人教版高中数学选修4-5：第二讲2.3反证法与放缩法含解析
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得
f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，
或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的．
1 1 1 1 4．设 n 是正整数，求证： ≤ ＋ ＋„＋ ＜1. 2 n＋1 n＋2 2n
证明：由 2n≥n＋k＞n(k＝1,2，„，n)， 1 1 1 得 ≤ ＜ . 2n n＋k n 1 1 1 当 k＝1 时， ≤ ＜n； 2n n＋1 1 1 1 当 k＝2 时， ≤ ＜ ； 2n n＋2 n „ 1 1 1 当 k＝n 时， ≤ ＜ ， 2n n＋n n ∴将以上 n 个不等式相加得： 1 n 1 1 1 n ＝ ≤ ＋ ＋„＋ ＜ ＝1. 2 2n n＋1 n＋2 2n n
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，
唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”， “至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准 确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，
在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 A．a，b，c均不为0
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．Fra bibliotek2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������) > 12.
������ ������ 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ������+1
+
������+1 2+…+21������<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
������+1
+
������+1 2+…+21������的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的 范围.
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证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.
人教新课标A版高二数学《选修4-5》第二讲 三 反证法与放缩法
1 1 1 3．求证： ＋ ≤1＋ . 1＋|a| 1＋|b| 1＋|a＋b|
1＋|b|＋1＋|a| 1 1 证明：∵ ＋ ＝ 1＋|a| 1＋|b| （1＋|a|）（1＋|b|） 1＋|a|＋|b|＋1 1＋|a|＋|b|＋1 ＝ ≤ 1＋|a|＋|b|＋|ab| 1＋|a|＋|b| 1 1 ＝1＋ ≤1＋ . 1＋|a|＋|b| 1＋|a＋b|
2n－1 1 3 5 3．求证： ＋ ＋ ＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2n－1 1 3 5 证明：设 S＝ ＋ ＋ ＋…＋ n ， 2 4 8 2 1 将等式两边乘以 得 2 2n－1 1 1 3 5 S＝ ＋ ＋ ＋…＋ n＋1 . 2 4 8 16 2
将两式相减得 2n＋3 1 2n－1 1 1 1 1 1 1 S＝ ＋24＋8＋16＋…＋2n－ n＋1 ＝ ＋1－ n＋1 . 2 2 2 2 2 2n＋3 2n＋3 ∴S＝3－ n ，又 n >0， 2 2 2n－1 1 3 5 ∴S<3，即 ＋ ＋ ＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2 2 n ＋ 1 （ n ＋ 1 ） 1 3 5 < ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ 2 2 2 2 2
n ∴
n＋1 （n＋1）2 <Sn< . 2 2
反思感悟：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放 缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时 要注意适度，否则不能同向传递．
1 1 1 2．求证：1＋ 2＋ 2＋…＋ 2<2 (n∈N+)． 2 3 n
立．
1＋y 1＋x 1．已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证： 与 中至少有 x y 一个小于 2.
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.3 反证法与放缩法
栏 目 链 接
1 1 同理，(1－b)b≤ ，(1－c)c≤ ， 4 4 1 ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ ，与假设矛盾． 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于 . 4 1 证法二 假设三式同时大于 . 4 ∵0＜a＜1，∴1－a＞0， －a ＋b 1 1 ≥ －a b＞ ＝ . 2 4 2 －b ＋c －c ＋a 1 同理 ， 都大于 . 2 2 2 3 3 三式相加，得 ＞ ，此式矛盾， 2 2 ∴原命题成立．
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例 3 若 a，b，c，d∈R＋，求证：1<
a b c ＋ ＋ a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b
d ＋ <2. d＋a＋c
a b c d 证明：记 x＝ ＋ ＋ ＋ . a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b d＋a＋c ∵a、b、c、d∈R＋， a b c d ∴x> ＋ ＋ ＋ ＝1， a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a b c d x< ＋ ＋ ＋ ＝2. a＋b a＋b c＋d c＋d ∴1<x<2，即原式成立．
栏 目 链 接
1 1 1 1 － < <1－ ， 2 3 22 2 1 1 1 1 1 － < < － ， 3 4 32 2 3 „， 1 1 1 1 1 － < < － . n n＋1 n2 n－1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将它们相加得： － ＋ － ＋„＋ － < ＋ ＋„＋ 2<1－ 2 3 3 4 n n＋1 22 32 n 2 1 1 1 1 ＋ － ＋„＋ － . 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － < ＋ ＋„＋ 2<1－ . 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － <1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n∈N*，且 n≥2)． 2 n＋1 2 3 n n
人教数学选修4-5全册精品课件：第二讲三反证法与放缩法
三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・ 回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】 如果两个非负数的和为1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。
人教版高中数学选修4-5课件：2.3反证法与放缩法
1 n
n
1
1＜n12
＜
n将11这些n1 ,不等式相加得
所以 1 1 1 ＜1 1 1 1 ＜11 1 ,
2 n 1 22 32
n2
n
即
3 2
1 ＜1 n 1
1 22
1 32
1 n2
＜2
1 n
(n∈N+且n≥2)成立.
【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个
1 n2
提示:
(n∈N+且n≥2).
n
1 n
1
＜
1 n2
＜
n
1 n
1
【证明】因为k(k+1)>k2>k(k-1),
所即分以别k1令kkkk=11121＜,＜3k1,2k…1＜2 (＜,kkn1k∈得1kN1k1+1且, k≥2).
1 2
1 3
＜212
＜1
1 2
,
1 3
1 4
＜312
＜1 2
1 3
,
1 1 1 1 ＞1. n 1 n 2 n 3 2n 2
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确 解答过程如下:
【证明】
1 1 1 1 n 1 n 2 n 3 2n ＞ 1 1 1 1 n 1.
2n 2n 2n 2n 2n 2
3.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项. (2)在分式中增大或减小分子或分母. (3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab,
(4a)b利用a 函b，数a的b 单( a调 b性)2等，a . b c 3 abc(a,b,c＞0).
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否定 一个也 有两个或两 没有或有两 不 不都 是 有 假设 没有 个以上 个及以上 全 是
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典例透析
1
2
对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时 在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾, 尤其在一些选择题中,更是如此.
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>
2 ������+ ������+1
(������ ∈ R,k>1)
等.
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典例透析
题型一
题型二
题型三
题型一 利用反证法证明不等式
【例1】 若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 证法二：假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6. 故ab(a+b)>2. ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能,故a+b≤2.
=
n n
=
答案： A≥ ������
最新人教版高中数学选修4-5《反证法与放缩法》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学 一、反证法1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的. 记忆要诀用反证法证明命题“若p 则q”的过程可以用下图表示.2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较3通常在什么情况下用反证法？有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的. 学法一得凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力. 二、放缩法1.放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.也就是说：欲证A≥B ，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B 1，B 1≤B 2，…，B 1≤A ，或A≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，达到欲证的目的.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 2.放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.3.放缩法经常采用的技巧有： ①舍去一些正项（或负项），②在和或积中换大（或换小）某些项，③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等.如：nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-<<+=+- 11121111+-=+-<<++=-+k k kk k k k k k .误区警示用放缩法证明不等式，关键是放、缩适当，放得过大或过小都不能达到证题目的. 典题·热题知识点一：反证法证明不等式 例1 设a 3+b 3=2，求证a+b≤2.思路分析：要证的不等式与所给的条件之间的联系不明显，而且待证式比已知式次数低，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑用反证法. 证明：假设a+b>2，则有a>2-b ，从而 a 3>8-12b+6b 2-b 3,a 3+b 3>6b 2-12b+8=6(b-1)2+2.所以a 3+b 3>2，这与题设条件a 3+b 3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立. 误区警示不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了.例2 设二次函数f(x)=x 2+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行. 证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. ①另一方面，由绝对值不等式的性质，有 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. ②①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确. 方法归纳一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况. 例3 设0<a,b,c<1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于41. 思路分析：题目中出现了“不可能同时大于……”字样，而且三个式子的地位相同，结合0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法. 证明：设(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41,则三式相乘：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>641.①又∵0<a,b,c<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41.同理：(1-b)b≤41,(1-c)c≤41,以上三式相乘：(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴原式成立.巧解提示凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时，可考虑使用反证法.知识点二：放缩法证明不等式例4 当n>2时，求证：log n (n-1)log n (n+1)<1.思路分析：不等式左边含有不确定字母n ，两个对数式底数相同，真数中没有常数项，而右边为常数1，应考虑应用基本不等式逐步放缩证明，采用放缩法证明较好. 证明：∵n>2，∴log n (n-1)>0,log n (n+1)>0.∴log n (n-1)log n (n+1)<［2)1(log )1(log ++-n n n n ］2=［2)1(log 2-n n ］2<［2log 2n n ］2=1.∴n>2时,log n (n-1)log n (n+1)<1. 方法归纳在用放缩法证明不等式A≤B 时，我们找一个(或多个)中间量C 作比较，即若能断定A≤C 与C≤B 同时成立，那么A≤B 显然正确.所谓的“放”即把A 放大到C ，再把C 放大到B;反之，所谓的“缩”即由B 缩到C ，再把C 缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及. 例5 若n 是正整数，求证22221312111n ++++ <2. 思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定，分析此式的形式特点，借助k k k k k111)1(112--=-<进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明. 证明：∵kk k k k 111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n. ∴n n n∙-++∙+∙+<++++)1(13212111113121112222 ..212)111()3121()2111(11<-=--++-+-+=nn n 巧解提示实际上，我们在证明22221312111n++++ <2的过程中，已经得到一个更强的结论n n 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想.例6 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的. 证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c ，则b+c-a≤c+a -b≤a+b -c, 且2c-a-b≤0，2a-b-c≥0.∴c b a c b a c b a c b a -++-++-+-3=a c b a -+-1+b a c b -+-1+c b a c-+-1=ba c ba cb ac a c b b a c c b a c b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--≥-+--=-+--=-+--222222=0,∴cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.方法归纳本题中为什么要将b+c-a 与a+b-c 都放缩为c+a-b 呢？这是因为2c-a-b≤0，2a-b-c≥0，而2b-a-c 无法判断符号，因此ba c ca b -+--2无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度. 问题·探究 交流讨论探究问题 有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？ 探究过程:学生甲：反证法太难了，都是逆向思维，根本想不到.学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话，说明假设的不对.学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少”“不可能”等时就用反证法.学生甲：那要找不到矛盾呢？学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以. 学生甲：那反证法有什么好处呀？学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了.老师：反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进行分类讨论，而且从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好.还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾，也就是要多积累素材. 探究结论:反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了，说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了.思想方法探究问题反证法证题，可以说是一个难点，就是感觉难懂难用.因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章.而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？探究过程:其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛，只是我们没有注意罢了.下面看两则故事，体会一下，对我们正确理解反证法很有帮助.故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨.”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了.那么，显然，他说的就是谬论了.这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了.如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这是很著名的“道旁苦李”的故事.实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成像几何题目中的“已知、求证、证明”，再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了.探究结论:反证法的应用广泛，只要善于观察和总结，从生活中体会反证法的思想，就不会感觉反证法难懂难用了.。
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第二讲证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法
A级基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3
a＞
3
b”时，假设的内容是( )
A.3
a＝
3
b B.
3
a＜
3
b
C. 3
a＝
3
b，且
3
a＜
3
b D.
3
a＝
3
b或
3
a＜
3
b
解析：应假设3
a≤
3
b，即
3
a＝
3
b或
3
a＜
3
b.
答案：D
2．实数a，b，c不全为0的等价命题为( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
答案：D
3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数
解析：至少有一个是的否定为都不是．答案：B
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1
y
，b＝y＋
1
z
，c＝z＋
1
x
，则a，b，c三个
数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析：因为a＋b＋c＝x＋1
x
＋y＋
1
y
＋z＋
1
z
≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z
＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.
答案：C
5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )
A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．∅D．(0，1)
解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，
所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.
答案：B
二、填空题
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x 1，x 2∈0，1]，都有|f(x 1)－f(x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1
2
，那么它的假设应该是________．
答案：假设|f(x 1)－f(x 2)|≥1
2
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
解析：因为
lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 100
2
＝1，
所以lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜1
8．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的________条件．
解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．
答案：充要 三、解答题
9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y
x
中至少有一个小于2.
证明：(反证法)设1＋x y
≥2，1＋y x
≥2，。