赵近芳-大学物理学答案--全

大学物理学(北邮第三版)

赵近芳等编著 习题及解答（全）

习题一

1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同

?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v

有无不同?其不同在哪里?

试举例说明．

解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即

r ?12r r -=，12r r r ??-=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t

s

d d .

t r

d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则

t ?r

?t r t d d d d d d r r r += 式中t r

d d 就是速度径向上的分量， ∴

t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示.

题1-1图

(3)t d d v 表示加速度的模，即

t v a d d ??=

，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ??(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以

t v t v t v d d d d d d ττ???+=

式中dt dv

就是加速度的切向分量.

(

t t r d ?d d ?d τ??Θ与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出r ＝22y x +，然后根据v =t r

d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度

的分量，再合成求得结果，即

v =2

2

d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a =

2

22222d d d d ?

??? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r ?

??+=，

j

t y i t x t r a j

t y i t x t r v ???

????

?222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴

故它们的模即为

2

222

222

22

22

2d d d d d d d d ?

??? ??+???? ??=+=?

?

? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

2

2d d d d t r a t

r

v ==

其二，可能是将2

2d d d d t r t

r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，2

2d d t r

也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

的一部分????

???????

??-=2

22d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r ?在径向（即

量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r ?

及速度v ?的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =21

t 2+3t -4.

式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1

s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1）

j

t t i t r ???

)4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有

j i r ??

?5.081-= m

j j r ???

4112+=m

j j r r r ??

???5.4312+=-=?m

(3)∵ j i r j j r ??????

1617,4540

+=-=

∴ 1

4s m 534201204-?+=+=--=??=j i j i r r t r v ????????

(4) 1

s m )3(3d d -?++==j t i t r v ????

则 j i v ???734+= 1

s m -?

(5)∵ j i v j i v ??????

73,3340

+=+=

2

04s m 1444-?==-=??=j v v t v a ????? (6) 2

s m 1d d -?==j t v a ?

??

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以

0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知

2

22s h l +=

将上式对时间t 求导，得

t s s t l l

d d 2d d 2= 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，

∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-

=船绳

即

θcos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-

=船

或 s v s h s lv v 0

2/1220)(+=

=船

将船v 再对t 求导，即得船的加速度

3

2

0222

020

2

002)(d d d d d d s v h s v s l s v s

lv s v v s t s

l t l s

t v a =+-=+-=-==船

船

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62

x ，a 的单位为2s m -?，x 的单

位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101

s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵

x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量：

x x adx d )62(d 2

+==υυ 两边积分得 c

x x v ++=32

2221

由题知，0=x 时，100

=v ,∴50=c

∴ 1

3s m 252-?++=x x v

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2

s m -?，开始运动时，x ＝5 m ，

v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．

解：∵

t t v

a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d +=

积分，得 1

223

4c t t v ++=

由题知，0=t ,00

=v ,∴01=c

故

2

23

4t t v += 又因为 2

234d d t t t x v +== 分离变量， t

t t x d )23

4(d 2+=

积分得 2

3221

2c t t x ++=

由题知 0=t ,50

=x ,∴52=c

故 5

21

232++=t t x

所以s 10=t 时

m

70551021

102s m 1901023

10432101210=+?+?=?=?+

?=-x v

1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33

t ，θ式中以弧度计，t 以

秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°

角时，其角位移是多少?

解：

t t t t 18d d ,9d d 2====

ωβθω

(1)s 2=t 时， 2

s m 362181-?=??==βτR a

2222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n

(2)当加速度方向与半径成ο

45角时，有

145tan ==

?n

a a τ

即 βωR R =2 亦即

t t 18)9(22= 则解得

923=t 于是角位移为rad

67

.29232323=?+=+=t θ

1-8 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

021

bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧

长,

0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ．

解：（1）

bt v t s

v -==

0d d

R bt v R v a b t

v

a n 2

02)(d d -=

=-==

τ

则 2402

22)(R bt v b a a a n -+

=+=τ

加速度与半径的夹角为

20)(arctan

bt v Rb a a n --=

=τ?

(2)由题意应有

24

02

)(R bt v b b a -+

== 即 0

)(,)

(4024

022=-?-+=bt v R bt v b b

)

sin (sin

2

cos

2

sin 200t

R t R R t v R t v x ωωθ

θ

θ

-=-=-=∴当

b v t 0

=

时，b a =

1-9 半径为R 的轮子，以匀速

0v 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B 的运动方程为

x ＝R )sin (t t ωω-，y ＝R )cos 1(t ω-，式中0v =ω/R 是轮子滚动的角速度，当B 与

水平线接触的瞬间开始计时．此时B 所在的位置为原点，轮子前进方向为x 轴正方向；(2)求B 点速度和加速度的分量表示式．

解：依题意作出下图，由图可知

题1-9图

(1)

)cos 1()cos 1(2

sin

2sin

2t R R R y ωθθ

θ

-=-==

(2)

???????

==-==

)sin d d )cos 1(d d t R t y v t R t x

v y x ωωω

???

????=

===t v t R a t v

t R a y

y x

x d d cos d d sin 2

2ωωωω

1-10 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-10图

(1)在最高点，

o 0160cos v v v x == 2

1s m 10-?==g a n

又∵

121

1ρv

a n =

∴

m

1010

)60cos 20(2

2111=??=

=n a v ρ

(2)在落地点，

2002==v v 1s m -?,

而

o

60cos 2?=g a n

∴

m

8060cos 10)20(2

2222=?

?==n a v ρ

1-11 飞轮半径为0.4 m ，自静止启动，其角加速度为

β=0.2 rad ·2

s -，求t ＝2s 时边缘上

各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解：当s 2=t 时，4.022.0=?==t βω1

s rad -?

则16.04.04.0=?==ωR v 1

s m -?

064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2s m -? 08.02.04.0=?==βτR a 2s m -?

2

2222

s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+=τa a a n

1-12 如题1-12图，物体A 以相对B 的速度v ＝

gy 2沿斜面滑动，y 为纵坐标，开始时

A 在斜面顶端高为h 处，

B 物体以u 匀速向右运动，求A 物滑到地面时的速度．

解：当滑至斜面底时，h y =，则gh v A

2=',A 物运动过程中又受到B 的牵连运动影响，

因此，A 对地的速度为

j gh i gh u v u v A

A ?

????)sin 2()cos 2('

αα++=+=地

题1-12图

1-13 一船以速率1v ＝30km ·h -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2v ＝40km ·h -1 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

解：(1)大船看小艇，则有1221v v v ρ

??-=，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

题1-13图

由图可知 1

222121h km 50-?=+=v v v

方向北偏西 ?

===87.3643

arctan arctan 21v v θ

(2)小船看大船，则有2112v v v ρ??-=，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

5012=v 1h km -?

方向南偏东o

87.36

1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m 的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m ·s -1，求轮船的速率．

解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．

题1-14图

∵ 船雨雨船v v v ?

??-= ∴

船雨船雨v v v ???+= 由图中比例关系可知

1s m 8-?==雨船v v

习题二

2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a '下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a ，其对于2m 则为牵连加速度，又知2m 对绳子的相对加速度为a '，故2m 对地加速度，由图(b)可知，为

a a a '-=12 ①

又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f 在数值上等于绳的张力T ，由牛顿定律，有

111a m T g m =- ②

222a m g m T =- ③ 联立①、②、③式，得

2

1

2

12

1121

22

12211)

2()()(m m a g m m T f m m a m g m m a m m a m g m m a +'-==+'--=+'

+-=

讨论 (1)若0='a ，则21a a =表示柱体与绳之间无相对滑动．

(2)若g a 2='，则0==f T ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1m , 2m 均作自由落体运动．

题2-1图

2-2 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向

与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．

解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ?方向为X 轴，平行斜面

与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-2.

题2-2图

X 方向： 0=x F t v x 0= ①

Y

方向：

y

y ma mg F ==αsin ②

0=t 时 0=y 0=y v

2

sin 21

t g y α=

由①、②式消去t ，得

220

sin 21

x g v y ?=

α

2-3 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为

x f ＝6 N ，y

f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1，y v ＝0．求

当t ＝2 s

时质点的 (1)位矢；(2)速度．

解：

2s m 83166-?===

m f a x x

2s m 167

-?-=

=

m f a y y

(1)

??--?-=?-=+=?-=?+-=+=201

01

200s m 87

2167s m 45

2832dt a v v dt a v v y y y x x x

于是质点在s 2时的速度

1

s m 8

745-?--=j

i v ???

(2)

m

874134)16

7(21)483

2122(2

1)21(220j i j

i j

t a i t a t v r y x ???????

--=?-+??+?-=++=

2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的

速度为

0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m

k e

v )(

0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为

x ＝(k mv 0)［1-t m k

e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)

(0k m v ；(4)证明当k m t =时速度

减至0v 的e 1，式中m 为质点的质量．

答: (1)∵ t v

m kv a d d =-=

分离变量，得

m t k v v d d -= 即 ??-=v v t m t

k v

v 00d d

m

kt e v v -=ln ln 0

∴

t

m k

e

v v -=0

(2)

??---===t

t t

m k m k e k mv t e

v t v x 0

00)

1(d d

(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞，