2018高考数学全国卷坐标系与参数方程浅析
2018高考数学全国卷含答案解析
从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .
综上， .
20.（12分）
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此
.
令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以 的最大值点为 .
（2）由（1）知， .
（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .
所以 .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
14．记 为数列 的前 项和.若 ，则 _____________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则
A． B． C． D．
解：（1）在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 .
（2）由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
18.（12分）
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
(2021年整理)2018高考数学试题分项版_极坐标参数方程[解析版]
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2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理,11)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP｜的最小值为________．1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即（x－1)2＋(y－2）2＝1,圆心坐标为C(1，2）,半径长为1。
2018年高考理科数学新课标全国2卷逐题解析
2018 年一般高等学校招生全国一致考试新课标2 卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及稿本纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要 求的。
1+2i1． 1-2i =( )4 3 4 3 343 4A ．- 5-5iB ． - 5 + 5iC ．- 5-5iD ． - 5 + 5i分析：选 D2．已知会集 A={(x,y)|x2+y 2≤ 3,x ∈Z,y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( )A ． 9B ． 8C ． 5D ． 4分析：选 A 问题为确立圆面内整点个数3．函数 f(x)=e x -e -x的图像大体为 ( ) x 2分析：选 B f(x) 为奇函数，消除A,x>0,f(x)>0,消除 D, 取 x=2,f(2)=e 2-e -2>1, 应选 B44．已知向量 a ， b 满足 |a|=1 ， a · b=-1 ，则 a · (2a-b)= ( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0分析：选 B a · (2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=32－y 25．双曲线 x22 ＝1(a ＞ 0， b ＞ 0) 的离心率为 3，则其渐近线方程为( )ab23A ． y= ± 2xB ． y=± 3xC ． y=± 2 xD ． y=± 2 x分析：选 A e=222a3 c =3a b=C 56．在 ABC 中， cos 2= 5 ， BC=1， AC=5，则 AB= ( )A ．4 2B ． 30C ． 29D ．2 5分析：选 A cosC=2cos2C3 222-1= -AB=AC+BC-2AB · BC ·cosC=32 AB=4 2251 / 61 1 - 1 1 1( )7． 算 S=1- +3+⋯⋯+- ， 了右 的程序框 ， 在空白框中 填入2 499100开始N 0,Ti 1是100 否i1S NTN NiT T1出 Si 1束A ． i=i+1 B． i=i+2C ． i=i+3D． i=i+4分析： B8．我国数学家 景 在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界 先的成就． 哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示 两个素数的和”，如30=7+23．在不超 30 的素数中，随机 取两个不一样的数，其和等于30 的概率是 ()1111A ．B ．C ．D ．121415 18 分析： C不超30 的素数有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17，19， 23， 29 共 10 个，从中 2 个其和 30 的3 2= 17+23， 11+19， 13+17，共 3 种情况，所求概率 P= 15C109．在 方体 ABCD-AB C D 中， AB=BC=1， AA =3， 异面直 AD 与 DB 所成角的余弦 ()1 1 1 11111552A ．B ．C ．D ．5652分析： C建立空 坐 系，利用向量 角公式可得。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习中档大题精品讲义 第7讲 坐标系与参数方程
第7讲 坐标系与参数方程[明考情]坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度. [知考向]1.极坐标与直角坐标的互化.2.参数方程与普通方程的互化.3.极坐标与参数方程的综合应用.考点一 极坐标与直角坐标的互化要点重组 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).1.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径. 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求CP 的长. 解 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 即x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3， 可得点P 的直角坐标为(2，23)， ∴CP ＝(2－2)2＋(23－0)2＝2 3.3.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 4.在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A ，B ，求线段AB 的长.解 ∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32， ∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.考点二 参数方程与普通方程的互化 要点重组 常见曲线的参数方程(1)过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).(2)圆心在P (x 0，y 0)，半径等于r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).方法技巧 参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制.5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值. 解 (1)圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16， t 2＋(3＋2)t －11＝0.所以t 1t 2＝－11，即|P A |·|PB |＝11.6.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.7.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.8.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.考点三 极坐标与参数方程的综合应用方法技巧 解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.10.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]. (1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，求C 1与C 2的公共点的极坐标.解 (1)把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入曲线C 1的极坐标方程ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，故C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)由曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，可知此直线经过原点，倾斜角为π6，因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6(ρ＞0).将θ＝π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2－23ρ＋3＝0，解得ρ＝3；将θ＝7π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2＋23ρ＋3＝0，解得ρ＝－3，舍去.故C 1与C 2的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6. 11.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值.解 (1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2.所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.12.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离d ＝ |3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.例 (10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ.(1)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程；(2)若Q 是椭圆C 上的动点，求点Q 到直线l 距离的最大值. 审题路线图利用极坐标和直角坐标互化公式―→得直线和椭圆的直角坐标方程――――→引入参数α得椭圆的参数方程―――→代入距离公式用α的三角函数表示Q 到l 的距离――――→利用辅助角公式转化 Q 到l 距离的最大值 规范解答·评分标准解 (1)由cos θ＋2sin θ＝0⇒ρcos θ＋2ρsin θ＝0⇒x ＋2y ＝0， 即直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＝0.由ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ⇒ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4⇒x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.即椭圆C 的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………4分(2)因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，………………6分可设Q (2cos α，sin α)，因此点Q 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离d ＝|2cos α＋2sin α|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π45，……8分所以当α＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.故点Q 到直线l 的距离的最大值为2105.……………………………………………10分构建答题模板[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化. [第二步] 引参：引进参数，建立椭圆的参数方程. [第三步] 列式：利用距离公式求出距离表达式. [第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值.1.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值. 解 (1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)易知C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0. 由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心的圆， 且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32， 所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， ①曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝322，所以直线被曲线C 截得的弦长为210－92＝22.4.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值. 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.5.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，曲线C 2：ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0. (1)将曲线C 1化成普通方程，将曲线C 2化成参数方程；(2)判断曲线C 1和曲线C 2的位置关系.解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，∴t ＝x －4， 代入y ＝5＋2t ，得y ＝5＋2(x －4)，即y ＝2x －3，∴曲线C 1的普通方程是y ＝2x －3.将ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线C 2的方程ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0，得x 2＋y 2－6x －10y ＋9＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝25.设x －3＝5cos α，y －5＝5sin α得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝5＋5sin α(α为参数). (2)由(1)知，曲线C 1是经过点P (4，5)的直线，曲线C 2是以O ′(3，5)为圆心，5为半径的圆. ∵|PO ′|＝1＜5，∴点P (4，5)在曲线C 2内，∴曲线C 1和曲线C 2相交.。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考中的“坐标系与参数方程”是数学考试中的一个重要考点，也是考生容易出错的地方之一。
本文将从考查形式、考点分布以及解题方法等方面进行分析。
一、考查形式在高考数学试卷中，关于坐标系与参数方程的考查形式主要有选择题和解答题两种形式。
选择题要求考生根据给定的图形或方程，找出与之对应的参数方程或坐标系。
解答题则要求考生根据所给图形的特点，给出相应的参数方程或坐标系，并进行论证和解答。
二、考点分布在考查“坐标系与参数方程”这个知识点时，主要涉及以下几个考点：1. 直角坐标系与参数方程的相互转化。
要求考生能够根据直角坐标系确定对应的参数方程，并能够根据参数方程确定对应的直角坐标系。
2. 特殊曲线的参数方程。
考生要掌握常见曲线的参数方程，如直线、抛物线、圆等，并能够通过对应的参数方程描述其特点。
4. 图形的平移与旋转。
要求考生能够根据图形的平移、旋转等操作确定它的参数方程。
三、解题方法解题时，考生可根据以下方法进行思考和求解：1. 根据图形的特点确定参数方程。
可以通过观察图形的形状、对称性等特点来确定参数方程。
如对称图形的参数方程往往与对称轴或对称中心有关，曲线的平移与旋转也会影响参数方程。
2. 利用参数方程求解方程组。
可以通过联立参数方程得到相应的方程组，然后通过解方程组来求解。
3. 利用参数方程确定特点。
可以通过代入不同的参数值来观察曲线的特点，如拟合方程的参数可以表示曲线的倾斜角度、交点、切线等。
4. 注意特殊情况的处理。
在解题过程中，应注意特殊情况的处理，如分母为零、参数有限制等。
“坐标系与参数方程”是高考数学中的一个重要知识点，掌握好该知识点对于解题和提高成绩至关重要。
考生在备考期间应通过大量的练习和理解来加深对该知识点的理解，掌握相应的解题方法，以取得更好的成绩。
2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (15)坐标系与参数方程
2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (15) 坐标系与参数方程【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1)直线、曲线的极坐标方程； (2)直线、曲线的参数方程； (3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B 级. 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0 .2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线10x -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．【变式探究】(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析 在平面直角坐标系下，点⎝⎛⎭⎫2，π3化为(1，3)，直线方程为：x ＋3y ＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.答案 1【举一反三】(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．解析 由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x －y ＝0，∴圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.答案 6【变式探究】(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【例2】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离d，当s = min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos 162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由221,4220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －1，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三 参数方程及其应用【例3】 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430{ 19x y x y +-=+=解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d 当4a ≥-时， d=8a =；当4a <-时， d=16a =-. 综上， 8a =或16a =-. 【变式探究】【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =l 的斜率． 【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==， 所以l【变式探究】(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】(2014·福建)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5.【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【举一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：2,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将2,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感到头疼。
这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。
本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部分的考试内容。
首先来看坐标系的考查情况。
在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系。
对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。
极坐标系则会涉及到平面向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。
而空间直角坐标系则会涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。
在高考试题中，通常会通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。
除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。
参数方程是描述曲线的一种常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极坐标系和参数方程的相互转化等内容。
在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。
考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。
坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。
在备考过程中，考生可以通过多做习题，加强对知识点的理解和掌握。
还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升自己对这一部分知识点的掌握程度。
而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。
在日常教学中也可以加强对数学建模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程是高考中数学考试的重要内容之一，涉及到平面直角坐标系和参数
方程的相关知识。
在高考数学试卷中，通常会出现与坐标系与参数方程有关的多个选择题
和一道分析题。
考查坐标系的部分通常会涉及到直角坐标系的构建和使用。
学生需要掌握如何在平面
上建立直角坐标系，即确定x轴和y轴的位置和方向，并确定单位长度。
在使用直角坐标
系进行计算时，学生需要掌握如何表示点的坐标，以及如何计算两点之间的距离和斜率，
这些都是常见的考点。
考查参数方程的部分通常会涉及到曲线的参数方程表示和性质的讨论。
学生需要掌握
如何从直角坐标方程得到参数方程，以及如何从参数方程得到直角坐标方程。
在讨论曲线
的性质时，学生需要掌握如何确定曲线的对称性、单调性、极值点等重要性质。
考查坐标系与参数方程的部分还可能涉及到几何问题的求解。
给定一个曲线和一点，
要求确定曲线上到该点最近和最远的点，这就需要用到两点之间的距离的性质和参数方程
的表达方式。
在高考中，考查坐标系与参数方程的题目形式多样，有些是纯计算题，有些是分析和
证明题。
对于纯计算题，学生需要熟练掌握相关的计算技巧和公式的应用。
对于分析和证
明题，学生需要灵活运用相关知识，结合已有的条件和性质进行推导和分析。
在备考和解题过程中，学生可以通过多做一些相关的习题和真题，加深对相关概念和
方法的理解和掌握。
还可以通过参考相关的教材和辅导书籍，了解更多的例题和解题思路，提升解题的能力。
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2018年高考数学理科“坐标系与参数方程”浅析“坐标系与参数方程”在全国卷中属于选考内容，它体现出了代数与几何的完美对应关系。
如何来把握它在高考中的难易程度和侧重方向，则需要对历年的试题进行深入的分析。
本文将参照近三年全国卷中“坐标系与参数方程”的考查，对2018年全国卷中此部分的试题进行探究分析.
一、“坐标系与参数方程”内容分析
1.教材分析
在北师大版高中教材中，“坐标系与参数方程”为选修4-4的内容，为高二下学期学习内容(一轮复习前).
坐标系是解析几何的基础，是联系几何与代数的桥梁，坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一.在不同的坐标系中，同一几何图形可以有不同的表示形式，这使解决问题的方法有了更多的选择.参数方程是曲线的又一种表示形式，它弥补了普通方程表示曲线的不足。
选修4-4部分是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用，同时也是这些内容的延续、拓展和进一步深化。
其中，主要包括了极坐标系、柱坐标系、球坐标系，直线参数方程、圆的参数方程、椭圆(双曲线、抛物线)的参数方程的建立。
学生需要了解曲线的多种表示形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程。
2.考纲分析
2018年《考试大纲》对此部分内容的要求：
(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；
(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程；
(4)了解参数方程，了解参数的意义；
(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
《考纲》中主要强调了对于极坐标、参数方程基本概念的理解，及曲线的极坐标方程和参数方程的建立。
3.学情分析
这部分内容在选修4-4，常常安排在高三一轮复习前进行学习，所以课程安排的节奏较快，学生没有时间对新的内容进行充分的练习，而且学生本身对于直角坐标系下点的坐标与曲线方程具有非常好的熟悉程度，所以学生常常会出现一些对于新知识内容的排斥心理，导致学习中出现极坐标概念不清、参数方程参数混乱的情况，不能很好地将曲线的几种方程形式进行融会贯通；三角函数性质及三角恒等变换内容掌握不够扎实，在极坐标有关计算和圆锥曲线参数方程的有关计算中遇到问题。
二、“坐标系与参数方程”试题分析
在高考试题中，“坐标系与参数方程”为二选一中的一个，中等难度，分数为10分。
这里，首先对近三年高考全国卷中“坐标系与参数方程”部分的考查做一个梳理，见下表：
不难发现，在近三年的高考试题中，对“坐标系与参数方程”的考查更加
ρ,几何意义的理解和应用，越来越的灵活新颖，越来越注重学生对于极坐标中θ
注重学生对于直线参数方程中参数t的几何意义的理解和应用，越来越注重对圆锥曲线参数方程求取值范围的考查。
高考考查的方向已不单单是经典类型的固化方法，而是越来越侧重于学生对于问题的理解和分析，以及如何选用适当的方法去解决问题。
下面来具体分析2018年全国卷中对于“极坐标与参数方程”的考查。
（2018年全国卷1）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k∣x∣+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
试题分析：
(1)极坐标方程化为直角坐标方程；为常规考查方式。
(2)由于曲线C 1方程的特殊性，它可以看成两条射线的组合，考查学生对于直线方程的熟练程度(可以理解为分段函数图像的考查，也可以理解为图像的翻折变换得到曲线)；对于“曲线C 1与曲线C 2有且仅有三个公共点”的分析，则更侧重于学生对于曲线位置的认识，对于曲线C 1变化时两曲线公共点个数的分析及临界状态的选定，以及用解析几何(点到直线的距离等于半径)求切线方程的方法认知。
此题更注重解析几何基本方法的考查和曲线与方程关系的理解。
（2018年全国卷2）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =2cosθ,y =4sinθ
（θ 为参数），直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =2+tsinα
（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2)，求 l 的斜率． 试题分析：
(1)参数方程化为普通方程；为常规考查方式。
(2)已知曲线C 截直线l 所得线段中点坐标，求直线斜率，回归到解析几何基本方法中去，容易想到“点差法”的应用特点，所以此题在两个曲线的普通方程的形式下，可以利用“点差法”求解。
当然，观察到所截线段中点坐标为(1,2)，此坐标恰好为直线参数方程中的定点坐标，即可以利用参数t 的几何意义进行求解。
此定点为所截线段中点，则有两交点相对应的t 值必互为相反数，所以联立直线参数方程与椭圆的普通方程即可得到关于t 的一元二次方程，借助韦达定理即可求得此时相应的斜率。
此题考查到直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，考查方式灵活但比较简单。
（2018年全国卷3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为{x=cosθ, y=sinθ
（θ为参数），过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
试题分析：
(1)直线与圆位置关系的考查，建立直线方程，利用圆心到直线的距离与半径的关系确定位置关系；也可联立求解，根据解的个数分析直线与圆位置关系。
(2)利用直线参数方程中参数t的几何意义使得求解变得比较简单。
建立直线l的参数方程，将它与圆的标准方程联立可以得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理得到A,B点相应t的关系，进而确定AB中点相应的t，代入直线l的参数方程得到中点P的轨迹方程。
此题主要考察直线参数方程中参数t的几何意义的应用，利用t的意义得到直线上两动点的中点的轨迹方程。
要求学生对于参数t的几何意义应用具有较高的熟练程度，同时明确认识参数方程中各参数之间的相对关系。
由上面的分析可以看出，在2018年的全国卷中，仍然延续了对于“坐标系与参数方程”部分的考查方向，侧重于学生对于问题的分析理解的考查、侧重于学生对于基本概念中各变量的几何意义熟练掌握的考查、侧重于学生对于数形结合解决几何问题能力的考查。
三、对此处教学的几点建议
1、注重知识背景的引出及概念的生成过程
无论是极坐标系的建立还是参数方程的出现，都有特定的历史背景与实际情境，从事物产生的背景出发，来一步步给出概念，符合学生的知识生成过程，使学生对于概念的学习变得更加自然。
2、注重曲线方程的生成过程
注重曲线方程的建立过程，而不是仅仅强调方程的基本形式。
引导学生去思
ρ,意义的理解和考如何推出方程，这个过程非常重要，有利于学生对于极坐标θ
参数方程中参数几何意义的理解。
3、注重训练学生对题目的分析
注重训练学生对题目的分析，对于每种曲线方程的理解，进而确定出选择何种方程形式去解决问题。
在这个过程中，多引导，多提问，鼓励学生思考“一题多解，如何来解，是否可解”。