2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第2章 函数、导数及其应用 2-10
x2 3． [2018· 九江模拟]已知曲线 y＝ －3ln x 的一条切线的 4 1 斜率为－ ，则切点的横坐标为( 2 A．3
解析
)
B ．2
C．1
1 D. 2
x2 x 3 因为 y＝ －3ln x，所以 y′＝ － .再由导数的 4 2 x
x 3 1 几何意义，令 － ＝－ ，解得 x＝2 或 x＝－3(舍去)．故选 2 x 2 B.
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第2章
函数、导数及其应用
第10讲 导数的概念及运算
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板块一 知识梳理· 自主学习
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2．[课本改编]f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值等于( ) 19 16 13 10 A. B. C. D. 3 3 3 3
解析 因为 f′(x)＝3ax2＋6x，所以 f′(－1)＝3a－6＝ 10 4，解得 a＝ .故选 D. 3
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解析 因为 y′＝acosx－sin x，y′|x＝0＝a，根据题意知 a＝1.
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[必会结论] 1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也 不同． 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数， 周期函数的导数还是周期函数． 4． 函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化 趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变 化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
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4．[课本改编]若曲线 y＝ex＋ax＋b 在点(0,2)处的切线 l 与直线 x＋3 y＋1＝0 垂直，则 a＋b＝( A．3
解析
)
B ．－1
C．1
D ．－3
1 因为直线 x＋3y＋1＝0 的斜率为－ ，所以切线 3
l 的斜率为 3，即 y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以 a＝2；又 曲线过点(0,2)，所以 e0＋b＝2，解得 b＝1.故选 A.
fx f′xgx－fxg′x (3) (g(x)≠0)． 2 ′＝ [gx] gx
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考点 4
复合函数的导数
设函数 u＝φ(x)在点 x 处有导数 u′＝φ′(x)，函数 y＝ f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y′＝f′(u)，则复合函数 y ＝f[φ(x)]在点 x 处也有导数 y′x＝f′u· u′x，即 y 对 x 的导 数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
1 1 (4)若(ln x)′＝ ，则 ′＝ ln x． ( × ) x x
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(5)y＝cos3 x 由函数 y＝cosu，u＝3 x 复合而成．( √ )
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5． [2018· 秦皇岛模拟]函数 f(x)＝ex ln x 在点(1， f(1))处的 切线方程是( ) B．y＝ex－1 D．y＝x－e
1 x＋ ，∴f′(1)＝e，∴ x
A．y＝2e(x－1) C．y＝e(x－1)
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考点 2
基本初等函数的导数公式
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考点 3
导数的运算法则 ； f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
若 y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则 f′(x)± g′(x) (1)[f(x)± g(x)]′＝ (2)[f(x)· g(x)]′＝
解析
f(1)＝0，∵f′(x)＝ex ln
切线方程是 y＝e(x－1)．故选 C.
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6．[2018· 烟台诊断]已知曲线 y＝asin x＋cosx 在 x＝0 处 1 的切线方程为 x－y＋1＝0，则实数 a 的值为________ ．
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.
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2．几何意义 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y ＝f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移 函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值．( √ ) π π (3)sin ′＝cos .( × ) 3 3
[必备知识] 考点 1 1．定义 称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
Δy ＝ lim 为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 Δx→0 Δx
的导数，记作 f′(x0)或 y′| x＝x0， fx0＋Δx－fx0 lim Δy Δx 即 f′(x0)＝ lim ＝ Δx→0 Δx→0 Δx
2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第2讲函数的表示法课时作业理.docx
第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才，则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式；(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义：如果函数y=f{x)在定义域内给定区间［曰,b］上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是［幼方］上的“平均值函数”，心是它的一个“均值点”.如尸=/是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间［0,9］上是否为平均值函数.若是，求岀它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数#+/加+1是区I'可［―1, 1］上的平均值函数，试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析：设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析：将f(2力表示出来，看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x)；对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ；对 于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析：由y=f(x)的图象，得当x=4和x=9时，胪的面积相等，:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中，AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析：仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1，f(3)=—「，g(O)= — l ・ 显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析：f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解：⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・：曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二，如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此，得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄，得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知，关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是［0, 9］上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)［曲=—1年(0, 9),故舍去］,・・・f3 =—芒+心是［0, 9］上的平均值函数，5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是［一1, 1］上的平均值函数，・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点，即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。
2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算
2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。
2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第2章 函数、导数及其应用 2-10a
板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．若f (x )＝e 2x ln 2x ，则f ′(x )＝( )A ．e 2x ln 2x ＋e 2x 2xB ．e 2x ln 2x ＋e 2x xC ．2e 2x ln 2x ＋e 2x xD ．2e 2x·1x 答案 C解析 f ′(x )＝(e 2x )′·ln 2x ＋e 2x ·(ln 2x )′＝2e 2x ln 2x ＋e 2x x .故选C.2．[2018·海南文昌中学模拟]曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1答案 A解析 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.故选A.3．[2018·大同模拟]已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 A解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1， ∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 B解析 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln (x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln (x 0＋a )．又曲线的导函数y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln (x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.5．[2018·金版创新]已知f (x )＝－12x 2＋2xf ′(2017)＋2017ln x ，则f ′(1)＝( )A ．2016B ．6045C ．2017D ．6048答案 D解析 因为f ′(x )＝－x ＋2f ′(2017)＋2017x ，所以f ′(2017)＝－2017＋2f ′(2017)＋20172017，即f ′(2017)＝2017－1＝2016.故f ′(x )＝－x ＋2×2016＋2017x ，f ′(1)＝－1＋2×2016＋2017＝6048.故选D.6．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．5D ．－1答案 A解析 由题意可得3＝k ＋1,3＝1＋a ＋b ，则k ＝2.又曲线的导函数y ′＝3x 2＋a ，所以3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝3，所以2a ＋b ＝1.故选A.7．[2018·上饶模拟]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3答案 B解析 因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.8．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.答案 1解析 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f ′(x )＝3ax 2＋1，所以f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.9．直线x －2y ＋m ＝0与曲线y ＝x 相切，则切点的坐标为________．答案 (1,1)解析 ∵y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x － 12 ，令y ′＝12x － 12 ＝12，则x ＝1，则y ＝1＝1，即切点坐标为(1,1)．10．[2018·江苏模拟]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b 2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.[B 级 知能提升]1．[2018·南昌模拟]已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2．曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2， ∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3．[2018·陕西模拟]设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k ＝1，又曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y ＝1x 上，所以b ＝1，故P (1,1)．4．已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．解 (1)f ′(x )＝1－a e x ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－a e ＝0，解得a ＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋1e x 0＝kx 0－1，①f ′(x 0)＝1－1e x 0＝k ，②①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0.若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e.∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1.5．[2018·苏州十校联考]设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。
2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第2章 函数、导数及其应用2-3
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板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( × ) (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件．( √ )
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板块三
解析 设 g(x)＝xf(x)．因为 f(－x)＝－f(x)，所以 g(－x) ＝－xf(－x)＝xf(x)， 所以 g(－x)＝g(x)，所以 B 正确．
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
4．[课本改编]若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，
1 0 3 定义域为[a－1,2a]，则 a＝________ ，b＝________.
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板块一
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
3．对称性的三个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则 函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝ f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (3)若函数 y＝f(x＋b )是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b) ＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
2． [2017· 北京高考]已知函数 f(x)＝3 A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数
2019高考数学(理)增分一轮全国经典版课件：第2章 函数、导数及其应用2-5
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意 义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a · a ＝a
r s r＋s
(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
考点 2
指数函数及其性质
1．指数函数的概念 x y ＝ a (a>0 且 a≠1) 叫做指数函数，其中指数 x 函数 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数． 说明： 形如 y＝kax， y＝ax 的函数叫做指数型函数．
4．[2018· 吉林模拟]已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75 ， 则( ) A．a>b>c
解析
B．a>c>b
C ．c>a>b
D．b >c>a
由 0.2<0.75<1 ， 并 结 合 指 数 函 数 的 图 象 可 知
0.40.2>0.40.75， 即 b>c； 因为 a＝20.2>1， b＝0.40.2<1， 所以 a>b. 综上， a>b>c.
)
1 2
b
3 － 2
3 5 －1 － )＝－ a 2 · b 2 4
5 1 5 ab ＝－ · ＝－ 2. 3 4 ab 4ab (3)原式＝ (a ＝ a÷ a＝1.
9 2
a
－
3 2
)
1 3
÷ (a
7 － 3
a
13 3
)
1 2
＝ (a )
3
1 3
÷ (a )
2
1 2
触类旁通 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分 数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式 表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既 有分母又含有负指数，形式力求统一．
2019版高考数学理培优增分一轮全国经典版增分练：第2
板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·陕西模拟]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( ) A ．－1 B.14 C.12 D.32 答案 C解析 ∵f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝12.选C.2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x答案 C解析 依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．[2018·广东深圳]函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( ) A ．(－2,1) B ．[－2,1] C ．(0,1) D ．(0,1]答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0且ln x ≠0，解得0<x <1.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－13答案 C解析 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1，所以实数x 0的值为－1或1.5．[2018·安徽黄山质检]已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( )A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1答案 A解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝－1时，b 无解，k ＝1时，b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.故选A.6．[2018·衡水中学调研]已知函数f (x )对任意实数x 满足f (2x －1)＝2x 2，若f (m )＝2，则m ＝( )A ．1B ．0C ．1或－3D ．3或－1答案 C解析 令2x －1＝t 可得x ＝12(t ＋1)，故f (t )＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f (m )＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.7．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54 C ．－34 D ．－14 答案 A解析 由于2x －1－2>－2，故由f (a )＝－3可得－log 2(a ＋1)＝－3，所以a ＝7，从而f (6－a )＝f (－1)＝－74.8．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，f (x ＋1001)＝2f (x )＋1，已知f (15)＝1，则f (2017)＝________.答案 1解析 根据题意，f (2017)＝f (1016＋1001)＝2f (1016)＋1，f (1016)＝f (15＋1001)＝2f (15)＋1，而f (15)＝1，所以f (1016)＝21＋1＝1，则f (2017)＝2f (1016)＋1＝21＋1＝1.9．已知函数f (x )＝ln (－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )定义域为(－1,0)． ∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.10．[2018·榆林模拟]已知f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．答案 [－4,2] 解析由题意知⎩⎨⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]．[B 级 知能提升]1．[2018·湖北武汉调研]已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝( )A ．－72 B.92 C.72 D ．－92 答案 C解析 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，②联立①②解得f (－2)＝72.故选C.2．若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 答案 D解析 要使函数的定义域为R ，则ax 2－4ax ＋2>0恒成立． ①当a ＝0时，不等式为2>0，恒成立； ②当a ≠0时，要使不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(－4a )2－4·a ·2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a (2a －1)<0，解得0<a <12. 由①②得0≤a <12.故选D.3．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)f (x )>2的解集是________．答案 {x |x <－3或x >1}解析 ①当x >0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x >1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x <0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}．所以不等式(x ＋1)f (x )>2的解集为{x |x <－3或x >1}．4．[2018·广东三校联考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f [f (a )]≤3，求实数a 的取值范围．解 令f (a )＝t ，则f (t )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3， 解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]． 5．[2017·北京海淀期末]已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值范围．解 (1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2.(2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如下：由图象可得实数m∈(－1,1)．。
2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第2章 函数、导数及其应用2-1a
ax＋1 2．若函数 y＝ 的定义域为 R，则实数 a 2 ax －4ax＋2 的取值范围是(
1 A.0， 2 1 C.0， 2
)
1 B.0， 2 1 D.0， 2
2
3.
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
7 ． [2015· 全 国 卷 Ⅰ ] 已 知 函 数
x－1 2 －2，x≤1， － log2 x＋1 ，x>1，
f(x) ＝
且 f(a)＝－3，则 f(6－a)＝(
)
7 5 3 1 A．－ B．－ C．－ D．－ 4 4 4 4
解析 由于 2
x－ 1
－2>－2，故由 f(a)＝－3 可得－log2(a
7 ＋1)＝－3，所以 a＝7，从而 f(6－a)＝f(－1)＝－ . 4
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
2 8． 已知函数 f(x)对任意的 x∈R ， f(x＋1001)＝ ， fx＋1
1 已知 f(15)＝1，则 f(2017)＝________.
2 －x －x＋2≥0， 由题意得 解得 0<x<1.故选 C. x>0且ln x≠0，
5
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
2x＋1，x≥0， 4．已知函数 f(x)＝ 2 且 f(x0)＝3，则实 3x ，x<0，
数 x0 的值为( A．－1 C．－1 或 1
) B．1 1 D．－1 或－ 3
2
高考一轮总复习 ·数学[ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ] （经典版）
解析 选 C.
1 1 ∵f(－2)＝2 ＝ ， ∴f[f(－2)]＝f ＝ 1－ 4 4
2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第2章 函数、导数及其应用2-1
1 1 － ，又由 f(2x＋1)有意义，解得－1<x<－ ，所以可知 g(x) 3 2
2 1 的定义域为－ ，－ . 3 2 17Fra bibliotek板块一
板块二
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板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
若本例(2)中条件变为：“函数 f(x－1)的定 义域为(－1,0)”，则结果如何？
[必会结论] 1．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与 x 轴垂 直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点． 2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对 应关系完全一致． 3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集， 其值域等于各段函数的值域的并集， 分段函数虽由几个部分 组成，但它表示的是一个函数．
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
5．已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，则函 [－1,2] ． 数 y＝f(x)的定义域为________
解析 ∵y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]， ∴x∈[－ 3， 3]，x2－1∈[－1,2]， ∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
A．[1,10] C．(1,10]
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
解析
要使函数 f(x)有意义，
－ 1≤x≤10， 即x>1， x≠2，
10＋9x－ x2≥0， 则 x 需满足x－1>0， lg x－ 1≠0，
所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]．故选 D.
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2019版高考数学理高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、
2．7函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|；②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称． (3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( ) (3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修A1P75T10)函数y＝lg |x－1|的图象大致为()答案 B解析y＝lg |x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.(2)(必修A1P113B组T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD 是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x ＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()答案 C解析由函数的图象可知，－1<b<0，a>1，则g(x)＝a x＋b为增函数，当x＝0时，y＝1＋b>0，且过定点(0,1＋b)．故选C.题型1函数图象的画法作出下列函数的图象：典例1(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.用图象变换作图．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2(2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．用数形结合法．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，所以abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)．故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．见冲关针对训练(1)．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．见典例1.3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ；当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x ＝10lg 1x ＝1x .故y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图). 题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例(2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x根据图象奇偶性及变化趋势用排除法．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例 (2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法，导数法．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法．答案 C解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位臵；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．见角度1典例．2．由解析式确定函数图象的判断技巧：(1)由函数的定义域，判断图象左右的位臵，从函数的值域，判断图象的上下位臵；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a 2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合，故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝x ln x答案 C解析A中，∵y＝2x－x2－1＝2x－(x2＋1)，当x趋向于－∞时，2x的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x趋向于－∞时，函数y＝2x－x2－1的值趋向于－∞，∴A中的函数不符合；B中，当x>0时，y＝2x sin x4x＋1有无数个零点，与图象不符合；D中，y＝xln x的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D中函数不符合．故选C.题型3函数图象的应用角度1利用函数图象求解不等式(多维探究)典例(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}用数形结合法．答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.[条件探究] 若本例中条件变为：关于x 的不等式f (x )≥log 2(x ＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]．角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例(2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8根据函数周期性用数形结合．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．见角度1典例．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．见冲关针对训练1.冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 B解析 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x (x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎨⎧ y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)，故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D.3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时，易求得P A ＋PB ＝1＋5；当点P为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得P A ＋PB ＝2P A ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B 、C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6， 故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4，故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数若关于x的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x 2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x 2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x 是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A 、B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析由于f(x)＝x cos x，∴f′(x)＝cos x－x sin x，当x＝0时，f(0)＝0，f′(0)＝1，排除B、D；当f′(x)>0时，f(x)是增函数，曲线是上升的，f′(x)<0时，f(x)是减函数，曲线是下降的，判断出C是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2 B．4 C．6 D．8答案 D解析图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y＝11－x与y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象，y＝－1x－1的对称中心是(1,0)，也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，当－2≤x≤4它们的图象在x＝1的左侧有4个交点，则x＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，所以选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案 (5－26，1)∪{－3＋22}解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。
2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第2章 函数、导数及其应用2-4a
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8．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2 在[－5,5]上是单调函数， (－∞，－5]∪[5，＋∞) ． 则实数 a 的取值范围是_______________________
解析 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，图象的对称轴为 x＝－a， 由题意可知－a≥5 或－a≤－5，解得 a≤－5 或 a≥5.
大致图象如图所示． 由 f(m)＜0，f(－1)＝f(0)＝a>0，得－1＜m＜0， 1 ∴m＋1＞0， 又∵x>－ 时 f(x)单调递增， ∴f(m＋1)＞f(0) 2 ＞0.
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7．[2017· 浙江高考]若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[0,1] 上的最大值是 M，最小值是 m，则 M－m ( A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关 解析 解法一：设 x1，x2 分别是函数 f(x)在[0,1]上的最
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6．[2018· 吉林松原月考]设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)， 已知 f(m)＜0，则( A．f(m＋1)≥0 C．f(m＋1)＞0 ) B．f(m＋1)≤0 D．f习 ·数学[理] （经典版）
解析
1 ∵f(x)的对称轴为 x＝－ ，f(0)＝a＞0，∴f(x)的 2
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9．[2018· 合肥模拟]若函数 f(x)＝ 2x [－1,0] ． 域为 R，则 a 的取值范围为________