关于函数对称性的几个结论
抽象函数的对称性常用结论
抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称：如果函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等.例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2m n x +=对称.2.中心对称：若函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称.例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,22m n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（）A.()()()112f f f ->> B.()()()121f f f >>-C.()()()121f f f ->> D.()()()211f f f >->【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->>【答案】C【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________.【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=，由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【答案】3【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则()()23f f +=_______.【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()()()132022f f f f ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=.【答案】0【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______.【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f +++ =（）A.50- B.0 C.2 D.50【解析】因为()f x 是奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故()()()3112f f f =-=-=-，在()()11f x f x -=+中取1x =-知()()200f f ==，又()()400f f ==，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=，故()()()1250f f f +++ ()()()()()()()()145845484950f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()4950122f f f f =+=+=.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题()f x 的周期为4.【例6】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=，当[]1,0x ∈-时，()f x x =，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和()1,0，故其周期为2，所以91112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】12【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数()y f x =满足()()40f x f x +--=()x ∈R ，且()f x 在[)2,+∞上为减函数，则（）A.()()()22log 3log 5.13f f f >> B.()()()22log 5.1log 33f f f >>C.()()()22log 5.13log 3f f f >> D.()()()22log 33log 5.1f f f >>【解析】()()()40f x f x f x +--=⇒的图象关于2x =对称，结合()f x 在[)2,+∞上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故()()()223log 3log 5.1f f f <<.【答案】B2.函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当[)1,x ∈+∞时，()1122x x f x e e x --=--+，则（）A.()()()121f f f <<- B.()()()211f f f <-<C.()()()121f f f -<< D.()()()112f f f -<<【解析】()()()()213f x f x f f =-⇒-=，当1x ≥时，()11220x x f x e e --'=+-≥-=，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，故()()()()1231f f f f <<=-.【答案】A3.已知函数()f x 满足()()20f x f x ---+=()x ∈R ，若函数()22y x x f x =+-共有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=________.【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x ---+=⇒-=-+⇒的图象关于1x =-对称，()()22202x x f x x x f x +-=⇔+=，而22y x x =+的图象也关于1x =-对称，故它们的交点也关于1x =-对称，所以1233x x x ++=-.。
函数对称性和周期性的一些重要结论
函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。
其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。
自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。
满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。
常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。
周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。
3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。
两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。
如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。
高中数学《函数对称性》重要结论—优享文档
高中数学《函数对称性》重要结论二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
新人教版高考数学一轮复习对称性与周期性的二级结论
故f(x)=0在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知在[0,2 023]上有406个解,在[-2
023,0]上有404个解.所以方程f(x)=0在闭区间 −2 023,2 023 上根的个数为810.
复习导学案
培优增分 拓展提升课三
对称性与周期性的二级结论
2
【结论总结】
一、函数的对称性相关结论
1.同一个函数的自身对称
结论❶:若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)或f(x)=f(a+b-x),则函数y=f(x)的图象关于直
+
线x= 对称.
2
[说明]轴对称问题:
( + ) = (−)
2
结论❹:函数y=f(x)与y=-f(2a-x)+2b的图象关于点A(a,b)成中心对称.
5
二、函数周期性的结论
1.函数周期性的常用结论
结论❺:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;
结论❻:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;
结论❼:若f(x+a)+f(x)=c(a≠0),则f(x)的一个周期为2a;
结论❽:若f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),则f(x)的一个周期为6a;
结论❾:若f(x+a)=
1
()
结论
:若f(x+a)=-
,则f(x)的一个周期为2a;
1
()
,则f(x)的一个周期为2a.
6
2.由对称性推得周期
结论
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
有关函数对称性的几个重要结论
有关函数对称性的几个重要结论函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一函数自身的对称性［重要结论1］函数y＝f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）＋f（2a－x）＝2b。
证明：（必要性）设点 P（x，y）是 y＝f（x）图像上任一点，∵点 P（x，y）关于点 A（a，b）的对称点P’（2a－x，2b－y）也在 y＝f（x）图像上，∴ 2b－y＝f（2a－x）。
即 y＋f（2a－x）＝2b，故 f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。
（充分性）设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。
∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，∴f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即 2b－y0＝f（2a－x0）。
故点P’（2a－x0，2b－y0）也在 y＝f（x）图像上，而点 P与点P’关于点 A（a，b）对称，充分性得征。
推论 1：函数 y＝f（x）的图像关于原点 O对称的充要条件是 f（x）＋f（－x）＝0。
［重要结论 2］函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称的充要条件是：f（a＋x）＝f（a－x），即 f（x）＝f（2a－x）（证明同上）推论 2：函数 y＝f（x）的图像关于 y轴对称的充要条件是 f（x）＝f（－x）［重要结论 3］（1）若函数 y＝f（x）图像同时关于点 A（a， c）和点 B（b，c）成中心对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。
（2）若函数 y＝f（x）图像同时关于直线 x＝a和直线 x＝b成轴对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。
有关函数对称性的几个重要结论
有关函数对称性的几个重要结论作者：赵建刚来源：《学园》2010年第05期函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一函数自身的对称性[重要结论1]函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b。
证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P’(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,∴2b-y=f(2a-x)。
即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)。
∵f(x)+f(2a-x)=2b,∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0)。
故点P’(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P’关于点A(a,b)对称,充分性得征。
推论1:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0。
[重要结论2]函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)(证明同上)推论2:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)[重要结论3](1)若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
(2)若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
抽象函数对称性的几个结论及其应用
抽象函数对称性的几个结论及其应用1. 反演对称性（Inversion Symmetry）反演对称性是指函数在空间中经过一些点的反演之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称其具有反演对称性。
这种对称性常用于描述物理系统中的对称性，比如平面镜对称、球面镜对称等。
应用中常用反演对称性简化问题的求解过程，例如在研究电磁波传播时，通过利用反演对称性可以简化波动方程的求解。
2. 平移对称性（Translation Symmetry）平移对称性是指函数在空间中进行平移操作之后保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x+a)=f(x)，其中a为任意实数，则称其具有平移对称性。
平移对称性在物理学中有广泛的应用，例如在研究周期性现象时，可以通过引入平移对称性简化问题的求解过程，如布洛赫定理在固体电子理论中的应用。
3. 旋转对称性（Rotation Symmetry）旋转对称性是指函数在空间中进行旋转操作之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(Rx)=f(x)，其中R为旋转矩阵，则称其具有旋转对称性。
旋转对称性在几何学和物理学中非常重要，例如在研究物体的形状、电磁场分布等问题时，可以通过引入旋转对称性简化问题的求解过程。
4. 对偶对称性（Duality Symmetry）对偶对称性是指函数在一些操作下可以与其对偶函数互相转换的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的变换关系f(x)=g(x)，其中g(x)为f(x)的对偶函数，则称其具有对偶对称性。
对偶对称性在数学和物理学中有广泛的应用，例如在研究波动现象时，可以通过引入对偶对称性简化问题的求解过程。
5. 微分对称性（Differential Symmetry）微分对称性是指函数在一些微分操作下保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的微分方程f''(x)=-f(x)，则称其具有微分对称性。
微分对称性在数学和物理学中有重要的应用，例如在研究自然界中的自旋系统、波动现象等问题时，可以通过引入微分对称性简化问题的求解过程。