2.4 线段、角的轴对称性(3) 2
2.4 线段、角的轴对称性(4)
【练习】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且 DE=DF．求证：D是BC的中点．
2.4 线段的轴对称性
【例3】
在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平 分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB．求证： BM=CN．
2.3 设计Байду номын сангаас对称图案
2.4 线段的轴对称性
【练习】
已知：如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB外 角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？证 明你的结论．
2.4 线段的轴对称性
【例2】
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE ⊥ AB， DF ⊥ AC，垂足分别为E、F． 求证：AD垂直平分EF．
2.4 线段的轴对称性
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的轴对称 性（4）
2.4 线段的轴对称性
【活动】
在△ABC中，用直尺和圆规分别作角平分线AD、 BE，AD、BE相交于点P，再作∠C的角平分线， 你有什么发现？
2.4 线段的轴对称性
【例1】
已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P． 求证：点P在∠C的平分线上．
2.4线段-角的对称性
lQABP§线段，角的轴对称性（1）教学案主备人：赵廷尧自主学习问题1：如图，线段AB ，通过折叠，能否是使点A 与点B 重合问题2：线段是轴对称图形吗上面操作中的折痕是什么 <问题3：在折痕上任意取一点C ，连接AC 、BC ，AC 与BC 的数量关系怎样你能证明吗通过以上三个问题的解决你知道了什么 几何语言：∵MN ⊥AB ，AC ＝BC ，∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等）． "探究活动例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗为什么变形:在例1的条件下：1、若AP=6，BP=4，求△QPB 的周长；2、若△QPB 的周长为12，△APB 的周长为17，求AB ； %3、若△QPB 的周长为12，AB ＝7，求△APB 的周长。
4、若△QCB 的周长为24,△APB 的周长与四边形BPQC 的周长之差为12，求CQA BC例2、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长D FC ·例3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE＝AF．(【课堂练习】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.\§线段，角的轴对称性（1）达 标 自 测班级 学号 姓名自测内容1.线段垂直平分线上的点到 距离相等。
2、如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点．若AB ＝10 cm ，则BD ＝_______cm ；若PA ＝10 cm ，则PB ＝_______cm ．3.如图，在ΔABC 中，AB 的中垂线交AC 与点E ，若AC=9,AE:CE=2：1，则B 、E 两点间的距离是 。
苏教版八年级上册数学线段、 角的轴对称性补充习题答案【三篇】
苏教版八年级上册数学线段、角的轴对称性补充习题答案【三篇】2.4线段、角的轴对称性（1）答案1、由点D在线段AB的垂直平分线上,可知DA=DB.于是△BDC的周长=BD+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=9.2、 (1)图略；(2)OA=OB=OC.∵点O在线段AB的垂直平分线m上,∴OA=OB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.2.4线段、角的轴对称性（2）答案1、点D在线段AC的垂直平分线上,∵BC=BD+DC,BC=BD+AD,∴BD+DC=BD+AD.∴DC=DA.∴点D在线段AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．2、∵∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4,∴△ABC≌△ADC,∴AB=AD,CB=CD.∴点A在线段BD的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.同理,点C在线段BD的垂直平分线上,∴AC是线段BD的垂直平分线（两点确定一条直线）．2.4线段、角的轴对称性（3）答案1、过点D作DE⊥AB,垂足为E.∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)．根据题意,得DC=6.∴点D到AB的距离为6.2、 DE=DC.∵AD平分∠BAC,DB⊥AB,DF⊥AC,∴DB=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)．又BE=CF,∴Rt△DBE≌Rt△DFC.∴DE=DC.3、∵∠FEB=∠FDC=90°,∠BFE=∠CFD,BE=CD,∴△BEF∽△CDF.∴FE=FD.∴点F在∠MAN的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）．。
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
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例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
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第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
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【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
2.4线段、角的轴对称性(3)作业纸
1线段、角的轴对称性(3)【基础练习】2 .如图，在△ ABC 中，Z C = 90 ° AD 平分Z BAC 交 BC 于 D , DE 丄 AB 于 E ,若 DE = 5, BC = 12, 则BD 长为 ( ) A . 6 B . 7C . 8D .不确定3. 已知：在厶ABC 中，AD 为Z BAC 的角平分线交边 BC 于点D , DE 丄AB , F 为AC 上一点，且Z DFA=100°，则 ()4. _____________________________ 如图，已知点 C 是Z A0B 平分线上一点，点 P 、P 分别在0A 、0B 上.如果要得到 0P = 0 P', 可以添加的条件为 (填序号).①Z 0CP = Z 0CP ；②Z 0PC =Z 0P C :③ PC = P C :④ P P '丄 0C .7. (1)利用网格线画出四边形 ABCD 两个内角的平分线， 设它们 相交于点O ;(2) 观察点O 是否在另两个内角的平分线上；(3) 把四边形ABCD 的顶点D 向右平移4格，再向下平移2 格, 还能观察到与上面相同的结论吗？主备人：周美华 王炜班级 _________ 姓名 _________ 学号 __________5.如图，在 Rt A ABC 中，Z ACB = 90°, BE 平分Z ABC , DE 丄 AB , 那么 AE + DE = ________________ .6.如图，在 Rt A ABC 中，Z C = 90°, AD 平分Z BAC 交 BC 于 D . (1)若 BC = 8, BD = 5, ⑵若 AB = 8, CD = 5, 求点D 到AB 的距离. 求厶ABD 的面积. 第5题图 图1.如图，0P 平分/ AOB , PC 丄OA 于C , PD 丄0B 于D ，则下列结论中错误的是 ( A . PC = PD B . 0C = 0DC . Z CPO = Z DPOD . 0C = PC> DFB.DE<DF= DFD.不能确定 DE 、DF 的大小第1题图A&已知：如图，点B、C分别在/ MAN的两边上，BD丄AM , CE丄AN，垂点分别为D、E, BD、CE相交于点F，且BF = CF .证明：点F在/ A的角平分线上.NOA, DN OB,9•如图，射线0C在/ AOB的内部，点D、E在射线OC上，DMEP OA, EQ OB，垂足分别为M、N、P、Q,且EP = EQ . 求证：DM =DN .【拓展提升】1 . △ ABC的周长为60,/ A和/B的角平分线相交于点P,若点P到边AB的距离为10,则厶ABC 的面积为.2 .如图，/ AOB= 90 °将三角尺的直角顶点落在/ AOB的角平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与/ AOB的两边分别相交于点E、F.⑴求证：PE= PF.(2)若将三角板绕点P旋转，使得点E落在AO的延长线上，(1)中的结论还成立吗？请你画出相应的图形，并证明你的结论•完成时间： ____________家长签字： ____________2。
2.4-2 线段和角的轴对称性
用直尺、圆规作已知线段垂直平分线的一般步骤： 活动3 画一画 回顾作法：
1.分别以A 、B为圆心， 1 大于 AB长为半径画弧；
2
M
A
2. 两弧相交于点M、N；
B
3.过点M、N作直线.
∴直线MN即为线段AB 的 垂直平分线.
N
活动4
再画画 如图，任意三角形ABC，边AB、BC的 垂直平分线 l1 、 l2交于点O
.
画板 Z J G 反 共
P
A
B
在线段垂直平分线外， 不存在到线段两端距 离相等的点.
定理： 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直 平分线上.
数量关系 位置关系
P
A B
推理格式:
∵ PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
如图，点MN为直线l上两点，且满足 l MA=MB，NA=NB
GO
M B
完成以下填空：
A
∵MA=MB， N AB ∴点M在线段 的垂直平分线上． (理由是 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上 又∵ NA=NB ， ∴点N在线段AB的垂直平分线上． ∴直线MN是线段AB的 垂直平分线 ． (理由是 两点确定一条直线 )
)
活动2
l
回顾、发现
如图，已知直线l 是线段AB的垂直平分线
作PO平分∠APB
1 2
共线
∵PO平分∠APB ∴ ∠1=∠2 在△POA和△POB中 PO=PO ∠1=∠2 PA=PB ∴△POA≌△POB(SAS) ∴∠AOP=∠BOP, OA=OB 又∵A、O、B三点共线 ∴∠AOP + ∠BOP=180° ∴∠AOP =90° ∴ PO⊥AB 又∵OA=OB ∴ PO垂直平分AB 即P在线段AB垂直平分线上
2.4线段、角的轴对称性(第1课时)(同步课件)八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
思维拓展
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平
分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．
P
● 2
●
●
A●
●
P3
O
●
B(A)
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
l
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
●
A●
∴ PA=PB
（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
用途：
相等的线段
P
●
O
B
操作与思考
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？
B
理由： 在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
A
∴ AP=A'P，AM=A'M，
l
M
A'
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
P
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:
A'B＜A'P+BP.
即AM+BM最短.
课堂小结
线
段
垂
直
平
分
线
的
性
质
内容
2.4 线段、角的轴对称性(3) 2
在操作中感知角的轴 养口头表达能力．
3， 直线 OC 是∠AOB 的角平分线，
明确结论．
OC 翻折， 你有什么发现？角平分线
称轴吗？
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2014-1-6
凤凰初中数学配套教学软件_教学设计
学生独立思考、积极探究．方法 不一，具体如下： 1．利用“AAS”证明△ODP≌ △OEP 后，说明 PD 与 PE 相等．
“角”的轴对称性又如何呢？与线段有什么异同和联
，我们就进入今天愉快的数学探究之旅．
：
积极思考， 动手操作， 提出猜想．
让学生动手操作，感
薄纸上画∠AOB，它是轴对称图形吗？如果是，对称
称性，猜想对称轴的位置
为什么？
究作铺垫，同时激发学 趣． 动手操作， 验证猜想， 描述发现，
A O 2-23 C B
相等，再结合证明两个
得到的结论．
实 “过一点有且只有一条直线与已知 路，让学生寻找到演绎推 直线垂直” ，说明 PD 与 PE 相等．
B
培养学生的动手能力和探 下面的证明积累经验．
讨论后共同小结：
师生互动，锻炼学生
线上的点有什么特点？
角平分线上的点到角两边的距 能力，培养学生勇于发表 离相等． 1． 猜想角平分线性质定理的逆 能力．
D O E 2-24 P A C
问题虽然比较简单，
线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？
受到 PD 与 PE 相等，但
在∠AOB 的角平分线 OC 任意取一点 P，PD⊥OA，
进行推理说明还是有困难
D 与 PE 相等吗？为什么？
学生从角平分线的定义入
明，你发现了什么？用
2．利用角的轴对称性和基本事
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O E Q
B
通过上述研究，你得到了什么结论？
2.4 线段、角的对称性（3）
说说你本节课你有什么收获？
2.4 线段、角的对称性（3）
作业：
P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任 选1题写出过程.
初中数学
八年级(上册)
2.4
作
线段、角的对称性（3）
者：王正东（盐城市射阳县长荡初级中学）
AOB
2.4 线段、角的对称性（3）
做一做
在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O B
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点 在这个角的角平分线上吗？