2020年普特南数学竞赛题
普特南数学竞赛试题
普特南数学竞赛试题这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。
题目：设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。
答案及解析：由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。
首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：当a = 0时，m = 17；当a = 1时，m = 117；当a = 2时，m = 217；当a = 3时，m = 317；当a = 9时，m = 917；当a = 10时，m = 1017；可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。
解析：这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。
我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。
首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。
根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。
接下来，我们分析一下m可能的取值范围。
百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。
为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。
当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。
当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。
所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。
因此，整数m的百位数字是1。
这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。
同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。
普特南高中数学竞赛试题
普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。
A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。
求第10项的值。
A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。
A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。
9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。
10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。
三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。
12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。
结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。
2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案解析
DAB2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答2016年6月5日上午8:3011:00--一、填空题（每小题7分，共56分）1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．答案：1616a -<<．解：由值域y R +∈，2651x ax ∴-+>，2640x ax ⇒-+>24640a ∴∆=-⋅<，∴1616a -<<.2、四面体ABCD 中，ABC ∆是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为．答案：．解：如图，据题意得，AB ==于是BC CA AB ===2CD ==，因222BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积1433BCD V AD S ∆=⋅=，而2ABC S AB ∆== 若设D 到面ABC 的距离为h，则133ABC V h S h ∆=⋅=，由433h =，得到3h =． 3、若对于所有的正数,x y ，≤，则实数a 的最小值是 ．答．解：由221+=≤，当x y =时取等号．4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．答案：8．解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=， 则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ--==--+， 所以222tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，222tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ⎛⎫-==+ ⎪+⎝⎭，由此立得22tan tan 8αβ+=．解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=， 这时，2tan cot 2tan 1αγβ====，2222tan tan 228αβ∴+=+= 5、等差数列2,5,8,,2015L 与4,9,14,,2014L 的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．答案：134．解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016L 与等差数列5,10,15,,2015L 的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M =L 中的全体能被3整除的数，后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有201613415⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．9876543216、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是．答案：9． 解：由22sin cos y x x =，得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--⋅33222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ⎛⎫-+-+⎛⎫≤=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以9y ≤．当21cos 3x =时取得等号． 7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33⨯方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：（答案有多种）8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．答案：15．例如，排出的一个数列为(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,,M n =L ，由于1n >，则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数若与8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,,15M =L 时，可排出上面的情形：(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．二、解答题（共64分）9、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ， 证明：AM AN CO CD ⋅=⋅． 证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==，点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θθ=-+⎧⎨=⎩， ……3' 代入椭圆方程得到222222(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=，222222cos cos sin ab AN t b a θθθ==+，()cos 2a AM πθθ=≠，……6' 因此2222222cos sin a b AM AN b a θθ⋅=+，……9'又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，(cos ,sin )D OD OD θθ，……12'因为,C D 在椭圆上，则2222222cos sin a b CO b a θθ=+，而，222222222cos sin a b CO CD CO b a θθ⋅==+，因此AM AN CO CD ⋅=⋅．……14' 证2：易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，与椭圆方程联系， 解得222222222222C D b a k b a k b a k b a k ⎛⎫⎛⎫++++⎝、 ……3' ()()222222222222141k a bk a b CO CD b a kb a k++∴==++,()22222221k a b CO CD b a k+∴⋅=+……6'AN 方程为： ()(),0,y k x a M ka =+∴.将AN 方程与椭圆方程联立，得()222232222220b a k x a k x k a a b +++-=322322222222,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++ ……9'222222,1N kab y AM a k b a k=∴=++ ……12' ()2232224222222222421ab a k k a b ab k AN a b a k b a k ⎛⎫-+=++= ⎪+⎝⎭+， ()22222221a b k AM AN CO CD b a k+∴⋅==⋅+ …14'10、（15分）如图，D 是ABC ∆的旁心，点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明： (1)、,,B C E 三点共线；(2)、,,,A B D E四点共圆．证：1、延长DC 到M ，延长AC 到N ,连CE ，D Q 为旁心，CD ∴平分BCN ∠，……2'又A E 、关于DC 对称，CM ∴平分ACE ∠DCN ACM ∴∠=∠,BCD MCE ⇒∠=∠ BCN ACE ∴∠=∠,B ∴、C 、E 三点共线。
第六十八届普特南数学竞赛答案
第六十八届普特南数学竞赛答案1、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣42、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角3、14、在等腰中，如果的长是的2倍，且三角形周长为40，那么的长是（）[单选题] * A．10B．16 (正确答案)C．10D．16或204、下列计算正确是（）[单选题] *A. 3x﹣2x=1B. 3x+2x=5x2C. 3x?2x=6xD. 3x﹣2x=x(正确答案)5、40．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）[单选题] * A．﹣7(正确答案)B．﹣3C．1D．96、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] * A．±8(正确答案)B．﹣3或5C．﹣3D．57、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)8、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。
[单选题] *3(正确答案)4519、39、在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（）[单选题] *A．﹣11＜m＜﹣4B．﹣7＜m＜﹣4(正确答案)C．m＜﹣7D．m＞﹣410、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}11、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、412、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案) C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.13、20．下列说法正确的是（）[单选题] *A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数(正确答案)14、下列各角中，是界限角的是（）[单选题] *A. 1200°B. -1140°C. -1350°(正确答案)D. 1850°15、y=k/x（k是不为0的常数）是（）。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2
4
2
2
【解析】 a =b ， c =d ，设 a=x ， b=x ； c=y ， d=y ，x － y =9． ( x+y )( x－ y ) =9．
∴ x+y2=9， x－ y2=1， x=5， y2=4． b－ d=53－25=125－ 32=9 3．
11．将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
n=q2+q+1，l
≥
1 q(
q+1)
2+1，
2
q≥ 2，q∈ N．已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2 条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A、B、 C、 D和四条连线段 AB、BC、CD、
DA组成的图形 ) ．
2020 年全国高中数学联赛解答
BD DQ 本题成立．而要证 BDQ∽ DAQ，只要证 AD=AQ即可．
二、（本题 50 分）
设三角形的三边长分别是正整数 l ，m， n．且 l >m>n>0．
l
m
n
已知
3 10 4
=
3 10 4
=
3 10 4
，其中
{ x} =x－ [ x] ，而 [ x] 表示不超过
x 的最大整数．求这种三角
形周长的最小值．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
11 增，从而 y 单调递增．于是 u=－ 6时， y 取得最大值 6 3，故选 C．
普特南大学数学竞赛试题及答案
普特南大学数学竞赛试题及答案问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots +n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
答案一：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先，当\( n = 1 \)时，左边等于1，右边等于1，等式成立。
假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \]我们需要证明对于\( n = k + 1 \)时，等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k+1)^2 + (k+1) \] \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 + (k+1) \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 + 6(k+1)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6 + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 12)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2(k+1)(k+3) + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 3)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 1)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时等式也成立。
因此，对于所有正整数\( n \)，等式成立。
问题二：给定一个圆的半径为\( r \)，求圆内接正六边形的边长。
答案二：圆内接正六边形的边长等于半径\( r \)。
这是因为正六边形可以被划分为六个等边三角形，每个等边三角形的边长都是\( r \)。
问题三：如果\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a^2 - b^2 = 1 \)，证明\( a \)和\( b \)中至少有一个是偶数。
普特南数学竞赛试题 美国大学生数学竞赛试题 国际大学生数学竞赛试题
SEVENTY-FIRST ANNUAL WILLIAM LOWELL PUTNAM MATHEMATICAL COMPETITION Saturday, December 4, 2010 Examination B
B1. Is there an infinite sequence of real numbers a1 , a2 , a3 , . . . such that am + am + am + · · · = m 1 2 3 for every positive integer m? B2. Given that A, B, and C are noncollinear points in the plane with integer coordinates such that the distances AB, AC, and BC are integers, what is the smallest possible value of AB? B3. There are 2010 boxes labeled B1 , B2 , . . . , B2010 , and 2010n balls have been distributed among them, for some positive integer n. You may redistribute the balls by a sequence of moves, each of which consists of choosing an i and moving exactly i balls from box Bi into any one other box. For which values of n is it possible to reach the distribution with exactly n balls in each box, regardless of the initial distribution of balls? B4. Find all pairs of polynomials p(x) and q(x) with real coefficients for which p(x)q(x + 1) − p(x + 1)q(x) = 1.
2022普特南数学竞赛试题
六年级下学期期末数学竞赛试题一、填空：（每空1分，共24分）1、43吨＝（ ）千克 15分＝（ ）时 2、（ ）和0.3互为倒数3、比16千克多21 是（ ）千克；（ ）米比36米少32米 4、女生有25人，男生有20人，男生比女生少（ ）%5、（ ）÷8 = （ ）4= 0.5 =( )% = ( ):( )=（ ）折 6、将5.4：0.3化简为最简单的整数比是（ ），比值是（ ）7、一件衣服原价400元，先降价51，再提价41，现在这件衣服需要（ ）元 8、把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的长为12.56cm ，这个圆的周长是（ ）cm ，面积是（ ）2cm9、把一个圆柱的直径扩大3倍后，高不变，它的侧面积为原来的（ ）倍，它的体积为原来的（ ）倍.10、把一个直径为2分米，高为3分米的圆柱形木料，如果沿高切开得到两个几何体，表面积增加的最大值是（ ）平方分米；如果削为一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米11、从一个长是10分米，宽是6分米的长方形纸里剪出一个最大的圆，这个圆面积是（ ）平方分米，剩下部分的面积约占长方形总面积的（ ）%二、判断下面各题，对的在括号里画“√”，错的画“×”（5分）1、甲比乙多 15 米，也就是乙比甲少 15米 （ ） 2、 某班男、女生人数的比是7：8，男生占全班人数的157 （ ） 3、 半径是2厘米的圆，它的周长与面积相等 （ ）4、 某商品打“七五折”出售，就是降价85%出售 （ ）5、一个圆柱和一个圆锥的高相等，体积也相等，圆柱的底面积是15平方厘米，则圆锥的底面积是5平方厘米 （ ）三、选择正确的答案，把答案的序号填在括号里 （5分）1、下面的算式中结果最小的是（ ）A 、683÷B 、 836÷ C 、 836⨯ 2、甲数是乙数的54,乙数比甲数少（ ）% A 、25 B 、75 C 、203、某校七年级有500名学生，在一次视力检查中，近视的的有200人，绘制成扇形统计图，代表“视力近视”的扇形圆心角是 （ ）A 、144°B 、162°C 、216°4、一件工程，甲队单独做需5天完成，乙队单独做需4天完成，甲乙两队的工效的比是（ ）A 、5 :4B 、4 ：5C 、41：51 5、一个圆锥与一个圆柱体的底面周长的比是1：2，圆锥的高是圆柱的6倍，圆柱体的体积是圆锥的（ ）A 、 2 倍B 、32C 、61 四、计算下面各题（40分）1、直接写出得数（每式1分，共8分）34 ×8 = 23 ÷2 = 910 ÷ 35 = 16 × 38= 103×125= 1÷115= 21÷60%= 6.8÷10%= 2、怎样算简便就怎样算（每式3分，共15分）49 × 15 ÷ 45 81×58＋42÷8 36×（23 ＋ 16 － 75%） 81×[21÷（53×910）] （21＋41）÷（80%÷4－101）3、解方程（9分）x ÷43＝54 1－85x ＝34 ×23 41x ＝31:30％4、看图计算（每题4分，共8分）（1）求下面图形中阴影部分的面积.(单位：cm)（2）把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？四、应用题：（每题共26分，第1、2、3、5、6题每题4分，第4题6分）1、鹅的孵化期是30天，鸭的孵化期是鹅的1514，鸡的孵化期是鸭的43。
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2020年普特南数学竞赛题
1. 给出所有整数解$(x, y, z)$，满足$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$。
2. 证明或反驳：存在无穷多个质数$p$，使得$p + 2$也是质数。
1. 给定一个三角形，证明其内部存在一个点，该点到三角形的三边的距离之和最小。
2. 考虑一个圆和一个椭圆，它们具有相同的面积。
求证：椭圆周长大于圆的周长。
1. 一共有$n$个人站成一排，证明存在一种排列方式，使得没有人站在自己的左边。
2. 给出两个长度为$n$的序列，证明存在一种方法使得一个序列可以被另一个序列覆盖，使得覆盖的元素之和相等。
1. 给定一个无向图，证明图中存在一个顶点，其度数（与该顶点相连的边数）大于等于$\frac{n}{4}$，其中$n$是顶点的数量。
2. 证明或反驳：对于任意给定的正整数$n$，都存在一个由$n$个正整数构成的集合，使得该集合中任意两个数的比值都不相同。
1. 证明：对于任意两个实数$a$和$b$，都存在一个整数$N$，使得$a^N > b$。
2. 给出复平面上的一个开集，证明在该开集内存在一个闭集，该闭集的边界包含在给定的开集中。
1. 证明：对于任意一个常微分方程，都存在一个解，使得该解在某一点达到其最大值或最小值。
2. 考虑一个由以下方程描述的线性动力系统：$\frac{dx}{dt} = ax + b$。
证明：当$a > 0$时，该系统是稳定的；当$a < 0$时，该系统是不稳定的。
1. 给定一个矩阵A，其中所有行和所有列的和都等于0。
证明：A是奇异的（行列式为0）。
2. 对于一个给定的矩阵A，证明：如果A的所有特征值都是正的，那么A是正定的。
1. 证明：任意一个无向图都可以被划分为不超过其顶点数一半的连通子图。
2. 给定一个图，其中任意两个顶点之间最多有一条边。
证明：存在一种颜色分配方法，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
1. 给定一个目标函数和约束条件，使用线性规划方法找到最优解。
2. 考虑以下的决策问题：有n个项目可供选择，每个项目都有一个预期的收益和一个预期的风险。
如何选择项目以最大化预期的总收益，同时最小化预期的总风险？给出一种有效的决策方法。