信号检测理论基础分析

傅里叶变换对（频率形式）
S( f ) s(t)ej2πf tdt s(t) S( f )e j2πf td f
9
2.2 确知信号的性质
傅里叶变换实例：矩形脉冲信号的频谱密度
1 t 2 g(t) 0 t 2
g (t ) 1
2
O
2
Fourier transforms
t
T T T 2
自相关函数是时延量 的函数。
18
origin
2.2 确知信号的性质
S ( )
Sa
2
G( f ) [ Sa(π f )]2
s (t )
1
S ( )
O
G( f )
2
O 2
t
O
f
14
2.2 确知信号的性质
截短信号
对于功率信号 s (t)，称sT (t) s(t), | t | T 2
sT (t) 0, | t | T 2 为 s (t) 的截短信号。且有
lim
T
sT
(t
)
s(t
)
s (t)
truncated signal
T 2
O
t
sT (t)
O T2 t
15
2.2 确知信号的性质
Power Spectral Density (PSD)
功率谱密度
设 sT (t) 为 s (t) 的截短信号
设 sT (t) 的频谱密度为 ST ( f )，则其能量 E 为
sin
n0
2
n0
2
T0
Sa
n0
2
T0
1 fT0 (t)
2
O
2
Cn
T0
t
O
n0
8
2.2 确知信号的性质
aperiodic signals
能量（非周期）信号的频谱密度 —— 傅里叶变换 傅里叶变换对（角频率形式）
S () s(t)ejtdt s(t) 1 S ()e jtd 2π
频率、角频率和周期
0
2π
f0
2π T0
频谱的振幅和相位
Cn Cn ejn
Fourier series
7
2.2 确知信号的性质
傅里叶级数实例：周期方波信号的频谱
periodic signals
1 t 2 f (t) 0 t 2
fT0 (t) f (t kT0 ) k
Cn
T0
n
spectral density
11
2.2 确知信号的性质
傅里叶变换实例：周期方波信号的频谱密度
1 t 2 f (t) 0 t 2
fT0 (t) f (t kT0 ) k
Fourier coefficients
FT0
( )
2π
T0
Sa n
n0
2
(
n0 )
1 fT0 (t)
17
2.2 确知信号的性质
autocorrelation function
自相关函数
自相关函数用以描述一个信号 s(t) 与其时延信号 s(t) 的
相关程度
能量信号的自相关函数
R( ) s(t)s(t )dt
功率信号的自相关函数
R( ) lim 1
T2
s(t)s(t )dt
能量信号 信号能量定义为
E lim T /2 s2 (t)dt (J) T T / 2
能量有限的信号称为能量信号，即 0 < E <
s1 (t )
s2 (t)
energy signals
O
t
O
t
5
2.1 信号的类型
功率信号 信号的功率定义为
P lim 1 T /2 s2 (t)dt (W)
T T T / 2 功率有限的信号称为功率信号，即 0 < P <
power signals
s4 (t)
O
t
6
2.2 确知信号的性质
功率（周期）信号的频谱 —— 傅里叶级数 傅里叶级数系数
Cn
1 T0
T0 2 s(t)e jn0tdt
T0 2
傅里叶级数
s(t) Cne jn0t
n
s1 (t )
s2 (t)
deterministic signals
O
t
O
t
3
2.1 信号的类型
random signals
随机信号 给定某一时刻，无法确定该时刻信号的取值； 无法用确定函数表示的信号，但信号有一定的统计规律。 例如：语音信号、图像信号等。
s3 (t)
O t
你
好
4
2.1 信号的类型
Hale Waihona Puke G( )2sin
2
Sa
2
G( )
O
10
2.2 确知信号的性质
功率（周期）信号的频谱密度 —— 傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数
s(t) Cne jn0t n
周期信号的频谱密度
S() F
[s(t)] F
Cn
e
jn0t
n
CnF [e jn0t ]
n
2π Cnδ( n0 )
16
2.2 确知信号的性质
功率谱密度实例：周期信号的功率谱密度
由帕塞瓦尔定理可得周期信号的功率
P
1 T0
T0 2 s2 (t)dt
T0 2
Cn
n
2
周期信号的功率谱密度
P( f ) Cn 2 ( f nf0 ) n
因为
P P( f )d f
Cn 2
n
impulse function
FT0 ( )
T0
O 22
T0
t
O
12
2.2 确知信号的性质
Energy Spectral Density (ESD)
能量谱密度
设 s (t) 为能量信号，且它的频谱密度为 S ()
则由帕塞瓦尔定理得 s (t) 的能量为
E s2 (t)dt 1 S() 2 d S( f ) 2 d f
信号
本章提要
信号的类型 确知信号的性质 随机变量 通信中几种常见的概率分布 随机变量的数字特征 随机过程 高斯过程 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯过程 信号通过线性系统
signals
2
2.1 信号的类型
确知信号 任意时刻的信号取值都是确定的信号； 可以用明确的数学表达式表示的信号。 例如：指数信号、矩形脉冲信号等。
2π
能量谱密度函数的定义
G( f ) S( f ) 2 (J Hz)
用能量谱密度函数表示帕塞瓦定理
E
s2 (t)dt
G( f )d f
13
2.2 确知信号的性质
能量谱密度实例：矩形脉冲信号的能量谱密度
Parseval’s theorem
1 t 2 s(t) 0 t 2
E
sT2
(t)dt
T 2 s2 (t)dt
T 2
ST
(
f
)
2d
f
s (t) 的功率为
P lim 1
T / 2 s2 (t)dt
lim
ST ( f ) 2 d f
T T T / 2
T T
功率谱密度函数定义为
P( f ) lim ST ( f ) 2 T T
(W Hz)