第一章 数学竞赛概述

第一章数学竞赛概述教学要求:了解数学竞赛的产生、发展及影响；了解小学数学竞赛的组织、内容、形式。

重点和难点：数学竞赛的发展及教育价值。

第一节数学竞赛的教育价值（一）数学竞赛的产生数学是锻炼思维的体操，而其核心则是问题．解数学难题的竞赛至少可以追溯到16 世纪初期．当时，不少数学家喜欢提出问题，向其他数学家挑战，以比高低，其中解三次方程比赛的有声有色的叙述，使人记忆犹新．意大利数学家丰坦那（NiccoloFontana），人称“塔塔利亚”（Tartaglia 意为口吃者），出身贫寒，自学成才，后以教书为生．1535 年意大利数学家菲奥（A．M．Fior）向塔塔利亚提出挑战，要求举行一次解三次方程的公开比赛．菲奥是著名数学家费罗（Scipiouedal Ferro）的得意门生，费罗大约在1515 年左右解出了形如x3＋mx = n 类型的三次方程，并把方法秘密传给了菲奥．比赛于当年2 月22 日在米兰大教堂进行．双方各给对方出30 道题．为迎接这场挑战，塔塔利亚作了充分准备，他冥思苦想，终于在比赛前十天掌握了三次方程的解法，因而大获全胜．意大利数学家发现的三次方程的代数解法被认为是16 世纪最壮观的数学成就之一．公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更多人的兴趣，随着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题的竞赛，以激发中学生的数学才能和引起对数学的兴趣．世界上真正有组织的数学竞赛开始于1894 年，当时匈牙利数学界为了纪念著名数学家、匈牙利数学会主席埃特沃斯（L．Eütvos）荣任匈牙利教育部长而组织了第一届中学生数学竞赛，本来是叫做Eütvōs 竞赛，后来命名为JószefKórschak 竞赛，这一活动除两次世界大战和1956 年匈牙利事件中断七年外，每年十月举行一次，每次竞赛出三道题，限四小时做完，允许使用任何参考书．这些试题难度适中，别具风格，虽然用中学生学过的初等数学知识就可以解答，但是又涉及许多高等数学的课题．中学生通过做这些试题，不但可以检查自己对初等数学掌握的程度，提高灵活运用这些知识以及逻辑思维的能力，还可以接触到一些高等数学的概念和方法，对于以后学习高等数学有很大帮助．匈牙利数学竞赛试题的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，乃至国际数学奥林匹克（International Mathematics Olympiad，简称IMO）的命题都产生了重大的影响。

（二）国际数学奥林匹克竞赛数学奥林匹克的发展大致可以划分为以下三个阶段：第一阶段（1894 年～1933 年）：数学奥林匹克的酝酿和发生时期．这一阶段是自1894 年匈牙利举办数学竞赛之后，罗马尼亚紧步匈牙利的后尘，于1902 年开始举办全国性的数学竞赛，在以后的30 年中没有其他国家举办过类似的活动．第二阶段（1934 年～1958 年）：数学奥林匹克的萌芽和成长时期．前苏联自1934 年列宁格勒（今圣彼德堡）举办数学竞赛开始，1935 年莫斯科、第比利斯、基辅等也举办了数学竞赛，并把数学竞赛与体育竞赛相提并论，而且与数学科学的发源地——古希腊联系在一起，称数学竞赛为数学奥林匹克，它形象地揭示了数学竞赛是选手间智力的角逐．由于有许多著名数学家，如狄隆涅、柯尔莫哥洛夫、亚历山大洛夫等参与命题工作，所以前苏联的竞赛题质量很高，很多问题具有深刻的数学背景而又以通俗有趣、生动活泼的形式表现出来．这期间，美国于1938 年举办了大学低年级学生参加的普特南数学竞赛（PutnamMC），吸引了美国、加拿大各大学成千上万的大学生参加，这一竞赛的首创者是曾任哈佛大学校长的W．L．Putuam，早在1921 年，他就撰文论述仿照奥林匹克运动会举办大学生学习竞赛的优点，并在二十年代末，举行过几次校际竞赛作为实验．他逝世后留下一笔基金，两个儿子就与全家的挚友、著名美国数学家G．D．伯克霍夫商量，举办了普特南数学竞赛．伯克霍夫强调说，再没有一个学科能比数学更易于通过考试来测定能力了．首届普特南数学竞赛由美国数学会具体组织，考试分为A、B 两试（上、下午分别举行），每试6～7 题，各用3 个小时．为了保证竞赛的质量，试题由三位著名数学家组成的命题委员会拟定，三位委员是：波利亚（G．Polya），拉多（TiberRaod），卡普兰斯基（Kaplansky）．该竞赛的试题形式活泼，背景深刻，极富创造性，因而受到国际数学界的瞩目．值得注意的是这些试题虽然是提供给大学生的，但有相当一部分属于初等数学问题，完全不用高等数学知识，有一定思维能力和解题技巧的中学生都有可能解决。

到40 年代以后，其他一些国家如保加利亚（1949 年）、波兰（1949 年）、捷克斯洛伐克（1951 年）、中国（1956 年）也举行了数学竞赛．第三阶段（1959 年至今）：数学奥林匹克的发展与完善时期．在上述背景下，1956 年罗马尼亚的罗曼（T．Roman）教授向东欧七国建议举办国际数学竞赛，并于1959 年7 月，在罗马尼亚的古都布拉索夫（Brasov）举行了第一届国际数学奥林匹克（IMO），参加的七个国家都是东欧国家．在以后的几年中，参赛的国家未增多，在1963 年和1964 年，南斯拉夫和蒙古先后开始加盟，1965 年波兰参加，1967 年法国、英国、意大利和瑞典等西方国家也参加了．从此，参赛的国家逐渐增多，1971 年共有15 个队，1974 年美国姗姗来迟，共有18 个队，1977 年共有21 个队，1981 年共有27 队，1984 年有34 个队，1986 年中国正式派队参加，1990 年在北京举行的第31 届IMO 有54 个队，而2003 年在美国举办的第44 届IMO 已有82 个队、457 名选手参加，基本包括了世界上中学数学教育水准较高的国家．IMO 轮流做东，每年由各参赛国领队组成主试委员会（Jury Metting），由东道国任主试委员会主席，各项工作都贯穿着协商、信任的精神．IMO 的命题工作是由参赛国提出候选题，每个参赛国可提出三至五题，由东道国汇总后遴选出至少20 个题目，其中包括两份试卷（每份6 题）及8 个备用题，最后由主试委员会敲定6 道赛题．竞赛题除第2 届及第4 届为7 个题目之外，每届都是6 个题目．分两个上午进行，每次3 个题目，用4.5 小时答完．自第24 届（1983 年）以来记分方法采用每题7 分、每人42 分的计分方法，每个国家的代表队由6 人组成，团体总分为252 分．如奥林匹克一样，IMO 的表彰仪式上也并不排出国家的名次顺序，但是各国和好事的记者，总是喜欢按总分排出各国的名次顺序来．（三）中国数学竞赛第一阶段（1956 年至1965 年）：花开花落我国的数学竞赛始于1956 年，1956 年在著名数学家华罗庚教授的倡导下，首次在北京、天津、上海、武汉等四大城市举办了高中数学竞赛．由于“左”的冲击，至1965 年，只零零星星地举行过6 届．比赛前后，华罗庚等著名数学家直接给中学生作报告（当时称为“数学通俗讲演会”），在这些报告的基础上，出版了一批优秀的课外读物———数学小丛书，共计13 册，如华罗庚的《从杨辉三角谈起》、《从祖冲之的圆周率谈起》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、段学复的《对称》、史济怀的《平均》、闵嗣鹤的《格点和面积》、姜伯驹的《一笔画及邮递线路问题》、蔡宗熹的《等周问题》、常庚哲、伍润生的《复数与几何》等．数学家、教育家与优秀的大、中学校教师一起切磋交流，拟定了质量很高的试题．赛后数学家们又为同学们进行了居高临下、深入浅出的试题分析与讲解．这段时间，我国数学竞赛活动的势头很好，对我国的中等教育与人才培养起了很好的作用，引起各界的关注．竞赛的方式、试题的难度、选手的水平等都与IMO 相同或相近，我们完全可以走向世界，参加国际的角逐．但是，1966 年开始的“史无前例”的文化大革命，使数学竞赛在中国完全绝迹．第二阶段（1978 年～1980 年）：枯木逢春．1978 年是科学的春天，我国的数学竞赛活动又重新开始，华罗庚教授亲自主持了规模空前的全国八省市数学竞赛，与此同时，许多省、市都恢复了数学竞赛．1979 年从八省市的竞赛发展为除台湾以外的全国29 个省、市、自治区的竞赛．由华罗庚教授任竞赛委员会主任，并主持命题工作．竞赛分初赛和决赛两试进行．1980 年全国竞赛暂停一年．第三阶段（1980 年至今）：登上顶峰．1980 年，在大连召开了第一届全国数学普及工作会议，代表们着重研究了数学竞赛工作，把全国数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，并正式定名为“全国各省、市、自治区高中联合数学竞赛”（竞赛时间是每年的10 月）．全国高中联赛的命题贯彻在普及基础上提高的原则，要有利于促进中学数学教学改革、提高教学质量，有利于提高学生学习数学的兴趣，有利于发现人才、培养人才，有利于参加IMO 队员的选拔工作．试题的命题范围以高中数学竞赛大纲为准．1985 年，全国初中数学联合竞赛开始举行（时间是每年四月份第一个星期天）．1986年，团中央等单位又举办了小学高年级学生与初一学生参加的“华罗庚金杯少年数学邀请赛”．1990 年，小学数学奥林匹克开始举行．1993 年，中国数学会普及工作委员会又举办了全国小学数学奥林匹克总决赛．1986 年起，全国大学生夏令营也举行了大学生数学竞赛．1985 年，我国派出两名选手参加第26 届IMO 以了解情况，投石问路，结果只获得一枚铜牌，与各国选手相比成绩处于中下，为了改变这一落后状况，提高我国在IMO 中的成绩，加速培养数学人才，中国数学会决定：自1986 年起，每年一月份由中国数学会和南开大学、北京大学、复旦大学、中国科技大学中的一所大学联合举办一次全国中学生数学冬令营．冬令营邀请各省、市自治区头一年全国高中联赛的优胜者（每省、市、自治区至少一名）参加．冬令营通常安排五天，第一天是开幕式，第二、三两天上午考试，第四天听学术报告、交流学习数学的体会或旅游，第五天宣布考试结果并发奖．自1991 年起，冬令营定名为“中国数学奥林匹克”（简称CMO）．CMO 的考试方法类似于IMO，两天共考6 题，每天3 题，要求在4．5 小时内完成，试题的难度接近于IMO，从中选拔出20 余名队员组成国家集训队，然后经过集训，最后选出6 名选手参加当年7 月举行的IMO．历届IMO 试题、IMO 备选题及各个国家（地区）不同层次的竞赛题和训练题，浩若烟海，内容丰厚．由这些竞赛题所代表的是一种特殊的数学——奥林匹克数学．其主要研究对象是数学奥林匹克命题与解题的规律和艺术．其知识范围大致为：代数（数列、不等式、多项式、函数方程）、平面几何、数论、组合．但是有些试题往往同时涉及几个学科的知识，互相交叉，难以细分，因此只能给出一个比较粗糙的分类．第1~44届IMO 除第2、4 届为7 题外，其他各届均为6 题，共266 道题，为说明问题方便，让我们先来看统计表1-3．第二节小学数学竞赛的组织1 . “华罗庚金杯”少年数学邀请赛“华杯赛”是以我国著名数学家华罗庚教授的名字命名的一项全国性少年数学大赛。