2021年导数尖子生培优五讲
2020导数尖子生培优五讲
目录
第一讲含参数导数问题的分类讨论 (2)
模块1 整理方法提升能力 (2)
模块2 练习巩固整合提升 (7)
第二讲函数零点问题 (11)
模块1 整理方法提升能力 (11)
1．下凸函数定义 (11)
2．上凸函数定义 (11)
3．下凸函数相关定理 (11)
4．上凸函数相关定理 (12)
模块2 练习巩固整合提升 (18)
第三讲含参数函数不等式恒成立问题 (22)
模块1 整理方法提升能力 (22)
模块2 练习巩固整合提升 (29)
第四讲利用导数证明函数不等式（一） (36)
模块1 整理方法提升能力 (36)
模块2 练习巩固整合提升 (43)
专题五利用导数证明函数不等式（二） (49)
模块1 整理方法提升能力 (49)
方法1：利用换元法，化归为一个未知数 (49)
方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数 (49)
方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明 (49)
方法4：利用主元法，构造函数证明 (49)
模块2 练习巩固整合提升 (57)。
高三数学导数的应用培优辅导材料二
城东蜊市阳光实验学校江夏一中高三数学导数的应用培优辅导材料二一、教学内容导数的应用 二、学习指导本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。
根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a 到b(a ＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x=x2－x1＞0).恒有y1＜y2〔记△y=y2－y1＞0〕.于是A 〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕两点间连线斜率k =2121x x y y --＞0.从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＞0.由x1的任意性，知〔a ，b 〕内的导函数)x (f '值均正；反之，假设f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x=x2－x1＞0).恒有y1＞y2.(记△y=y2－y1＜0).那么A 、B 连线斜率k=2121x x y y --＜0，从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。
而导函数值为O 的点xo 有可能〔但不一定就是〕是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能〔但不一定就是〕f(x)的一个极大〔小〕值.但到底是不是极值点，还须看导函数)x (f '在xo 的左、右是否异号，如在xo 左边)x (f '＞0，而在xo 右边)x (f '＜0，那么f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo 左边)x (f '＜0，而在xo 右边)x (f '＞0，那么f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo 左右)x (f '符号一样，那么f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂〔对较复杂的函数更是如此〕.而判断单调区间的界限，那么无明章可循，如今我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 5 1 导的概念及其意义(精练)(无答案)
5.1 导数的概念及其意义(精练)【题组一 平均变化率】1．(2021·全国高二课时练习)一物体的运动满足曲线方程s (t )＝4t 2＋2t －3，且s ′(5)＝42(m/s)，其实际意义是( )A ．物体5 s 内共走过42 mB ．物体每5 s 运动42 mC ．物体从开始运动到第5 s 运动的平均速度是42 m/sD ．物体以t ＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过1 s ，物体运动的路程为42 m2．(2021·全国)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为123,,v v v ，则三者的大小关系为( )A ．123v v v >>B ．321v v v >>C ．213v v v >>D ．231v v v >>3．(2021·全国)函数f (x )=2x 2+5在x =1附近的平均变化率________在x =3附近的平均变化率(填“大于”“小于”或“等于”)．4．(2021·全国高一课时练习)函数2y x 在区间[1,2]上的平均变化率为___________.5．(2021·全国高二课时练习)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h ＝2t 2＋2t ，则： (1)前3 s 内球的平均速度为________m/s ；(2)在t ∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.6．(2021·全国高二课时练习)一物体做直线运动，其路程与时间t 的关系是S ＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度； (2)求t ＝0到t ＝1的平均速度．【题组二 瞬时速度】1．(2021·全国高二课时练习)函数y ＝x 2＋2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则( ) A ．k 1<k 2 B ．k 1>k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定2．(2021·全国高二课时练习)已知函数()221y f x x ==+在0x x =处的瞬时变化率为8-，则()0f x =______．3．(2021·全国高二课时练习)若一个物体的运动规律如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s )()()2231,02233,2t s t t t t ⎧+<⎪=⎨+-≥≤⎪⎩，则此物体在1t =和3t =时的瞬时速度分别为______．4．(2021·全国高二课时练习)(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为201()2s t v t gt =-，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________.(2)某物体的运动方程为s =2t 3，则物体在第t =1时的瞬时速度是__________.5．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝221x +. (1)求函数f (x )在区间[00,x x x +∆]上的平均变化率；(2)求函数f (x )在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数f (x )在x ＝2处的瞬时变化率．【题组三 某处的导数】1．(2021·重庆市万州清泉中学)已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 3x f x x f x x∆→+∆-=∆( )A ．0B ．13C ．1D ．22．(2021·四川省绵阳江油中学高二期中(理))设()f x 在0x 可导，则000(4)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆等于( )A ．04()f x '-B ．0()f x 'C ．01()4f x ' D ．04()f x '3．(2021·合肥市第六中学高二期中(文))已知Δ0(1)(1)lim 3x f f x x→-+∆=∆，则()f x 在1x =处的导数(1)f '=( )A ．1-B ．1C ．3-D ．34．(2021·陕西阎良·高二期末(理))设函数()f x 的导函数为()'f x ，若()02f x '=-，则()000l m 2i 1k f x k f x k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭等于( ) A ．-2 B ．-1C ．2D ．15．(2021·厦门海沧实验中学高二期中)已知()03f x '=，则000(2)()limx f x x f x x→-∆-=∆_______.6．(2021·重庆市两江中学校高二月考)如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程为25y x =-+，则()()22f f '+=_____．7．(2021·全国高二课前预习)设f (x )＝2x ＋1，则f ′(1)＝________.8．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )满足f (1)＝3，f ′(1)＝－3，则下列关于f (x )的图象描述正确的是________．(1)f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率大于0； (2)f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率小于0； (3)f (x )的图象在x ＝1处位于x 轴上方； (4)f (x )的图象在x ＝1处位于x 轴下方．9．(2021·全国)已知f (x )＝1x，g (x )＝mx ，且()12(2)g f '='，则m ＝________．10．(2021·全国高二课时练习)若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim 2Δx f x f x x x→-+=________.11．(2021·全国高二课时练习)已知()23f x x =+.(1)求f (x )在x =1处的导数；(2)求f (x )在x =a 处的导数.12．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝k ，求下列各式的值：(1)0lim x ∆→ 00()()2f x f x x x--∆∆；(2)000l m ()i ()x f x x f x x x∆→∆--∆∆+【题组四 导数的几何意义及应用】1．(2021·全国高二课前预习)函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．f ′(1)>f ′(2)>f ′(3)B ．f ′(2)>f ′(1)>f ′(3)C ．f ′(3)>f ′(2)>f ′(1)D ．f ′(3)>f ′(1)>f ′(2)2．(2021·全国高二课前预习)曲线y ＝1x在点(1，1)处切线的斜率为( )A ．1B ．－1C ．12 D ．－123．(2021·全国)若抛物线f (x )＝4x 2在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率为8，则x 0＝________.4．(2021·全国高二课时练习)设()y f x =为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim22x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率是________.5．(2021·全国高二课时练习)(多选)下列说法正确的是( )A ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处也可能有切线B ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在6．(2021·全国)在曲线y ＝f (x )＝21x 上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.。
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 导数的应用教案 新人教A版
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题导数的应用教案新人教A版【考纲解读】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．3．生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题．4．定积分与微积分基本定理（理科）（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．（2）了解微积分基本定理的含义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.导数是历年来高考重点内容之一,导数的应用的考查，选择题、填空题与解答题的形式都有可能出现,在考查导数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力；对理科考生，高考还会以选择题或填空题的形式考查定积分与微积分基本定理.2.高考将会继续保持稳定,坚持考查导数的应用,理科还会考查定积分与微积分基本定理,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果 f /(x)>0,则f(x)为增函数;如果f /(x)<0,则f(x)为减函数.2.(函数单调性的必要条件) 设函数y=f (x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间上单调递增(或递减),则在该区间内f /(x)≥0(或f /(x)≤0).3.利用导数判断函数单调性的一般步骤:(1)求导数;(2)在定义域内解不等式或;(3)确定单调区间.4.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值越大,那么函数在这个范围内变化越快,这时,函数的图象就越陡峭.5.(1)函数的极值的概念:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在x=a附近的其他点的函数值都小, f/ (a)=0;而且在点在x=a 附近的左侧,右侧,点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在x=b附近的其他点的函数值都大, f/ (b)=0;而且在点在x=b附近的左侧,右侧,点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.(2)求函数极值的步骤:①求导数;②求方程的根;③检查f/ (x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值,如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取极小值.6.函数的最大值与最小值在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导.f(x)在[a,b]上,求最大值和最小值的步骤:(1)求在区间内的极值;(2)将的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.7.生活中的优化问题(即利用导数解决实际问题中的最值问题)(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f/ (x)=0的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.(3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间.8.(理科)(1)函数定积分的定义:设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点a=x0<x1<x2…x n=b.把区间[a,b]分为n个小区间,其长度依次为=-,i=0,1,2,…n-1.记为这些小区间长度的最大者,当趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点,作和式.当0时,如果和式的极限存在,我们把和式的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作,即=,其中f(x)叫做被积函数,a叫做积分下限,b叫积分上限,f(x)dx叫做被积式.(2)根据定积分的定义,曲边梯形的面积S等于其曲边所对应函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,即S=.(3)求定积分与导数互为逆运算；公式=.微积分基本定理:如果F/(x)=f(x),且f(x)在[a,b]上可积,则=，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.【例题精析】考点一利用导数研究函数的单调性例1.已知a∈R，函数求f(x)的单调区间【名师点睛】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并考查了学生的分析问题的能力.【变式训练】1.已知函数.讨论函数的单调性。
高中数学选择性必修二 5 2 导数运算(含答案)
2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典5.2导数运算 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设函数()f x 的导函数是()'f x ，若()()cos sin 2f x f x x π'=⋅-，则()3f π'=（ ）A ．12-B C ．12D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 求导后，令2x π=，可求得()2f π'0=，再令3x π=可求得结果.【详解】因为()()cos sin 2f x f x x π'=⋅-，所以()()(sin )cos 2f x f x x π''=--，所以()()(sin)cos2222f f ππππ''=--()2f π'=-，所以()02f π'=，所以()cos f x x '=-，所以1()cos332f ππ'=-=-. 故选：A 【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.2．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系24()2t N t N -=，其中N 0为0t =时钍234的含量．已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()120N =（ ） A ．12贝克 B ．12 ln2贝克 C ．6贝克 D ．6 ln2贝克【答案】A 【解析】 【分析】由24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，可求0384N =，从而可求()120N . 【详解】解：240ln 2()224tN t N -'=-⋅⋅，所以00ln 218ln 2,384242N N -=-⋅⋅=， 24240()23842tt N t N --==⋅，12024(120)384212N -=⋅=(贝克)，故选：A. 【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.3．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域为任意()1212,x x x x ≠，有()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭恒成立，则称()f x 为恒均变函数.给出下列函数：①()23f x x =+；②()223x x x f =-+；③()xf x e =；④()cos f x x =其中为恒均变函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①②C ．①②③D ．①②④【答案】B 【解析】 【分析】针对每一个函数，分别计算出()()1212f x f x x x --与122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，检验两者是否恒相等，即可得解. 【详解】对于①，()()()1212121223232f x f x x x x x x x -+-+==--，1222x x f +⎛⎫'= ⎪⎝⎭，满足()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭，故①为恒均变函数；对于②，()()()2211221212122323x x x x f x f x x x x x -+--+-=-- ()()()121212121222x x x x x x xx x x -+--==+--，12121222222x x x x f x x ++⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭，故②为恒均变函数；对于③，当11x =，20x =时，()()121212121x x f x f x e e e x x x x --==---，121122212x x x x f e e e ++⎛⎫'==≠- ⎪⎝⎭即此时()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'≠ ⎪-⎝⎭，故③不为恒均变函数；对于④，当12x π=，20x =时，()()12121212cos cos 2f x f x x x x x x x π--==---，12122sin sin 2242x x x x f ππ++⎛⎫⎛⎫'=-=-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即此时()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'≠ ⎪-⎝⎭，故④不为恒均变函数. 故选：B .【点睛】本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题.4．设()1sin f x x =，()()'21f x f x =，()()'32f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，则()2020f x =（ ） A ．sin x B ．sin x -C ．cos xD ．cos x -【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出4()(),n n f x f x n N +=∈，可得解. 【详解】1()sin f x x =，()''1()sin cos f x x x ∴==， '12()()cos f x f x x ==，()23'()(cos )sin f x f x x x '===-，()34'()(sin )cos f x f x x x '==-=-， ()45'()(cos )sin f x f x x x '==-=，由此可知：4()(),n n f x f x n N +=∈，24201()()cos f x f x x ∴==-.故选：D. 【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题. 5．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．0【答案】B 【解析】 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.6．函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的导函数为()f x '，集合()()()000,0,M x f x f x ='⎧=⎨⎩0ππ,42x ⎫⎛⎫∈⎬ ⎪⎝⎭⎭，中有且仅有１个元素，则ω的取值范围是（ ）A ．31115,7,222ω⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．371115,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦D ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】计算得()2cos 4f x x πωω⎛⎫'=-⎪⎝⎭，又由题知，()0f x '=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上仅有一个零点，所以可得π42x k πωπ-=+，则有()()4422412241244k k k πππππωπωππππωππππω⎧-<+<-⎪⎪⎪++≥-⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩，求解不等式组即可得ω的取值范围. 【详解】计算得()2cos 4f x x πωω⎛⎫'=-⎪⎝⎭，又由题知，()0f x '=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上仅有一个零点， 又0>ω，所以πππππ,44424x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=得π42x k πωπ-=+， 所以()()4422412241244k k k πππππωπωππππωππππω⎧-<+<-⎪⎪⎪++≥-⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩，解得：3243272241k k k k ωωω⎧+<<+⎪⎪⎪≤+⎨⎪≥-⎪⎪⎩，所以当0k =时得332ω<<；当1k =时得71122ω<≤； 当2k =时得1572ω≤≤； 故得：371115,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的运算，三角函数的图象性质，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.二、多选题7．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x '''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的是（ ）A ．() sin cos f x x x =+B ．()ln 2f x x x =-C ．()321f x x x =-+-D ．()xf x xe =【答案】ABC 【解析】 【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否()0f x ''<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立,从而得到答案. 【详解】对于A 选项，()sin cos ,()cos sin f x x x f x x x =+'=-， 则()sin cos f x x x ''=--，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x ''<，是凸函数； 对于B 选项，()1ln 2,()2f x x x f x x=-'=-， 则()21f x x ''=-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于C 选项，若()3221,()32f x x x f x x =-+-'=-+，则()60f x x ''=-<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，是凸函数； 对于D 选项，若(),()(1)xxf x xe f x x e ='=+，则()()2xf x x e ''=+，则()0f x ''>在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故不是凸函数. 故选：ABC. 【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.8．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数()f x 存在导函数()f x '，称()()0lim x yEy x yf x x Ex f x x∆→∆'==⋅∆为函数()f x 的弹性函数，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x C =（C 为常数）的弹性函数是0EyEx= B ．函数()cos f x x =的弹性函数是tan Eyx x Ex=- C ．()()()1212()()()()E f x f x E f x E f x Ex Ex Ex+=+D ．()()1122()()()()f xE E f x E f x f x Ex Ex Ex⎛⎫ ⎪⎝⎭=-【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题目中的定义和导数的运算逐一判断即可. 【详解】 对于A ，00Ey xEx C=⋅=，即A 正确； 对于B ，()sin tan cos Ey x x x x Ex x=-⋅=-，即B 正确； 对于C ，()()()()121212121212()()()()()()()()()()E f x f x x x xf x f x f x f x Ex f x f x f x f x f x f x +'''=+⋅=⋅+⋅+++而()()()()121212()()()()E f x E f x x xf x f x Ex Ex f x f x ''+=⋅+⋅，二者不相等，即C 错误； 对于D ，[]12111212122222()()()()()()()()()()()()()f x E f x f x f x f x f x f x xf x x f x Ex f x f x f x f x ''⎛⎫ ⎪'⎛⎫-⎝⎭=⋅=⋅ ⎪⎝⎭()()121111222122()()()()()()()()()()()()E f x E f x f x f x f x f x x xf x x f x f x f x f x f x Ex Ex''''-=⋅⋅-⋅=-=即D 正确 故选：ABD 【点睛】本题是一道新定义的题，考查了学生的分析能力和转化能力，较难. 9．已知()(1)(2)(20)f x x x x x =--⋅⋅⋅-，下列结论正确的是（ ） A ．(0)20!f '= B ．(1)19!f '=C ．(19)19!f '=-D ．(20)20!f '=-【答案】AC 【解析】【分析】对函数进行求导，逐个选项验证即可. 【详解】∵()(1)(2)(20)f x x x x x =--⋅⋅⋅-，∴()()()()()()1220220f x x x x x x x '=--⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-()()()()()1320119x x x x x x x +--⋅⋅⋅-+--，∴()()()()0122020!f '=-⨯-⨯-=，即A 正确；()()()()11121919!f '=⨯-⨯-⨯-=-，即B 错误，C 正确；()202019120!f '=⨯⨯⨯=，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查了导数的运算，熟练掌握导数的乘法运算法则是解题的关键，属于基础题.三、填空题10．已知32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，则(1)(1)f f ''+-的值为___________.【答案】34-. 【解析】 【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=，再相加可得答案. 【详解】由32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，得2()32(1)3(1)f x x xf f '''=++-，所以(1)32(1)3(1)f f f '''=++-，①(1)32(1)3(1)f f f '''-=-+-②由①②得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=, 则3(1)(1)4f f ''+-=-. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.11．若函数()'f x 是函数()f x 的导函数，且满足(0)1,3()()3f f x f x '==-，则不等式4()()f x f x '>的解集为____________.【答案】1ln 23(,)+∞【解析】 【分析】由题意可设()bxf x ae c =+，由(0)1,3()()3f f x f x '==-，可得3,1,2b c a ==-=，由此求出()f x 的解析式，不等式可解. 【详解】3()()3f x f x '=-，()3()3f x f x '∴=+可设()bxf x ae c =+由(0)1f =，得1a c +=又3()()3f x f x '=-，即333bx bx ae c abe +=-333a abc =⎧∴⎨=-⎩，解得3,1,2b c a ==-= 3()21,x f x e x R ∴=-∈又4()()f x f x '>33846x x e e ∴->即32x e >解得1ln 23x >故答案为：1ln 23(,)+∞【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼3()()3f x f x '=-可知，原函数和导函数形式相同，由此可联想构造x e 型函数，属于难题.12．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠）给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】2020 【解析】 【分析】由题意“拐点”就是对称中心,求出给定函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心坐标,探究出对称性,计算出结果. 【详解】 函数32115()33212f x x x x =-+-,则2()3f x x x '=-+,()21''=-f x x , 结合题意令()210''=-=f x x ,解得12x =,而1()12f =,由题意可知函数()f x 关于点1(,1)2对称,则有()(1)2f x f x +-=, 令12320202021202120212021f f f f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则20212021202120220202019201118f f f f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得220202m ⨯=,所以2020m =,即123202020202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:2020 【点睛】本题考查了导数得计算和函数得对称性,需要理解题目条件的意思,并能运用已知条件来解题,本题的难点在函数的对称性,能探究出函数对称性可得计算结果,需要掌握解题方法.四、解答题13．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++； （2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ；（4）41(13)y x =-. 【答案】（1）cos 61y x x '=++；（2）y '22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）y ' ()()222211x x-=+；（4）()51213y x -'=-.【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则进行求解即可. 【详解】（1）因为2sin 3y x x x =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++； （3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-. 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式是求解本题的关键；属于中档题.14．已知,,a b c ∈R ，函数()()()()f x x a x b x c =---的导函数为()'f x ．（1）若b c =，求曲线()y f x =在点(,())b f b 处的切线方程；（2）求111()()()f a f b f c '''++的值． 【答案】（1）0y =；（2）0.【解析】 【分析】（1）根据b c =，得到2()()()f x x a x b =--，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先对函数求导，分别计算()f a '，()f b '，()f c '，将所求式子化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）若b c =，则2()()()f x x a x b =--，所以2()()()2()f x x b x a x b '=-+-⋅-，则2()()()2()0f b b b x a b b '=-+-⋅-=，即曲线()y f x =在点(,())b f b 处的切线斜率为0，又2()()()0f b b a b b =--=，所以所求切线方程为：0y =； （2）由()()()()f x x a x b x c =---得[]()()()()()()()()()()()()f x x b x c x a x b x c x b x c x a x c x a x b ''=--+---=--+--+--， 所以()()()f a a b a c '=--，()()()f b b a b c '=--，()()()f c c a c b '=--，因此111111()()()()()()()()()f a f b f c a b a c b a b c c a c b ++=++'''------ 111111()()()()()()b a a b ac b c c a c b a b a c b c a c b c -⎛⎫=⋅-+=⋅+ ⎪----------⎝⎭ 110()()()()a cbc a c b c =-+=----.【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查导数的计算，属于常考题型.15．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值【答案】（1）证明见解析 （2）e2【解析】 【分析】（1）对函数(),()f x g x 分别求导，通过()()f x g x =且()()f x g x ''=，列方程求解即可；（2）对函数(),()f x g x 分别求导，通过00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，列方程，求出a 即可. 【详解】解：（1）函数2(),()22f x x g x x x ==+-，则()1,()22f x g x x ''==+．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，()f x 与()g x 不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设0x 为()f x 与()g x 的“S ”点，由00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，得200001ln 12ax x ax x⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“S ”点．因此，a 的值为e2． 【点睛】本题考查对新概念的理解与应用，考查分析能力与计算能力，难度不大.16．已知函数1()sin,2xf x x R =∈，记()1n f x +为()n f x 的导数，*n N ∈. （1）求()()23f x f x ，；（2）猜想(),*n f x n N ∈的表达式，并证明你的猜想.【答案】（1）()2122x f x cos =，()3142x f x sin =-（2）111()sin 222n n n x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由()1n f x +为()n f x 的导数，先求()n f x 的导函数，再求值即可；（2）由（1）猜想111()sin 222n n n x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】解：（1）因为()2xf x sin=，则()2122x f x cos =，()3142x f x sin =-， （2）猜想：111()sin 222n n n x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，()12xf x sin=，结论成立；②假设n k =（1k且*N k ∈）时，结论成立，即111()sin 222k k k x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当1n k =+时，11111()()cos 2222k k k k x f x f x π'+--⎛⎫==⨯+ ⎪⎝⎭ 11sin 2222k k x ππ-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (1)11(1)1sin 222k k x π+-+-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦. 所以当1n k =+时，结论成立.所以由①②可知对任意的*n N ∈结论成立.【点睛】本题考查了函数的导函数的求法，重点考查了数学归纳法，属中档题.。
尖子生培优讲座洛必达法则PPT课件
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3.运用洛必达和导数解2011年新课标理
当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，即 ln x 1 ln x k ， x 1 x x 1 x x 1 x
也即 k
x ln x x 1
1 x
x ln x x 1
2x ln x 1 x2
1，记
g(x)
2x ln x 1 x2
h(x)
0
，可
得
1 1 x2
h(x)
0
，从而当
x
0且
x
1时，
f
(x)
( ln x x 1
k) x
0 ，即
f
(x)
ln x x 1
k x
；
（ii）当 0 k 1时，由于当 x (1, 1 ) 时， (k 1)(x2 1) 2x 0，故 h '(x) 0 ，而 1 k
h(1)
0
，故当
.
9
1.洛必达法则
洛必达法则：设函数 f (x) 、 g(x) 满足：
（1） lim f (x) lim g(x) 0 ；
xa
xa
（2）在U o(a) 内，f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ；
（3） lim f (x) A （ A 可为实数，也可以是 ）. xa g(x)
x 1 x （Ⅰ）略解得 a 1， b 1.
（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法
由（Ⅰ）知 f (x) ln x 1 ，所以 f (x) ( ln x k ) 1 (2ln x (k 1)(x2 1)) .
x 1 x
x 1 x 1 x2
x
考虑函数 h(x)
2 ln
2021年高考数学(理)清北尖子生培优最新最全典题剖析：导数的综合应用(试卷+答案+全解全析)
2021学年高考数学（理）清北尖子生培优最新典型剖析：导数的综合应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·全国高三课时练习（理））当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--2．（2019·湖北东西湖华中师大一附中高三其他（理））已知函数()2ln 2,0,3,0,2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()1g x kx =-，()f x 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在()g x 的图像上，则k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04．（2020·河南南阳高三二模（理））已知函数()x xf x e =，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)e e-+∞B ．1(,)e e-+∞C ．1(,)e e-∞-D ．1(,)e e-∞-5．（2020·安徽屯溪一中高二期中（理））函数()ln xf x x e=-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 7．（2020·甘肃城关兰州一中高三三模（理））已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e --B ．2[,)e +∞C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞8．（2020·吉化第一高级中学校高三其他（理））已知函数18ln (,)y a x x e e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）A ．2[68ln 2,6]e --B ．2[6,)e -+∞C ．2110,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ D ．2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9．（2020·安徽金安六安一中高三其他（理））若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞10．（2020·陕西高三其他（理））已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,)4π B ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π。
专题1.1基本初等函数-2021年高考数学(文)尖子生培优题典(解析版)
②若 ，则 ；
③函数 在 内有且仅有3个零点；
其中，正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】由 得函数 关于点 中心对称，
又 ， ，
为 上的偶函数， ，
， ，
的周期为4，
当 时， 得 ，
又当 时， ，所以函数 图象如图：
由图知， ， ，故①正确；
所以当 时,函数 取得最小值 .
故答案为: .
13．（2020·河南高三月考（文））定义：若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 是函数 的“完美区间”.另外，定义区间 的“复区间长度”为 ，则函数 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为__________.
【答案】
【解析】解：设 的“完美区间”为 ，易知 .
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】.① 只满足值域是 ，且 ；③ 只满足在 上是增函数；④ 只满足在 上是增函数；② 是偶函数，在 上是增函数，但其值域是 .
故选：B.
6．（2020·广西高三一模（文））已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 单调递增，则（）.
A． B．
C． D．
【答案】B
所以 ，
又 ， ，所以
又函数 在 上单调递减，所以
故选：C
8．（2020·河南中原郑州一中高三其他（文））函数f（x） 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为f（﹣x） f（x），
所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，
又f（2） ，
因为 ，所以 ，所以f（2）＜0，排除选项D.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先根据 ，先求 ，再表示 ，通过设函数 ， ，利用导数求函数的最小值.
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件
－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.
5、力与直线运动：弹簧问题-2021-2022年度高考尖子生培优专题(解析版)
5、力与直线运动：弹簧问题一．两类模型(1)刚性绳(或接触面)——不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，其弹力立即消失，不需要形变恢复时间．(2)弹簧(或橡皮绳)——两端同时连接(或附着)有物体的弹簧(或橡皮绳)，特点是形变量大，其形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，其弹力的大小往往可以看成保持不变．2、求解瞬时加速度问题时应抓住“两点”(1)物体的受力情况和运动情况是时刻对应的，当外界因素发生变化时，需要重新进行受力分析和运动分析．(2)加速度可以随着力的突变而突变，而速度的变化需要一个过程的积累，不会发生突变．二、动态变化问题力与运动的关系：力→加速度→速度变化→（运动状态变化）(1)分析物体的运动性质，要从受力分析入手，先求合力，然后根据牛顿第二定律分析加速度的变化。
(2)速度增大或减小取决于加速度和速度方向间的关系，和加速度的大小没有关系。
(3)加速度如何变化取决于物体的质量和合外力，与物体的速度没有关系。
三、临界问题物体分离的临界条件时两物体间相互作用力为0例1、(2021·山东泰安模拟)如图，质量为1.5 kg的物体A静止在竖直的轻弹簧上，质量为0.5 kg的物体B由细线悬挂在天花板上，B与A刚好接触但不挤压．现突然将细线剪断，则剪断后瞬间A、B间的作用力大小为(g取10 m/s2)( )A．0 B．2.5 NC．5 N D．3.75 N【解析】当细线剪断瞬间，细线的弹力突然变为零，则B物体的重力突然作用到A上，此时弹簧形变仍不变，对AB整体受力分析受重力G＝(m A＋m B)g＝20 N，弹力为F＝m A g＝15 N，由牛顿第二定律G－F＝(m A＋m B)a，解得a＝2.5 m/s2，对B受力分析，B受重力和A对B的弹力F1，对B有m B g－F1＝m B a，可得F1＝3.75 N，D选项正确．【答案】 D针对训练1. (多选)如图所示，质量为m的小球被一根橡皮筋AC和一根绳BC系住，当小球静止时，橡皮筋处在水平方向上．下列判断中正确的是( )A ．在AC 被突然剪断的瞬间，BC 对小球的拉力不变B ．在AC 被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g sin θC ．在BC 被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g cos θD ．在BC 被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g sin θ【解析】：选BC ．设小球静止时BC 绳的拉力为F ，AC 橡皮筋的拉力为T ，由平衡条件可得：F cos θ＝mg ，F sin θ＝T ，解得：F ＝mgcos θ，T ＝mg tan θ.在AC 被突然剪断的瞬间，BC 上的拉力F 也发生了突变，小球的加速度方向沿与BC 垂直的方向且斜向下，大小为a ＝mg sin θm＝g sin θ，B 正确，A 错误；在BC 被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC 的拉力不变，小球的合力大小与BC 被剪断前拉力的大小相等，方向沿BC 方向斜向下，故加速度a ＝Fm＝gcos θ，C 正确，D 错误．【答案】 BC针对训练2、（多选）如图所示，在水平地面上的箱子内，用细线将质量均为m 的两个球a 、b 分别系于箱子的上、下两底的内侧，轻质弹簧两端分别与球相连接，系统处于静止状态时，弹簧处于拉伸状态，下端细线对箱底的拉力为F ，箱子的质量为M ，则下列说法正确的是(重力加速度为g )( )A ．系统处于静止状态时地面受到的压力大小为(M ＋2m )g －FB ．系统处于静止状态时地面受到压力大小为(M ＋2m )gC ．剪断连接球b 与箱底的细线的瞬间，地面受到的压力大小为(M ＋2m )g ＋FD ．剪断连接球b 与箱底的细线的瞬间，地面受到的压力大小为(M ＋2m )g【解析】 系统处于静止状态时，对整体进行受力分析，由平衡条件可得，地面对整体的支持力F N ＝(M ＋2m )g ，由牛顿第三定律可知地面受到的压力大小为(M ＋2m )g ，选项B 正确，A 错误；剪断连接球b 与箱底的细线瞬间，球b 向上加速运动，地面受到的压力大小为(M ＋2m )g ＋F ，选项C 正确，D 错误。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章 培优点6 极值点偏移
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章培优点6 极值点偏移极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.1.极值点偏移的概念已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有x0≠ ，这种情况称为极值点偏移.2.极值点偏移问题的一般题设形式(1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；题型一 对称化构造函数例1 (2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x e2－x.(1)求f(x)的极值；因为f(x)＝x e2－x，所以f′(x)＝(1－x)e2－x，由f′(x)>0，解得x<1；由f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝e，所以f(x)在x＝1处取得极大值e，无极小值.(2)若a>1，b>1，a≠b，f(a)＋f(b)＝4，证明：a＋b<4.由(1)可知，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，f(2)＝2，且a>1，b>1，a≠b，f(a)＋f(b)＝4，不妨设1<a<2<b，要证a＋b<4，只需证b<4－a，而b>2,2<4－a<3，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以只需证f(b)>f(4－a)，即证4－f(a)>f(4－a)，即证f(a)＋f(4－a)<4.即证当1<x<2时，f(x)＋f(4－x)<4，令F(x)＝f(x)＋f(4－x)，1<x<2，则F′(x)＝f′(x)－f′(4－x)＝(1－x)e2－x－e x－2(x－3)，令h(x)＝(1－x)e2－x－e x－2(x－3)，1<x<2，则h′(x)＝e2－x(x－2)－e x－2(x－2)＝(x－2)(e2－x－e x－2)，因为1<x<2，所以x－2<0，e2－x－e x－2>0，所以h′(x)<0，即h(x)在(1,2)上单调递减，则h(x)>h(2)＝0，即F′(x)>0，所以F(x)在(1,2)上单调递增，所以F(x)<F(2)＝2f(2)＝4，即当1<x<2时，f(x)＋f(4－x)<4，所以原命题成立.思维升华对称化构造函数法构造辅助函数(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x).(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞).可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝e＋1－a.又f(x)≥0，所以e＋1－a≥0，解得a≤e＋1，所以a的取值范围为(－∞，e＋1].(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.方法一 不妨设x 1<x 2，1211e 11x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1e xx令g (x )＝e x ＋x － －1(x >0)，1e xx 11e ex x +x ＝e x ＋1＋ (x >0)，11e 1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )<g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，F ′(x )>0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以F(x)<F(1)，方法二 (同构法构造函数化解等式)不妨设x 1<x 2，由f (x 1)＝f (x 2)＝0，得 －ln x 1＋x 1＝ －ln x 2＋x 2，11e x x 22e x x 即 ＋x 1－ln x 1＝ ＋x 2－ln x 2.11ln e x x －22ln e x x －因为函数y＝e x＋x在R上单调递增，所以x1－ln x1＝x2－ln x2成立.构造函数h(x)＝x－ln x(x>0)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0，所以h(x)在(0,1)上单调递减，题型二 比值代换例2 (2024·沧州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax－1(a∈R).若方程f(x)＋2＝0有两个实根x1，x2，且x2>2x1，求证：.(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)由题意知f(x)＋2＝ln x－ax＋1＝0，则有ln x1＋2ln x2>5ln 2－3，于是φ(t)在(2，＋∞)上单调递增，所以g′(t)>0，即函数g(t)在(2，＋∞)上单调递增，于是g(t)>g(2)＝5ln 2.思维升华比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.(1)讨论f(x)的单调性；当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)>0，解得x>a，令f′(x)<0，解得0<x<a，故f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.(2)若f(x)有两个不相同的零点x1，x2，设f(x)的导函数为f′(x).证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2.由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)至多有一个零点，不符合要求，故a>0，要想f(x)有两个不相同的零点x1，x2，则f(a)＝1＋ln a<0，要证x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2，即证ln(x1x2)>2ln a，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以只需证x1x2>a2，不妨设0<x1<x2，故h(t)>h(1)＝1－1－2ln 1＝0，能力提升1.(2023·洛阳联考)已知函数g(x)＝ln x－bx，若g(x)有两个不同的零点x1，x2.(1)求实数b的取值范围；由φ′(x)>0，得0<x<e；由φ′(x)<0，得x>e.所以函数φ(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.又φ(1)＝0，且当x→＋∞时，φ(x)→0；当x→0时，φ(x)→－∞，由于g(x)有两个不同的零点，则直线y＝b与函数φ(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点.(2)求证：ln x1＋ln x2>2.方法一 (比值代换法)由(1)知，不妨设1<x2<e<x1，由g(x1)＝g(x2)＝0，得ln x1－bx1＝0，ln x2－bx2＝0，两式相减得ln x1－ln x2＝b(x1－x2)，两式相加得ln x1＋ln x2＝b(x1＋x2).欲证ln x1＋ln x2>2，只需证b(x1＋x2)>2，所以h (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (t )>h (1)＝0，故ln x 1＋ln x 2>2，得证.方法二 (对称化构造法)由(1)知，不妨设1<x 1<e<x 2，令t 1＝ln x 1，t 2＝ln x 2，则0<t 1<1<t 2， ，1212e et t t t欲证ln x1＋ln x2>2，即证t1＋t2>2.所以k(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.当t2≥2时，易得t1＋t2>2；当0<t1<1<t2<2时，要证t1＋t2>2，即证1>t1>2－t2>0，即证k(t1)>k(2－t2).因为k(t1)＝k(t2)，所以即证k(t2)>k(2－t2).构造函数K(t)＝k(t)－k(2－t)(1<t<2)，易得K(1)＝0，因为1－t<0，且－t<t－2，所以e－t<e t－2，即K′(t)>0.所以K(t)在(1,2)上单调递增，K(t)>K(1)＝0(1<t<2).所以K(t2)>0，即k(t2)>k(2－t2).故ln x1＋ln x2>2，得证.2.(2023·聊城模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ (a∈R)，设m，n为两个不相等的正数，且f(m)＝f(n)＝3.(1)求实数a的取值范围；即a＝3x－x ln x有两个不相等的正根，令函数h(x)＝3x－x ln x，x>0，则h′(x)＝2－ln x，令h′(x)＝0，得x＝e2；令h′(x)>0，得0<x<e2；令h′(x)<0，得x>e2，所以函数h(x)＝3x－x ln x的单调递增区间为(0，e2)，单调递减区间为(e2，＋∞)，令h(x)＝0，得x＝e3，且h(e2)＝e2，当x→0时，h(x)→0，作出函数h(x)＝3x－x ln x的图象，如图所示，要使a＝3x－x ln x有两个不相等的正根，则函数y＝a与函数h(x)＝3x－x ln x有两个交点，由图知0<a<e2，故实数a的取值范围为{a|0<a<e2}.(2)证明：a2<mn<a e2.函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，0<a<e2，若0<x<a，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减，若x>a，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增.由题意，不妨设0<m<a<n，先证明mn>a2，所以g(x)在(0，a)上单调递增，所以当0<x<a时，g(x)<g(a)＝0，所以ln a＝ln m＋ln(3－ln m)，。