精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)(骄阳教育)

初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马” 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．l ABlP BAlBAlPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MQ'Q P l 1l 2P Q在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．【问题5】“造桥选址” 作法图形 原理直线m ∥n ，在m 、n ，上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，且AM +MN +BN 的值最小．将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为 A ＇B +MN ．【问题6】作法图形原理在直线l 上求两点M 、N （M 在左），使a MN ，并使AM +MN +NB 的值最小．将点A 向右平移a 个长度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇， 连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ．两点之间线段最短． AM +MN +BN 的最小值为 A ＇＇B +MN ．【问题7】作法图形原理在1l 上求点A ，在2l 上求点B ，使P A +AB 值最小．作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交2l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理连AB ，作AB 的中垂线与垂直平分上的点到线段两m nM NA'BAla ABM Nm nABM NlA''A'BAMNl 1l 2A BP'Pl 1l 2Pl 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'ABAA在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．直线l 的交点即为P ． 端点的距离相等． PB PA -＝0．【问题10】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2AB BC CD ===，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

3.正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，DN MN +的最小值为 。

4.在菱形ABCD 中，2AB =，060BAD ∠=，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE PB +的最小值为5.如图，在ABC ∆中，2AC BC ==，090ACB ∠=，D 是BC 边的中点，E 是ABlBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAA B CD 图(2)EB DACPDO C P边上一动点，则EC ED +的最小值为O 直径，2AB =，OC 是⊙O 的半径，OC AB ⊥，点D 在AC 上，D 为AC 的三等分点，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP PD +的最小值为7.如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为8.如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是 ．9.如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．二、例题讲解例1：已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标． （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．DACMB A 第1题 第2题 第3题 第4题第6题第7题第9题第8题yxO DEA BC例2：如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为431⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点(03)C -，．（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ．判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点． （1）点D 的坐标为 ；（2）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标．DOxyBEPA C。