高中数学第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两条直线的交点课件1苏教版必修2
两条直线的交点
本节导言
本节课研究的问题是：
——如何求出两条相交直线的交点坐标？ ——二元一次方程组解的个数与所表示 的两条直线之间的位置关系如何 ？
问题情境、学生活动
探究： 我们知道任意一条直线都可以用一个二 元一次方程组来表示，那么，两条直 线是否有交点与它们对应的方程所组 成的方程组是否有解有何联系？
2. 课本P84练习2.
数学运用
思考：已知直线l1：x+y+1=0和 l2： x−2y+4=0，那么方程x+y+1+λ (x−2y+4) =0（λ为任意实数）表示的直 线有什么特点？
答案：表示过直线l1和 l2交点 （−2，1） 的直线（除了直线l2）.
数学运用
例3
某商品的市场需求量y1（万件）、 市 场 供 应 量 y2 （ 万 件 ） 与 市 场 价 格 x （元/件）分别近似地满足下列关系： y1=−x+70，y2=2x−20． 当 y1=y2 时的市场价格称为市场平均价 格，此时的需求量称为平衡需求量.
数学理论
两条直线的位置关系与二元一次方程 组的解数之间的关系表：
A1 x B1 y C1 0 方程组 的解 A2 x B2 y C 2 0
Байду номын сангаас一组 一个 相交
无数组 无数个 重合
无解 零个 平行
直线 l1，l2 的公共点个数 直线 l1，l2 的位置关系
数学运用
例1 分别判断下列直线l1与l2是否相交， 若相交，求出它们的交点： ：
问题情境、学生活动
设两条直线的方程分别是
l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0. 那这两个二元一次方程公共的解即是这两个 集合的交集，也就是这两条直线的交点. 如果方程无解，说明两直线没有公共点，即 两条直线平行； 如果有一解，说明两条直线有一个公共点， 即两条直线相交； 如果有至少两个解（无穷多解），那么两条 直线的至少有两个公共点，即两条直线重 合； 反过来，也是成立的.
（1）求平衡价格和平衡需求量； （2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对 每件商品应给予多少元补贴？
回顾反思
两条直线的交点与两条直线方程 的公共解是什么关系？
——一一对应．
两条直线方程的公共解得个数与 两条直线的位置关系如何？
——无解对应平行，一解对应相交，无 穷多解对应重合．
课后作业
课本P87练习 3．； 4．； 8．
（1）l1：2x−y=7， l2：3x+2y−7=0； （2）l1：2x−6y+4=0；l2：4x−12y+8=0； （3）l1：4x+2y+4=0；l2：y=−2x+3．
数学运用
例2 直线l经过原点，且经过另两条 直线2x+3y+8=0，x−y−1=0的交点， 求直线l的方程．
数学运用
练习: 1．课本P84 练习1；
问题情境、学生活动
设两条直线的方程分别是
l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A1x+B1y+C1=0.
我们知道满足方程A1x+B1y+C1=0的 数对（x，y）的集合是直线l1； 同样满足方程A2x+B2y+C2=0的数对 （x，y）的集合是直线l2； 那这两个二元一次方程公共的解即是 这两个集合的交集，也就是这两条直 线的交点.
本节导言
本节课研究的问题是：
——如何求出两条相交直线的交点坐标？ ——二元一次方程组解的个数与所表示 的两条直线之间的位置关系如何 ？
问题情境、学生活动
探究： 我们知道任意一条直线都可以用一个二 元一次方程组来表示，那么，两条直 线是否有交点与它们对应的方程所组 成的方程组是否有解有何联系？
2. 课本P84练习2.
数学运用
思考：已知直线l1：x+y+1=0和 l2： x−2y+4=0，那么方程x+y+1+λ (x−2y+4) =0（λ为任意实数）表示的直 线有什么特点？
答案：表示过直线l1和 l2交点 （−2，1） 的直线（除了直线l2）.
数学运用
例3
某商品的市场需求量y1（万件）、 市 场 供 应 量 y2 （ 万 件 ） 与 市 场 价 格 x （元/件）分别近似地满足下列关系： y1=−x+70，y2=2x−20． 当 y1=y2 时的市场价格称为市场平均价 格，此时的需求量称为平衡需求量.
数学理论
两条直线的位置关系与二元一次方程 组的解数之间的关系表：
A1 x B1 y C1 0 方程组 的解 A2 x B2 y C 2 0
Байду номын сангаас一组 一个 相交
无数组 无数个 重合
无解 零个 平行
直线 l1，l2 的公共点个数 直线 l1，l2 的位置关系
数学运用
例1 分别判断下列直线l1与l2是否相交， 若相交，求出它们的交点： ：
问题情境、学生活动
设两条直线的方程分别是
l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0. 那这两个二元一次方程公共的解即是这两个 集合的交集，也就是这两条直线的交点. 如果方程无解，说明两直线没有公共点，即 两条直线平行； 如果有一解，说明两条直线有一个公共点， 即两条直线相交； 如果有至少两个解（无穷多解），那么两条 直线的至少有两个公共点，即两条直线重 合； 反过来，也是成立的.
（1）求平衡价格和平衡需求量； （2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对 每件商品应给予多少元补贴？
回顾反思
两条直线的交点与两条直线方程 的公共解是什么关系？
——一一对应．
两条直线方程的公共解得个数与 两条直线的位置关系如何？
——无解对应平行，一解对应相交，无 穷多解对应重合．
课后作业
课本P87练习 3．； 4．； 8．
（1）l1：2x−y=7， l2：3x+2y−7=0； （2）l1：2x−6y+4=0；l2：4x−12y+8=0； （3）l1：4x+2y+4=0；l2：y=−2x+3．
数学运用
例2 直线l经过原点，且经过另两条 直线2x+3y+8=0，x−y−1=0的交点， 求直线l的方程．
数学运用
练习: 1．课本P84 练习1；
问题情境、学生活动
设两条直线的方程分别是
l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A1x+B1y+C1=0.
我们知道满足方程A1x+B1y+C1=0的 数对（x，y）的集合是直线l1； 同样满足方程A2x+B2y+C2=0的数对 （x，y）的集合是直线l2； 那这两个二元一次方程公共的解即是 这两个集合的交集，也就是这两条直 线的交点.
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高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点8高一数学
(3)方程组24xx＋＋y2－y＋3＝4＝00 无解，这表明直线l1和l2没有公共点， 故l1∥l2.
12/12/2021
主目录
第十一页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直线对应 方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方 程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用两直线的斜率及截距的关系．
解
(1)解方程组3x－x＋y＝3y－0 10＝0 ，得xy＝＝5353
.
所以，l1与l2相交，交点是M53，35.
12/12/2021
主目录
第十三页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(2)方程组42xx－－162y＋y＋4＝ 8＝00 有无数组解，这表明直线l1和l2重合．
12/12/2021
主目录
第十页，共三十六页。
ห้องสมุดไป่ตู้
探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
12/12/2021
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第二十一页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
12/12/2021
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第十一页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直线对应 方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方 程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用两直线的斜率及截距的关系．
解
(1)解方程组3x－x＋y＝3y－0 10＝0 ，得xy＝＝5353
.
所以，l1与l2相交，交点是M53，35.
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(2)方程组42xx－－162y＋y＋4＝ 8＝00 有无数组解，这表明直线l1和l2重合．
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ห้องสมุดไป่ตู้
探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
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第二十一页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
高中数学必修二第二章第一节课件
如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.4 两条直线的交点课件高一数学课件
第七页，共三十六页。
练一练 (2) 下列直线中，与直线 2x－y＋3＝0 相交的是( )
A．4x－2y－6＝0
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋5
D．y＝－2x－3
答案：D
第八页，共三十六页。
两条直线的交点与直线方程有何关系？ 答：两条直线相交，交点一定在两条直线上，交点坐标是这 两个直线方程组成的方程组的唯一解；如果两个二元一次方程组 成的方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点，必是方程对应 直线的交点．
即前两条直线的交点坐标为kk＋ ＋64，k＋1 4. ∵三条直线交于一点，∴上述直线交点必在第三条直线上，
∴3k·kk＋ ＋64＋4·k＋1 4＝5，解得 k＝1 或 k＝－136.
第二十四页，共三十六页。
若三条直线 l1：7x－y－9＝0，l2：x＋y－7＝0，l3： x＋my－27＝0 不能围成三角形，求实数 m 的值．
第十四页，共三十六页。
求证无论 m 取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－ (m－11)＝0 都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【解】 解法一：令 m＝0，得 x－3y－11＝0， 令 m＝1，得 x＋4y＋10＝0， 解方程组xx－ ＋34yy－ ＋1110＝＝00，， 得yx＝＝－2，3， 则两直线交点为(2，－3)．
第十七页，共三十六页。
【规律总结】 求直线恒过定点问题，一般两种方法：①令 参数取两个特殊值，求出对应直线交点坐标，再证明一般性；② 整理成关于参数的方程，依据方程恒成立的特点，列方程组求定 点．
第十八页，共三十六页。
求证 m 为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m －1)y＝m－5 过定点．
证明：证法一：令 m＝1，得 y＝－4， 令 m＝12，得 x＝9. ∴直线 x＝9 与 y＝－4 交点坐标为(9，－4)． 将交点坐标代入原直线方程左端，得： (m－1)×9－(2m－1)×4＝9m－9－8m＋4＝m－5，
练一练 (2) 下列直线中，与直线 2x－y＋3＝0 相交的是( )
A．4x－2y－6＝0
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋5
D．y＝－2x－3
答案：D
第八页，共三十六页。
两条直线的交点与直线方程有何关系？ 答：两条直线相交，交点一定在两条直线上，交点坐标是这 两个直线方程组成的方程组的唯一解；如果两个二元一次方程组 成的方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点，必是方程对应 直线的交点．
即前两条直线的交点坐标为kk＋ ＋64，k＋1 4. ∵三条直线交于一点，∴上述直线交点必在第三条直线上，
∴3k·kk＋ ＋64＋4·k＋1 4＝5，解得 k＝1 或 k＝－136.
第二十四页，共三十六页。
若三条直线 l1：7x－y－9＝0，l2：x＋y－7＝0，l3： x＋my－27＝0 不能围成三角形，求实数 m 的值．
第十四页，共三十六页。
求证无论 m 取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－ (m－11)＝0 都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【解】 解法一：令 m＝0，得 x－3y－11＝0， 令 m＝1，得 x＋4y＋10＝0， 解方程组xx－ ＋34yy－ ＋1110＝＝00，， 得yx＝＝－2，3， 则两直线交点为(2，－3)．
第十七页，共三十六页。
【规律总结】 求直线恒过定点问题，一般两种方法：①令 参数取两个特殊值，求出对应直线交点坐标，再证明一般性；② 整理成关于参数的方程，依据方程恒成立的特点，列方程组求定 点．
第十八页，共三十六页。
求证 m 为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m －1)y＝m－5 过定点．
证明：证法一：令 m＝1，得 y＝－4， 令 m＝12，得 x＝9. ∴直线 x＝9 与 y＝－4 交点坐标为(9，－4)． 将交点坐标代入原直线方程左端，得： (m－1)×9－(2m－1)×4＝9m－9－8m＋4＝m－5，
两条直线的交点-PPT课件
第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点课件2高一数学课件
表示直线 l2 .。作 业：。得
Image
12/13/2021
第三十一页，共三十一页。
tan2 tan1 k 2 k1 ， 1tan2tan1 1 k 2 k1
即
tan k2 k1 .
1k2k1
当 ta n0时 直 ， l1线 到 l2的是 角锐角
当 ta n 0 时 直 ， l1到 线 l2的是 角 .钝角
l2到l1的角等 ， 于
在 和中有且仅有一个角， 是锐
我们(wǒ men)把其中的锐角叫做这两条直线的夹角.
第二十二页，共三十一页。
作 业： 教材(jiàocái)：58页习题7.3 11 , 12 教辅：57页~59页 课堂练习 1~4
第二十三页，共三十一页。
练习：
1.光线沿x 着 2y直 50线 射入，遇 3x2到 y7直 0 线
即行反射， 在求 直反 线 . 射 方线 程所
解： 设反射线的斜率为 k，
2x+ y +2=0.
(1)
(2)
解： 由(1)(2)4得： 5x1 00
即 x2 将它代（ 入2）得 y 2 l 2 y
方程组的xy解 2是 2. l1
M
O
说 明： 几何意义 : 直 l1:线 3 x 4 y 2 0 与
x
直 l2:线 2 x y 2 0 相交 M ( 2 ， 于 2 ). 点
当 1k1k20时 ， tan1 k1，tan2k2.
第三页，共三十一页。
1 2
l1
l2
2
1
(1)
(2)
由图可知 21 或 或 ( 12 21)
ta n ta 2 n 1 ()
或 ta t na n (2 [1 )]tan2 (1)
Image
12/13/2021
第三十一页，共三十一页。
tan2 tan1 k 2 k1 ， 1tan2tan1 1 k 2 k1
即
tan k2 k1 .
1k2k1
当 ta n0时 直 ， l1线 到 l2的是 角锐角
当 ta n 0 时 直 ， l1到 线 l2的是 角 .钝角
l2到l1的角等 ， 于
在 和中有且仅有一个角， 是锐
我们(wǒ men)把其中的锐角叫做这两条直线的夹角.
第二十二页，共三十一页。
作 业： 教材(jiàocái)：58页习题7.3 11 , 12 教辅：57页~59页 课堂练习 1~4
第二十三页，共三十一页。
练习：
1.光线沿x 着 2y直 50线 射入，遇 3x2到 y7直 0 线
即行反射， 在求 直反 线 . 射 方线 程所
解： 设反射线的斜率为 k，
2x+ y +2=0.
(1)
(2)
解： 由(1)(2)4得： 5x1 00
即 x2 将它代（ 入2）得 y 2 l 2 y
方程组的xy解 2是 2. l1
M
O
说 明： 几何意义 : 直 l1:线 3 x 4 y 2 0 与
x
直 l2:线 2 x y 2 0 相交 M ( 2 ， 于 2 ). 点
当 1k1k20时 ， tan1 k1，tan2k2.
第三页，共三十一页。
1 2
l1
l2
2
1
(1)
(2)
由图可知 21 或 或 ( 12 21)
ta n ta 2 n 1 ()
或 ta t na n (2 [1 )]tan2 (1)
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两条直线的交点课件苏教版必修2
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解 交点个数 直线的位置关系
无解 有唯一解 有无数组解
0个 1个 无数 个
平行 相交 重合
[点睛] 过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0.l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈ R)(不包括直线 l2).
法二：因为所求直线经过直线 l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y －3＝0 的交点，故可设所求直线方程为 2x＋3y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 整理得(2＋3λ)x＋(3－2λ)y－5－3λ＝0.(*) 因为所求直线平行于直线 2x＋y－3＝0， 故2＋23λ＝3－12λ， 解得 λ＝47，代入(*)式，得276x＋173y－477＝0. 化简得 26x＋13y－47＝0.
交点的直线系方程，解出交点坐标即可．
3．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a 的值 为________． 答案：23
4．直线 (a＋2)x＋(1－a)y－3＝0(a∈R)始终经过一个定点，则 该定点的坐标为________．
答案：(1,1)
两直线的位置关系及交点问题
[典例] 分别判断下列直线 l1 与 l2 的位置关系，若相交，求 出它们的交点坐标．
直线经过定点问题的三种求法 (1)特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同 直线，联立其中两条便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定
点．(用于客观题) (2)恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，
根据恒等式的性质，由参数的系数和常数项均为零，就可以求
得该定点坐标． (3)直线系方程法：先按照参数整理，看成经过两条直线的
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两
4． (2014· 曲靖高一检测)两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0
±6 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________ ．
k k 解析：在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0 得 y＝ ，将(0， )代入 x 3 3 －ky＋12＝0，解得 k＝± 6.
两条直线位置关系的判断
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解 交点 两直线 位置关系 平行 方程系数特征 A1B2＝A2B1 B1C2≠B2C1
无解
两直线 无 ____________ 交点
两条直线 ____________ 有一个 交点
有惟一解
相交
A1B2≠A2B1
两条直线有 无数 有无数个解 ____________ 个交点
1．两直线的位置关系与二元一次方程组的关系 设两条直线的方程分别是l1：A1xபைடு நூலகம்B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y
＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点 公共解 的坐标一定是这两个方程的 ______________ ；反之，如果这 一个 两个二元一次方程只有 ______________ 公共解，那么以这个 解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．
第2章
平面解析几何初步
2．1.4 两条直线的交点
第2章
平面解析几何初步
学习导航 1.了解用代数法求解两条直线的交点的思路． 2.理解两直线的位置关系与二元一次方程组的 学习 解之间的联系．(难点) 目标 3.掌握应用二元一次方程组的解讨论研究两条 直线的位置关系的方法．(重点) 通过把两直线交点坐标的问题转化为两直线对 应的二元一次方程组解的问题，加深对解析法 学法 的理解及对数形结合思想的感悟；通过对一般 指导 形式的直线方程组解的讨论，提高对分类讨论 思想的掌握.
苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第1节直线与方程教学课件
即5x2－－y21＝31－－x52＝1，解得 x2＝7，y1＝0.
(2)显然，直线斜率存在．由三点共线，得 kAB＝kAC，即2－2 a＝2－2 b，
整理得 2a＋2b＝ab.∴1a＋1b＝a＋ abb＝2aa＋＋b2b＝12.]
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已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若有 x1＝x2＝x3 或 kAB＝kAC， 则有 A，B，C 三点共线．利用斜率判断三点共线应注意以下三点：
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(2)直线的斜率与倾斜角的关系 ①从关系式上看：若直线 l 的倾斜角为 α(α≠90°)，则直线 l 的 斜率 k＝ tan α ．
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②从几何图形上看：
直线情形
α的 大小 k的 大小
0°<α<90
0°
90° 90°<α<180°
°
k ＝ __ta_n_α____ ＝
0
k＝__ta_n_α__ 不存在
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已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，表示直线的斜率时，要注意 直线斜率存在的前提，即只有 x1≠x2 时才能用斜率公式求解．当 x1 ＝x2 时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90°.当点的坐标中 含有参数时，要注意对参数的讨论．
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1．过点 P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为 1，则 m＝________． 1 [－m2－－4m＝1，m＝1.]
思路探究：(1) kP1P2＝kP2P3＝1 → 分别解方程求x2，y1 (2) kAB＝kAC → 化简得a与b的关系 → 代入化简求值
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(1)7
0
1 (2)2
[(1)由 α＝45°，故直线 l 的斜率 k＝tan 45°＝1，
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
题型一
题型二
题型三
题型四
方法三: 很显然直线l不为直线l2,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 由题意,知3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得λ=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0. 反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从 垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线l的斜率和一定点坐标;方法 二是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三 是从直线l过直线l1和l2的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线 系设出方程.
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二 : 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, ������-2������ + 4 = 0, 解方程组 得 P(0,2), ������ + ������-2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.
������ = -1, 得 所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). ������ = -2,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交, 求出交点坐标.
������ = -2, ������-2������ + 1 = 0, 解:解方程组 得 1 所以直线 l1 与 l2 相交, 交 2������-2������ + 3 = 0, ������ = - , 点坐标是 -2,- 2 .
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点课件高一数学课件
地，点 P 关于坐标原点 O 的对称点为 P′(－x0，－y0)．
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第三十二页，共四十八页。
2．点关于直线对称 (1)若点 P 关于直线 l 的对称点为 P′，则直线 l 为线段 PP′ 的中垂线，于是有等量关系：①kPP′·kl＝－1(直线 l 的斜率存在 且不为零)；②线段 PP′的中点在直线 l 上；③直线 l 上任意一 点 M 到 P，P′的距离相等，即|MP|＝|MP′|. (2)常见的点关于直线的对称点： ①点 P(x0，y0)关于 x 轴的对称点 P′(x0，－y0)； ②点 P(x0，y0)关于 y 轴的对称点 P′(－x0，y0)；
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第九页，共四十八页。
1．两直线相交的条件 (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线 是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则 l1 与 l2 相交的条件是 A1B2－A2B1≠0 或AA12≠BB12(A2，B2≠0)． (3)设两条直线 l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则 l1 与 l2 相 交⇔k1≠k2.
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(2)当三条直线相交时(m≠±1)，不能构成三角形，
由33xm＋x＋2m2yy＋＋1182＝＝00，，
x＝6m－2－4m1 ， 解得y＝6m－2－9m1 .
①
将①代入方程 3x＋2y＋6＝0 得 3×6m－2－4m1＋2×6m－2－9m1＋6＝0，解得 m＝4. 综上所述，当 m≠4,1，－1 时，可以构成三角形．
l1 与 l2 重合．
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