空间向量坐标公式
空间向量的坐标运算
a b a1b1 a2b2 a3b3 a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
无罪，该负责任的是那些劝说我的人。世上有很多很好的鞋，但要看适不适合你的脚。在这里，所有的经验之谈都无济于事，你只需在半夜时分，倾听你脚的感觉。 看到好位赤着脚参加世界田径大赛的南非女子的风采，我报以会心一笑：没有鞋也一样能破世界纪录！脚会长，鞋却
不变，于是鞋与脚，就成为一对永恒的矛盾。鞋与脚的力量，究竟谁的更大些？我想是脚。只见有磨穿了的鞋，没有磨薄了的脚。鞋要束缚脚的时候，脚趾就把鞋面挑开一个洞，到外面去凉快。 脚终有不长的时候，那就是我们开始成熟的年龄。认真地选择一种适合自己的鞋吧！一
这是从远古传下来的手艺，博物馆描述猿人生活的图画，都绘着腰间绑着兽皮的女人，低垂着乳房，拨弄篝火，准备食物。可见烹饪对于女人，先于时装和一切其他行业。汤不一定鲜美，却要热；饼不一定酥软，却要圆。无论从爱自己还是爱他人的角度想，“食”都是一件大事。一个不
爱做饭的女人，像风干的葡萄干，可能更甜，却失了珠圆玉润的本相。 ? 我喜欢爱读书的女人。书不是胭脂，却会使女人心颜常驻。书不是棍棒，却会使女人铿锵有力。书不是羽毛，却会使女人飞翔。书不是万能的，却会使女人千变万化。不读书的女人，无论她怎样冰雪聪明，只有一
只脚是男人，一只脚是女人，鞋把他们联结为相似而又绝不相同的一双。从此，世人在人生的旅途上，看到的就不再是脚印，而是鞋印了。 削足适履是一种愚人的残酷，郑人买履是一种智者的迂腐；步履维艰时，鞋与脚要精诚团结；平步青云时切不要将鞋儿抛弃…… 当然，脚
高二数学空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
两点向量坐标公式
两点向量坐标公式在向量空间中，两点向量是一个非常重要的概念。
它是由两个点在空间中的位置关系所确定的向量。
在日常生活中，两点之间最直接的表示方式就是坐标。
因此，了解两点向量的坐标公式对于研究和应用向量计算具有很大的实际意义。
首先，我们来了解一下两点向量的定义。
两点向量是从一个起点到另一个终点的向量，可以用起点和终点的位置坐标来表示。
在二维平面直角坐标系中，两点向量可以用如下坐标表示：设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，AB表示从A点到B点的向量。
接下来，我们来看一下两点向量坐标的计算公式。
在二维平面直角坐标系中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这意味着，我们可以通过计算两点坐标的差值来得到向量的坐标。
同样，在三维空间中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)这里，x1、y1、z1和x2、y2、z2分别表示两点在三维空间中的坐标。
为了更好地理解两点向量坐标的计算公式，我们来看一个实例。
假设有一个平面上的两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以计算出向量AB的坐标：AB = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)这意味着向量AB的坐标为(3, 4)。
此外，我们还需要了解坐标系的转换。
在实际应用中，有时需要将坐标系从一个基准系转换到另一个基准系。
例如，将平面上的坐标转换为空间中的坐标。
这时，我们需要用到坐标变换矩阵。
常见的坐标变换矩阵有旋转矩阵、平移矩阵等。
总之，了解两点向量坐标公式对于研究和应用向量计算具有重要意义。
通过掌握这个公式，我们可以更好地在各种坐标系中进行向量计算，从而解决实际问题。
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
空间向量的坐标表示
o x
y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k
AB的坐标是（x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中， i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方 向上的单位向量， a 是空间任意向量，作 OP = a
a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面，分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点．
则ＯP = OA + OB + OC
应用举例
例1、如图，在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.
（ 1）写出点C1的坐标，给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;
(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k
我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解， 把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标，记作 a ( x, y , z )
在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x,y,z), 则向量 OP的坐标也是（x,y,z)
例2、在棱长为2的正方体中，求：
空间向量运算的坐标公式
空间向量运算的坐标公式如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k 。
以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例1、1求向量axyz的模a 2求两个非零向量111axyz222bxyz 的夹角的余弦值3、已知向量235a31bz且ab求Z的值。
练习1.知235a314b求ababa8aab 练习2、已知cos1sinaaasin1cosbaa则向量ab与ab的夹角为练习3、已知22ax235b且a与b的夹角为钝角求x的取值范围练习4、已知sincostanaaaacossincotbaaa且ab则且a角______________AM1______________NB________________ PQ练习2如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中取D点为原点建立空间直角坐标系N、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1NMPQ例2设Ax1y1z1Bx2y2z2则AB证明如图因为正方体的棱长为1 分别以DA、DC、1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz 如图棱长为1的正方体1111ABCDABCD中EF分别是1BB11DB中点求证1EFDA 则1112E11122F 所以111222EF 又1101A000D 所以1101DA 所以11111010222EFDA 因此1EFDA即1EFDA 练习已知A、B 、C三点的坐标分别为2-12、45-1、-223若求P点的坐标。
坐标向量模长公式
坐标向量模长公式
1. 坐标向量的定义。
- 在平面直角坐标系中，设向量→a=(x,y)，这里x和y分别是向量→a在x轴和y轴上的坐标分量。
- 在空间直角坐标系中，设向量→a=(x,y,z)，x、y、z分别是向量在x轴、y 轴、z轴上的坐标分量。
2. 平面向量模长公式。
- 对于平面向量→a=(x,y)，其模长|→a|=√(x^2)+y^{2}。
- 推导：根据勾股定理，向量→a的起点为坐标原点(0,0)，终点为(x,y)，那么向量的长度（模长）就相当于直角三角形的斜边，两直角边分别为x和y，所以根据勾股定理可得|→a|=√(x^2)+y^{2}。
- 例如：已知平面向量→a=(3,4)，则|→a|=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。
3. 空间向量模长公式。
- 对于空间向量→a=(x,y,z)，其模长|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。
- 推导：把空间向量→a的起点看作坐标原点(0,0,0)，终点为(x,y,z)。
可以想象一个长方体，向量的模长就是长方体的体对角线长度。
由长方体体对角线长度公式（先根据勾股定理求出底面对角线长度√(x^2)+y^{2}，再与高z一起根据勾股定理求出体对角线长度）可得|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。
- 例如：已知空间向量→a=(1,2,2)，则|→a|=√(1^2)+2^{2+2^2}=√(1 +
4+4)=√(9)=3。
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7、空间向量与立体几何
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下
运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++
⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量
也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 空间向量的
直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）空间向量的直角坐标运算律：
①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =
则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，
112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，
1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z
则212121(,,)AB x x y y z z =---。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，PB AP λ=，则点P 坐标为)1,1,1(212121λ
λλλλλ++++++z z y y x x ④),,(),,,(,,,333222111z y x C z y x B ）z y ，A（x
ABC 中∆，三角形重心P 坐标为)2
,2,3(321321321z z z y y y x x x P ++++++ （3）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+，21||b b b b =⋅=+（4）夹角公式：21cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则2||(AB AB ==，
或,A B d =
7、点面距离h
求点()00,P x y 到平面α的距离： 在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ;； 计算平面α的法向量n ;.h =。