2019普特南数学竞赛原题
普特南数学竞赛试题
普特南数学竞赛试题这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。
题目：设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。
答案及解析：由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。
首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：当a = 0时，m = 17；当a = 1时，m = 117；当a = 2时，m = 217；当a = 3时，m = 317；当a = 9时，m = 917；当a = 10时，m = 1017；可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。
解析：这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。
我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。
首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。
根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。
接下来，我们分析一下m可能的取值范围。
百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。
为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。
当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。
当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。
所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。
因此，整数m的百位数字是1。
这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。
同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。
2019年数学竞赛试题及答案
Day 1 — Solutions
Problem 1. Amy and Bob play the game. At the beginning, Amy writes down a positive integer on the board. Then the players take moves in turn, Bob moves first. On any move of his, Bob replaces the number n on the blackboard with a number of the form n − a2 , where a is a positive integer. On any move of hers, Amy replaces the number n on the blackboard with a number of the form nk , where k is a positive integer. Bob wins if the number on the board becomes zero. Can Amy prevent Bob’s win? Russia, Maxim Didin Solution. The answer is in the negative. For a positive integer n, we define its square-free part S (n) to be the smallest positive integer a such that n/a is a square of an integer. In other words, S (n) is the product of all primes having odd exponents in the prime expansion of n. We also agree that S (0) = 0. Now we show that (i) on any move of hers, Amy does not increase the square-free part of the positive integer on the board; and (ii) on any move of his, Bob always can replace a positive integer n with a non-negative integer k with S (k ) < S (n). Thus, if the game starts by a positive integer N , Bob can win in at most S (N ) moves. Part (i) is trivial, as the definition of the square-part yields S (nk ) = S (n) whenever k is odd, and S (nk ) = 1 ≤ S (n) whenever k is even, for any positive integer n. Part (ii) is also easy: if, before Bob’s move, the board contains a number n = S (n) · b2 , then Bob may replace it with n = n − b2 = (S (n) − 1)b2 , whence S (n ) ≤ S (n) − 1. Remarks. (1) To make the argument more transparent, Bob may restrict himself to subtract only those numbers which are divisible by the maximal square dividing the current number. This restriction having been put, one may replace any number n appearing on the board by S (n), omitting the square factors. After this change, Amy’s moves do not increase the number, while Bob’s moves decrease it. Thus, Bob wins. (2) In fact, Bob may win even in at most 4 moves of his. For that purpose, use Lagrange’s four squares theorem in order to expand S (n) as the sum of at most four squares of positive integers: 2 2 2 2 S (n) = a2 1 + · · · + as . Then, on every move of his, Bob can replace the number (a1 + · · · + ak )b 2 2 on the board by (a2 1 + · · · + ak−1 )b . The only chance for Amy to interrupt this process is to replace a current number by its even power; but in this case Bob wins immediately. On the other hand, four is indeed the minimum number of moves in which Bob can guarantee himself to win. To show that, let Amy choose the number 7, and take just the first power on each of her subsequent moves.
普特南高中数学竞赛试题
普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。
A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。
求第10项的值。
A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。
A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。
9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。
10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。
三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。
12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。
结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题摘要：1.2019 普特南数学竞赛概述2.竞赛的难度和范围3.竞赛对学生的意义4.如何准备普特南数学竞赛5.竞赛的奖励和机会正文：【2019 普特南数学竞赛概述】普特南数学竞赛是一项面向全球高中生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣和热爱。
该竞赛自1938 年成立以来，已经成为世界上最具影响力的数学竞赛之一。
2019 年，普特南数学竞赛在全球范围内吸引了众多优秀高中生参加。
【竞赛的难度和范围】2019 普特南数学竞赛的难度和范围涵盖了高中数学的主要领域，包括代数、几何、组合、数论和微积分等。
竞赛分为两个级别：A 组（针对高一和高二学生）和B 组（针对高三学生）。
每个级别的竞赛都包括10 道题目，其中前8 道题目为选择题，后2 道题目为非选择题。
【竞赛对学生的意义】参加普特南数学竞赛对学生具有重要意义。
首先，该竞赛能够帮助学生提高数学能力，激发他们对数学的兴趣。
其次，通过参加竞赛，学生可以了解自己在数学方面的优势和劣势，为今后的学习和职业规划提供参考。
最后，取得优异成绩的学生还有机会获得奖学金和升学优惠，对未来的学术和职业生涯产生积极影响。
【如何准备普特南数学竞赛】要成功参加普特南数学竞赛，学生需要进行充分的准备。
首先，学生应该掌握高中数学的基本知识和技能。
其次，他们需要多做练习题，熟悉竞赛的题型和解题方法。
此外，参加培训课程和寻求老师或同学的帮助也是提高竞赛成绩的有效途径。
【竞赛的奖励和机会】在2019 普特南数学竞赛中取得优异成绩的学生将获得丰厚的奖励和机会。
首先，每个级别的前10 名学生将获得奖学金。
此外，成绩优秀的学生还有机会获得大学的录取优惠或参加国际数学奥林匹克竞赛的选拔。
2019年全国高中数学联赛福建省四川省重庆市赛区预赛暨2019年福建省高中数学竞赛试卷参考答案汇编
0 20
0Leabharlann ， a b
6 7
。
∴ f (1) 1 a b 2 1 6 7 2 4 。
解法三：依题意，有 f (x) (x 2)3 m(x 2) 。
利用 f (0) 8 2m 2 ，得 m 5 。
于是， f (x) (x 2)3 5(x 2) ， f (1) 1 (5) 4 。
2x x2
∵ 0 x 1 2 时， f (x) 0 ；1 2 x 2 时， f (x) 0 。
2
2
∴
f
(
x)
在区间
0
，1
2 2
上为增函数，在区间
1
2 2
，2
上为减函数。
∴ f (x) 值域为 0 ， 2 1 。
于是， z1 z2 4 ， z1 z2 z z1 z z2 4 ，复数 z ， z1 ， z2 对应的点 Z ， Z1 ，
Z2 构成边长为 4 的正三角形。
又复数 z1 ， z2 对应的点 Z1 ， Z2 关于原点 O 对称，
∴ OZ 为 △ZZ1Z2 的高，故 z OZ 2 3 。
x2
y2
2
，解得
x1
1
，
x2
1
。
2xy 2 3
y1 3 y2 3
由 z12 z22 2 2 3 i ， z1 z2 ，知 z1 、 z2 为复数 2 2 3 i 的两个平方根。由对称性，不
妨设 z1 1 3 i ， z2 1 3 i 。
2019福建高中数学竞赛预赛试题及答案
2019 重庆高中数学竞赛预赛试题
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2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题（最新版）目录1.普特南数学竞赛简介2.2019 年普特南数学竞赛的题目类型3.2019 年普特南数学竞赛的部分题目解析4.2019 年普特南数学竞赛的获奖情况5.结语正文【普特南数学竞赛简介】普特南数学竞赛是由美国普特南大学举办的一项国际性数学竞赛，旨在发现和培养全球范围内的优秀数学人才。
该竞赛自 1938 年创办以来，已经成为全球范围内最具影响力的数学竞赛之一，吸引了来自世界各地的众多优秀中学生参加。
【2019 年普特南数学竞赛的题目类型】2019 年普特南数学竞赛共分为两个级别：A 组和 B 组。
A 组题目主要针对高中生，共有 6 道题目，涉及代数、几何、组合等领域；B 组题目主要针对初中生，共有 6 道题目，涉及算术、代数、几何等领域。
【2019 年普特南数学竞赛的部分题目解析】以下是 2019 年普特南数学竞赛 A 组中的一道题目及其解析：题目：已知函数$f(x)$满足：$f(x+1) + f(x-1) = 2f(x)$，且$0 < f(1) < frac{1}{2}$，$f(1) + f(2) + f(3) + cdots + f(2019) = 1009$。
求$f(1)$的值。
解析：将$x$从$1$到$2019$代入题目中的等式，可以得到：$f(2) + f(0) = 2f(1)$$f(3) + f(1) = 2f(2)$$cdots$$f(2019) + f(2018) = 2f(2017)$将上述等式相加，得到：$f(2) + f(0) + cdots + f(2018) + f(2017) = 2(f(1) + f(2) + cdots + f(2017))$因为$f(x+1) + f(x-1) = 2f(x)$，所以$f(x+2) + f(x) = 2f(x+1)$，故：$f(2) + f(0) = 2f(1)$$f(4) + f(2) = 2f(3)$$cdots$$f(2018) + f(2016) = 2f(2017)$将上述等式相加，得到：$f(2) + f(0) + cdots + f(2018) + f(2017) = 2(f(1) + f(3) + cdots + f(2017))$因此，$f(1) + f(3) + cdots + f(2017) = frac{1}{2}(f(1) + f(2) + cdots + f(2017)) = frac{1}{2} times 1009 = 504.5$又因为$f(1) + f(2) + cdots + f(2019) = 1009$，所以$f(2018) + f(2017) = 504.5$由$f(2) + f(0) = 2f(1)$和$f(2018) + f(2017) = 504.5$，可得$f(1) = frac{1}{2} - frac{f(2018) + f(2017)}{2} = frac{1}{2} -frac{504.5}{2} = boxed{0.0001}$【2019 年普特南数学竞赛的获奖情况】2019 年普特南数学竞赛的获奖情况尚未公布，敬请期待。
2019年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2019年福建省高中数学竞赛试卷(扫描版)
可得， a : b : c 5 : 4 : 4 ，设 a 10k ，则 b c 8k .
作 AD BC 于 D ，则 AD
39k
， S△ABC
1 BC 2
AD
5
39k 2 。
又r
15 ， S△ABC
1 2
( AB
BC
CA)r
13kr
，因此， k
13 15 5 39
a a
2c 3c
，于是，
1 3
e1
1 2
。
又
e2
c m
a
c 2c
e1 1 2e1
。
∴
e2
e1
e1 1 2e1
e1
。
设1
2e1
t
，则
t
(0
，1) 3
，
e2
e1
e1 1 2e1
e1
1t 2t
1t 2
1 2
(t
1) t
1。
由 f (t) 1 (t 1) 1 在区间 (0 ，1) 上为减函数，得
：
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0
）与双曲线
C2
：
x2 m2
y2 n2
1（m
0，n
0 ）有
相同的焦点 F1 、 F2 ，其中 F1 为左焦点。点 P 为两曲线在第一象限的交点， e1 、 e2 分别为曲线 C1 、 C2 的 离 心 率 ， 若 △PF1F2 是 以 PF1 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ， 则 e2 e1 的 取 值 范 围
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2019普特南数学竞赛原题
摘要：
一、引言
1.介绍普特南数学竞赛
2.2019 年普特南数学竞赛原题的背景
二、竞赛原题
1.题目概述
2.题目具体内容
三、解题思路
1.分析题目
2.确定解题方法
3.解题步骤
四、答案与解析
1.答案
2.解析
五、总结
1.对竞赛原题的点评
2.对参赛者的建议
正文：
一、引言
普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是一项在全球
范围内举办的大学生数学竞赛，被誉为数学界的“诺贝尔奖”。
每年12 月份，来自世界各地的大学生们会聚集在一起，挑战各种数学难题。
2019 年的普特南数学竞赛原题，为参赛者们带来了全新的挑战与思考。
二、竞赛原题
2019 年普特南数学竞赛原题如下：
已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求解f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
三、解题思路
1.分析题目
首先，我们要对题目中的函数f(x) 进行分析。
通过观察，我们可以发现这是一个三次函数，并且它在区间[0, 2] 上有两个零点（即函数值为0 的点）。
我们需要找到这个函数在这个区间上的最小值。
2.确定解题方法
为了求解这个问题，我们可以使用导数法。
通过求函数f(x) 的导数，找到函数的极值点。
然后，结合函数的端点值，比较这三个值，找到函数的最小值。
3.解题步骤
(1) 求导数：f"(x) = 3x^2 - 6x + 2
(2) 求极值点：令f"(x) = 0，解得x = 1 ± √2/3
(3) 比较函数值：将极值点和端点值代入原函数，得到f(0) = 1，
f(1+√2/3) ≈ -0.316，f(1-√2/3) ≈ -0.316，f(2) = 3
(4) 确定最小值：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为f(1+√2/3) ≈ -
0.316。
四、答案与解析
答案：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为-0.316。
解析：通过求导数和比较函数值，我们找到了函数f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
这个过程中，我们运用了导数法，通过对函数的极值点和端点值进行比较，找到了函数的最小值。
五、总结
2019 年普特南数学竞赛原题，虽然题目简单，但需要参赛者具备较强的数学功底和灵活的解题思路。