同济版高等数学下册练习题附答案

第八章 测 验 题

一、选择题：

1、若a →

，b →

为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→

?= ( ).

(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→

.

向量a b →

→

?与二向量a →

及b →

的位置关系是( ). 共面； (B)共线；

(C) 垂直； (D)斜交 .

3、设向量Q →

与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当

cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→

±=( )

(A)2

2

αβ→→±； (B)2

2

2ααββ→→→

→±+； (C)2

2

ααββ→→→

→±+； (D)2

2

2ααββ→→→

→±+.

6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ).

(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220

A x

B y

C z

D B y D +++=??

+=?且

111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ).

(A) 过原点； (B)x 平行于轴；

(C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线

5

13

x y -=

- 10

7

z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--

9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周

2216

0x y z ?+=?=?

，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=；

(C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.

10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是

( ).

(A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；

(C)22

2

14y x z -+=； (D)

2221916

x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3

π，且2,5a b →→==，

求(2)(3)a b a b →→→→

-?+ .

三、求向量{4,3,4}a →

=-在向量{2,2,1}b →

=上的投影 .

四、设平行四边形二边为向量

{1,3,1};{2,1,3}a b →

→

=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .

五、已知,,a b →→

为两非零不共线向量，求证：

()()a b a b →→→→-?+2()a b →→

=?.

六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .

七、求直线L ：31258x t

y t z t =-??

=-+??=+?

在三个坐标面上及

平面π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线

122

232

x y z -+-==

-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . 九、求点(1,4,3)--并与下面两直线

1L ：24135x y z x y -+=??+=-?，2:L 24132x t

y t z t =+??=--??=-+?

都垂直的直线方程 .

十、求通过三平面：220x y z +--=，

310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于平面20x y z ++=的平面方程 . 十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通过直线10

20

y z x z ++=??

+=?与平面的交点，且与已知直线垂直 .

十二、判断下列两直线 111

:112

x y z L +-==, 212:134

x y z L +-==,是否在同一平面上，在同

一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .

第九章 测 验 题

一、选择题:

1

、二元函数22

1

arcsin

z x y =++的定义域是( ).

(A)2214x y ≤+≤； (B)2214x y <+≤； (C)2214x y ≤+<； (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()x f xy x y y

=+,则(,)f x y =( ).

(A)221()x y y

+； (B) 2(1)x y y

+； (C) 221

()y x x

+； (D) 2(1)y y x

+.

3、222200

lim()x y x y x y →→+=( ).

(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .

4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导

数

0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).

(A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件；

(C)充分必要条件；

(D)既不是充分条件,也不是必要条件.

5、设(,)f x y 22

2222

221()sin ,00,0x y x y x y x y ?++≠?+=??+=?

则在原点(0,0)处(,)f x y ( ). (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 . 6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连

续偏导数.则

2

2z

y

?=?( ). (A)222f v f v v y y v y ?????+?

?????； (B)22f v v y

?????； (C)

22

22

2()f v f v

y

v v y ????+?????；

(D)2222f v f v

y v v y

?????+?????.

7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面

所围

成的四面体的体积V=( ).

(A) 332a ； (B) 33a ； (C) 3

92

a ； (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).

(A) (1,2)； (B) ； (C) (-1,2)； (D)

(-1,-1).

9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2

x y z x y z π

++=>>>的条件极值是

( ).

(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16 ； (D) 1

8 .

10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻

域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ). 二、讨论函数33

x y

z x y

+=+的连续性，并指出间断点类型.

三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y z x = ；

2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；

3、22222

220(,)00

x y x y f x y x y x y ?+≠?

=+??+=?

.

四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()

z x y z φ=+所 确的函数,求du .

五、设(,,),y z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶

偏导 数,求2z

x y ???. 六、设cos ,sin ,u u x e v y e v z uv ===,试求z x

??和z

y

?? . 七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数

22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导

数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)

最小值；(3)等于零 . 八、求平面13

45

x

y z

+

+=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .

九、在第一卦限内作椭球面222

2221x y z a b c

++=的切

平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最

小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .

第十章 测 验 题

一、选择题:

1、1

100(,)x

dx f x y dy -??=( )

(A)11

00(,)x

dy f x y dx -??； (B)1

100(,)x

dy f x y dx -??； (C)1

1

00(,)dy f x y dx ??； (D)1

100

(,)y

dy f x y dx -??.

2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,

D

π=.

(A) 1 ；

；

；

3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.D

dxdy =??

4、xy D xe dxdy ??的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤

(A) 1;e

(B) e ; (C) 1

;e

- (D) 1.

5、设22()D

I x y dxdy =+??,其中D 由222x y a +=所

围成,则I =( ). (A)2240

a

d a rdr a π

θπ=??;

(B)22400

1

2

a

d r rdr a πθπ?=??;

(C)2230

23

a

d r dr a πθπ=??;

(D)224002a

d a adr a πθπ?=??. 6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的

空间区域,则xdxdydz Ω

???=( ).

(A)

148 ； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124

- . 7、设Ω是锥面222

222(0,z x y a c a b

=+>0,0)b c >>与

平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,

则dxdydz Ω

???

=( ).

(A)

2136a b ；

(B) 21

36a b

(C) 2136b c ；

(D) 1

36.

8、计算I zdv Ω

=???,其222,1z x y z Ω=+=中为围成

的 立体,则正确的解法为( )和( ).

(A)21

1

000I d rdr zdz π

θ=???；

(B)211

00r I d rdr zdz πθ=???；

(C)21

1

00r

I d dz rdr π

θ=???； (D)12000z

I dz d zrdr πθ=???.

9、

曲面z =222x y x +=内部

的那 部分面积s =( ).

；

；

；

(D) .

10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀

(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量 x I =( ).

(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分:

1、22()D

x y d σ-??,其中D 是闭区域:

2、D

y

arctg d x

σ??,其中D 是由直线0y =及圆周

22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象

限内的闭区域 .

3、2(369)D

y x y d σ+-+??,其中D 是闭区

域:222

x y R +≤

4、222D

x y d σ+-??,其中D :223x y +≤.

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:

1、1

23

30010(,)(,)y

y

dy f x y dx dy f x y dx -+????；

2

、1

10(,)dx f x y dy ?；

3、00(cos ,sin )a d f r r rdr θ

θθθ??.

四、将三次积分1

1

0(,,)y

x x dx dy f x y z dz ???改换积分次序为 x y z →→.

五、计算下列三重积分:

1、cos(),y x z dxdydz Ω

+Ω???:

抛物柱面y =

,,2

y o z o x z π

==+=

及平面所围成的区域 .

2、22(),y z dv Ω

+???其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围

成的闭区域 .

3、222222

ln(1)

,1z x y z dv x y z Ω

++++++???其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .

六、求平面1x y z

a

b c

++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .

七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111

30

1()()()[()]6y

x x

f x f y f z dxdydz f x dx =?

??

? .

第十一章 测 验 题

一、选择题: 设L 为03

,02

x x y =≤≤

,则4L ds ?的值为( ).

(A)04x ， (B)6, (C)06x .

设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2L

dy ?=( ).

(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,

sin ,

x a t y b t =??

=?取顺时针方向,则

L

ydx xdy -?的值为( ).

(A)0; (B)2

ab π

; (C)ab π.

4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续

偏导数,则在D 内与L

Pdx Qdy +?路径无关的

条件

,(,)Q P

x y D x y

??=∈??是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则

( )式正确. (A)1

2zds zds ∑

∑=????;

(B)1

2zdxdy zdxdy ∑

∑=????;

(C)1

222z dxdy z dxdy ∑

∑=????.

6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的

曲面 ,

则ds ∑

??等于( ).

(A)

20

r

d rdr

π

θ?

?

;(B)

20

0d rdr π

θ?

?

;

(C)20d rdr π

θ?.

7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则 2

2

x y zdxdy ∑

??等于( ).

(A) 2xy

D x y ??;

(B) 22xy

D x y ??

; (C) 0 .

8、曲面积分2z dxdy ∑

??在数值上等于( ).

向量2z i 穿过曲面∑的流量； 面密度为2z 的曲面∑的质量；

向量2z k 穿过曲面∑的流量 .

9、设∑是球面2222

x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy

面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).

(A)2222xy

D x y zds x y ∑

=????；

(B)2222()()xy

D x y dxdy x y dxdy ∑

+=+????；

(C) 2xy

D zdxdy ∑

=????.

10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运

用奥-高

公式正确的是( ).

(A)

2

(2)x dydz z y dxdy ∑++??外侧

=(22)x dxdydz Ω

+???；

(B)

32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+??

外侧

=22(321)x x dxdydz -+???； (C)

2

(2)x dydz z y dxdy ∑++??内侧

=(21)x dxdydz Ω

+???.

二、计算下列各题:

1、求

zds Γ

?

,其中Γ为曲线

cos ,sin ,,x t t y t t z t =??

=??=?

0(0)t t ≤≤； 2、求(sin 2)(cos 2)x x L e y y dx e y dy -+-?,其中L 为上

半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .

三、计算下列各题: 1、求

222ds

x y z

∑++??其中∑是界于平面0z z H ==及

之间的圆柱面222x y R +=；

2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??，

其中∑

为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；

∑

其中∑为曲面22

(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 . 四、证明:22

xdx ydy x y

++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及

原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .

五、求均匀曲面z =的重心的坐标 .

六、求向量A xi yj zk =++通过区域:Ω01,x ≤≤

01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .

七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),

已知流速函数222V xz i yx j zy k =++,求流体在单

位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流

向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .

第十二章 测 验 题

一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ).

(A)11n n ∞

=∑；

(B)1n ∞

=；

(C)n ∞

=； (D)1

(1)n n ∞

=-∑.

2、下列级数中,收敛的是( ).

(A) 115()4n n ∞

-=∑； (B)114

()5

n n ∞

-=∑；

(C)1

11

5(1)

()4n n n ∞

--=-∑； (D)1154

()4

5n n ∞

-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )

(A)221(!)2n n n ∞

=∑； (B)13!

n n n n n

∞

=∑；

(C) 2

2

1

sin

n n

π

π∞

=∑

； (D)1

1

(2)n n n n ∞

=++∑

.

4、部分和数列{}n s 有界是正项级数1

n n u ∞

=∑收敛的

( )

(A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1

n

n a r ∞

=∑收敛 .

(A)1r <； (B)1r ≤； (C)r a <； (D)1r >. 6、幂级数1

1(1)(1)

n

n n x n

∞

-=--∑的收敛区间是( ). (A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].

7、若幂级0

n n n a x ∞

=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;

0n

n n b x ∞

=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数

0()n n n n a b x ∞

=+∑的收敛半径至少为( )

(A)12R R +； (B)12R R ?；

(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R . 8、当0R >时,级数2

1(1)n

n k n

n

∞

=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞

=是级数1n n u ∞

=∑收敛的( )

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .

10、幂级数1

(1)n n n n x ∞=+∑

的收敛区间是( )

(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:

1、2

21(!)

2n n n ∞

=∑； 2、2

1

cos 32n

n n n π∞

=∑

.

三、判别级数1

1

(1)ln

n n n n

∞

=+-∑的敛散性 . 四、求极限 1

11139

27

3lim[248(2)]n

n n →∞

???

? .

五、求下列幂级数的收敛区间:

1、135n n n n x n ∞

=+∑； 2、212

n n n n

x ∞

=∑.

六、求幂级数1

(1)n

n x n n ∞

=+∑的和函数 .

七、求数项级数2

1!

n n n ∞

=∑的和 .

八、试将函数

2

1

(2)

x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的

表达式为 0,[,0)

(),[0,)

x x f x e x ππ∈-?=?∈?将()f x 展开成傅

立叶级数 . 十、将函数1,0()0,x h

f x h x π

≤≤?=?<≤?分别展开成正弦级

数

和余弦级数 . 十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期,

则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0

(1,2,)k k a b k ===.

第八章 测 验 题 答 案

一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ；

6、B ；

7、C ；

8、A ；

9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.

四、六、22

1330y z x ?+

=???=?

.

七、3120x t y t z =??=-+??=?, 3058x t y z t =-??=??=+?, 01258x y t z t =??=-+??=+?

,

1411260

380

x y z x y z +--=??-++=?. 八、81390x y z --+=.

九、1124463x t

y t z t =--??

=-+??=+?

.

十、240x y z ++-=. 十一、210

10x y z x y z +-+=??

+++=?

.

十二、直线12L L 与为异面直线

,d =

. 第九章 测 验 题 答 案

一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ；

6、C ；

7、A ；

8、A ；

9、D ； 10、B.

二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时, 则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点. 三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y

y x z x y

=

； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++

23()y y u xf xz xyz f =++.

3、322

222

222,0()

(,),0,0x xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 2222

2222

22(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ?-+≠?+=??+=?

.

四、221()

()()1()1

f f z f dx dy y z y z φφφ-

-''--.

五、2y y y y uu

uy xu xy u xe f e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),

(cos sin ).u u z z

v v u v e u v v v e x y

--??=-=+?? 七、

cos sin ,f

l

φφ?=+? 八、4335(,,).5512

九、切点min V =

. 第十章 测 验 题 答 案

1、D ；

2、C ；

3、A ；

4、A ；

5、B ；

6、A ；

7、A ；

8、B,D ；

9、B ； 10、C.

二、1、2409π-

；2、23

64

π； 3、4294R R ππ+；4、5.2

π

三、1、230

2

(,)x

x dx f x y dy -??；

2

、2

1

2

1

(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +???；

3、0(cos ,sin )a

a

r rdr f r r d θθθ??. 四、1

1

00(,,)z

z dz dy f x y z dx ???.

五、1、2

1162π-； 2、250

3

π； 3、0.

. 七、提示：

第十一章 测 验 题 答 案

一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.

二、1

、

3220

(2)3t +-； 2、2a π.

三、1、2H arctg R π； 2、44h π

-； 3、0.

四、221

(,)ln()2u x y x y =+.

五、(0,0,)2a

. 六、3.

七、32

,015

π.

第十二章 测 验 题 答 案

一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.

提示:化成212333

2

n n ++++)

五、1、11

[,)55

-； 2、(2,2).

六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x x

x ?+--∈-??

=??=?

. 七、2e .

八、1

21

11,(2,2)(2)2

n n n n x x x ∞-+==∈--∑

九、2

111(1)1

()[cos 21n n e e f x nx n

ππππ∞=---=++∑ 12

((1)1)

sin ]1

n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,

x x n n π-∞<<+∞≠=±±且).

十、1

2

1cos ()sin ,(0,)(,)n nh

f x nx x h h n ππ∞

=-=

∈?∑