(浙教版)2018-2019学年九年级数学上册期中测试题及答案
1 2018-2019学年第一学期期中测试九年级数学试卷
一、选择题（每小题
4分，共48分，每小题只有一项符合题目要求）1.若（a －1）2+|b －2|=0，则（a －b ）
2015的值是（）A ．1B ．-1
C ．-2015
D ．2015 2.下列各点在反比例函数
y ＝2
x 的图象上的是（）A.（－1，－2）B ．（－1，2）C ．（－2，－1）
D ．（2，1）3.下列图形中，是轴对称图形的是（
）A ．
B ．
C ．
D ．4.一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条
件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）
A ．1
9B ．1
3
C ．12
D ．235.如图所示，欢欢首先将一张正方形的纸片按（2）、（3）、（4）的顺序三次折叠，然后沿第三次折痕剪下
一个四边形，这个四边形一定是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形
6.从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（
）A ．
B ．
C ．
D ．7.已知：2310a
a ，则12a a 的值为( ) A ．51B ．1 C ．－1
D ．－5 8.如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分
线交对角线AC 于点E ，连接BE ，FE ，则∠EBF 的度数是（
）A ．45°B ．50°C ．60°D ．不确定
9.连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中
“直径”最小的是（）A ．B ．C ．D ．
10.已知0≤x ≤12，那么函数2286y x x 的最大值是（
）。
浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷C
浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷C一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若一个数的倒数是﹣2，则这个数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．2017年中秋小长假长沙县的旅游收入约为1900万，将1900万用科学记数法表示应为（）A．19×104B．1.9×104C．1.9×107D．0.19×1083．下列运算正确的是（）A．2x+3y=5xy B．5x2•x3=5x5C．4x8÷2x2=2x4D．（﹣x3）2=x54．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.35．由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有（）A．3块B．4块C．6块D．9块6．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）A．4B．2C．3D．2.57．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC边上一点，且EF⊥AE，AF的延长线与DC的延长线交于点G，连接BE，与AF交于点H，则下列结论中不正确的是（）A．AF=CF+BC B．AE平分∠DAF C．tan∠CGF=D．BE⊥AG8．有下列六个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；④负数没有平方根；⑤无限小数都是无理数；⑥算术平方根等于它本身的数只有0．其中正确的命题有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（）A．小丽从家到达公园共用时间20分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽在便利店时间为15分钟D．便利店离小丽家的距离为1000米10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．函数y=的自变量x的取值范围为．12．分解因式：a3﹣a=．13．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．14．若x2﹣2x=1，则2x2﹣4x+3=．15．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=度．16．如图，在平面直角坐标系中，△AA1C1是边长为1的等边三角形，点C1在y轴的正半轴上，以AA2=2为边长画等边△AA2C2；以AA3=4为边长画等边△AA3C3，…，按此规律继续画等边三角形，则点A n的坐标为．三．解答题（共4小题，满分23分）17．（5分）计算：2﹣1﹣3tan30°+（﹣1）0++cos60°．18．（6分）先化简，再求值÷（﹣a﹣2），其中a=﹣．19．（6分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．20．（6分）如图，直线y=mx+n交坐标轴分别于A，B（0，1）两点，交双曲线y=于点C（2，2），点D在直线AB上，AC=2CD．过点D作DE⊥x轴于点E，交双曲线y=于点F，连接CF．（1）求反比例函数y=和直线y=mx+n的表达式；（2）求△CDF的面积．四．解答题（共4小题，满分30分）21．（6分）主题班会上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：A．放下自我，彼此尊重；B．放下利益，彼此平衡；C．放下性格，彼此成就；D．合理竞争，合作双赢．要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟．根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）参加本次讨论的学生共有人；表中a=，b=；（2）在扇形统计图中，求D所在扇形的圆心角的度数；（3）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．22．（8分）在成都“白环改建工程中，某F罕轿建设将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知：甲，乙两队单独完成这项上程所需天数之比为4：5，若先由甲，乙两队合作40天，剩下的工程再乙队做10天完成，（1）求甲．乙两队单独完成这取工程各需多少天？（2）若此项工程由甲队做m天，乙队n天完成，①请用含m的式子表示n；②已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为10万元，若工程预算的总费用不超过1150万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过90天．请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？23．（8分）某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一台拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130m，则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A 受噪声污染的时间有几秒．（参考数据：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）24．（8分）已知菱形ABCD中，∠A=72°，请你用两种把该菱形分成四个等腰三角形，并标出每个等腰三角形的顶角度数（要求在图中直接画出图形，不要求写作法和证明）．五．解答题（共1小题，满分9分，每小题9分）25．（9分）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=，求△CBD的面积．六．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）26．（10分）如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．参考答案与试题解析1．解：若一个数的倒数是﹣2，即﹣，则这个数是﹣，故选：B．2．解：将1900万用科学记数法表示应为：1.9×107．故选：C．3．解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、正确；C、4x8÷2x2=2x6，选项错误；D、（﹣x3）2=x6，选项错误．故选：B．4．解：A、平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项不符合题意；B、按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；C、数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；D、这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．故选：D．5．解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层上面一层是1个小正方体，下面有2个小正方体，从左视图上看，后面一层是2个小正方体，前面有1个小正方体，所以此几何体共有四个正方体．故选：B．6．解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO=90°，∵∠C=90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴===，设PA=x，则=，解得：x=4，故PA=4．故选：A．7．解：由E为CD的中点，设CE=DE=2，则AD=AB=BC=4，∵EF⊥AE，∴∠AED=90°﹣∠FEC=∠EFC，又∵∠D=∠ECF=90°，∴△ADE∽△ECF，∴=，即=，解得FC=1，A、在Rt△ABF中，BF=BC﹣FC=4﹣1=3，AB=4，由勾股定理，得AF=5，则CF+BC=1+4=5=AF，本选项正确；B、在Rt△ADE，Rt△CEF中，由勾股定理，得AE=2，EF=，则AE：EF=AD：DE=1：2，又∠D=∠AEF=90°，所以，△AEF∽△ADE，∠FAE=∠DAE，即AE平分∠DAF，本选项正确；C、∵AB∥DG，∴∠CGF=∠BAF，∴tan∠CGF=tan∠BAF==，本选项正确；D、∵AB≠AE，BF≠EF，∴BE与AG不垂直，本选项错误；故选：D．8．解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，错误；④负数没有平方根，正确；⑤无限不循环小数是无理数，错误；⑥算术平方根等于它本身的数有0，1，错误；故选：A．9．解：A、小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B、公园离小丽家的距离为2000米，正确；C、小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；D、便利店离小丽家的距离为1000米，正确；故选：C．10．解：①当x=1时，结合图象y=a+b+c＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；③由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a＞﹣b，即2a+b＞0，故本选项错误；④对称轴为x=﹣＞0，∴a、b异号，即b＜0，图象与坐标相交于y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；∴正确结论的序号为①④．故选：C．11．解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．12．解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．13．解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，∴=，解得：n=2．故答案为：2．14．解：当x2﹣2x=1时，原式=2（x2﹣2x）+3=2×1+3=5，故答案为：5．15．解：∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，∴弧ABC：弧AmC=6：4，∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°．16．解：∵点A1的横坐标为0.5=1﹣0.5，点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，…∴点A n的横坐标为2n﹣1﹣0.5，纵坐标都为0，∴点A n的坐标为（2n﹣1﹣0.5，0）．故答案为：（2n﹣1﹣0.5，0）．17．解：原式=﹣3×+1+2+=2+．18．解：÷（﹣a﹣2）====，当a═﹣时，原式=﹣=．19．解：（1）如图1，连接BD，∵点E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH∥BD、EH=BD，∵点F、G分别为BC、DC的中点，∴FG∥BD、FG=BD，∴EH=FG、EH∥FG，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是菱形，如图2，连接AC、BD，∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD，∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，∴EF=AC、FG=BD，∴EF=FG，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是正方形，设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD、AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．20．解：（1）∵直线y=mx+n经过B（0，1），C（2，2）两点，∴，解得，∴直线的表达式为y=；∵点C（2，2）在双曲线y=上，∴2=，解得k=4，∴反比例函数的解析式为y=；（2）作CH⊥x轴于H，∵C（2，2），∴CH=2，∵DE⊥x轴于点E，∴CH∥DE，∴==，由直线y=x+1可知A（﹣2，0），∴OA=2，AH=4，∵AC=2CD，∴=，∴==，∴DE=3，AE=6，∴D（4，3），把x=4代入y=得，y=1，∴F（4，1），∴DF=3﹣1=2，∴△CDF的面积=×2×（4﹣2）=2．21．解：（1）参加本次讨论的学生共有12÷0.24=50，则a=50×0.2=10，b=8÷50=0.16，故答案为：50、10、0.16；（2）D所在扇形的圆心角的度数为360°×0.4=144°；（3）根据题意画出树状图如下：由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种，所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率为=．22．解：（1）设甲．乙两队单独完成这取工程各需4x，5x天，由题意得：（+）×40+=1，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的根，∴4x=80，5x=100，答：甲．乙两队单独完成这取工程各需80，100天；（2）①由题意得：n=（1﹣）÷=100﹣，②令施工总费用为w万元，则w=15m+10×（100﹣）=m+1000．∵两队施工的天数之和不超过90天，工程预算的总费用不超过1150万元，∴m+1000≤1150，m+（100﹣）≤90，∴40≤m≤60，∴当m=40时，完成此项工程总费用最少，∴n=100﹣=50，w=1100元，答：甲、乙两队各工作40，50天，完成此项工程总费用最少，最少费用是1100元．23．解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，∵∠MON=53°，∴∠AOM=90°﹣53°=37度．在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∵sin∠AOB=，∴AB=AO•sin∠AOB=200×sin37°≈120（m）．∵120m＜130m．∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=130m，∵AB⊥OM，∴B为CD的中点，即BC=DB，∴BC==50（m），∴CD=2BC=100（m）．即影响的时间为=20（s）．24．解：如图所示：25．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，∴AB⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中∵AB=10，sin∠DAB=又∵sin∠DAB=∴BD=6∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，∴BG=DG=BD×sin45°=6×=3，∵∠DAB=∠DCB∴tan∠DCB==，∴CG=∴CD=CG+DG=4+3=7，=CD•BG==21．∴S△CBD26．解：（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2=9a2+9、CD2=（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2=a2+1、AD2=（3﹣1）2+（0+4a）2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1即，抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵MF：BF=1：2，即BF=2MF，∴2（﹣x2+2x+3）=x+1，化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1、x2=∴M（，）、N（，）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；设Q（1，b），则QD=4﹣b，QB2=QG2=（1+1）2+（b﹣0）2=b2+4；∵C（0，3）、D（1，4），∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；代入数据，得：（4﹣b）2=2（b2+4），化简，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2；即点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．。
2018-2019学年浙教版九年级数学上学期期中考试试卷及答案
2018-2019学年九年级上学期期中考试
数学试卷
一．选择题（每小题４分，共４８分）
１．若，则的值为（）
A．1 B．C．D．
２.二次函数的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的外接圆半径是( )
A．2 B．C．1 D．2
1
４.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B .∠APB=∠ABC C．=D．=
５．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△BAC的值为（）
A．B．C．D．
６．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为( ) A、50°B、80°C、100°D、130°
７.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为
y=（x﹣1）2
﹣4，则b、c的值为（）
A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2
8．在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、黄、黑三种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球中，一个是红球，一个是黑球的概率是（）。
浙江宁波市2018-2019九年级数学上学期期中试题含答案浙教版
浙江宁波市2018-2019九年级数学上学期期中试题（含答案浙教版）经过旋转变换能得到三角形N，下列四个点能作为旋转中心的是()A．点AB．点BC．点CD．点D11.如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是()A．50°B．60°C．80°D．100°12.如图，动点A在抛物线yx22x30&# 61603;x3上运动，直线l经过点(0，6)，且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是()A.2BD3B.3BD6C.1BD6D.2BD6二、填空题（每小题4分，共24分）13.已知⊙O的半径为5，若P到圆心O的距离是4，则点P与⊙O的位置关系是．14.盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意摸出一支笔芯，则摸出黑色笔芯的概率是．15．已知点(－1，y1)，(0，y2)，(4，y3)都在抛物线yax22ax5(a0)上，则y1，y2，y3的大小关系．（用连接）16.如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC的度数为．第16题图第18题图17.若抛物线y2x2xc与坐标轴有两个交点，则字母c应满足的条件是．18.如图是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC 与弓弦BC的中点，沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长；当弓箭从自然状态的点D拉到点D1，使其成为以D1为圆心的扇形B1AC1，B1C1垂直平分AD1，AD130cm，则弓臂BAC的长度是．三、解答题（第19题6分，第2021题各8分，第2224题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19.已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点(2，3)，求这个函数的表达式．20.如图在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)请用直尺和圆规在图中画出直角△ABC的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若AC=5，BC=12，请直接写出该直角三角形的外接圆的面积．ACB21.某市今年中考理、化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容．规定：每位考生必须在三个物理实验（用纸签A、B、C表示）和三个化学实验（用纸签D、E、F表示）中各抽取一个进行考试．小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个．(1)用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果；(2)求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．22.如图，点A，B，C，D在⊙O上，连结AB，CD，BD，若AB=CD．求证：∠ABD=∠CDB．23.如图，抛物线yax2c与直线y3相交于点A，B，与y相交于点C(0，－1)，其中点A的横坐标为－4．(1)计算a，c的值；(2)求出抛物线yax2c与x轴的交点坐标；24.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE=OF．(1)求证：△AFO≌△CEB；(2)若BE=4，CD83，求：①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．25.为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？26.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．(1)如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A 的度数．(2)在(1)的条件下，若⊙O的半径为5．①求BD的长．②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，则BC+CD的最大值是．(3)在(1)的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系，并说明理由．2018-2019学年第一学期九年级期中测试数学试题卷参考答案及评分建议一、选择题（每小题4分，共48分）题号123456789101112答案ABCDBDCBACCD二、填空题（每小题4分，共24分）13．点P在⊙O内14．2515．y2y1y316．24°17．c1或018．20πcm8三、解答题（第19题6分，第2021题各8分，第2224题各10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．设yax125 1分把(2，3)代入得：3a2125 ∴a=－25分3分∴y2x1ɦ 81;256分20．(1)图略4分(2)1694分421．(1)树状图略4分(2)194分22．证明：∵AB=CD∴ABCD3分∴ABACCDAC5分∴ADBC7分∴∠ABD=∠CDB10分23．(1)设yax211分把(－4，3)代入得：3a421 3分∴a144分∴y1x214∴a1，c=－15分4(2)y1x21047分∴x=±29分∴(－2，0)，(2，0)10分24．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD∴BCBD1分∴∠A=∠DCB2分∴OF⊥AC∴∠AFO=∠CEB∵BE=OF∴△AFO≌△CEB3分(2)①∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD∴CE1CD424分设OC=r，则OE=r－4，∴r2r42= 483;432∴r=86分②连结OD∵OE41OC2∴∠COB=60°5分∴∠COD=120°7分∴S12082 1501;648分扇形CBD3603∴S△OCD1CDOE1834 16229分SSSS641610分阴弓形CBD扇形CBD△OCD325．(1)y=700－20(x－45)=1600－20x3分(2)P=(x－40)y=(x－40)(1600－20x)=－20x2+2400x－6400（45≤x≤80）6分∵xb2a60在45≤x≤80内，此时p=8000当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．8分(3)∵P=－20x2+2400x－6400≥6000∴50≤x≤7010分∵x≤58∴50≤x≤58，y随x的增大而减小，则当x=58时，y最小为440盒．即超市每天至少销售糕点440盒12分26．(1)∵四边形ABCD是圆美四边形∴∠A1∠C，∠A+∠C=180°2分2∴∠A=60°4分(2)①连结BD，OB，OD，作OE⊥BD∴∠BOD=2∠A=120°5分∵OB=OD∴∠BOE1∠BOD60᠑ 6;2∴∠OBE=30°6分∴OE1OB522∴BE3OE5237分∴BD2BE5②1010分8分(3)延长BC，AD交于点E∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠DCE+∠BCD=180°∴∠BAD=∠DCE=60°11分∵AC为⊙O的直径∴∠B=∠ADC=90°=∠CDE∴∠E=30°13分在Rt△CDE和Rt△ABE中CE=2CD，BE3ABBCCE ∴BC2CD3AB14分。
2019年浙教版九年级数学上册期中测试题及答案
2019年浙教版九年级数学上册期中测试题及答案1.下列说法正确的是（B）。
正确的说法是：同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等。
0°的圆心角所对的弦是点。
平分弦的直径垂直于这条弦。
三点确定一个圆。
2.向上发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax^2+bx。
若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？（A.第8秒）根据题意，可列出方程：7a^2 + 7b + c = 14a^2 + 14b + c化XXX：a = -1/7 b将y=ax^2+bx代入可得：y=-x^2/49 + bx求导数得：y'=-2x/49 + b令y'=0，可得x=24.5秒所以最高点在第25秒，而第8秒的高度最高。
3.若将函数y=2x^2的图像向上平移5个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（2y=2(x+5)-1）将y=2x^2向上平移5个单位，得到y=2(x-5)^2再将y=2(x-5)^2向右平移1个单位，得到y=2(x-6)^2化简可得2y=2(x+5)-14.一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球。
从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（11/39）。
第一次摸到红球的概率为3/4，第二次摸到红球的概率也为3/4，所以概率为3/4 * 3/4 = 9/16但因为第一次摸到的球要放回，所以总共有4*4=16种可能，所以最终概率为9/16 * 16/39 = 11/395.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像如图所示，有以下结论：①a+b+c<0；②a-b+c>1；③abc>0；④4a-2b+c<0；⑤c-a>1.其中正确的结论的个数是（3个）。
由图可知，抛物线开口向下，所以a<0，结论①成立。
抛物线与x轴交点为2和3，所以c=2a+3b，结论⑤不成立。
2019届九年级数学 中考模拟试卷含解析
2019届浙教版九年级中考数学模拟试卷含解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）a、b、c为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A．a＞0，b、c同号B．b＞0，a、c异号C．c＞0，a、b异号D．a、b、c同号2．（3分）如图，某居民楼由相同户型的若干个楼房组成，该楼的三视图如图所示，试问该楼最多能建楼房个数是（）A．8 B．9C．10 D．113．（3分）已知5+的整数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b的值为（）A．10 B．2C．﹣12 D．12﹣4．（3分）若7名同学的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的中位数是（）A．43 B．44 C．45D．475．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（）A．∠PAO=∠PBO=90° B．OP平分∠APBC．PA=PB D．∠AOB=6．（3分）已知|b﹣4|+（a﹣1）2=0，则的平方根是（）A．B．C．D．7．（3分）已知△ABC（如图1），按图2所示的尺规作图痕迹不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形8．（3分）如图，半径为1的⊙A的圆心A在抛物线y=（x﹣3）2﹣1上，AB∥x轴交⊙A 于点B（点B在点A的右侧），当点A在抛物线上运动时，点B随之运动得到的图象的函数表达式为（）A．y=（x﹣4）2﹣1 B．y=（x﹣3）2C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x﹣3）2﹣29．（3分）如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2，则线段DH长度的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点O的直线AB交反比例函数y=的图象于点A，B，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连结CA，CB，当CA=CB且cos∠CAB=时，k1k2应满足的数量关系是（）A．k2=2k1B．k2=﹣2k1C．k2=4k1D．k2=﹣4k1二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）分解因式：16m2﹣4=．12．（4分）要使分式有意义，则字母x的取值X围是．13．（4分）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去．如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是．14．（4分）反比例函数y=（2m﹣1）x|m|﹣2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m=．15．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣a，a）（a＞0），点B（﹣a ﹣4，a+3），C为该直角坐标系内的一点，连结AB，OC，若AB∥OC且AB=OC，则点C 的坐标为．16．（4分）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（6分）（1）解不等式组：并在数轴上表示其解集．（2）计算：++．18．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2﹣y（x﹣2y），其中x=2018，y=19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以AB为一边的等腰△ABC，点C在小正方形的顶点上，且满足tan∠ACB=；（2）在图中画出平行四边形ABDE，使点D和点E均在小正方形的顶点上，且面积为8，连接CE，请直接写出线段CE的长．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．21．（8分）截止2016年第一季度末，微信每月活跃用户已达到5.49亿，用户覆盖200多个国家，超过20种语言，个品牌的微信公众号总数已经超过800万个，微信已成为中国电子革命的代表，并成为人们生活中不可或缺的日常使用工具，某评测中心进行了抽样调查，统计出如下两个统计图表：（1）在条形统计图中，“转发内容”的人数占到样本容量的15%，则样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“学生”所占比例是，所对应的圆心角是度；（4）某市约有20万微信用户，请你估计其中喜欢“给别人点赞”的学生有多少人？22．（10分）如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E、…，某人在河岸PQ的A处测得∠DBQ=45°，求河流的宽度（结果精确到0.1米）．参考值：；．23．（10分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE=∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB=4，AC=6，求sin∠ACB的值；（3）若=，求证：CD=DH．24．（12分）甲骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，乙骑自行车从N地出发沿同一条公路匀速前往M地，已知乙比甲晚出发0.5小时且先到达目的地．设甲行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的路程为y（km），y与t的函数关系如图1所示，请解决以下问题：（1）写出图1中点C表示的实际意义并求线段BC所在直线的函数表达式．（2）①求点D的纵坐标．②求M，N两地之间的距离．（3）设乙离M地的路程为s乙（km），请直接写出s乙与时间t（h）的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中画出它的图象．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）a、b、c为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A．a＞0，b、c同号B．b＞0，a、c异号C．c＞0，a、b异号D．a、b、c同号【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可．【解答】解：a，b，c为非零有理数，它们的积必为正数的是a＞0，b与c同号．故选：A．【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（3分）如图，某居民楼由相同户型的若干个楼房组成，该楼的三视图如图所示，试问该楼最多能建楼房个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据已知中三视图，由正视图和侧视图可判断该楼的层数，进而解答即可．【解答】解：由主视图和左视图发现该楼一共有三层，房子的最多间数见俯视图：2+2+2+3+1=10，故选：C．【点评】此题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是根据主视图和左视图中小长方形的层数确定楼的层数．3．（3分）已知5+的整数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b的值为（）A．10 B．2C．﹣12 D．12﹣【分析】首先得出的取值X围，进而分别得出a，b的值进而得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴8＜5+＜9，1＜5﹣＜2，∴5+的整数部分为a=8，5﹣的小数部分为b：5﹣﹣1=4﹣，∴a+b=12﹣．故选：D．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的整数是解题关键．4．（3分）若7名同学的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的中位数是（）A．43 B．44 C．45 D．47【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．【解答】解：把这些数从小到大排列为：40，42，43，45，47，47，58，最中间的数是45，故这组数据的中位数是45．故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（）A．∠PAO=∠PBO=90° B．OP平分∠APBC．PA=PB D．∠AOB=【分析】根据切线的性质、切线长定理判断即可．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠PAO=∠PBO=90°，OP平分∠APB，PA=PB，则A、B、C正确，不符合题意；∠AOB的度数与的度数相等，D错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．6．（3分）已知|b﹣4|+（a﹣1）2=0，则的平方根是（）A．B．C． D．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式求出，然后根据平方根的定义解答即可．【解答】解：根据题意得，b﹣4=0，a﹣1=0，解得a=1，b=4，所以，=，∵（±）2=，∴的平方根是±．故选：A．【点评】本题考查了平方根的定义，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．7．（3分）已知△ABC（如图1），按图2所示的尺规作图痕迹不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．【解答】解：由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO=OD，可得：AO=OC，BO=OD，进而得出四边形ABCD是平行四边形，故选：D．【点评】本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答．8．（3分）如图，半径为1的⊙A的圆心A在抛物线y=（x﹣3）2﹣1上，AB∥x轴交⊙A 于点B（点B在点A的右侧），当点A在抛物线上运动时，点B随之运动得到的图象的函数表达式为（）A．y=（x﹣4）2﹣1 B．y=（x﹣3）2C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x﹣3）2﹣2【分析】根据题意和平移的特点，可以求得点BB随之运动得到的图象的函数表达式，从而可以解答本题．【解答】解：∵半径为1的⊙A的圆心A在抛物线y=（x﹣3）2﹣1上，AB∥x轴，∴当点A在抛物线上运动时，点B随之运动得到的图象的函数表达式为：y=（x﹣3﹣1）2﹣1=（x﹣4）2﹣1，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、平移的性质，解答本题的关键是明确点B 是点A向右平移一个单位长度的对应点．9．（3分）如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2，则线段DH长度的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM ≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB 中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．【解答】解：延长AG交CD于M，如图1∵ABCD是正方形∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG∴△ADG≌△DGC∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC∴△ADM≌△CDF∴FD=DM且AE=DF∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°∴△ABE≌△ADM∴∠DAM=∠ABE∵∠DAM+∠BAM=90°∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°∴点H是以AB为直径的圆上一点．如图2，取AB中点O，连接OD，OH∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，在Rt△AOD中，OD==∵DH≥OD﹣OH∴DH≥﹣1∴DH的最小值为﹣1故选：A．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点O的直线AB交反比例函数y=的图象于点A，B，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连结CA，CB，当CA=CB且cos∠CAB=时，k1k2应满足的数量关系是（）A．k2=2k1B．k2=﹣2k1C．k2=4k1D．k2=﹣4k1【分析】如图连接OC，作AH⊥x轴于H，CJ⊥x轴于J．只要证明△AOH∽△OCJ，可得=（）2，推出=，由此即可解决问题；【解答】解：如图连接OC，作AH⊥x轴于H，CJ⊥x轴于J．∵CA=CB，OA=OB，∴CO⊥AB，∵cos∠CAB==，设AO=k，AC=5k，则OC=2k，∴OC=2OA，∵∠AHO=∠CJO=∠AOC=90°，∴∠AOH+∠COJ=90°，∠COJ+∠OCJ=90°，∴∠AOH=∠OCJ，∴△AOH∽△OCJ，∴=（）2，∴=，∴k2=﹣4k1，故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解直角三角形、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）分解因式：16m2﹣4= 4（2m+1）（2m﹣1）．【分析】原式提取4，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=4（4m2﹣1）=4（2m+1）（2m﹣1），故答案为：4（2m+1）（2m﹣1）【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．（4分）要使分式有意义，则字母x的取值X围是x≠﹣3 ．【分析】根据分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠=﹣3，故答案为：x≠﹣3．【点评】本题考查了分是有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．13．（4分）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去．如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵红灯亮30秒，黄灯亮3秒，绿灯亮42秒，∴P（红灯亮）==，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．（4分）反比例函数y=（2m﹣1）x|m|﹣2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m= ﹣1 ．【分析】根据反比例函数的一般形式，可以得到x的次数是﹣1；根据当x＞0时，y随x的增大而增大，可以得到比例系数是负数，即可求得．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣1．故答案为﹣1【点评】本题考查了反比例函数的一般形式以及反比例函数的性质，正确理解函数的性质是关键．15．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣a，a）（a＞0），点B（﹣a ﹣4，a+3），C为该直角坐标系内的一点，连结AB，OC，若AB∥OC且AB=OC，则点C 的坐标为（﹣4，3）或（4，﹣3）．【分析】设点C的坐标为（x，y），由AB∥OC、AB=OC以及点A、B的坐标，即可求出点C的坐标．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．设点C的坐标为（x，y），∵AB∥OC且AB=OC，∴或，解得：或，∴点C的坐标为（﹣4，3）或（4，﹣3）．故答案为：（﹣4，3）或（4，﹣3）．【点评】本题考查了平行线的性质以及两点间的距离公式，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．16．（4分）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD= 3+2．【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，则AH=AE﹣HE=x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE﹣HE=x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，整理得x 2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2，x2=3﹣2（舍去），即AD的长为3+2．故答案为3+2．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（6分）（1）解不等式组：并在数轴上表示其解集．（2）计算：++．【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来；（2）根据分式的加减法的法则计算即可．【解答】解：（1）解不等式2x＜5，得：x＜，解不等式3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜，将不等式解集表示在数轴上如图：，（2）++=﹣+==．【点评】本题考查的是分式的加减法，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2﹣y（x﹣2y），其中x=2018，y=【分析】根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：原式=x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2）﹣xy+2y2=x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2﹣xy+2y2=xy，当x=2018，y=时，原式=2018×=1．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以AB为一边的等腰△ABC，点C在小正方形的顶点上，且满足tan∠ACB=；（2）在图中画出平行四边形ABDE，使点D和点E均在小正方形的顶点上，且面积为8，连接CE，请直接写出线段CE的长．【分析】（1）根据等腰三角形的定义和正切函数的定义确定点C位置，据此连接三顶点即可得；（2）根据平行四边形的定义作图可得．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，▱ABCD即为所求，CE==．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形、平行四边形及正切函数的定义、勾股定理．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD，得证；（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．【解答】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC为平行四边形．又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，∴CD=BD=AC，∴平行四边形DBEC是菱形；（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD=S△ABC∴BC=2DF=2．又∵∠ABC=90°，∴AB===4．∵平行四边形DBEC是菱形，∴S 四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC=×4×2=4．【点评】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质即可解题，难度中等．21．（8分）截止2016年第一季度末，微信每月活跃用户已达到5.49亿，用户覆盖200多个国家，超过20种语言，个品牌的微信公众号总数已经超过800万个，微信已成为中国电子革命的代表，并成为人们生活中不可或缺的日常使用工具，某评测中心进行了抽样调查，统计出如下两个统计图表：（1）在条形统计图中，“转发内容”的人数占到样本容量的15%，则样本容量是200 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“学生”所占比例是15% ，所对应的圆心角是54 度；（4）某市约有20万微信用户，请你估计其中喜欢“给别人点赞”的学生有多少人？【分析】（1）由30除以其所占的比例，即可求出样本容量；（2）用样本容量减去A、C、D、E的数据，即可求出喜欢给别人评论的人数，再补全条形统计图即可；（3）观察扇形统计图，用1减去其它各部分所占比例，即可求出“学生”所占比例，再用其乘360°即可得出结论；（4）利用总体×学生所占比例×喜欢给别人评论的人数÷样本容量，即可求出结论．【解答】解：（1）由题意可得：30÷15%=200．故答案为：200；（2）200﹣70﹣40﹣10=50（人），补全条形统计图，如图所示．（3）1﹣40%﹣32%﹣13%=15%，15%×360°=54°．故答案为：15%；54．（4）200000×15%×=10500（人）．答：其中喜欢“给别人点赞”的学生大约有10500人．【点评】本题考查了条形统计图、全面调查和抽样调查、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体以及扇形统计图，解题的关键是：（1）用喜欢“转发内容”的人数÷其所占样本容量的比例求出样本容量；（2）用样本容量减去A、C、D、E的数据，求出喜欢给别人评论的人数；（3）根据扇形统计图，列式计算；（4）根据数量关系，列式计算．22．（10分）如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E、…，某人在河岸PQ的A处测得∠DBQ=45°，求河流的宽度（结果精确到0.1米）．参考值：；．【分析】应合理应用∠CAQ的度数，CD的长度，所以过点D作CA的平行线得到平行四边形．过点D向对边引垂线，得到直角三角形，进而利用三角函数值求得河宽．【解答】解：过D作DH∥CA交PQ于H，过D作DG⊥PQ，垂足为G，（4分）∵PQ∥MN，DH∥CA∴四边形CAHD是平行四边形．∴AH=CD=50，∠DHQ=∠CAQ=30°（5分）在Rt△DBG中，∵∠DBG=∠BDG=45°，∴BG=DG，设BG=DG=x，在Rt△DHG中，得HG=x，（6分）又BH=AB﹣AH=110﹣50=60，∴60+x=x，∴x=30+30≈82.0（米）．答：河流的宽为82.0米．（7分）【点评】本题考查解直角三角形的应用．难点是作出辅助线，利用三角函数求解．23．（10分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE=∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB=4，AC=6，求sin∠ACB的值；（3）若=，求证：CD=DH．【分析】（1）连接OA，证明△DAB≌△DAE，得到AB=AE，得到OA是△BDE的中位线，根据三角形中位线定理、切线的判定定理证明；（2）利用正弦的定义计算；（3）证明△CDF∽△AOF，根据相似三角形的性质得到CD=CE，根据等腰三角形的性质证明．【解答】（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，∵∠ADE=∠ACB，∴∠ADE=∠ADB，∵BD是直径，∴∠DAB=∠DAE=90°，在△DAB和△DAE中，，∴△DAB≌△DAE，∴AB=AE，又∵OB=OD，∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠E=∠DBE，∠DBE=∠ACD，∴∠E=∠ACD，∴AE=AC=AB=6．在Rt△ABD中，AB=6，BD=8，∠ADE=∠ACB，∴sin∠ADB==，即sin∠ACB=；（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，∴OA∥DE，OA=DE．∴△CDF∽△AOF，∴==，∴CD=OA=DE，即CD=CE，∵AC=AE，AH⊥CE，∴CH=HE=CE，∴CD=CH，∴CD=DH．【点评】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．24．（12分）甲骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，乙骑自行车从N地出发沿同一条公路匀速前往M地，已知乙比甲晚出发0.5小时且先到达目的地．设甲行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的路程为y（km），y与t的函数关系如图1所示，请解决以下问题：（1）写出图1中点C表示的实际意义并求线段BC所在直线的函数表达式．（2）①求点D的纵坐标．②求M，N两地之间的距离．（3）设乙离M地的路程为s乙（km），请直接写出s乙与时间t（h）的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中画出它的图象．【分析】（1）根据图象坐标求出BC解析式；（2）①根据（1）中函数关系式，求点D坐标；②根据图象求出甲乙两车速度，计算MN距离；（3）由②中乙的速度列出s乙与时间t（h）的函数表达式，并画图象．【解答】解：（1）根据图象，点C表示甲行驶1.5小时时，甲乙两车相遇．设直线BC的函数解析式为：y=kt+b把B（0.5，60），D（1.5，0）解得∴BC解析式为：y=﹣60t+90（2）①把t=2.25代入y=﹣60t+90y=﹣60×2.25+90=45∴点D坐标为（2.25，45）②设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h由题意得∴∴MN之间距离为：3.5×20=70km（3）乙离M地的路程为s乙=70﹣40t【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象的实际意义，待定系数法求函数关系式和二元一次方程组．。
浙教版九年级数学上册同步练习：4.2 由平行线截得的比例线段
4.2 由平行线截得的比例线段一．填空题1．（2019春•诸城市期末）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c 于点D，E，F．若＝，则＝．2．（2019•吴兴区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，，AD＝2，则BD长为．3．（2018秋•马鞍山期末）已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝．4．（2018秋•杨浦区期中）如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB ＝5，AF＝3，那么AD＝．5．（2018•荔湾区校级二模）如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，那么AC＝．二．选择题6．（2019•萧山区模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F．已知，则（）A．B．C．D．7．（2018秋•大连期末）在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，若BD＝2AD，则的值为（）A．B．C．D．8．（2018秋•平房区期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．（2019春•兴宾区校级月考）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（）①＝；②＝；③＝；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2019•安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：311．（2019•青海）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.212．（2019春•龙口市期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．513．（2019春•门头沟区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若AD＝2，BD＝1，AE ＝3，则EC的长是（）A．B．1 C．D．614．（2019•香坊区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝15．（2018秋•徐州期末）如图，AB与CD交于点O，若要AC∥DB，只需添加条件（）A．＝B．＝C．＝D．＝三．解答题16．（2018秋•榆林期末）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，且DE∥BC，AB＝6，AE＝3，CE＝2，求BD 的长．17．（2018秋•房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．18．（2017秋•兴庆区校级期中）如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．19．（2018秋•浦东新区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．20．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上任一点，BE交AD于点O，数学兴趣小组的同学在研究这个图形时，得到如下结论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，猜想，当时，（n是正整数），的一般结论，并说明理由．参考答案一．填空题1．（2019春•诸城市期末）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c 于点D，E，F．若＝，则＝．【思路点拨】先由＝，根据比例的性质可得＝，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．【答案】解：∵＝，∴＝，∵直线a∥b∥c，∴＝＝，故答案是：．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．2．（2019•吴兴区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，，AD＝2，则BD长为4．【思路点拨】结合平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．【答案】解：∵在△ABC中，DE∥BC，，AD＝2，∴，即，解得：BD＝4，故答案为：4【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．3．（2018秋•马鞍山期末）已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝8：5．【思路点拨】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论．【答案】解：过点D作DF∥BE交AC于F，∵DF∥BE，∴△AME∽△ADF，∴AM：MD＝AE：EF＝4：1＝8：2∵DF∥BE，∴△CDF∽△CBE，∴BD：DC＝EF：FC＝2：3∴AE：EC＝AE：（EF+FC）＝8：（2+3）∴AE：EC＝8：5．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论．4．（2018秋•杨浦区期中）如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB ＝5，AF＝3，那么AD＝．【思路点拨】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；【答案】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵CE＝2，EB＝5，AF＝3，∴＝，∴DF＝，∴AD＝AF+DF＝3+＝．故答案为．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2018•荔湾区校级二模）如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，那么AC＝6．【思路点拨】首先证明BD＝DE＝2AD，再由DE∥BC，可得＝，求出EC即可解决问题；【答案】解：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴DB＝DE，∵DE＝2AD，∴BD＝2AD，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴EC＝4，∴AC＝AE+EC＝2+4＝6，故答案为6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．选择题6．（2019•萧山区模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F．已知，则（）A．B．C．D．【思路点拨】由直线l1∥l2∥l3，可得＝＝，由此即可解决问题．【答案】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝＝，∴＝，故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2018秋•大连期末）在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，若BD＝2AD，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可．【答案】解：∵DE∥AC，EF∥AB，BD＝2AD，∴，故选：A．【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确得出比例式是解题关键．8．（2018秋•平房区期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【思路点拨】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．【答案】解：∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，∵DE∥BC，∴＝＝，故选项A正确，不符合题意，∵DH∥CG，∴＝＝，故C正确，不符合题意，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故D正确，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2019春•兴宾区校级月考）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（）①＝；②＝；③＝；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴＝，故①正确；∴＝，即＝，故②正确；∴＝，故③错误；∴＝，即＝，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．10．（2019•安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3【思路点拨】过点D作DG∥AC，与BF交于点G．于是FC＝2DG，AF＝3DG，因此AF：FC＝3DG：2DG＝3：2．【答案】解：过点D作DG∥AC，与BF交于点G．∵AD＝4DE，∴AE＝3DE，∵AD是△ABC的中线∴，∴，即AF＝3DG∴，即FC＝2DG，∴AF：FC＝3DG：2DG＝3：2．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线充分利用平行线分线段成比例的性质是解题的关键．11．（2019•青海）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【答案】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴EF＝3.6，∴DF＝EF+DE＝3.6+1.2＝4.8，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2019春•龙口市期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．5【思路点拨】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【答案】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴BE＝＝＝10，∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．13．（2019春•门头沟区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若AD＝2，BD＝1，AE ＝3，则EC的长是（）A．B．1 C．D．6【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【答案】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴EC＝，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2019•香坊区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【答案】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，A正确，不符合题意；＝，B正确，不符合题意；＝，C错误，符合题意；＝＝，∴＝，D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．（2018秋•徐州期末）如图，AB与CD交于点O，若要AC∥DB，只需添加条件（）A．＝B．＝C．＝D．＝【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理即可求解．【答案】解：如图，∵＝，∴AC∥DB．故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边是解题的关键．三．解答题16．（2018秋•榆林期末）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，且DE∥BC，AB＝6，AE＝3，CE＝2，求BD 的长．【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理得到∴＝，则利用比例性质可计算出AD，然后计算AB﹣AD 即可．【答案】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝．答：BD的长为．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．17．（2018秋•房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．【思路点拨】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到，由DE∥BC得到，然后利用等量代换可得到结论；（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF ＝10可计算出DF．【答案】（1）证明：∵EF∥CD，∴，∵DE∥BC，∴∴＝．（2）∵AD：BD＝2：1，∴BD＝AD，∴AD+AD＝15，∴AD＝10，∵AF：FD＝AD：DB，∴AF：FD＝2：1，∴AF＝2DF，∵AF+DF＝10，∴2DF+DF＝10，∴DF＝．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．18．（2017秋•兴庆区校级期中）如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．【思路点拨】根据平行四边形的判定和平行线分线段成比例解答即可．【答案】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴FC＝DE＝5 cm．∵DF∥AC，∴即∴BF＝10（cm）．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行四边形的判定和平行线分线段成比例解答．19．（2018秋•浦东新区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．【思路点拨】（1））由GF∥BC推出＝即可解决问题；（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解决问题；【答案】解：（1）∵GF∥BC，∴＝，∵BD＝20，＝∴BG＝8．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上任一点，BE交AD于点O，数学兴趣小组的同学在研究这个图形时，得到如下结论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，猜想，当时，（n是正整数），的一般结论，并说明理由．【思路点拨】应用比例关系，需创造平行线，因此需要添加辅助线解决问题．辅助线添加方法：过D点作DF∥BE交AC于点F．【答案】解：当时，（n是正整数），＝．过D点作DF∥BE交AC于点F，∵，＝，∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点，∵BE∥DF，∴EF＝CF，∴＝．利用中位线定理即可得证．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．。
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)及答案
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)一．选择题（共5小题，满分30分，每小题6分）1．已知x为实数，且﹣（x2+3x）=2，则x2+3x的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或32．已知下列命题：①对顶角相等；②若a＞b＞0，则＜；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（）A．B．C．D．3．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜74．如图，AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是的中点，则的值是（）A．B．2 C．D．5．If a is odd number，the there must exist an integer n such that a2﹣1=（）A．3n B．5n C．8n D．16n二．填空题（共5小题，满分30分，每小题6分）6．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是．7．一个班共有44人，全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组，参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理活动兴趣小组的有人．8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，则AC=．9．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为．10．方程组的所有正整数解是．三．解答题（共4小题，满分60分，每小题15分）11．（15分）如图，△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB 交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x．（1）试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．12．（15分）已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程．13．（15分）（1）若a、b、c为一个三角形的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．探索这个三角形的形状，并说明理由；（2）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0．探索这个三角形的形状，并说明理由．14．（15分）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．参考答案1．解：设x2+3x=y，则原方程变为：﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3，当x2+3x=1时，△＞0，x存在．当x2+3x=﹣3时，△＜0，x不存在．∴x2+3x=1，故选：A．2．解：①对顶角相等，故此选项正确；②若a＞b＞0，则＜，故此选项正确；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项错误；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有2个不同交点，故此选项错误；⑤边长相等的多边形内角不一定都相等，故此选项错误；从中任选一个命题是真命题的概率为：．故选：B．3．解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．4．解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．而∠DPB=60°，∴∠APC=60°．∴∠CAD=30°．又∵D是的中点，∴∠CAD=∠BAD=30°．∴∠ABC=180°﹣30°﹣30°﹣90°=30°．∴=．故选：A．5．解：∵a是奇数，∴设a=2n﹣1（n≥2），∴a2﹣1=（2n﹣1）2﹣1=[（2n﹣1）+1]×[（2n﹣1）﹣1]=2n（2n﹣2）=4n（n﹣1）如果n是偶数，则必然有﹣x使n=2x，原式=8x（n﹣1）；如果n是奇数，则（n﹣1）为偶数，必然有﹣y使（n﹣1）=2y，原式=8yn．综上，任意奇数的平方减去1后都是8的倍数．故选：C．6．解：由x*（a*x）=﹣，得（a+1）x2+（a+1）x+=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2﹣（a+1）=0，解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．故答案为：0．7．解：∵没有参加数学小组的人：44﹣38=6人，没有参加物理小组的人：44﹣35=9人，∴两者都参加的有：44﹣（6+9）=29人．8．解：取线段BC的中点E，连接EM、EN，如图所示．∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，∴ME∥AC，ME=AC，NE∥BD，NE=BD=，∴∠EMN=∠FQP，∠ENM=∠FPQ．又∵∠FPQ=∠FQP，∴∠EMN=∠ENM．∴ME=NE=．∴AC=2ME=9．故答案为：9．9．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AD•DB=AM•BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）] =（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC•BC）=AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE2=81，∴S△ABC=AC•BC=81，故答案为：81．10．解：∵⇒∵（y﹣z）2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2（y2+z2）⇒（y+z）2≤2（y2+z2）∴（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2）于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632注解到不等式（y+z）2≤2（y2+z2）有（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2），于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632，即﹣63＜6x﹣20＜63又∵y+z=6x﹣20是正整数∴0＜6x﹣20＜63，即，从而4≤x≤13．再由y+z为偶数，从而y2+z2为偶数，x2为奇数，进而x为奇数．∴x=5，7，9，11，13①当x=5时，，显然y、z正整数解不存在．②当x=7时，，显然y、z正整数解不存在．③当x=9时，，显然y、z正整数解不存在．④当x=11时，解得或；⑤当x=13时，解得或．故答案为11．解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，由Rt△AEC中，AC=4，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，则；这样S1=2x，S3=，S2=12﹣2x﹣=；（2）S2===，所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．12．解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，∴（a+1）2=22×32×5（b+c），∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，∴a+1的最小值为60，∴a的最小值为59；（2）∵a=59时，b+c=20，则原方程为：20x2+60x+225=0，解得：x=﹣．13．解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c∴这是一个等边三角形；（2）∵36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0①，①×2得：72x2+18y2+8z2﹣36xy﹣12yz﹣24zx=0，∴（36x2﹣36xy+9y2）+（36x2﹣24xz+4z2）+（9y2﹣12yz+4z2）=0，∴（6x﹣2z）2+（6x﹣3y）2+（3y﹣2z）2=0∴3x=z，2x=y，∵x+y+z=180°，∴x+3x+2x=180°，∴x=30°，y=60°，z=90°，∴该三角形是直角三角形．14．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）。
2018-2019学年九年级数学(浙教版)第一学期期中试题及答案
2018-2019学年第一学期期中联考九年级数学试卷考生须知：1.本试卷满分120分，考试时间100分钟。
2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号。
3. 必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效。
答题方式详见答题纸上的说 明。
4. 考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中 ，只有一个是正确的。
注意可以用多种不同的方法来选 取正确答案。
1.下列函数中属于二次函数的是（A.y =2x -1C . y =2（x -1）2 -2x 224.已知二次函数 y 二ax bx c （a = 0）的最大值为0,则（▲）5. 下列命题中，假命题的个数为（▲)2 .B . y = ax -13.在a 2口 4a □ 4空格□中，任意填上 概率是（▲）1A . 1B .2 能构成完全平方式的1D .42A . a 0 , b - 4ac 二 02B. a 0, b -4ac ：： 0C. a : 0, b 2 -4ac 二 0D.a :0,b -4ac 0(▲)“+'或“一”，在所得到的所有代数式中,（1） “ a 是任意实数，a -5 0 ”是必然事件；（2）抛物线y = （2x ・1）2的对称轴是直线 x=-1；1（3）若某运动员投篮 2次，投中1次，则该运动员投 1次篮，投中的概率为；（4）某件事情2发生的概率是1,则它一定发生；（5）某彩票的中奖率为 10%，则买100张彩票一定有1张会中 奖；（6）函数y - -9（x - 2014）2亠一.2015与x 轴必有两个交点.8 .用列表法画二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象时先列一个表，当表中对自变量 x 的值以相等间隔的值增加时，函数 y 所对应的值依次为： 20、56、110、182、274、380、506、650,其中有一个值 不正确，这个不正确的值是（ ▲） A . 506B . 380C . 274D . 1829.已知二次函数 y =x 2 -X ，a （ a >0）,当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于 0,那么当 自变量x 取m-1时，下列结论中正确的是（▲）10.关于x 的方程2x 2 ax ^0有两个不相等的实数根，且较小的根为 2，则下列结论:①2a b :: 0 :②ab ：：： 0 ；③关于x 的方程2x 2 ax b0有两个不相等的实数根；④抛物线y =2x 2 • ax • b -2的顶点在第四象限。
2018-2019年浙教版九年级上数学期中复习测试题(含答案详解)
期中测试题（本试卷满分120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分） 1.反比例函数的图象过点，则此图象在平面直角坐标系中的（ ） A.第一、三象限 B.第三、四象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限2.抛物线的顶点坐标是（ ） A.（2，8） B.（8，2） C. D.3.抛物线与轴交点的坐标是（ ） A.（0，2） B.（1，0） C. D.（0，0）4.由函数的图象平移得到函数的图象，则这个平移是（ ）A.先向左平移4个单位，再向下平移5个单位B.先向左平移4个单位，再向上平移5个单位C.先向右平移4个单位，再向下平移5个单位D.先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 5.如图，直线与反比例函数kx的图象交于两点，过点A 作轴，垂足为M ，连结BM ，若ABM S ∆=4，则的值是（ ） A.2 B. C. D.46.如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴负半轴上一个点，坐标为（），点B 是反比例函数x4-图象上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐减小时，△的面积（ ） A.逐渐增大 B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小7.已知二次函数4212--x x ，若函数值y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围 是（ ） A. B. C. D.8.当时，下列图象有可能是抛物线的是（ ）9. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ①；②；③；④；⑤，其 中正确结论的个数是（ ）A.2B.3C.4D. 510.在直线运动中，当路程（千米）一定时，速度（千米/时）关于时间（时）的函数关系的大致图象是（ ）11.反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，它们的 解析式可能分别是（ ）A.x k y =，x kx y -=2 B.x ky =，x kx y +=2 C. x k y -=，x kx y +=2 D.xky -=，x kx y --=212.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数， 且0m ≠）的图象可能．．是（ ）二、填空题（每小题3分，共30分） 13.若函数是反比例函数,则的值为________.14.已知二次函数12+-+-=k kx x y 的图象顶点在轴上，则 .15.二次函数的最小值是____________.16.一次函数与反比例函数x4的图象的交点个数为__________. 17.抛物线的顶点坐标为（），则，.18.已知反比例函数x 2，图象上到轴的距离等于1的点的坐标为________. 19.抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位长度得到．20.已知二次函数，下列说法中错误．．的是________.（把所有你认为错误的序号都写上）①当1x <时，y 随x 的增大而减小;②若图象与x 轴有交点，则4a ≤;③当3a =时，不等式240x x a -+>的解集是13x <<;④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(12)-，，则3a =-.21.(2018·陕西中考)如图，反比例函数x y 4-=的图象与直线x y 31-=的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则△ABC 的面积为 .22.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系式是21251233y x x =-++，则他能将铅球推出的距离是 m ．三、解答题（共54分）23.（6分）已知抛物线顶点的坐标为，且经过点，求此二次函数的解析式．24. （6分）已知二次函数. （1）求函数图象的顶点坐标及对称轴； （2）求此抛物线与轴的交点坐标.25. （6分）如图（1），某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度. 他先测出门的宽度，然后用一根长为4 m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，并测得. 小强画出了如图（2）所示的草图，请你帮他算一算门的高度OE.26. （7分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0,0(>>=k x xky的图象经过点，，过点B 作y 轴的垂线， 垂足为C.（1）求该反比例函数解析式；（2）当△ABC 的面积为２时，求点B 的坐标.27. （7分）（2018·辽宁中考）如图，抛物线经过点 A （1，0），与y 轴交于点B. （1）求n 的值;（2）设抛物线的顶点为D ，与x 轴的另一个交点为C ，求四边形ABCD 的面积.28. （8分）某饮料经营部每天的固定成本为50元，其销售的每瓶饮料进价为5元.设销售单价为元/瓶时，日均销售量为瓶，与的关系如下：销售单价（元/瓶） 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量（瓶）270 240 210 180 150 120 90 （1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围.（2）每瓶饮料的单价定为多少元时，日均毛利润最大？最大利润是多少？（毛利润售价进价固定成本）（3）每瓶饮料的单价定为多少元/瓶时，日均毛利润为430元？根据此结论请你直接写出销售单价在什么范围内时，日均毛利润不低于430元.29. （7分）一水池内有水90立方米，设全池水排尽的时间为y分钟，每分钟的排水量为x 立方米，排水时间的范围是9≤y≤15.（1）求关于的函数解析式，并指出每分钟排水量的取值范围；（2）在坐标系中画出此函数的大致图象；（3）根据图象求当每分钟排水量为9立方米时，排水需多少分钟？当排水时间为10分钟时，每分钟的排水量是多少立方米？30. （7分）如图所示，直线y=2x-6与反比例函数y=（x>0）的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B.（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.期中测试题参考答案一、选择题 1.A 2.B3.A 解析: 当时的值为2，所以交点坐标是（0，2）.4.D5.D 解析：设点A 的坐标为，则B 的坐标为（）.∵ ABM S ∆=4，∴21，∴ ，∴6.C 解析: 设，则 ，∵ 是定值，点B 是反比例函数x4-（）图象上的一个动点，反比例函数x4-（）在第二象限内是增函数，∴ 当点B 的横坐标x 逐渐减小时，点B 的纵坐标y 逐渐减小，∴ 会随着x 的减小而逐渐减小，故选C ． 7.A 解析:因为二次函数2142x x --的图象开口向上，在对称轴的左侧， y 随x 的增大而减小，又函数图象的对称轴是，所以，故选A. 8.A 解析:因为，所以抛物线开口向上.因为，所以抛物线与轴的交点在轴上方，排除B ，D;又，所以，所以抛物线的对称轴在轴右侧，故选A.9.B 解析:对于二次函数，由图象知：当时，，∴①正确;由图象可以看出抛物线与轴有两个交点，∴ ，所以②正确;∵ 图象开口向下，对称轴是直线，∴，∴，所以③错误;当时，，所以④错误;由图象知，所以，所以⑤正确，故正确结论的个数为3. 10.D 解析:因为，当一定时，，成反比例函数关系.11.B 解析：双曲线的两分支分别位于第二、四象限，即；A.当时，抛物线开口向下，对称轴，不符合题意，错误；B.当时，抛物线开口向下，对称轴，符合题意，正确；C.当，即时，抛物线开口向上，不符合题意，错误；D.当时，抛物线开口向下，但对称轴，不符合题意，错误．故选B ．12.D 解析:选项A 中，直线的斜率，而抛物线开口朝下，则，得，前后矛盾，故排除选项A;选项C 中，直线的斜率，而抛物线开口朝上，有，得，前后矛盾，故排除选项C;B 、D 两选项的不同处在于，抛物线顶点的横坐标一正一负，两选项中，直线斜率，则抛物线顶点的横坐标应该为m22--，故抛物线的顶点应该在轴左边，故选项D 正确. 二、填空题13. 解析:根据反比例函数的概念可知,,且,解得. 14.2 解析：根据题意，得 ，将，，代入，得，解得,． 15.3 解析:当时，取得最小值3.16.2 解析：由题意得方程组可得：，.再由一元二次方程根的判别式＞0，得方程有两个解，即两个函数图象的交点有两个，故答案为2. 17.5 解析:由顶点坐标公式得，解得.18.（2，1）或（） 解析：∵ 反比例函数x2的图象上的一点到轴的距离等 于1，∴ .①当时，x2，解得；②当时，x2，解得.综上所述，反比例函数x2的图象上到轴的距离等于1的点的坐标为（2，1）或（）．19.左 120. ③ 解析：①因为函数图象的对称轴为，又抛物线开口向上，所以当1x <时，y 随x 的增大而减小，故正确;②若图象与轴有交点，则，解得，故正确；③当3a =时，不等式240x x a -+>的解集是，故不正确; ④因为抛物线， 将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后为， 若过点(12)-，，则，解得.故正确.只有③不正确.21.8 解析:由解得，当时，，所以△ABC 的面积为21.22.10 解析:由得或（舍去）.三、解答题23.分析:因为抛物线顶点的坐标为，所以设此二次函数的解析式为，把点（2，3）代入解析式即可解答．解：已知抛物线顶点的坐标为， 所以设此二次函数的解析式为， 把点（2，3）代入解析式，得，即， ∴ 此函数的解析式为． 24.分析：（1）首先把已知函数解析式配方，然后利用抛物线的顶点坐标、对称轴的公式即可求解；（2）根据抛物线与轴交点坐标的特点和函数解析式即可求解．解：（1）∵ ， ∴ 顶点坐标为（1，8），对称轴为直线. （2）令，则， 解得，．所以抛物线与轴的交点坐标为（），（）． 25.解:设抛物线的解析式为，由题意可知：，将各点的坐标代入抛物线的解析式，可得所以抛物线的解析式为.令，得，所以顶点坐标为，即门的高度为764.26.解：（1）∵ xky =的图象过点，∴ ，即，∴ 反比例函数的解析式为xy 2=. （2）如图，作轴交CB 于点D ，则(1,)n ，∵ ),(n m B 在x y 2=的图象上，∴ 2m.∴ 2.n∴，∴ 32n .∴ .27.分析：（1）先把（1，0）代入函数解析式，可得关于n 的一元一次方程，解即可求n ；（2）先过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，利用顶点公式易求顶点D 的坐标，通过观察可知，进而可求四边形ABCD 的面积．解：（1）∵ 抛物线经过点A （1，0），∴ ，∴（2）如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，此函数图象的对称轴是，顶点的纵坐标，∴ D 点的坐标是.又知C 点的坐标是（4，0），B 点坐标为（），．28.分析：（1）设与的函数关系式为，把，；，代入求出的值，根据大于或等于0求的取值范围；（2）根据“毛利润售价进价固定成本”列出函数关系式，然后整理成顶点式，再根据二次函数的最值问题解答； （3）把代入函数关系式，解关于的一元二次方程即可， 根据二次函数图象的增减性求出范围． 解：（1）设与的函数关系式为， 把，；，分别代入，得解得∴.由，解得，∴ 自变量的取值范围是.（2）根据题意得，毛利润，∴ 当单价定为10元/瓶时，日均毛利润最大，最大利润是700元. （3）根据题意，， 整理得，即，∴ 或，解得，，∴ 每瓶饮料的单价定为7元或13元时，日均毛利润为430元，∵ ，∴ 销售单价时，日均毛利润不低于430元． 29.分析：（1）根据每小时排水量×排水时间=蓄水池的容积，可以得到函数关系式；（2）根据自变量的取值范围作出函数的图象即可；（3）分别将和代入解析式求解即可.解：（1）∵每小时排水量×排水时间=蓄水池的容积，∴.∵排水时间的范围是9≤y≤15，∴ 6≤x≤10.（2）作出函数图象如图所示.（3）令，解得，令，解得，∴当每分钟排水量为9立方米时，排水需10分钟；当排水时间为10分钟时，每分钟的排水量是9立方米．30.分析：（1）将点A（4，2）代入y=得k=8,将y=0代入y=2x-6求点B的坐标.（2）假设点C存在，使AC=AB,过点A作AH⊥x轴于点H,则BH=CH,所以OC=OB+BH+HC.解：（1）∵点A（4，2）在反比例函数y= (x＞0)的图象上，∴ 2=,解得k=8.将y=0代入y=2x-6，得2x-6＝0，解得x=3，则OB=3.∴点B的坐标是（3，0）.（2）存在.理由如下：如图所示，过点A作AH⊥x轴，垂足为H,则OH=4.∵ AB=AC,∴ BH=CH.∵ BH=OH-OB=4-3=1,∴ OC=OB+BH+HC=3+1+1=5.∴点C的坐标是（5，0）.点拨：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标应满足函数关系式.。
浙教版九年级数学上册：4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习(含答案)
4.5 相似三角形的性质及其应用一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于．二．选择题（共10小题）6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：110．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，8514．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm215．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．参考答案一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【思路点拨】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即＝，∴AB＝15（米）．故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．故答案为：0.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，解得：BD＝9cm，故答案为：9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于11．【思路点拨】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝9，所以S△ABD＝S△CBD＝15，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．二．选择题6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【答案】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里【思路点拨】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【答案】解：如图所示：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1【思路点拨】根据题意，易得△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，利用相似的性质得出DF：BE的值，再求出BE：AD的值，进而求出AF：DF．【答案】解：根题意，在平行四边形ABCD中，易得△BO3E∽△DO3F∴BE：FD＝3：1∵△BO1E∽△DO1A∴BE：AD＝1：3∴AD：DF＝9：1∴AF：DF＝（AD﹣FD）：DF＝（9﹣1）：1＝8：1故选：C．【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等．利用相似三角形三边成比例列式，求解即可．10．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；＝，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；＝（）2＝，④正确，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【思路点拨】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【答案】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【答案】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23，∴两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5，∴15a＝75，23a＝115，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．14．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【思路点拨】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【答案】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【答案】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，∴CD＝＝12（米）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问．三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．【思路点拨】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GE＝BD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DF＝DG，进而即可得出＝．【答案】（1）证明：∵GE∥BC，∴∠GEF＝∠DBF．又∵∠GFE＝∠DFB，∴△FGE∽△FDB；（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，∴GE＝DC＝BD，AG＝DG．∵△FGE∽△FDB，∴＝＝，∴DF＝DG，∴＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DF＝DG、∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；AG＝DG．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是2或6．【思路点拨】（1）先作CD中垂线得出CD的中点，再以中点为圆心，CD为半径作圆，与AB的交点即为所求；（2）证△APD∽△BPC得＝，即＝，解之可得．【答案】解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．（2）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．∴∠ADP+∠APD＝90°，由（1）知，∠CPD＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得：AP＝2或AP＝6．故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP∽△PDB；（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．【答案】（本小题8分）解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，即，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：由题意知，∠PON＝∠DBN＝90°，△PON∽△DBN∴又∵OB＝9∴BN＝3，OA＝12由题意知，∠POM＝∠CAM＝90°，△POM∽△CAM∴又∵OA＝12∴AM＝4，OM＝16∴身影长BN＝3，AM＝4，AM﹣BN＝4﹣3＝1∴小明的身影长度变长了1米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【思路点拨】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xy＝﹣x2+120x，则S＝﹣（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y＝﹣×40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．。