普特南数学竞赛试题
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题摘要：一、引言1.介绍普特南数学竞赛2.2019 年普特南数学竞赛原题的背景二、竞赛原题1.题目概述2.题目具体内容三、解题思路1.分析题目2.确定解题方法3.解题步骤四、答案与解析1.答案2.解析五、总结1.对竞赛原题的点评2.对参赛者的建议正文：一、引言普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是一项在全球范围内举办的大学生数学竞赛，被誉为数学界的“诺贝尔奖”。
每年12 月份，来自世界各地的大学生们会聚集在一起，挑战各种数学难题。
2019 年的普特南数学竞赛原题，为参赛者们带来了全新的挑战与思考。
二、竞赛原题2019 年普特南数学竞赛原题如下：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求解f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
三、解题思路1.分析题目首先，我们要对题目中的函数f(x) 进行分析。
通过观察，我们可以发现这是一个三次函数，并且它在区间[0, 2] 上有两个零点（即函数值为0 的点）。
我们需要找到这个函数在这个区间上的最小值。
2.确定解题方法为了求解这个问题，我们可以使用导数法。
通过求函数f(x) 的导数，找到函数的极值点。
然后，结合函数的端点值，比较这三个值，找到函数的最小值。
3.解题步骤(1) 求导数：f"(x) = 3x^2 - 6x + 2(2) 求极值点：令f"(x) = 0，解得x = 1 ± √2/3(3) 比较函数值：将极值点和端点值代入原函数，得到f(0) = 1，f(1+√2/3) ≈ -0.316，f(1-√2/3) ≈ -0.316，f(2) = 3(4) 确定最小值：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为f(1+√2/3) ≈ -0.316。
四、答案与解析答案：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为-0.316。
解析：通过求导数和比较函数值，我们找到了函数f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
普特南高中数学竞赛试题
普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。
A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。
求第10项的值。
A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。
A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。
9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。
10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。
三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。
12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。
结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。
普特兰数学竞赛题
A1 Let f : R2 → R be a function such that f (x, y )+f (y, z )+f (z, x) = 0 for all real numbers x, y , and z . Prove that there exists a function g : R → R such that f (x, y ) = g (x) − g (y ) for all real numbers x and y . Answer: The function g (x) = f (x, 0) works. Substituting (x, y, z ) = (0, 0, 0) into the given functional equation yields f (0, 0) = 0, whence substituting (x, y, z ) = (x, 0, 0) yields f (x, 0) + f (0, x) = 0. Finally, substituting (x, y, z ) = (x, y, 0) yields f (x, y ) = −f (y, 0) − f (0, x) = g (x) − g (y ). Remark: A similar argument shows that the possible functions g are precisely those of the form f (x, 0) + c for some c. A2 Alan and Barbara play a game in which they take turns filling entries of an initially empty 2008 × 2008 array. Alan plays first. At each turn, a player chooses a real number and places it in a vacant entry. The game ends when all the entries are filled. Alan wins if the determinant of the resulting matrix is nonzero; Barbara wins if it is zero. Which player has a winning strategy? Answer: Barbara wins using one of the following strategies. First solution: Pair each entry of the first row with the entry directly below it in the second row. If Alan ever writes a number in one of the first two rows, Barbara writes the same number in the other entry in the pair. If Alan writes a number anywhere other than the first two rows, Barbara does likewise. At the end, the resulting matrix will have two identical rows, so its determinant will be zero. Second solution: (by Manjul Bhargava) Whenever Alan writes a number x in an entry in some row, Barbara writes −x in some other entry in the same row. At the end, the resulting matrix will have all rows summing to zero, so it cannot have full rank. A3 Start with a finite sequence a1 , a2 , . . . , an of positive integers. If possible, choose two indices j < k such that aj does not divide ak , and replace aj and ak by gcd(aj , ak ) and lcm(aj , ak ), respectively. Prove that if this process is repeated, it must eventually stop and the final sequence does not depend on the choices made. (Note: gcd means greatest common divisor and lcm means least common multiple.) Answer: We first prove that the process stops. Note first that the product a1 · · · an remains constant, because aj ak = gcd(aj , ak )lcm(aj , ak ). Moreover, the last number in the sequence can never decrease, because it is always replaced by its least common multiple with another number. Since it is bounded above (by the product of all of the numbers), the last number must eventually reach its maximum value, after which it remains constant throughout. After this happens, the next-to-last number will never decrease, so it eventually becomes constant, and so on. After finitely many steps, all of the numbers will achieve their final values, so no more steps will be possible. This only happens when aj divides ak for all pairs j < k . We next check that there is only one possible final sequence. For p a prime and m a nonnegative integer, we claim that the number of integers in the list divisible by pm never changes. To see this, suppose we replace aj , ak by gcd(aj , ak ), lcm(aj , ak ). If neither of aj , ak is divisible by pm , then neither of gcd(aj , ak ), lcm(aj , ak ) is either. If exactly one aj , ak is divisible by pm , then lcm(aj , ak ) is divisible by pm but gcd(aj , ak ) is not. gcd(aj , ak ), lcm(aj , ak ) are as well. 1
2020年普特南数学竞赛题
2020年普特南数学竞赛题1. 给出所有整数解$(x, y, z)$，满足$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$。
2. 证明或反驳：存在无穷多个质数$p$，使得$p + 2$也是质数。
1. 给定一个三角形，证明其内部存在一个点，该点到三角形的三边的距离之和最小。
2. 考虑一个圆和一个椭圆，它们具有相同的面积。
求证：椭圆周长大于圆的周长。
1. 一共有$n$个人站成一排，证明存在一种排列方式，使得没有人站在自己的左边。
2. 给出两个长度为$n$的序列，证明存在一种方法使得一个序列可以被另一个序列覆盖，使得覆盖的元素之和相等。
1. 给定一个无向图，证明图中存在一个顶点，其度数（与该顶点相连的边数）大于等于$\frac{n}{4}$，其中$n$是顶点的数量。
2. 证明或反驳：对于任意给定的正整数$n$，都存在一个由$n$个正整数构成的集合，使得该集合中任意两个数的比值都不相同。
1. 证明：对于任意两个实数$a$和$b$，都存在一个整数$N$，使得$a^N > b$。
2. 给出复平面上的一个开集，证明在该开集内存在一个闭集，该闭集的边界包含在给定的开集中。
1. 证明：对于任意一个常微分方程，都存在一个解，使得该解在某一点达到其最大值或最小值。
2. 考虑一个由以下方程描述的线性动力系统：$\frac{dx}{dt} = ax + b$。
证明：当$a > 0$时，该系统是稳定的；当$a < 0$时，该系统是不稳定的。
1. 给定一个矩阵A，其中所有行和所有列的和都等于0。
证明：A是奇异的（行列式为0）。
2. 对于一个给定的矩阵A，证明：如果A的所有特征值都是正的，那么A是正定的。
1. 证明：任意一个无向图都可以被划分为不超过其顶点数一半的连通子图。
2. 给定一个图，其中任意两个顶点之间最多有一条边。
证明：存在一种颜色分配方法，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
1. 给定一个目标函数和约束条件，使用线性规划方法找到最优解。
第36届普特南数学竞赛试题
第36届普特南数学竞赛试题第36届普特南数学竞赛试题是一道关于数学竞赛的试题，涉及到数学的各个领域，考察了参赛者在数学知识和解题能力方面的水平。
本次试题的要求是回答并解决一系列数学问题，要求回答准确且详细，解题步骤清晰，逻辑严谨。
下面将对其中几道试题进行讨论。
第一道题是关于代数的题目。
题目要求求解一个二元一次方程组。
首先，我们可以将方程组表示为矩阵形式，然后通过高斯消元法或其他求解线性方程组的方法，将方程组化简为只有一个未知数的方程。
最后，将求得的未知数代入到另一个方程中，就可以得到另一个未知数的值。
需要注意的是，要检验所求得的解是否符合原方程组。
在解答过程中，还可以讨论方程组的解的个数和形式，以及可能的特殊情况。
第二道题是关于几何的题目。
题目要求证明一个几何定理，即证明一个特殊的三角形为等边三角形。
在解答这个问题时，我们可以运用几何学中的一些基本定理和性质，例如等腰三角形的性质、三角形内角和定理等。
通过合理的构造和运用这些几何定理，可以证明所给的三角形是等边三角形。
解答过程中，需要清晰地展示证明的步骤和逻辑，以及所使用的定理和性质。
第三道题是关于数论的题目。
题目给出了一个数论问题，要求证明一个数的整除性质。
在解答这个问题时，可以运用数论中的一些基本定理和性质，例如质因数分解定理、最大公因数和最小公倍数的性质等。
通过运用这些定理和性质，可以证明所给的数的整除性质。
解答过程中，需要清晰地展示证明的步骤和逻辑，以及所使用的定理和性质。
第四道题是关于概率的题目。
题目给出了一个概率问题，要求计算某个事件发生的概率。
在解答这个问题时，可以运用概率的基本原理和公式，例如事件的定义、概率的计算公式等。
通过计算所给事件发生的可能性与总的样本空间的比值，可以得到所求的概率。
解答过程中，需要清晰地展示计算的步骤和逻辑，以及所使用的概率原理和公式。
以上是第36届普特南数学竞赛试题的部分内容的讨论和解答方法。
这些试题涵盖了代数、几何、数论和概率等数学的不同领域，要求参赛者在这些领域具有扎实的数学基础和解题能力。
普特南大学数学竞赛试题及答案
普特南大学数学竞赛试题及答案问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots +n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
答案一：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先，当\( n = 1 \)时，左边等于1，右边等于1，等式成立。
假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \]我们需要证明对于\( n = k + 1 \)时，等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k+1)^2 + (k+1) \] \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 + (k+1) \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 + 6(k+1)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6 + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 12)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2(k+1)(k+3) + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 3)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 1)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时等式也成立。
因此，对于所有正整数\( n \)，等式成立。
问题二：给定一个圆的半径为\( r \)，求圆内接正六边形的边长。
答案二：圆内接正六边形的边长等于半径\( r \)。
这是因为正六边形可以被划分为六个等边三角形，每个等边三角形的边长都是\( r \)。
问题三：如果\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a^2 - b^2 = 1 \)，证明\( a \)和\( b \)中至少有一个是偶数。
普特南数学竞赛试题 美国大学生数学竞赛试题 国际大学生数学竞赛试题
SEVENTY-FIRST ANNUAL WILLIAM LOWELL PUTNAM MATHEMATICAL COMPETITION Saturday, December 4, 2010 Examination B
B1. Is there an infinite sequence of real numbers a1 , a2 , a3 , . . . such that am + am + am + · · · = m 1 2 3 for every positive integer m? B2. Given that A, B, and C are noncollinear points in the plane with integer coordinates such that the distances AB, AC, and BC are integers, what is the smallest possible value of AB? B3. There are 2010 boxes labeled B1 , B2 , . . . , B2010 , and 2010n balls have been distributed among them, for some positive integer n. You may redistribute the balls by a sequence of moves, each of which consists of choosing an i and moving exactly i balls from box Bi into any one other box. For which values of n is it possible to reach the distribution with exactly n balls in each box, regardless of the initial distribution of balls? B4. Find all pairs of polynomials p(x) and q(x) with real coefficients for which p(x)q(x + 1) − p(x + 1)q(x) = 1.
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题一、选择题（每题3分，共30分）下列函数中，为奇函数的是（）A. y=sinx+1B. y=x3C. y=xD. y=x21已知向量 a⟶=(1,2)，b⟶=(3,1)，则 a⟶⋅b⟶= （）A. 5B. 7C. 1D. -1已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，S3=9，则公差 d= （）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）已知函数 f(x)=log2(3x−2)的定义域为_______。
已知tanα=2，则4sinα+3cosα2sinα−cosα= _______。
若直线 l 过点 (2,3) 且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线 l 的方程为_______。
三、解答题（共70分）1.（12分）已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=2an+1。
（1）求证：数列 {an+1} 是等比数列；（2）求数列 {an} 的通项公式。
2.（12分）已知圆 C:x2+y2=4，直线 l:y=kx+1。
（1）若直线 l 与圆 C 相切，求 k 的值；（2）若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点，且∣AB∣=23，求 k 的值。
3.（12分）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，a2=3，S5=20。
（1）求数列 {an} 的通项公式；（2）求数列 {anan+11} 的前 n 项和 Tn。
4.（14分）设函数 f(x)=31x3−x2+ax+b。
（1）若 f(x) 在 x=1 及 x=3 时取得极值，求 a,b 的值；（2）若 f(x) 在(−∞,2)上为减函数，在(2,+∞)上为增函数，求 f(x) 的单调递减区间。
5.（20分）已知椭圆 C:a2x2+b2y2=1（a>b>0）的离心率为 23，短轴长为 23。
（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P(4,0) 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点。
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普特南数学竞赛试题
这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。
题目：
设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。
答案及解析：
由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。
首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：
当a = 0时，m = 17；
当a = 1时，m = 117；
当a = 2时，m = 217；
当a = 3时，m = 317；
当a = 9时，m = 917；
当a = 10时，m = 1017；
可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。
解析：
这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。
我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。
首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。
根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。
接下来，我们分析一下m可能的取值范围。
百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。
为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。
当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。
当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。
所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。
因此，整数m的百位数字是1。
这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。
同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。