2020年普特南数学竞赛题
2020年普特南数学竞赛题
1. 给出所有整数解$(x, y, z)$，满足$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$。
2. 证明或反驳：存在无穷多个质数$p$，使得$p + 2$也是质数。
1. 给定一个三角形，证明其内部存在一个点，该点到三角形的三边的距离之和最小。
2. 考虑一个圆和一个椭圆，它们具有相同的面积。
求证：椭圆周长大于圆的周长。
1. 一共有$n$个人站成一排，证明存在一种排列方式，使得没有人站在自己的左边。
2. 给出两个长度为$n$的序列，证明存在一种方法使得一个序列可以被另一个序列覆盖，使得覆盖的元素之和相等。
1. 给定一个无向图，证明图中存在一个顶点，其度数（与该顶点相连的边数）大于等于$\frac{n}{4}$，其中$n$是顶点的数量。
2. 证明或反驳：对于任意给定的正整数$n$，都存在一个由$n$个正整数构成的集合，使得该集合中任意两个数的比值都不相同。
1. 证明：对于任意两个实数$a$和$b$，都存在一个整数$N$，使得$a^N > b$。
2. 给出复平面上的一个开集，证明在该开集内存在一个闭集，该闭集的边界包含在给定的开集中。
1. 证明：对于任意一个常微分方程，都存在一个解，使得该解在某一点达到其最大值或最小值。
2. 考虑一个由以下方程描述的线性动力系统：$\frac{dx}{dt} = ax + b$。
证明：当$a > 0$时，该系统是稳定的；当$a < 0$时，该系统是不稳定的。
1. 给定一个矩阵A，其中所有行和所有列的和都等于0。
证明：A是奇异的（行列式为0）。
2. 对于一个给定的矩阵A，证明：如果A的所有特征值都是正的，那么A是正定的。
1. 证明：任意一个无向图都可以被划分为不超过其顶点数一半的连通子图。
2. 给定一个图，其中任意两个顶点之间最多有一条边。
证明：存在一种颜色分配方法，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
1. 给定一个目标函数和约束条件，使用线性规划方法找到最优解。
2. 考虑以下的决策问题：有n个项目可供选择，每个项目都有一个预期的收益和一个预期的风险。
如何选择项目以最大化预期的总收益，同时最小化预期的总风险？给出一种有效的决策方法。
普特南数学竞赛试题
普特南数学竞赛试题这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。
题目：设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。
答案及解析：由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。
首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：当a = 0时，m = 17；当a = 1时，m = 117；当a = 2时，m = 217；当a = 3时，m = 317；当a = 9时，m = 917；当a = 10时，m = 1017；可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。
解析：这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。
我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。
首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。
根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。
接下来，我们分析一下m可能的取值范围。
百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。
为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。
当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。
当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。
所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。
因此，整数m的百位数字是1。
这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。
同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。
普特南高中数学竞赛试题
普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。
A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。
求第10项的值。
A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。
A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。
9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。
10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。
三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。
12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。
结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。
2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案解析
DAB2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答2016年6月5日上午8:3011:00--一、填空题（每小题7分，共56分）1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．答案：1616a -<<．解：由值域y R +∈，2651x ax ∴-+>，2640x ax ⇒-+>24640a ∴∆=-⋅<，∴1616a -<<.2、四面体ABCD 中，ABC ∆是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为．答案：．解：如图，据题意得，AB ==于是BC CA AB ===2CD ==，因222BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积1433BCD V AD S ∆=⋅=，而2ABC S AB ∆== 若设D 到面ABC 的距离为h，则133ABC V h S h ∆=⋅=，由433h =，得到3h =． 3、若对于所有的正数,x y ，≤，则实数a 的最小值是 ．答．解：由221+=≤，当x y =时取等号．4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．答案：8．解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=， 则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ--==--+， 所以222tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，222tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ⎛⎫-==+ ⎪+⎝⎭，由此立得22tan tan 8αβ+=．解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=， 这时，2tan cot 2tan 1αγβ====，2222tan tan 228αβ∴+=+= 5、等差数列2,5,8,,2015L 与4,9,14,,2014L 的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．答案：134．解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016L 与等差数列5,10,15,,2015L 的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M =L 中的全体能被3整除的数，后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有201613415⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．9876543216、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是．答案：9． 解：由22sin cos y x x =，得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--⋅33222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ⎛⎫-+-+⎛⎫≤=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以9y ≤．当21cos 3x =时取得等号． 7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33⨯方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：（答案有多种）8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．答案：15．例如，排出的一个数列为(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,,M n =L ，由于1n >，则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数若与8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,,15M =L 时，可排出上面的情形：(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．二、解答题（共64分）9、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ， 证明：AM AN CO CD ⋅=⋅． 证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==，点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θθ=-+⎧⎨=⎩， ……3' 代入椭圆方程得到222222(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=，222222cos cos sin ab AN t b a θθθ==+，()cos 2a AM πθθ=≠，……6' 因此2222222cos sin a b AM AN b a θθ⋅=+，……9'又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，(cos ,sin )D OD OD θθ，……12'因为,C D 在椭圆上，则2222222cos sin a b CO b a θθ=+，而，222222222cos sin a b CO CD CO b a θθ⋅==+，因此AM AN CO CD ⋅=⋅．……14' 证2：易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，与椭圆方程联系， 解得222222222222C D b a k b a k b a k b a k ⎛⎫⎛⎫++++⎝、 ……3' ()()222222222222141k a bk a b CO CD b a kb a k++∴==++,()22222221k a b CO CD b a k+∴⋅=+……6'AN 方程为： ()(),0,y k x a M ka =+∴.将AN 方程与椭圆方程联立，得()222232222220b a k x a k x k a a b +++-=322322222222,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++ ……9'222222,1N kab y AM a k b a k=∴=++ ……12' ()2232224222222222421ab a k k a b ab k AN a b a k b a k ⎛⎫-+=++= ⎪+⎝⎭+， ()22222221a b k AM AN CO CD b a k+∴⋅==⋅+ …14'10、（15分）如图，D 是ABC ∆的旁心，点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明： (1)、,,B C E 三点共线；(2)、,,,A B D E四点共圆．证：1、延长DC 到M ，延长AC 到N ,连CE ，D Q 为旁心，CD ∴平分BCN ∠，……2'又A E 、关于DC 对称，CM ∴平分ACE ∠DCN ACM ∴∠=∠,BCD MCE ⇒∠=∠ BCN ACE ∴∠=∠,B ∴、C 、E 三点共线。
第六十八届普特南数学竞赛答案
第六十八届普特南数学竞赛答案1、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣42、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角3、14、在等腰中，如果的长是的2倍，且三角形周长为40，那么的长是（）[单选题] * A．10B．16 (正确答案)C．10D．16或204、下列计算正确是（）[单选题] *A. 3x﹣2x=1B. 3x+2x=5x2C. 3x?2x=6xD. 3x﹣2x=x(正确答案)5、40．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）[单选题] * A．﹣7(正确答案)B．﹣3C．1D．96、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] * A．±8(正确答案)B．﹣3或5C．﹣3D．57、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)8、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。
[单选题] *3(正确答案)4519、39、在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（）[单选题] *A．﹣11＜m＜﹣4B．﹣7＜m＜﹣4(正确答案)C．m＜﹣7D．m＞﹣410、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}11、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、412、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案) C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.13、20．下列说法正确的是（）[单选题] *A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数(正确答案)14、下列各角中，是界限角的是（）[单选题] *A. 1200°B. -1140°C. -1350°(正确答案)D. 1850°15、y=k/x（k是不为0的常数）是（）。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2
4
2
2
【解析】 a =b ， c =d ，设 a=x ， b=x ； c=y ， d=y ，x － y =9． ( x+y )( x－ y ) =9．
∴ x+y2=9， x－ y2=1， x=5， y2=4． b－ d=53－25=125－ 32=9 3．
11．将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
n=q2+q+1，l
≥
1 q(
q+1)
2+1，
2
q≥ 2，q∈ N．已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2 条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A、B、 C、 D和四条连线段 AB、BC、CD、
DA组成的图形 ) ．
2020 年全国高中数学联赛解答
BD DQ 本题成立．而要证 BDQ∽ DAQ，只要证 AD=AQ即可．
二、（本题 50 分）
设三角形的三边长分别是正整数 l ，m， n．且 l >m>n>0．
l
m
n
已知
3 10 4
=
3 10 4
=
3 10 4
，其中
{ x} =x－ [ x] ，而 [ x] 表示不超过
x 的最大整数．求这种三角
形周长的最小值．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
11 增，从而 y 单调递增．于是 u=－ 6时， y 取得最大值 6 3，故选 C．
普特南大学数学竞赛试题及答案
普特南大学数学竞赛试题及答案问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots +n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
答案一：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先，当\( n = 1 \)时，左边等于1，右边等于1，等式成立。
假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \]我们需要证明对于\( n = k + 1 \)时，等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k+1)^2 + (k+1) \] \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 + (k+1) \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 + 6(k+1)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6 + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 12)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2(k+1)(k+3) + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 3)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 1)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时等式也成立。
因此，对于所有正整数\( n \)，等式成立。
问题二：给定一个圆的半径为\( r \)，求圆内接正六边形的边长。
答案二：圆内接正六边形的边长等于半径\( r \)。
这是因为正六边形可以被划分为六个等边三角形，每个等边三角形的边长都是\( r \)。
问题三：如果\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a^2 - b^2 = 1 \)，证明\( a \)和\( b \)中至少有一个是偶数。
普特南数学竞赛试题 美国大学生数学竞赛试题 国际大学生数学竞赛试题
SEVENTY-FIRST ANNUAL WILLIAM LOWELL PUTNAM MATHEMATICAL COMPETITION Saturday, December 4, 2010 Examination B
B1. Is there an infinite sequence of real numbers a1 , a2 , a3 , . . . such that am + am + am + · · · = m 1 2 3 for every positive integer m? B2. Given that A, B, and C are noncollinear points in the plane with integer coordinates such that the distances AB, AC, and BC are integers, what is the smallest possible value of AB? B3. There are 2010 boxes labeled B1 , B2 , . . . , B2010 , and 2010n balls have been distributed among them, for some positive integer n. You may redistribute the balls by a sequence of moves, each of which consists of choosing an i and moving exactly i balls from box Bi into any one other box. For which values of n is it possible to reach the distribution with exactly n balls in each box, regardless of the initial distribution of balls? B4. Find all pairs of polynomials p(x) and q(x) with real coefficients for which p(x)q(x + 1) − p(x + 1)q(x) = 1.
2022普特南数学竞赛试题
六年级下学期期末数学竞赛试题一、填空：（每空1分，共24分）1、43吨＝（ ）千克 15分＝（ ）时 2、（ ）和0.3互为倒数3、比16千克多21 是（ ）千克；（ ）米比36米少32米 4、女生有25人，男生有20人，男生比女生少（ ）%5、（ ）÷8 = （ ）4= 0.5 =( )% = ( ):( )=（ ）折 6、将5.4：0.3化简为最简单的整数比是（ ），比值是（ ）7、一件衣服原价400元，先降价51，再提价41，现在这件衣服需要（ ）元 8、把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的长为12.56cm ，这个圆的周长是（ ）cm ，面积是（ ）2cm9、把一个圆柱的直径扩大3倍后，高不变，它的侧面积为原来的（ ）倍，它的体积为原来的（ ）倍.10、把一个直径为2分米，高为3分米的圆柱形木料，如果沿高切开得到两个几何体，表面积增加的最大值是（ ）平方分米；如果削为一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米11、从一个长是10分米，宽是6分米的长方形纸里剪出一个最大的圆，这个圆面积是（ ）平方分米，剩下部分的面积约占长方形总面积的（ ）%二、判断下面各题，对的在括号里画“√”，错的画“×”（5分）1、甲比乙多 15 米，也就是乙比甲少 15米 （ ） 2、 某班男、女生人数的比是7：8，男生占全班人数的157 （ ） 3、 半径是2厘米的圆，它的周长与面积相等 （ ）4、 某商品打“七五折”出售，就是降价85%出售 （ ）5、一个圆柱和一个圆锥的高相等，体积也相等，圆柱的底面积是15平方厘米，则圆锥的底面积是5平方厘米 （ ）三、选择正确的答案，把答案的序号填在括号里 （5分）1、下面的算式中结果最小的是（ ）A 、683÷B 、 836÷ C 、 836⨯ 2、甲数是乙数的54,乙数比甲数少（ ）% A 、25 B 、75 C 、203、某校七年级有500名学生，在一次视力检查中，近视的的有200人，绘制成扇形统计图，代表“视力近视”的扇形圆心角是 （ ）A 、144°B 、162°C 、216°4、一件工程，甲队单独做需5天完成，乙队单独做需4天完成，甲乙两队的工效的比是（ ）A 、5 :4B 、4 ：5C 、41：51 5、一个圆锥与一个圆柱体的底面周长的比是1：2，圆锥的高是圆柱的6倍，圆柱体的体积是圆锥的（ ）A 、 2 倍B 、32C 、61 四、计算下面各题（40分）1、直接写出得数（每式1分，共8分）34 ×8 = 23 ÷2 = 910 ÷ 35 = 16 × 38= 103×125= 1÷115= 21÷60%= 6.8÷10%= 2、怎样算简便就怎样算（每式3分，共15分）49 × 15 ÷ 45 81×58＋42÷8 36×（23 ＋ 16 － 75%） 81×[21÷（53×910）] （21＋41）÷（80%÷4－101）3、解方程（9分）x ÷43＝54 1－85x ＝34 ×23 41x ＝31:30％4、看图计算（每题4分，共8分）（1）求下面图形中阴影部分的面积.(单位：cm)（2）把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？四、应用题：（每题共26分，第1、2、3、5、6题每题4分，第4题6分）1、鹅的孵化期是30天，鸭的孵化期是鹅的1514，鸡的孵化期是鸭的43。
2020年全国高中数学联赛试题(A卷)
2020年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．在等比数列{}n a 中，91313,1a a ==，则1log 13a 的值为________．2．在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ⋅+⋅=，则12||AB F F 的值为________． 3．设0a >，函数100()f x x x=+在区间(0,]a 上的最小值为1m ，在区间[,)a +∞上的最小值为2m ，若122020m m =，则a 的值为______． 4．设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______． 5．在ABC 中，6,4AB BC ==，边AC66sin cos 22A A+的值为_______．6．正三棱锥P ABC -的所有棱长均为1，L ，M ，N 分别为棱,,PA PB PC 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为________．7．设,0a b >，满足：关于xb =恰有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为_____．8．现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i ，j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在ABC中，sin 2A =．求cos B C +的取值范围． 10．（本题满分20分）对正整数n 及实数(0)x x n ≤<，定义[][]1(,)(1{})C {}C x x n n f n x x x +=-⋅+⋅，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-．若整数,2m n ≥满足121,,,123mn f m f m f m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求121,,,mn f n f n f n m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．11．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 在双曲线1xy =上， 满足ABC 为等腰直角三角形．求ABC 的面积的最小值．2020年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）一．（本题满分40分）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．二．（本题满分40分）给定整数3n ≥．设122122,,,,,,,n n a a a b b b 是4n 个负实数，满足1221220n n a a a b b b +++=+++>，且对任意1,2,,2i n =，有21i i i i a a b b ++≥+（这里211222211,,n n n a a a a b b +++===）．求122n a a a +++的最小值．三．（本题满分50分）设12121,2,2,3,4,n n n a a a a a n --===+=证明：对整数5n ≥，n a ，必有一个模4余1的素因子．四．（本题满分50分）给定凸20边形P ．用P 的17条在内部不相交的对角线将P 分割成18个三角形，所得图形称为P 的一个三角剖分图．对P 的任意一个三角剖分图T ，P 的20条边以及添加的17条对角线均称为T 的边．T 的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配．当T 取遍P 的所有三角剖分图时，求T 的完美匹配个数的最大值．2020年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．答案13．解：由等比数列的性质知219913a a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故339121313a a a ==．所以11log 133a =．2．答案：2解：不妨设Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0),(0,)A a B b ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中c a b =-．由条件知()222221212()()20AF AF BF BF c a c a c b a b c ⋅+⋅=---+-+=+-=．所以12||222AB F F c c ===． 3．答案：1或100．解：注意到()f x 在(0,10]上单调减，在[10,)+∞上单调增．当(0,10]a ∈时，12(),(10)m f a m f ==；当[10,)a ∈+∞时，12(10),()m f m f a ==．因此总有 12()(10)2020f a f m m ==，即100202010120a a +==，解得1a =或100a =． 4解法1：设(,)z a bi a b =+∈R ，由条件知22222(2)i (2)(1)22Im Im 0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z ab a b a b ⎛⎫--+---++-⎛⎫==== ⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭⎝⎭， 故22a b +=．从而3||(3)2|5z a b +=≥++=，即|3|z +≥．当2,2a b =-=时，|3|z +． 解法2：由2z z i-∈-R 及复数除法的几何意义，可知复平面中z 所对应的点在2与i 所对应的点的连线上（i 所对应的点除外），故|3|z +的最小值即为平面直角坐标系xOy中的点(3,0)-到直线220x y +-==5．答案：211256． 解：记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以 66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 6．答案：3π． 解：由条件知平面LMN 与平面ABC 平行，且点P 到平面,LMN ABC 的距离之比为1:2．设H 为正三棱锥P ABC -的面ABC 的中心，PH 与平面LMN 交于点K ，则PH ⊥平面ABC ，PK ⊥平面LMN ，故12PK PH =．正三棱锥P ABC -可视为正四面体，设O 为其中心（即外接球球心），则O 在PH 上，且由正四面体的性质知14OH PH =．结合12PK PH =可知OK OH =，即点O 到平面,LMN ABC 等距．这表明正三棱锥的外接球被平面,LMN ABC 所截得的截面圆大小相等．从而所求截面的面积等于ABC 的外接圆面积，即23ππ⋅=．7．答案：144．解：令2a t x =+，则关于t b +=恰有三个不同的实数解(1,2,3)2i i at x i =+=．由于()f t =为偶函数，故方程()f t b =的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有(0)b f ==()f t =当||2a t ≤时，()2f t a =+=≤，等号成立当且仅当0t =；当2at >时，()f t 单调增，且当58a t =时()f t =2a t <-时，()f t 单调减，且当58at =-时()f t =从而方程()f t =12355,0,88t a t t a =-==．由条件知3328a ab x t ==-=，结合b =得128a =． 于是91448aa b +==． 8．答案：120．解：用{,}i j 表示写有i ，j 的卡片．易知这10张卡片恰为{,}(15)i j i j ≤<≤． 考虑“好的”卡片放法．五个盒子一共放有10张卡片，故1号盒至少有3张卡片，能放入1号盒的卡片仅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}．情况一：这4张卡片都在1号盒中，此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片，故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求，有6264=种好的放法．情况二：这4张卡片恰有3张在1号盒中，且其余每盒最多仅有2张卡片． 考虑{1,2},{1,3},{1,4}在1号盒，且{1,5}在5号盒的放法数N ．卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8种可能，其中6种是在2，3，4号的某个盒中放两张，其余2种则是在2，3，4号盒中各放一张．若{2,3},{2,4},{3,4}有两张在一个盒中，不妨设{2,3},{2,4}在2号盒，则{2,5}只能在5号盒，这样5号盒已有{1,5},{2,5}，故{3,5},{4,5}分别在3号与4号盒，即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一；若{{2,3},{2,4},{3,4}在2，3，4号盒中各一张，则2，3，4号盒均至多有2张卡片，仅需再使5号盒中不超过2张卡片，即{2,5},{3,5},{4,5}有0张或1张在5号盒中，对应0133C C 4+=种放法．因此612414N =⨯+⨯=．由对称性，在情况二下有456N =种好的放法． 综上，好的放法共有6456120+=种．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．解：记cos f B C =+． 由条件知4A π=或34A π=． 4分 当4A π=时，34B C π=-，其中304C π<<，此时3cos sin (0,1]44f C C C C C ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 8分当34A π=时，4B C π=-，其中04C π<<，此时cos sin )422f C C C C C πϕ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，其中arctan3ϕ=． 12分注意到,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数())g x x ϕ=+在0,2πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增，在,24ππϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调减，又(0)2,42g g g ππϕ⎛⎫⎛⎫=>=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ∈．综上所述，cos f B C =+的取值范围是(0,1]⋃． 16分 10．解：对0,1,,1k m =-，有111111111,C 1C C C 2n n n k k k k m m m m i i i i i i n f m k n n n---++===-⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 5分 所以111101121,,,C ,m m n j m j k i mn i f m f m f m f m k n n n n ---===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11100122C C 2m m mk k m m k k n --+==-⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭∑∑()12221212112m mm m n n -=-+⋅-+-=--． 10分同理得()121,,,211nmn f n f n f n m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 由条件知()211123m n --=，即()21124m n -=，故()21|124m -．又2m ≥，所以21{3,7,15,31,63,127,}m -∈，仅当5m =时，2131m -=为124的约数，进而有124431n ==．进而 ()4121,,,215174mn f n f n f n m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 20分11．解：不妨设等腰直角ABC 的顶点A ，B ，C 逆时针排列，A 为直角顶点． 设(,)AB s t =，则(,)AC t s =-，且ABC 的面积2221||22ABCs t SAB +== 5分注意到A 在双曲线1xy =上，设1,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则11,,,B a s t C a t s a a ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由B ，C 在双曲线1xy =上，可知11()()1a s t a t s a a ⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这等价于sat st a+=-， ① tas st a-+=． ② 由①、②相加，得()0s ta t s a-++=，即 2t sa t s-=+． ③由①、②相乘，并利用③，得2222221s t s t at as a st s t a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224t s t s st st s t st s t t s t s s t -+⎛⎫=-⋅+-=⋅+- ⎪+--⎝⎭()22222s t s t +=-． 10分所以由基本不等式得()()()4222222222222221224s t s t s t s t s t s t +=--=⋅⋅⋅-()()3262222222222143108s t s t s t s t ⎛⎫++-+ ⎪≤⋅= ⎪⎝⎭， ④故22s t +≥= 15分以下取一组满足条件的实数(,,)s t a ，使得22s t +=,,s t a 可确定一个满足条件的ABC ，使得222ABCs t S+==．考虑④的取等条件，有()222222s t s t =-，即222s t=±不妨要求0s t <<，结合22s t +=s t ==由①知0a <，故由③得a=t s ==，从而有a =综上，ABC 的面积的最小值为 20分2020年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一．证明：取AC 的中点N ．由3AP PC =，可知P 为NC 的中点．易知B ，I ，N 共线，90INC ∠=︒．由I 为ABC 的内心，可知CI 经过点Q ，且QIB IBC ICB ABI ACQ ABI ABQ QBI ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠， 又M 为BI 的中点，所以QM BI ⊥．进而//QM CN ． 10分考虑HMQ 与HIB ．由于MH PH ⊥，故90HMQ HMI HIB ∠=︒-∠=∠． 又90IHM INP ∠=∠=︒，故HM NP HI NI =，于是1122HM NP NC MQ MQHI NI NI MI IB==⋅=⋅=． 所以HMQ HIB ∽，得HQM HBI ∠=∠． 30分从而H ，M ，B ，Q 四点共圆．于是有90BHQ BMQ ∠=∠=︒，即BH QH ⊥． 40分二．解：记122122n n S a a a b b b =+++=+++．不失一般性，设13212n ST a a a -=+++≤． 当3n =时，因为()()()32222212113355111302k k k T a a a a a a a a -+=-⋅=-+-+-≥∑， 故结合条件可知()23322121212113334k k k k k k S T a a b b S -+-==≥≥⋅≥⋅+=∑∑． 又0S >，所以12S ≥．当2(16)i i a b i ==≤≤时，S 取到最小值12． 10分 当4n ≥时，一方面有()212121211nnk k k k k k aab b S -+-==≥+=∑∑．另一方面，若n 为偶数，则()()221211523372114nk k n n k T aaa a a a a a -+--=≤++++++≤∑，其中第一个不等式是因为()()15233721n n a a a a a a --++++++展开后每一项均非负，且包含2121(1)k k a a k n -+≤≤这些项，第二个不等式利用了基本不等式． 20分若n 为奇数，不妨设13a a ≤，则12121212121311nn k k k k n k k a a a a a a --+-+-==⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭∑∑ ()()2152137234n n T a a a a a a --≤++++++≤．从而总有2221211416nk k k T S S a a -+=≤≤≤∑．又0S >，所以16S ≥． 30分 当1234124,0(52),0,16,0(32)i i a a a a a i n b b b i n =====≤≤===≤≤时，S 取到最小值16．综上，当3n =时，S 的最小值为12；当4n ≥时，S 的最小值为16． 40分三．证明：记11αβ=+=-n nn a αβαβ-=-．记2n nn b αβ+=，则数列{}n b 满足122(3)n n n b b b n --=+≥ ①因121,3b b ==均为整数，故由①及数学归纳法，可知{}n b 每项均为整数． 10分由222()22n nn nn αβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可知 222(1)(1)n n n b a n -=-≥ ② 20分当1n >为奇数时，由于1a 为奇数，故由{}n a 的递推式及数学归纳法，可知n a 为大于1的奇数，所以n a 有奇素因子p ．由②得21(mod )nb p ≡-，故 112(1)(mod )p p nbp --≡-．又上式表明(),1n p b =，故由费马小定理得11(mod )p n b p -≡，从而12(1)1(mod )p p --≡．因2p >，故必须12(1)1p --=，因此1(mod 4)p ≡． 30分另一方面，对正整数m ，n ，若|m n ，设n km =，则()(1)(2)(2)(1)n n m mk m k m m m k m k m n a αβαβααβαββαβαβ------==⋅++++--()()1(212)(212)01(22)(22)0(),2,()(),2 1.l im l i m l i m m i l im l i m l i m lm m i a k l a k l αβαβαβαβαβ-----=---=⎧⋅+=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑ 因2s s s b αβ+=为整数（对正整数s ），1αβ=-为整数，故由上式知n a 等于m a 与一个整数的乘积，从而|m n a a ．因此，若n 有大于1的奇因子m ，则由前面已证得的结论知m a 有素因子1(mod 4)p ≡，而|m n a a ，故|n p a ，即n a 也有模4余1的素因子． 40分 最后，若n 没有大于1的奇因子，则n 是2的方幂．设2(3)l n l =≥，因84082417a ==⨯有模4余1的素因子17，对于4l ≥，由8|2l 知82|l a a ，从而2l a 也有素因子17．证毕． 50分四．解：将20边形换成2n 边形，考虑一般的问题．对凸2n 边形P 的一条对角线，若其两侧各有奇数个P 的顶点，称其为奇弦，否则称为偶弦．首先注意下述基本事实：对P 的任意三角剖分图T ，T 的完美匹配不含奇弦．（*）如果完美匹配中有一条奇弦1e ，因为T 的一个完美匹配给出了P 的顶点集的一个配对划分，而1e 两侧各有奇数个顶点，故该完美匹配中必有T 的另一条边2e ，端点分别在1e 的两侧，又P 是凸多边形，故1e 与2e 在P 的内部相交，这与T 是三角剖分图矛盾． 10分记()f T 为T 的完美匹配的个数．设121,2F F ==，对212,k k k k F F F ++≥=+，是Fibonacci 数列．下面对n 归纳证明：若T 是凸2n 边形的任意一个三角剖分图，则()n f T F ≤． 设122n P A A A =是凸2n 边形．从P 的2n 条边中选n 条边构成完美匹配，恰有两种方法，1234212,,,n n A A A A A A -或2345222121,,,,n n n A A A A A A A A --．当2n =时，凸四边形P 的三角剖分图T 没有偶弦，因此T 的完美匹配只能用P 的边，故2()2f T F ==．当3n =时，凸六边形P 的三角剖分图T 至多有一条偶弦．若T 没有偶弦，同上可知()2f T =．若T 含有偶弦，不妨设是14A A ，选用14A A 的完美匹配是唯一的，另两条边只能是2356,A A A A ，此时()3f T =．总之3()3f T F ≤=．结论在2,3n =时成立．假设4n ≥，且结论在小于n 时均成立．考虑凸2n 边形122n P A A A =的一个三角剖分图T ．若T 没有偶弦，则同上可知()2f T =．对于偶弦e ，记e 两侧中P 的顶点个数的较小值为()w e ．若T 含有偶弦，取其中一条偶弦e 使()w e 达到最小，设()2w e k =，不妨设e 为221n k A A +，则每个(1,2,,2)i A i k =不能引出偶弦．事实上，假设i j A A 是偶弦，若{22,23,,21}j k k n ∈++-，则i j A A 与e 在P 的内部相交，矛盾．若{1,2,,21,2}j k n ∈+，则()2i j w A A k <，与()w e 的最小性矛盾．又由（*）知完美匹配中没有奇弦，故122,,,k A A A 只能与其相邻顶点配对，特别地，1A 只能与2A 或2n A 配对．下面分两种情况．情形1：选用边12A A ．则必须选用边34212,,k k A A A A -．注意到221n k A A +的两侧分别有2,222k n k --个顶点，()2212222n k n k w A A k +--≥=，而4n ≥，因此226n k -≥，在凸22n k -边形121222k k n P A A A ++=上，T 的边给出了1P 的三角剖分图1T ，在T 中再选取n k -条边，12,,,n k e e e -，与1234212,,,k k A A A A A A -一起构成T 的完美匹配，当且仅当12,,,n k e e e -是1T 的完美匹配．故情形1中的T 的完美匹配个数等于()1f T ． 20分情形2：选用边12n A A ．则必须选用边23221,,k k A A A A +．在凸222n k --边形2222321k k n P A A A ++-=中构造如下的三角剖分图2:T 对2221k i j n +≤<≤-，若线段i j A A 是T 的边，则也将其作为2T 的边，由于这些边在内部互不相交，因此可再适当地添加一些2P 的对角线，得到一个2P 的三角剖分图2T ，它包含了T 的所有在顶点222321,,,k k n A A A ++-之间的边．因此每个包含边2123221,,,n k k A A A A A A +的T 的完美匹配，其余的边必定是2T 的完美匹配．故情形2中的T 的完美匹配个数不超过()2f T ． 由归纳假设得()1n k f T F -≤，()21n k f T F --≤，结合上面两种情形以及1k ≥，有()()1211()n k n k n k n f T f T f T F F F F ----+≤+≤+=≤． 40分下面说明等号可以成立．考虑凸2n 边形122n A A A 的三角剖分图:n ∆添加对角线222332121442232,,,,,,,n n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A ---++．重复前面的论证过程，()22f ∆=，()33f ∆=．对n ∆，4n ≥，考虑偶弦3n A A ．情形1，用12A A ，由于在凸22n -边形342n A A A 中的三角剖分图恰是1n -∆，此时有()1n f -∆个T 的完美匹配．情形2，用12n A A ，由于在凸24n -边形4521n A A A -中T 的边恰构成三角剖分图2n -∆，不用添加任何对角线，故这一情形下T 的完美匹配个数恰为()2n f -∆．从而对4n ≥，有()()()12n n n f f f --∆=∆+∆．由数学归纳法即得()n n f F ∆=，结论得证．因此，对凸20边形P ，()f T 的最大值等于1089F =． 50分。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。
1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。
7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。