多边形及其内角和第二课时课件-数学八年级上第11章11.3.2人教版
２、在多边形中 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的 _________________________ 对角线。
0 180 ３、三角形的内角和是____．
二、解疑合探、探寻新知
（一）多边形的内角和
长方形的内角和是 多少？为什么？
如果是任意 四边形呢？
A D B C
（1）四边形ABCD的内角 和是多少？
人教版八年级数学上册
11.3
多边形及其内角和
学习目标
1.学会用三角形内角和定理证明多边形的内角 和与外角和； 2.会利用多边形的内角和与外角和来解决相关 问题。
一、设疑自探、回顾旧知
1、在平面内， 由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形 叫做多边 __________________________ 形。
A
1800
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形 七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
一般地，从n边形的一个顶点出发，可 以作(n-3)条对角线它们将n边形分为 (n-2)个三角形
多边形
边 数
分成三 角形的 个数
图形
内角和
计算规律 1 2 3 4 5
×180° ×180° ×180° ×180° ×180°
三角形 3
四边形 4 五边形 5 六边形 6 七边形 7
1
2 3 4 5
180° 360° 540° 720° 900°
n边形
…
n
…
n-2
…
…
(n－2) ·180°(n-2) ·180°
…
…
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
总结： 1.n边形内角和（n－2)×180°(n≥3)
2.已知内角和求几边形:内角和÷180+2
（2）你是怎样求的？
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发， 1 条对角线，它们将四边形分成_____ 可以做___ 2 个三角形，所以四边形的内角和为_____ 360° 。
那么如何求此五边形的内角和呢?
说说你的探索思路？
3× 180°
=5400
探索过程一掠:
三角形 四边形 A D E B B CB C 2× 180° = 3600 C D 3× 180° =5400 五边形 A
（4）正多边形的外角
回想正多边形的性质，你知道正多边形 的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
• 每个内角的度数是
n 2 180
n
360 • 每个外角的度数是 n
典型例题
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12 答：这个多边形是12边形。
三、随堂练习
1、求下列图形中x的值：
1400
1500 1200
2x0
x0
(1)
1200 80
x
0
x0
(2)
0
E
D
x
0
1500
750
(3)
x
0
600
1350
C
A
(4)
B
AB∥CD
2、一个多边形的每一个外角都是600，这个多边 形是几边形？它的内角和等于多少度? 3、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和 的3倍？
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身 体转过的角是哪个角？在图中标出它们. (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
1 A 5 E 4
B 2
C
3
D
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回 到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和。
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° 5 6 （8-2）×180° 8 （n-2）×180° n
=108°
=120°
=135°
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补， 那么另一组对角有什么关系？ C 解：如图四边形ABCD中， D
A C 180
因为：
0
A
0 0
B
A B C D (4 2) 180 360
所以: B D 360 (A C) 180
0 0
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
小试牛刀
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
牛刀小试： （1）八边Βιβλιοθήκη 的内角和等于1080° 。
（2）已知一个多边形的内角和等于2340°， 它的边数是 15 。 （3）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是1000°，他的答案正确吗？为 什么？
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4， 那么这个四边形中最大角的度是 144° 。 （5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角 都是n°，则n= 。 135° （6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则 这个六边形的每个内角是 。 120° （7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B 与∠D有什么关系呢？为什么？
2 3
4
o
o
o
2 3
1 5 4
1
o
o
o
2 3 4
6×180 -4×180 =360
o o
o
o
o o
n×180 -(n-2)×180 =360
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
练一练
练习1： 已知一个多边形，它的内角和等 于外角和的2倍，求这个多边形的边数。 解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 多边形外角和等于360º ， ∴ (n-2)•180°=2× 360º 。 解得: n=6
另解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
例3、已知两个多边形的内角和为 1440°，且两 多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别 是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得： 180+（ y -2）· 180=1440 （x-2）· x : y=1 : 3 解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是3和9。
∴这个多边形的边数为6。
练一练
72° 练习2：正五边形的每一个外角等于____ ， 108° 每一个内角等于_____ 。
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
5X=360° X=72° 所以每一个内角度数为108 °
练一练
练习3：一个正多边形的每个内角比相邻 外角大36°求这个多边形的边数。 解：设一个外角为x°， 则内角为（x＋36）° 根据题意得： x+x+36＝180 x＝72 360÷72＝5 答：这个正多边形为正五边形。
3.n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条 (n≥3)
n(n 3) 4.n边形共有对角线 2
条(n≥3)
……..
三角形 四边形 五边形 六边形
八边形
对角线 是解决多边形问题的常用辅助线
多边形问题 （未知） 转化三角形问题
（已知）
（2）正多边形的内角
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n 边形的每个内角分别是多少度呢？
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所 转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360º
多边形的外角和
多边形 三角形
2
1
图形
1 3
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360
6 5
o
o
o
四边形
五边形 六边形 n边形
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n 解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
（3）多边形的外角和
A
B 2 7 1
多边形外角：多边形的边与它的邻 边的延长线组成的角。
5
6 10 8 3 D
C
9 4
外角
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并 思考如下几个问题:
9、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生 怎样变化？请画图说明。
内角和减少180O 内角和不变
内角和增加180O
四、课堂小结
2、n边形共有对角线
n（n - 3) 2
1、n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥
条(n≥3
3、n边形的内角和为(n－2) ×180°(n≥3) 4、任何多边形的外角和为360° 5. 已知内角和求几边形:内角和÷180+2 6、正n边形每个内角的度数是 7、正n边形每个外角的度数是
五、布置作业
教科书习题11.3第1、2、4、5题．
4、一个多边形的每一个外角都相等，且每一 个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和 每个内角的度数。
5、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形 6、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角,
0 180 ３、三角形的内角和是____．
二、解疑合探、探寻新知
（一）多边形的内角和
长方形的内角和是 多少？为什么？
如果是任意 四边形呢？
A D B C
（1）四边形ABCD的内角 和是多少？
人教版八年级数学上册
11.3
多边形及其内角和
学习目标
1.学会用三角形内角和定理证明多边形的内角 和与外角和； 2.会利用多边形的内角和与外角和来解决相关 问题。
一、设疑自探、回顾旧知
1、在平面内， 由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形 叫做多边 __________________________ 形。
A
1800
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形 七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
一般地，从n边形的一个顶点出发，可 以作(n-3)条对角线它们将n边形分为 (n-2)个三角形
多边形
边 数
分成三 角形的 个数
图形
内角和
计算规律 1 2 3 4 5
×180° ×180° ×180° ×180° ×180°
三角形 3
四边形 4 五边形 5 六边形 6 七边形 7
1
2 3 4 5
180° 360° 540° 720° 900°
n边形
…
n
…
n-2
…
…
(n－2) ·180°(n-2) ·180°
…
…
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
总结： 1.n边形内角和（n－2)×180°(n≥3)
2.已知内角和求几边形:内角和÷180+2
（2）你是怎样求的？
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发， 1 条对角线，它们将四边形分成_____ 可以做___ 2 个三角形，所以四边形的内角和为_____ 360° 。
那么如何求此五边形的内角和呢?
说说你的探索思路？
3× 180°
=5400
探索过程一掠:
三角形 四边形 A D E B B CB C 2× 180° = 3600 C D 3× 180° =5400 五边形 A
（4）正多边形的外角
回想正多边形的性质，你知道正多边形 的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
• 每个内角的度数是
n 2 180
n
360 • 每个外角的度数是 n
典型例题
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12 答：这个多边形是12边形。
三、随堂练习
1、求下列图形中x的值：
1400
1500 1200
2x0
x0
(1)
1200 80
x
0
x0
(2)
0
E
D
x
0
1500
750
(3)
x
0
600
1350
C
A
(4)
B
AB∥CD
2、一个多边形的每一个外角都是600，这个多边 形是几边形？它的内角和等于多少度? 3、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和 的3倍？
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身 体转过的角是哪个角？在图中标出它们. (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
1 A 5 E 4
B 2
C
3
D
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回 到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和。
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° 5 6 （8-2）×180° 8 （n-2）×180° n
=108°
=120°
=135°
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补， 那么另一组对角有什么关系？ C 解：如图四边形ABCD中， D
A C 180
因为：
0
A
0 0
B
A B C D (4 2) 180 360
所以: B D 360 (A C) 180
0 0
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
小试牛刀
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
牛刀小试： （1）八边Βιβλιοθήκη 的内角和等于1080° 。
（2）已知一个多边形的内角和等于2340°， 它的边数是 15 。 （3）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是1000°，他的答案正确吗？为 什么？
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4， 那么这个四边形中最大角的度是 144° 。 （5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角 都是n°，则n= 。 135° （6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则 这个六边形的每个内角是 。 120° （7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B 与∠D有什么关系呢？为什么？
2 3
4
o
o
o
2 3
1 5 4
1
o
o
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2 3 4
6×180 -4×180 =360
o o
o
o
o o
n×180 -(n-2)×180 =360
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
练一练
练习1： 已知一个多边形，它的内角和等 于外角和的2倍，求这个多边形的边数。 解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 多边形外角和等于360º ， ∴ (n-2)•180°=2× 360º 。 解得: n=6
另解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
例3、已知两个多边形的内角和为 1440°，且两 多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别 是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得： 180+（ y -2）· 180=1440 （x-2）· x : y=1 : 3 解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是3和9。
∴这个多边形的边数为6。
练一练
72° 练习2：正五边形的每一个外角等于____ ， 108° 每一个内角等于_____ 。
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
5X=360° X=72° 所以每一个内角度数为108 °
练一练
练习3：一个正多边形的每个内角比相邻 外角大36°求这个多边形的边数。 解：设一个外角为x°， 则内角为（x＋36）° 根据题意得： x+x+36＝180 x＝72 360÷72＝5 答：这个正多边形为正五边形。
3.n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条 (n≥3)
n(n 3) 4.n边形共有对角线 2
条(n≥3)
……..
三角形 四边形 五边形 六边形
八边形
对角线 是解决多边形问题的常用辅助线
多边形问题 （未知） 转化三角形问题
（已知）
（2）正多边形的内角
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n 边形的每个内角分别是多少度呢？
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所 转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360º
多边形的外角和
多边形 三角形
2
1
图形
1 3
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360
6 5
o
o
o
四边形
五边形 六边形 n边形
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n 解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
（3）多边形的外角和
A
B 2 7 1
多边形外角：多边形的边与它的邻 边的延长线组成的角。
5
6 10 8 3 D
C
9 4
外角
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并 思考如下几个问题:
9、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生 怎样变化？请画图说明。
内角和减少180O 内角和不变
内角和增加180O
四、课堂小结
2、n边形共有对角线
n（n - 3) 2
1、n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥
条(n≥3
3、n边形的内角和为(n－2) ×180°(n≥3) 4、任何多边形的外角和为360° 5. 已知内角和求几边形:内角和÷180+2 6、正n边形每个内角的度数是 7、正n边形每个外角的度数是
五、布置作业
教科书习题11.3第1、2、4、5题．
4、一个多边形的每一个外角都相等，且每一 个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和 每个内角的度数。
5、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形 6、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角,
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八年级数学上册(人教版)课件：11.3 多边形及其内角和
第十一章 三角形
11．3 多边形及其内角和 11．3.2 多边形的内角和
知识点1：多边形的内角和 B 1．八边形的内角和等于( ) A．360° B．1080° C．1440° D．2160° 2．(2017·重庆)已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( ) A．C 五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
13．(2017·南宁)一个B 正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一 个外角等于( ) A．60° B．72° C．90° D．108° 14．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能( )C A．都是钝角 B．都是锐角 C．一个是锐角、一个是钝角 D．一个是锐角、一个是直角
知识点2：多边形的外角和
C
6．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
7．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为
( B) A．3 B．4 C．5 D．6
D
8．多边形的边数每增加1条，它的( ) A．内角和、外角和都增加180° B．内角和、外角和都减少180° C．内角和、外角和都保持不变 D．内角和增加180°，外角和保持不变 9．一个正多边形的外角不可能等于( ) A．30° B．40° C．50° D．60° C
12．(2016·薛城)如图，小明从点O出发，前进5 m后向右转15°，再前进 5 m后又向右转15°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止， 他所走的路径构成了一个多边形． (1)小明一共走了多少米？ (2)这个多边形的内角和是多少度？ 解：(1)360÷15×5＝120(m) (2)(360÷15－2)×180＝3960°
18．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C 的度数； (2)如图②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度 数．
11．3 多边形及其内角和 11．3.2 多边形的内角和
知识点1：多边形的内角和 B 1．八边形的内角和等于( ) A．360° B．1080° C．1440° D．2160° 2．(2017·重庆)已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( ) A．C 五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
13．(2017·南宁)一个B 正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一 个外角等于( ) A．60° B．72° C．90° D．108° 14．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能( )C A．都是钝角 B．都是锐角 C．一个是锐角、一个是钝角 D．一个是锐角、一个是直角
知识点2：多边形的外角和
C
6．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
7．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为
( B) A．3 B．4 C．5 D．6
D
8．多边形的边数每增加1条，它的( ) A．内角和、外角和都增加180° B．内角和、外角和都减少180° C．内角和、外角和都保持不变 D．内角和增加180°，外角和保持不变 9．一个正多边形的外角不可能等于( ) A．30° B．40° C．50° D．60° C
12．(2016·薛城)如图，小明从点O出发，前进5 m后向右转15°，再前进 5 m后又向右转15°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止， 他所走的路径构成了一个多边形． (1)小明一共走了多少米？ (2)这个多边形的内角和是多少度？ 解：(1)360÷15×5＝120(m) (2)(360÷15－2)×180＝3960°
18．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C 的度数； (2)如图②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度 数．
人教版八年级数学上册(课件)11.3多边形及其内角和 11.3.2多边形的内角和
A B
E B
C
D
五边形
180。×3=540。
A F
E
C
D
六边形
180。×4=720。
（4-2）
（5-2）
（6-2）
n边形内思角考：和n=边形18的0内。角×和如（何n表-2示）？
提示
练习1：你能说出七边形的内角和吗？ 十边形呢？
N边形内角和=180。 ×（n-2）
解：七边形内角和： 180。×（7-2）=900。
复习回顾
▪ 1、多边形的定义。 ▪ 2、相关概念：多边形的内角，多边形
的对角线。 ▪ 3、 4边形有几个内角？ 5边形有几个
内角？ n边形有几个内角？
三角形的内角和等于180°
长方形，正方形的内角和 都是360°
猜猜看：任意四边形的内角和等于多 少？
➢活动1：探索任意四边形的内角和等 于多少度？ 你是怎样得到的？你能找到几种方 法？
140。 x。
练习3：求下列图中x的值。
解：140。+90。+x。+x。=180。×（4-2）
230。+2x。=360。
x。
2x。= 130。
x。=65。
解：120。+150。+90。+ x。+2x。=180。×
150。 2（x。5-2）
120。
360。+3x。=540。
x。
3x。=180。
x。=60。
那么另 A
解：如图所示，四边形ABCD中，
D
∠A+∠C=180。
B
因为
∠A+∠B+ ∠C+ ∠D=（4-2）×180。 =360。
人教版数学八年级上册11.3.2多边形的内角和 课件(共24张PPT)
A
B
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一 组对角也互补。
情境引入 合作探究
【学习任务四】探究多边形的外角和.
B 1 A5
2 C3
E
4 D
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个
多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的
和叫做这个多边形的外角和.
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？你会推理证明吗？
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
几何推理
几何推理
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
几何推理
缩放法
情境引入 合作探究
情境引入 合作探究
动手 思考：多边形的外角和与边数有关吗？
操作
特
一
殊
般
猜想 任意多边形的外角和都等于360°
具
抽体ຫໍສະໝຸດ 象情境引入 合作探究
由简单到复杂 由特殊到一般
猜想：n边形的外角和等于360°
= 3×180°
D = 540°
n边形内角和：
（n-1）·180°- 180°
= （n-1-1）·180°
= （n-2）·180°
情境引入 合作探究
E
A
B
C
五边形内角和：
5×180°- 360 °
= 5×180°- 2×180°
=（5-2）×180°
D
=
540 ° n边形内角和：
n·180°- 2×180°
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
新人教版八年级上册初中数学 11.3.2 多边形的内角和 教学课件
3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.（难点）
第二页，共二十一页。
新课讲解
知识点1 多边形的内角和 思考 问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？
三角形的内角和是180°
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 长方形和正方形的内角和都是360°
问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？ 任意一个四边形的内角和是360°
第六页，共二十一页。
新课讲解
知识点1 多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
通过以上的探究，多边形的内角和与边数之间有密切的关系:
从n边形的一个顶点出发，
可以作出（n-3）条对角线， 它们将n边形分成了（n-2）个三角形，
n边形的内角和等于180°×（n-2）.
当堂小练
（3）已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的比都是7:2，则这个多边形
是（ ）边九形，共有（
）条2对7 角线.
解：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻的外角为2x°,
因为每一个内角与其相邻的外角之和为180°，所以
7x°+2x°= 180° ，解得x=20，外角为40°.
边数为360° ÷40° =9，则这个多边形是九边形.
第九页，共二十一页。
新课讲解
典例分析
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
E 5
4 D 3
F 6
A1
C 2 B
每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角加 上与它们相邻的内角等于180°×6.
第二页，共二十一页。
新课讲解
知识点1 多边形的内角和 思考 问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？
三角形的内角和是180°
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 长方形和正方形的内角和都是360°
问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？ 任意一个四边形的内角和是360°
第六页，共二十一页。
新课讲解
知识点1 多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
通过以上的探究，多边形的内角和与边数之间有密切的关系:
从n边形的一个顶点出发，
可以作出（n-3）条对角线， 它们将n边形分成了（n-2）个三角形，
n边形的内角和等于180°×（n-2）.
当堂小练
（3）已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的比都是7:2，则这个多边形
是（ ）边九形，共有（
）条2对7 角线.
解：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻的外角为2x°,
因为每一个内角与其相邻的外角之和为180°，所以
7x°+2x°= 180° ，解得x=20，外角为40°.
边数为360° ÷40° =9，则这个多边形是九边形.
第九页，共二十一页。
新课讲解
典例分析
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
E 5
4 D 3
F 6
A1
C 2 B
每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角加 上与它们相邻的内角等于180°×6.
人教版八年级数学上册 11.3.2 多边形的内角和 课件(共29张PPT)
5
知识点一：多边形的内角和
新知探究
四边形内角和
D
4
C
如图，在四边形ABCD中，连接 对角线AC,则四边形ABCD被分为
△ABC和△ACD两个三角形.
2
A
1
3 B
你能推出五
由此可得：∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
边形和六边形
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D 的内角和吗？
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
复习备用
多边形
三角形
四边形
五边形
……
六边形
n边形
从一个顶点引出 的对角线条数
0
1
2 3 …… n-3
1 分割出的三角形 的个数
2
3 4 …… n-2
1
激情引入
1.看完这些图案你能抽象出哪些几何图形? 2.生活中有如此多的几何图形，你对它们了 解多少?
我们知道三角形的内角和是180度,正方 形、长方形的内角和是360度，那么四边形、 五边形、六边形的呢?
2
人教版八年级数学上册 第十一章 三角形
11.3 多边形及内角和
11.3.2 多边形的内角和
3
学习目标 1.会通过不同方法探索多边形的内角和与外角和
公式,并会用它们进行有关计算. 2.通过将多边形问题转化为三角形问题解决，体 会化归思想的应用方法，提高分析问题和解决问 题的能力.
重点难点
重点:多边形的内角和与外角和. 难点:多边形的内角和公式的推导.
A.360° B.540° C.720° D.900°
14
人教版八年级数学上册11.3.2多边形的内角和课件 (共33张PPT)
=180°×4-360°=360°.
B
C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,
连接PA、PB、PC、四边形变成有一个公共顶点的四个
三角形.
所以四边形ABCD内角和为
D
A
180° ×3－ 180° = 360°.
P•
B
结论： 四边形的内角和为360°.
C
D
A
D
A
D
A
E
•
B
C
D
A
P•
B
C
B
•
E
C
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
方法1：如图，连接AC,
D
A
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B
C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
······
n -3
n -2
（ n -2 ）·180º
归纳总结
多边形
分割
三角形
转化思想
新人教版八年级数学上册第11章三角形11.3多边形及其内角和《11.3.2 多边形的内角和》优质课件
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
如图，从多边形的一 个顶点A 出发，沿多边形 的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发的 方向．
A
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
在行程中转过的各个
角的和，就是多边形的外
180°× 3 = 540 °． B
E D
C
动手操作，探究新知
如图，从六边形的一个顶点出发，可以作___3__条 对角线，它们将六边形分为___4__个三角形，六边形的 内角和等于180°×__4__=___7_2_0__°．
F A
E
B
D
C
归纳总结，获得新知
思考 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发： （1）十边形的内角和为 1 440 度． （2）已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数
为___8___．
动脑思考，例题解析
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
组对角有什么关系？
C
解：如图，四边形ABCD 中，
D
∠A +∠C =180°．
∵ ∠A +∠B +∠C +∠D
应是整数，因此不存在这样的多边形．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样得到“多边形外角和等于360°”这
一结论的？
布置作业
教科书习题11.3第6题．
问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小 于3 的任意整数）的外角和吗？
因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角， 它们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于 n ·180°，所以， n 边形的外角和为：
【精品】人教版八年级数学上册课件：11.3.2 多边形的内角和
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ 1∠EAB，
2
同理可得∠ABP＝
1
∠ABC，
2
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
当堂练习
1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的
每一个内角等于__1_2_0_°_．
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左 转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…， 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的 路程一共是_1_5_0_____米．
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
讲授新课
一 多边形的内角和 问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°. 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想与证明
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ D
······
3 ······ n -3
4
4×180º=720º
······
······
n -2 （ n -2 ）·180º
总结归纳
多边形
人教版数学八年级上册11.3.2 多边形的内角和课件(共29张PPT)
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°, ∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)
=360°-180°=180° 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
探究2 后来小唯唯沿公园里面的一个五边形小路按逆时针方向跑步，小唯唯 每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪 些角吗?
随堂练习
1.五边形的外角和等于( B )
A .180°
B.360°
C.540°
D.720°
2.如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(
A.4
B.5
C.6
D.7
3. 一个正多边形的内角和是540°,则这个正多边形的每一个外角等于
( B ).
A .60°
B.72°
C.90 °
D.108。
方法1 证明：如图，连接AC,
∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠3+∠B)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
方法2 证明：如图，在四边形内部取一点0,连接OA, OB,0C,OD, 把四边形分成四个三角形.
所以四边形ABCD 的内角和
课堂小结
内角和计算公式 —(n-2)×180°(n≥3的整数)
多边形
外角和 正多边形
多边形的外角和等于360°,与边数无
关。
,每个外角=360°
总结归纳 1.多边形的外角和为360°. 2.多边形的内(外)角和与边数间的关系： (1)多边形的内角与0°,与边数的多少无关，其作用是 ①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数； ②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数.
=360°-180°=180° 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
探究2 后来小唯唯沿公园里面的一个五边形小路按逆时针方向跑步，小唯唯 每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪 些角吗?
随堂练习
1.五边形的外角和等于( B )
A .180°
B.360°
C.540°
D.720°
2.如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(
A.4
B.5
C.6
D.7
3. 一个正多边形的内角和是540°,则这个正多边形的每一个外角等于
( B ).
A .60°
B.72°
C.90 °
D.108。
方法1 证明：如图，连接AC,
∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠3+∠B)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
方法2 证明：如图，在四边形内部取一点0,连接OA, OB,0C,OD, 把四边形分成四个三角形.
所以四边形ABCD 的内角和
课堂小结
内角和计算公式 —(n-2)×180°(n≥3的整数)
多边形
外角和 正多边形
多边形的外角和等于360°,与边数无
关。
,每个外角=360°
总结归纳 1.多边形的外角和为360°. 2.多边形的内(外)角和与边数间的关系： (1)多边形的内角与0°,与边数的多少无关，其作用是 ①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数； ②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数.
人教版八年级数学上册11.3.2多边形的内角和(二)课件(共16张ppt)
Ａ
1
再思考
= 360°
B
2
3
还有没有 F 其他方法？
C
D
知识探究
探究2 如图，你能仿照上面的方法求四边形的外 角和吗？ ∵ ∠BAD +∠1 =180° B Ａ 1 2 ∠ABC +∠2 =180° ∠BCD +∠3 =180° ∠ADC +∠4 =180° D C ∴∠BAD + ∠1 + ∠ABC 4 3 +∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 =180°×4 又∵∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2 =360° ∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 - 180°×2 =360°
n ·180°-（n -2）·180°= 360°．
知识探究
我们也可以这样理解多边形外角 和等于360°． 从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过 个顶点，再回到点A，然后 转向出发时的方向.在行程所 转的各个角的和就是多边形 的外角和.由于走了一周，所 转的各个角的和等于一个周 角，所以多边形外角和等于 360°．
Ａ. 5
Ｂ.6
Ｃ.7
Ｄ.8
2、一个多边形的外角和等于内角和的一半，这个多 边形是（Ｄ ） Ａ.三角形 Ｂ.四边形 Ｃ.五边形 Ｄ.六边形 ３、如果一个凸多边形除去一个内角以外的所有其 它内角的和等于2570°，则该内角为 130 度。
课堂反馈
4、如图，∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E＋∠F＋ ∠G= 540 度。 A B C
八年级 上册
11.3.2 多边形的内角和（2）
学习目标：