()43()43,1f x xx f x x x e e -+=-+=<2430x x ee -+<2430x x -+<1x <3x >{}13x x x <>或2()23f x x bx =-+x b =1b ≤-()f x [1,2]-min ()(1)422f x f b =-=+=1b =-max ()()7411f x f x b ==-=2b ≥()f x [1,2]-min ()(2)742f x f b ==-=54b =12b -<<()f x [1,]b -(,2]b 2min ()()32f x f b b ==-=1b =1b =-max ()(1)426f x f b =-=+=1b =-()f x 1b =()f x 03t <≤1a =22016E t t =++3t =85E =35t <≤85E =5t >8550(5)33550E t t=--=-22016,03()85,3533550,5t t t E t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩6t =()35E t =03t <≤22016()24t t aH t t++=≥24160t t a -+≥2()416f t t t a =-+2(0,3]t =∈2t =()f t 164a -1640a -≥14a ≥19．解：（1）．（2）∵，∴原方程可化为：，即：，∴，即，解得：．（3）∵，当且仅当，即∴有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．222211111ab ab b aa b ab a ab b ab a b+=+=+=++++++1abc =55511(1)ax bx bcxab a abc bc b b ca c ++=++++++5551111x bx bcx b bc bc b bc b ++=++++++5(1)11b bc x b bc ++=++51x =15x =2221122111111211223123123ab b b b b M ab a b b b b b b b b b++=+=+==-=-++++++++++12b b +≥=12b b =1b a b===12b b +1123b b ++3-11123b b-++2-11112M a b=+++2。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含解析)
对于 C 项， 1 1 1 (a 4b) (2a 2b)( 1 1 ) 1 (2 2a 2b a 4b )
a 4b 2a 2b 6
a 4b 2a 2b 6 a 4b 2a 2b
1 6
(2
2)
2 3
，当且仅当
2a 2b a 4b
a 4b 2a 2b
即
a
2b
1 时取等号，故
,
1 2
2,
7. 已知集合 M
x x 2k 1, k Z
，
N
x
x
k 4
,k
Z ，则（
）
A. M N
B. N M
C. M N
D. M = N
8. 已知命题：“ x R ， ax2 2ax 4 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. , 4 0, C. 4,0
【详解】命题“ x R ，都有 x2 x 3 0 ”为特称量词命题，
其否定为： x R ，都有 x2 x 3 0 .故选：D
3. 【答案】C
【详解】当 m 3 时，则 m2 2m 3 6 ，此时集合 A 0,3, 6 ，符合要求， 当 m2 2m 3 3时，得 m 0 或 m 2 ，而当 m 0 时， A 0, 0, 3 不符合要求， 而当 m 2 时， A 0, 2,3 ，符合题意，综上可知： m 3 或 m 2 ，故选：C
x
定义域为 x 1 x 1 ,而 g(x) 1 x g 1 x 1 x2 的定义域为 x 1 x 1 ，故两函数定义域相
同，且对应关系也相同，故是同一函数.故选:ABD. 11. 【答案】ACD
【详解】对于 A， 6 2a 20 ， 7 b 2 32 即 5 b 30 ，11 2a b 50 ，正确， 对于 B，3 a 10 ， 7 b 2 32 即 5 b 30 ，10 a 3 ，5 b a 27 ，错误， 对于 C，3 a 10 ， 7 b 2 32 即 5 b 30 ， 1 1 1 ， 1 b 10 ，正确,
湖北省荆州2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
荆州2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（答案在最后）（全卷满分150分考试用时120分钟）一､单项选择题1.设集合{}20,212x x M x N y y x ⎧⎫-=≥==-⎨⎬+⎩⎭∣则M N ⋂=（）A.[)2,∞+ B.[]1,2- C.(]1,2- D.()1,∞-+2.下列说法不正确的是（）A.命题2:,0p x x ∃∈≤R ，则命题p 的否定：2,0x x ∀∈>R B.若集合{}210A xax x =++=∣中只有一个元素，则14a =C.若13,21x y <<-<<-，则328x y <-<D.已知集合{}0,1,2M =，且N M ⊆，满足条件的集合N 的个数为83.下列比较大小的式子中，正确的有（）个①3112351393-⎛⎫<< ⎪⎝⎭；②0.80.60.60.8<<A.0 B.1C.2D.34.幂函数()()22231m m f x m m x +-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断5.在下图中，二次函数2y ax bx c =++与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像只可能是（）A. B.C. D.6.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了20%，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m ，则2029年的耕地面积为（）A.()25010.2m- B.11010.8m ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2500.8mD.1100.8m7.已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()128xf x =-，则()0f x <的解集为（）A.()()3,00,3-⋃B.()3,3-C.()(),33,∞∞--⋃+ D.()(),30,3∞--⋃8.已知函数()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列说法错误的是（）A.()164f =B.关于x 的方程()641f x =有13个不同的解C.()f x 在[]2024,2025上单调递增D.当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤恒成立二､多项选择题9.下列说法正确的是（）A.若()f x 的定义域为[]2,2-，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.函数()12(0x f x aa -=->且1)a ≠的图象恒过定点()1,2-C.函数()f x =6D.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正根和一负根”的充要条件10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x=称为高斯函数.例如：][3.24,2.32⎡⎤-=-=⎣⎦.已知函数()21122x xf x =-+，则关于函数()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦的叙述中正确的是（）A.()f x 是奇函数B.()g x 是偶函数C.()f x 的值域是11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.()g x 的值域是{}1,0-11.已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()21,11g x f x f x g x +-+=-+=，若()y f x =的图象关于直线1x =对称，则以下说法正确的是（）A.()g x 为奇函数B.()(),4x f x f x ∀∈=+R C.()()202420232f x f x ++--= D.302g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭三､填空题12.已知11221a a--=，计算：2233223a a a a--++=-__________.13.已知定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足对[)1212,0,,x x x x ∞∀∈+≠，都有()()21212f x f x x x ->-，若()12024f =，则不等式()()202421013f x x ->-的解集为__________.14.已知函数()f x 定义域为()0,∞+，且满足()()()1212f x f x f x x +=，当1x >时，()0f x <，若不等式()fff a ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题15.已知函数()f x =的定义域为R （1）求实数a 的取值集合A ；（2）设集合{31}B xm x m =<<+∣，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.已知函数()222,y x a x a a =-++∈R（1）解关于x 的不等式0y <；（2）若方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求2112x x x x +的最小值.17.荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m ）为x.（1）已知阁楼屋顶为高2m ，底边长5m 的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.（i ）要使窗户面积不小于2平方米，求x 的取值范围；（ii ）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x 为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.18.已知函数()()4121xxf x m =-+⋅-.（1）若0m =，求()f x 在区间[]1,2-上的值域；（2）若方程()20f x +=有实根，求实数m 的取值范围；（3）设函数()224112x x g x -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围.19.若存在常数,k b 使得函数()F x 与()G x 在给定区间上的任意实数x 都有()()F x kx b G x ≥+≥，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的隔离直线函数.已知函数()()2111,12f x x x g x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.（1）证明：函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增.（2）当0x >时，()y f x =与()y g x =是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由.参考答案题号1234567891011答案CBCABDDCADACDBCD三､填空题12.5213.()2025,∞+14.(四､解答题15.（1）由题意得不等式2102ax ax -+≥的解集为R ：当0a =时，102≥恒成立，满足题意；当0a ≠时，则由解集为R 可得2Δ20a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：02a <≤，综上可得：[]0,2A =；（2）由x A ∈是x B ∈的必要不充分条件可得：B 是A 的真子集，当B =∅时，满足题意，此时有31m m ≥+，解得：12m ≥；当B ≠∅时，则311230m m m m <+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，解得102m ≤<，综上可得m 的取值范围是{}0mm ≥∣.16.（1）不等式0y <即为()()()2220210x a x a x a x -++<∴--<，当2a <，即12a<时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当2a =，即12a=时，不等式的解集为∅，当2a >，即12a>时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭，综上可知：当2a <时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当2a =时，不等式的解集为,∅当2a >时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭.（2）方程()222x 1x a x a -++=+有两个正实数根12,x x ，即()22310x a x a -++-=有两个正实数根12,x x故()21212Δ(3)810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1a >，所以()2221212************ x x x x x x x x x x x x x +-++==()221321a a a ++=-令1t a =-，则0t >，故211282262x x t x x t +=++≥+=当且仅当82t t=即4,5t a ==时取得等号，故2112x x x x +的最小值为6.17.（1）（i ）设矩形的另一边长为y ，由三角形相似得252x y-=且05,02x y <<<<，所以2510x y +=，又矩形窗户面积22255225522S xy x x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5522x -≤≤，故的取值范围为52x ⎧+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭.（ii ）设地板面积为1S ，解不等式组11116.50.1S S S S S +=⎧⎨>≥⎩，所以111S S S +≤，即1116.5S ≥，解得32S ≥，故窗户面积最小为32，令23252x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得2420150x x -+=，解得52x +=或52x =.故当x为52+米或52米时，窗户面积最小，为32平方米.（2）设,a b 分别表示原来窗户面积和地板面积，m 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0,0a b m <<>，则()()()m b a a m a ab mb ab ma b m b b b m b b m -++---==+++.因为()0,0b a b b m ->+>，所以()()0m b a b b m ->+，即a m ab m b+>+，所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.18.（1）当0m =时，()()2421221x x xx f x =--=--，令2xt =，因为[]1,2x ∈-，所以1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以可得一个二次函数()2215124p t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以当1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()p t 单调递增，当12t =时，()p t 有最小值1524p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当4t =时，()p t 有最大值()411p =，所以()5,114p t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以0m =时，()f x 在区间[]1,2-上的值域为5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知当令()()22,0,11xt t p t t m t =>=-+-，则()20p t +=，即()2110t m t -++=有实数根，此时实数根大于零，所以可得2102Δ(1)40m m +⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，解得：1m ≥.所以方程()20f x +=有实根，实数m 的取值范围为[)1,∞+.（3）由题意得()2222412412(1)11222x x xx x g x -+--+--⎛⎫===⎪⎝⎭，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，可得()()12min min f x g x ≥，由函数22(1)1y x =--可得当[)20,1x ∈时单调递减，当[]21,3x ∈时单调递增，函数2x y =为增函数，所以由复合函数定义可得函数()22(1)12x g x --=在[)20,1x ∈时单调递减，[]21,3x ∈时单调递增，所以当21x =时，()2g x 有最小值()()2min 112g x g ==，由（2）知当令[]112,1,2,,42xt x t ⎡⎤=∈-∈⎢⎥⎣⎦，所以()21112t m t -+-≥在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即312t m t -≥+在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为函数3,2y t y t ==-在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时均单调递增，所以函数32y t t =-在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，所以min 3522t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以571,22m m -≥+≤-.19.（1）任取()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()121212111122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212211212111111222x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=-+-=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，由()1212,0,,x x x x ∞∈+<，则12120,0x x x x -<>，故12121102x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()()()12120,g x g x g x g x -<∴<，故函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增.（2）当0x >时，()y f x =与()y g x =存在隔离直线函数；令()()f x g x =，即211112x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即211022x x x x --+=，即3223102x x x-+=，即()2(1)210x x -+=，解得1x =或12x =-，由于0x >，故舍去12x =-；当1x =时，()()1f x g x ==，即()(),y f x y g x ==有公共点()1,1，设()y f x =与()y g x =存在隔离直线函数y kx b =+，则点()1,1在隔离直线函数y kx b =+上，则1k b +=，即1b k =-，则1y kx k =+-；若当0x >时有()f x kx b ≥+，即()211x x kx k -+≥+-，则()210x k x k -++≥在()0,∞+上恒成立，即()()10x x k --≥，由于()10,∞∈+，故此时只有1k =时上式才成立，则10b k =-=，下面证明()(),0g x x x ≤>，令()11111022y g x x x x ⎛⎫=-=-++≤-⨯= ⎪⎝⎭，即()0y g x x =-≤，故()g x x ≤，当且仅当1x x=，即1x =时，等号成立，所以1y kx k =+-，即y x =为()y f x =与()y g x =的隔离直线函数.。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2024-2025学年第一学期高一年级数学学科期中考试命题人：（答案在最后）考生须知1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分.考试时间120分钟.2.认真填写所在班级、姓名、学号.3.请用2B 铅笔填涂机读卡，用黑色签字笔在二卷上按要求作答.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.已知集合{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,0,1}-C.{0,1}D.{0,1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】由于{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，故A B = {0,1,2}，故选：D2.已知a b >，则下列关系中正确的是（）A.a c b c ->-B.ac bc> C.a b> D.22a b >【答案】A 【解析】【分析】由不等式的性质可判断A ，由特值法可判断BCD.【详解】由a b >，则a c b c ->-，A 正确；当0c =时，ac bc =，故B 错误；当3,7a b =-=-时，a b >，3,7a b ==，则a b <，故C 错误；229,49a b ==，则22a b <，故D 错误.故选：A.3.命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是（）A.R m ∀∈，都有2230m m -+≤B.R m ∃∈，使得2230m m -+≤C.R m ∃∈，使得2230m m -+<D.R m ∃∈，使得2230m m -+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是“R m ∃∈，使得2230m m -+≤”.故选：B.4.已知函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((1))f f -等于（）A.4B.2- C.D.2【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的定义域，先求得(1)f -，再求((1))f f -即可.【详解】因为函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，所以()(1)314f -=--=，所以()((1))42f f f -===，故选：D 5.不等式111x >-的解集为（）A.()(),12,-∞+∞ B.(),2-∞ C.()1,2 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据根式不等式等价于()()120x x --<，即可求解.【详解】由111x >-可得1120011x x x x -+->⇒<--，故等价于()()120x x --<，解得12x <<，故选：C6.下列函数中，满足“对任意的1x ，()20,x ∈+∞使得()()12120f x f x x x -<-”成立的是（）．A.()221f x x x =--+ B.()1f x x x=-C.()1f x x =+ D.()2f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据单调性的定义知函数在在(0,)+∞上为减函数，然后逐项分析即可.【详解】根据题意，“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，使得()()12120f x f x x x -<-”，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数.对于选项A ，2()21f x x x =--+为二次函数，其开口向下且对称轴为1x =-，所以()f x 在(0,)+∞上递减，符合题意；对于选项B ，1()f x x x=-，因为y x =在(0,)+∞上递增，1y x =-在(0,)+∞上递增，所以由单调性的性质知，()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项C ，()1f x x =+为一次函数，所以()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项D ，()2f x x=-在(0,)+∞上单调递增，不符合题意.故选：A.7.已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A.13x <<B.11x -<< C.01x << D.03x <<【答案】C 【解析】【分析】判断出{}02x x <<的真子集，得到答案.【详解】因为{}01x x <<是{}02x x <<的真子集，故{}01x x <<是p 的一个充分不必要条件，C 正确；ABD 选项均不是{}02x x <<的真子集，均不合要求.故选：C8.函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是（）A.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由()y f x =在()0,2上是增函数，()2y f x =+为偶函数，可知()2y f x =+在()0,2上是减函数，进而可比较函数值的大小.【详解】∵()y f x =在()0,2上是增函数，∴()2y f x =+在()2,0-上是增函数，由函数()2y f x =+是偶函数，知：()2y f x =+在()0,2上是减函数，而()()()73512,2,121212222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1301222<<<<，∴()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B9.已知()2411f x x +=-，则函数()f x 的解析式为（）A.()22f x x x=- B.()()211f x x x =-≥C.()()2221f x x x x =-+≥ D.()()221f x x x x =-≥【答案】D 【解析】【分析】根据换元法，设211x t +=≥，得21x t =-，代入即可求解．【详解】设211x t +=≥，则21x t =-，所以()()22112f t t t t =--=-，所以()()221f x x x x =-≥，故选：D ．10.已知()222,01,0x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,0-B.[]0,1C.[] 2,1- D.[]1,2【答案】B 【解析】【分析】由(0)f 是函数()f x 的最小值，结合二次函数的性质知222()2()f x x ax a x a ==-+-在(-∞，0]上单调递减，从而可得0a ≥，再由分段函数的性质知(0)(1)f f ≤，从而求实数a 的取值范围．【详解】解：(0)f 是函数()f x 的最小值，2()()f x x a ∴=-在(-∞，0]上单调递减，0a ∴≥，当0x >时，1()2f x x a a x=+-≥-在1x =处有最小值，即min ()(1)2f x f a ==-，故(0)(1)f f ≤，即22a a ≤-，解得，21a -≤≤，综上所述，01a ≤≤，故实数a 的取值范围是[0，1]，故选：B ．二、填空题（本题共6小题，共30分）11.已知集合{}2|10,A x x x R =-=∈，用列举法表示A =_________.【答案】{}1,1-##{}1,1-【解析】【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合.【详解】解：解方程210x -=得1x =±，所以列举法表示集合为{}1,1A =-，故答案为：{}1,1-12.函数()11f x x =+-的定义域为______.【答案】[)()2,11,-⋃+∞【解析】【分析】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩即可求出.【详解】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得2x ≥-且1x ≠，所以()f x 的定义域为[)()2,11,-⋃+∞.故答案为：[)()2,11,-⋃+∞.13.若函数2()(1)f x x a x a =+-+在区间[2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围__________.【答案】[3,)-+∞【解析】【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.【详解】函数2()(1)f x x a x a =+-+图象开口向上，对称轴为12a x -=-，由函数()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，得122a --≤，解得3a ≥-，所以a 的取值范围是[3,).-+∞故答案为：[3,)-+∞14.已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为_____．【答案】9【解析】【分析】把要求的式子变形为()14414x yx y x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可得到14x y +的最小值．【详解】因为0,0,1x y x y >>+=,所以()1441459x yx y x y y x ⎛⎫++=+++≥+⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =即12,33x y ==时，取等号．故答案为：915.已知函数3()3(g x ax bx a =++，b 为常数），若(2)1g =，则(2)g -=__．【答案】5【解析】【分析】设3()()3f x g x ax bx =-=+，可得函数()f x 为奇函数，从而可得()()0f x f x +-=，即得()3()30g x g x -+--=，代入条件即可得解.【详解】根据题意，设3()()3f x g x ax bx =-=+，有33()()()()()f x a x b x ax bx f x -=-+-=-+=-，则函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，即()3()30g x g x -+--=，变形可得()()6g x g x +-=，则有(2)(2)6g g +-=，(2)1g =，则(2)5g -=；故答案为：5.【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，解题的关键是设3()()3f x g x ax bx =-=+，从而与奇偶性建立联系进而得解，属于基础题.16.若关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，则实数m 的取值范围______.【答案】(],2-∞【解析】【分析】根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】2221021x x m m x x --+≤⇒≤-++，设()[]()2210,3f x x x x =-++∈，()()222112f x x x x =-++=--+，该二次函数的对称轴为1x =，开口向下，当[]0,3x ∈时，()()max 12f x f ==，要想关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，只需()max 2m f x m ≤⇒≤，所以实数m 的取值范围为(],2-∞，故答案为：(],2-∞三、解答题；本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集U =R ，集合{}23A x x =-<<，{}32B x x =-≤≤，（1）求A B ，A B ⋂；（2）求()U A B ð，()U A B ⋃ð．【答案】17.{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤18.(){}23U A B x x ⋂=<<ð，(){2U A B x x ⋃=≤ð或}3x ≥．【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义一次计算即可.【小问1详解】利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，如图．则{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤.【小问2详解】依题意：{2U A x x =≤-ð或}3x ≥，{3U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}23U A B x x =<< ð，(){2U A B x x =≤ ð或}3x ≥．18.已知函数()22f x x x =-．（1）写出()f x 的分段解析式；（2）画出函数()f x 的图象；（3）结合图象，写出函数()f x 的单调区间和值域．【答案】()1函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2见详解;()3函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【解析】【分析】()1去绝对值得到分段函数()f x 的解析式;()2根据解析式,通过描点作图,画出函数()f x 图象;()3结合图象,通过观察,写出函数()f x 的单调区间和值域;【详解】()1由题意可得,当0x ≥时, ;当0x <时,()22f x x x =+;所以函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2根据()1中函数()f x 的解析式,通过描点作图,得到函数()f x 的图象如下:()3由函数图象可知,函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质;函数图象的判定和作法，利用函数图象判断函数的性质;属于中档题,常考题型.19.已知关于x 的不等式()222R x x ax a a +>+∈.（1）若1a =，求不等式的解集；（2）解关于x 的不等式.【答案】（1）112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将1a =代入解不等式即可；（2）因为对应方程的两个根为1,2a -，分12a =-、12a >-、12a <-三种情况解不等式即可.【小问1详解】由()()()()222,2121,210x x ax a x x a x x a x +>+∴+>+∴-+>，当1a =时，可得解集为112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或.【小问2详解】对应方程的两个根为1,2a -，当12a =-时，原不等式的解集为12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，当12a >-时，原不等式的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或}x a >，当12a <-时，原不等式的解集为{x x a <或12x ⎫>-⎬⎭，20.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()41f x x x =+-．（1）利用函数单调性的定义，证明：()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数（2）求函数()f x 的解析式．【答案】（1）证明见解析（2）()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩【解析】【分析】（1）任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，通过判断()()12f x f x -的符号来证明单调性即可；（2）利用()()f x f x =--可得函数解析式.【小问1详解】任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，则()()()()12121212121244411x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫-=+--+-= ⎪⎝⎭，[)1212,2,,x x x x ∈+∞> ，12120,40x x x x ∴->->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，∴()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数；【小问2详解】当0x <时，由函数()f x 是奇函数得()()4411f x x x x x f x ⎛⎫-+--==++ ⎪⎝⎭-=--，，又()00f =，()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪∴==⎨⎪⎪++<⎩.21.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为2900m 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （单位：m ），三块种植植物的矩形区域的总面积为S （单位：2m ）．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）求S 的最大值，并求出此时x 的值．【答案】（1）72002916=--+S x x，()8,450x ∈（2）当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．【解析】【分析】（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积:900(8)2S x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭,根据边长为正得其定义域为(8,450)；（2）利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+⎪⎝⎭，()8,450x ∈．【小问2详解】因为8450x <<，所以72002240x x +≥=，当且仅当60x =时等号成立，从而676S ≤．故当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．22.已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()01f =，()10f -=；()f x 在R 上为增函数；（2）34a <.【解析】【分析】（1）利用赋值法求出()()0,1f f -的值，利用函数的单调性定义判断()f x 的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式()()231f ax x f x -+<转化为()()221f ax x f -<-，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.【详解】（1）令0x y ==，得()()()00001f f f +=+-，得()01f =，令1,1x y =-=，得()()()0111f f f =-+-，得()10f -=；设12,x x 是任意两个不相等的实数，且12x x <，所以210x x ->，所以()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()2110f x x -->，因此()()()()21210f x f x f x f x ->⇒>即()f x 在R 上为增函数；（2）因为()()231f ax x f x -+<，即()2211f ax x -+<，即()220f ax x -<，又()10f -=，所以()()221f ax x f -<-，又因为()f x 在R 上为增函数，所以221ax x -<-在[]1,2x ∈上恒成立；得2210ax x -+<在[]1,2x ∈上恒成立，即221a x x<-在[]1,2x ∈上恒成立，因为2221111x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，当2x =时，221x x -取最小值34，所以34a <；即34a 时满足题意.。