对数函数图象的平移和变换
指数、对数函数基本知识点
基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.且图象过定点，即当时，变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).，那么①加法：②减法：③数乘：⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.补充：函数1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A 中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。
对数函数图象平移(优秀)PPT资料
将函数y＝log3x的图象向下平移2个单位， 5x|的图象，说出二者的关系．
于y轴右侧局部，而将位于y轴右侧局部作关于y 即得y＝log3x－2的图象.
(2)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝log2(－x)的图象，并说明二者之间关系．
例1 ．如下图曲线是对数函数y＝logax的图
像，a值取0.2，0.5， 1.5，e，那么相应于C1，
C2，C3，C4的a的值依次
为
．
y
C1
O 1
C2 x
C3
C4
数学探究：
例2．分别将以下函数与y＝log3x的图象在同
一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
(1) y＝log3(x－2)；
y
(2) y＝log3(x＋2)；
对数函数图象平移
情境问题：
对数函数的定义： 函数y＝logax (a＞0，a≠1)叫做对数函 数．对数函数的定义域为(0，＋)，值域 为R ． 对数函数的图象和性质： 对数函数的图象恒过点(1，0)， 当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋) 上递减； 当a＞1时，对数函数在(0，＋)上递 增．
数学应用：
数学应用：
(2)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y ＝log2(－x)的图象，并说明二者之间关系．
y y＝log2(－x)
y＝log2x
x O
将函数y＝log2x的图象作关于y对称的图象， 即为函数y＝log2(－x)的图象．
数学应用：
(3)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与 y＝－log2x的图象，并说明二者之间关系．
O
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
指数函数对数函数图像变换
设奇函数 f(x) 的定义域为[-5, 5], 若当x∈[0, 5]时, f(x)的图象如右图所
示. 则不等式 f(x)<0 的解集
是 (-2, 0)∪(2, 5]
.
y
o 2
x 5
函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 Y=f f((x12)的图x象)关于 fx (1212对x称) ，则
f (1 ) f ( 1 ) f ( 3 ) ————
第二象限，则实数m的取值范围是
________.
(2)若0<a<1,b<-1,则函数 f ( x) a x b 的图
象不经过第______象限. （3）函数 y log3(x 1) 的图象经过的象限有
________.
1.若函数y=ax+(b-1)（a>0,且a≠ 1）的图象不经 过第二象限，则有（ ）
1.函数 y=2-x 的图象向右平移 2 个单位
得函数__y_=_2_-x_+2_____的图象. y=2-(x-2)
2.函数y=log2(3x-1)的图象左移2个单
位得函数__y_=_lo_g_2_(3_x_+_5_)__ 的图象.
y=log2[3(x+2)-1]
练习:
（1）要使函数 y 2x1 m 的图象不经过
y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x)
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=|f(x)|
y f 1(x)
f
(|
x
|)
f (x),(x 0) f (x),(x 0)
对数函数的图象及性质--优质获奖精品课件 (12)
即0<x<3， y>1.
因为lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)，
所以lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，即lgy＝3x·(3－x)， 所以f(x)＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x，其中0<x<3，
即定义域为(0,3)．
(2)令u＝－3x2＋9x＝－3x－322＋247，0<x<3. 因为0<－3x2＋9x≤247， 所以1<y≤10247， 所以f(x)的值域为(1,10247]．
把本例(1)变成“y＝ log122－x”求定义域．
【解】 由题意可知
log122－x≥0， 2－x>0，
∴log122－x≥log121， 2－x>0，
∴22－－xx≤>01，， 即1≤x<2.
故函数y＝ log122－x的定义域为{x|1≤x<2}.
因忽略对数函数的定义域致误 设函数y＝f(x)，且lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)． (1)求f(x)的表达式及定义域； (2)求f(x)的值域．
D．[0,1]
【解析】 因为y＝ xln(1－x)，所以x1≥－0x，>0 ， 解得0≤x<1.
【答案】 B
3．函数y＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________． 【解析】 当x＝2时，y＝1，故恒过定点(2,1)． 【答案】 (2,1)
4．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋x－1 3； (2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
2．函数图象的平移变换规律：
3．函数图象的对称变换规律：
函数y＝ fx的图象
―y并―轴“―左复―侧制―图―”象―一去―份掉―翻，―到―右y―侧轴―保左―留侧→
对数函数的性质与图像(对数函数图像及其性质的应用)(课件)-高一数学(人教B版2019必修第二册)
a>1
时，f(x)＝loga
x＋1 x－1
的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当 0<a<1 时，f(x)
＝loga xx＋－11的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递减区间.
课堂练习 【训练 1】若 a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
课堂总结
对数型函数 y＝logaf(x)性质的研究
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
常见题型：解对数不等式 【典例】若－1<loga34<1(a>0 且 a≠1)，求实数 a 的取值范
围. 【解析】∵－1<loga34<1，∴loga1a<loga34<logaa.
当 a>1 时，0<1a<34<a，则 a>43；当 0<a<1 时，1a>34>a>0，
5.3 对数函数(第1课时 对数函数的概念、图象和性质)2024-2025学年高一上北师版必修1
3.反函数
指数函数y=2x和对数函数x=log2y刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不
同的是:在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;而在对数
函数x=log2y中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).我们称对数函数
规律方法
定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式
被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;
三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
探究点四
对数函数的图象
【例4】 函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0
性质 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数
(5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
当x值趋近于正无穷大时,函数值
趋近于正无穷大;
A.-7
B.-9
C.-11
D.-13
解析 由题意知f(x)=2x,
故当x>0时,g(x)=2x+x2.
∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.
∴g(-1)+g(-2)=-11.
探究点三
与对数函数有关的定义域、值域问题
对数函数像变换求对数函数像的平移伸缩与反转
对数函数像变换求对数函数像的平移伸缩与反转对数函数是数学中的一种常见函数形式，广泛应用于各个领域，例如物理学、经济学和计算机科学等。
在图像处理和数据分析中，对数函数的变换常常用于对数据进行压缩、扩展或反转。
本文将重点探讨对数函数像的平移、伸缩以及反转的计算方法和应用。
1. 对数函数基本概念对数函数是指以某个正数为底的对数的函数，常用表示为f(x) =loga(x)，其中a为底数，x为定义域内的正实数。
当底数a大于1时，对数函数为增函数，即随着自变量的增加，函数值也会增加；当底数a介于0和1之间时，对数函数为减函数，即随着自变量的增加，函数值会减小。
2. 对数函数像的平移对数函数的平移可以通过改变函数中的参数实现，具体而言，对于f(x) = loga(x)来说，当x加上某个常数h时，函数图像沿x轴方向左移h个单位，记为f(x - h)。
同样地，对于f(x) = loga(x)来说，当f(x)加上某个常数k时，函数图像沿y轴方向上移k个单位，记为f(x) + k。
通过平移操作，对数函数的图像可以在坐标系中移动到新的位置。
3. 对数函数像的伸缩对数函数的伸缩可以通过改变函数中的参数实现，具体而言，对于f(x) = loga(x)来说，若将x替换为x/c，则函数图像沿x轴方向压缩c倍，记为f(x/c)；若将f(x)替换为c*f(x)，则函数图像沿y轴方向伸缩c倍，记为c*f(x)。
通过伸缩操作，可以改变对数函数图像的形状和大小。
4. 对数函数像的反转对数函数的反转可以通过对函数图像应用一定的操作实现，具体而言，对于f(x) = loga(x)来说，将其应用到1/x上，则函数图像将关于直线y = x对称。
这意味着函数图像中的点(x, f(x))的镜像点为(f(x), x)。
通过反转操作，可以使对数函数图像发生关于直线y = x的对称变换。
5. 对数函数像变换的应用对数函数像变换在实际应用中具有广泛的用途。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数专题：对数函数图象的平移和变换（2）
探究：如何画)1(log 2+=x y 的图象？
)1(log 2+=x y 的图象可以由对数函数图象经过变换而得到：
→=x y 2log )1(log 2+=→x y
新知：1．对数函数图象的变换（c a a ,10≠>且为常数）.
① 左右平移变换. （针对x 变量的变化：符合口诀“左加右减”）
x y a log =−−−−−−−−−−−−−
→−) ()(log c x y a +=. ② 上下平移变换.（针对y 变量的变化：符合口诀“上加下减”）
x y a log =−−−−−−−−−−−−−
→−) (c x y a +=log . ③ x y a log =与)(log x y a -=的图象关于 y 轴 对称.
x y a log =与x y a log -=的图象关于x 轴 对称.
x y a log =与)(log x y a --=的图象关于原点中心对称.
④ x y a log =−−
−−−−−−−−−−−−−−→−)
(x y a log =. 解析说明：针对x 加绝对值，图像关于y 轴对称。
⑤ x y a log =−−
−−−−−−−−−−−−−−→−) (x y a log =. 解析说明：针对y 加绝对值，图像关于x 轴对称。
总结结论：函数图像的变换总是连接函数的两大主角同时出现，就像自变量与函数值不可分离又相互对应一样。
所以，当我们看到x 身上发生变化时，那一定出现了关于y 的变换。
反之，也成立。