2.2.1 等差数列(第1课时)等差数列的概念及简单的表示(课件)高一下学期数学
提示：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常 数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当 d>0 时为递增数列； d＝0 时为常数列；d<0 时为递减数列．(3)正确．若 a，b，c 满足 2b＝a＋c， 即 b－a＝c－b，故 a，b，c 为等差数列．
2．等差数列－6，－3,0,3，…的公差 d＝________. 3 [(－3)－(－6)＝3，故 d＝3.] 3．下列数列： ①0,0,0,0； ②0,1,2,3,4； ③1,3,5,7,9； ④0,1,2,3，…. 其中一定是等差数列的有________个． 3 [①②③是等差数列，④只能说明前 4 项成等差数列．]
1 3＋
2，b＝
1 3－
，则 2
a，b
的等差
中项为______．
【答案】 3
[a＋2 b＝
1 3＋
＋ 2
2
1 3－
2＝
3－
2＋ 2
3＋
2＝
3.]
5．（2019 年大同模拟）已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)， 判断数列{an}是否为等差数列？说明理由.
【答案】因为 an＝an－1＋2(n≥3)， 所以 an－an－1＝2(常数)． 又 n≥3，所以从第 3 项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数 2， 而 a2－a1＝0≠a3－a2， 所以数列{an}不是等差数列．
∴a15＝a1＋(15－1)d＝141＋14×－34＝－341.
法二：(利用 am＝an＋(m－n)d 求解)由 a7＝a3＋(7－3)d， 即－74＝54＋4d，解得 d＝－34， ∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×－34＝－341.
[规律方法]
1．应用等差数列的通项公式求 a1 和 d，运用了方程的思想．一般地，可 由 am＝a，an＝b，
且 an＋1<0 的 n 为( )
A．21
B．22
C．23
D．24
【答案】B [公差 d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令aann≥＋1<00，， 即8888－－44nn≥＋01，<0 ⇒21<n≤22.又∵n∈N*，∴n＝22.]
4．（2019 年宣城期中）已知 a＝
[基础自测] 1．思考辨析 (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数 列是等差数列．( ) (2)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．( ) (3)若三个数 a，b，c 满足 2b＝a＋c，则 a，b，c 一定是等差数列．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝a2n＋an2” 换为“a1＝4，an＝4－an4－1(n>1)，记 bn＝an－1 2”．(1)试证明数列{bn}为等差 数列；(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a14n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝21.
[跟踪训练] 1．若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，求 m 和 n 的等 差中项． [解] 由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m＋2n＝8.又由 2m 和 n 的等差中 项为 5，得 2m＋n＝10.两式相加，得 m＋n＝6.所以 m 和 n 的等差中项为m＋2 n ＝3.
得aa11＋ ＋
m－ n－
d＝a， d＝b，
求出 a1 和 d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项 am，an，求通项公式或其它项时，则 运用 am＝an＋(m－n)d 较为简捷．
[跟踪训练] 2．(1)求等差数列 8,5,2，…的第 20 项； (2)判断－401 是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第 几项？
[解] ∵－1，a，b，c,7 成等差数列， ∴b 是－1 与 7 的等差中项， ∴b＝－12＋7＝3. 又 a 是－1 与 3 的等差中项， ∴a＝－12＋3＝1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项， ∴c＝3＋2 7＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.
[规律方法] 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝a＋2 c 或 2b＝a＋c ， 可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数 列，可证 2an＋1＝an＋an＋2 n∈N*
思路探究：①要判断数列a1n是否为等差数列，是否要先求an1＋1－a1n的表 达式？
②能否求出数列a1n的通项公式？
[解] (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， ∴an1＋1－a1n＝12， 即a1n是首项为a11＝21，公差为 d＝12的等差数列． (2)由上述可知a1n＝a11＋(n－1)d＝2n，∴an＝n2.
等差数列的通项公式及其应用
例 2、(1)在等差数列{an}中，已知 a4＝7，a10＝25，求通项公 式 an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝54，a7＝－74，求 a15 的值.
思路探究：设出基本量 a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用 等差数列的一般形式 an＝am＋(n－m)d 求解．
[解] (1)∵a4＝7，a10＝25， 则aa11＋＋39dd＝＝72，5， 得ad1＝＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式 an＝3n－5(n∈N*)．
(2)法一：(方程组法)由aa37＝ ＝54－，74，
a1＋2d＝54， 得
a1＋6d＝－74，
解得 a义可知．
3．若{an}是公差为 d 的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是， 公差是多少？
提示：∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d. ∴{an＋an＋2}是公差为 2d 的等差数列．
例 3、已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2. (1)数列a1n是否为等差数列？说明理由； (2)求 an.
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*)．
2．等差中项 (1)条件：如果 a，A，b 成等差数列．(2)结论：那么 A 叫做 a 与 b 的等 差中项．(3)满足的关系式是 a＋b＝2A． 思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个 等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．（2019 年汕头期末）已知等差数列{1－3n}，则公差 d 等于( )
A．1
B．3
C．－3
D．n
【答案】C [∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.]
2．（2019 年宁波模拟）下列命题：①数列 6,4,2,0 是公差为 2 的等差数列；
“ THANKS ”
an－an－1＝d(n≥2)， 将上述(n－1)个式子相加得 an－a1＝(n－1)d(n≥2)， ∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)， 当 n＝1 时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式， ∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
4．从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则 an＝f(n)＝a1＋(n－1)d ＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线 y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d. 思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求 an，需要哪几个条件？ [提示] 只要求出等差数列的首项 a1 和公差 d，代入公式 an＝a1＋(n－1)d 即可．
[解] 当 n≥2 时，由 2an＋1＝2an＋3，得 an＋1－an＝32，但 a2－a1＝1≠23， 故数列{an}不是等差数列．
[规律方法] 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d常数n∈N*⇔{an}为等差数列； ( )等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N*⇔{an}为等差数列； ( )通项公式法：an＝an＋ba，b 是常数，n∈N*⇔{an}为等差数列. 但如果要 证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
[提示] 插入的数分别为 3,2，a＋2 b，0.
3．等差数列的通项公式 以 a1 为首项，d 为公差的等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d. 思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它
方法吗？如何操作？ [提示] 还可以用累加法，过程如下： ∵a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， ……
人教A版 必修五
第二章 数列
2.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念 及简单的表示
学习目标：1.理解等差数列的概念(难点). 2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点). 3.掌握等差数列的判定方法(重点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列 的 公差 ，公差通常用字母 d 表示．
②数列 a，a－1，a－2，a－3 是公差为－1 的等差数列；③等差数列的通项
公式一定能写成 an＝kn＋b 的形式(k，b 为常数)；④数列{2n＋1}是等差数
列．其中正确命题的序号是( )
A．①②
B．①③
C．②③④
D．③④
【答案】C [②③④正确，①中公差为－2.]
3．（2019 年佛山模拟）在等差数列{an}中，若 a1＝84，a2＝80，则使 an≥0，
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高中数学等差数列的概念及简单的表示课件
2
又 c 是 3 与 7 的等差中项，
3 ＋7 ∴c＝ ＝5.
2
∴该数列为－1 ,1 ,3 ,5 ,7 .
合作探究
思
而
学
a ＋c
[规律方法] 三数 a，b ，c 成等差数列的条件是 b ＝
或 2b ＝a＋c ，可用来解决等差数列的
2
判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2 n ∈N * .
[答案] (1)× (2)√ (3)√
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
提示：(1 )错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常 数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当 d >0 时为递增数列；d ＝0 时为常数列；d <0 时为递减数列． (3)正确．若 a，b ，c 满足 2b ＝a＋c，即 b －a＝c－b ，故 a，b ，c 为
等差数列．
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
2 ．等差数列－6 ，－3 ,0 ,3 ，…的公差 d ＝________. 3 [(－3 )－(－6 )＝3 ，故 d ＝3 .]
3 ．下列数列： ①0 ,0 ,0 ,0 ； ②0 ,1 ,2 ,3 ,4 ； ③1 ,3 ,5 ,7 ,9 ； ④0 ,1 ,2 ,3 ，…. 其中一定是等差数列的有_ _ _ _ _ _ _ _ 个．
随堂检测
REACHING THE GOAL IN COURT
1．（2019 年期末）已知等差数列{1－3n}，则公差 d 等于( )
A．1
B．3
C．－3
D．n
【答案】C [∵an＝1－3n ，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d ＝a2－a1＝－3.]
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列的概念PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
2.2等差数列(第1课时)课件人教新课标
(2) 1，4，7，10，13，16，… (3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… (4) 2，0，-2，-4，-6，… (5) 5，5，5，5，5，5，…
(6) 0，0，0，0，0，…
公差 d=1 递增数列 公差 d=3 递增数列 公差 d= -4x 公差 d= -2 递减数列 公差 d=0 非零常数列 公差 d=0 零常数列
如果数列 an 的第n项an 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫
做这个数列的通项公式。
Sn a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n
2)
活页规范训练
两个实例
4 5 6 7 8 9 10
• 图中表示堆放的钢管，共堆放了7层，自上而下分别有4，5，6，7， 8，9，10根钢管，钢管数排成一个数列：
2．2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
【课标要求】
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认
识并能运用． 【核心扫描】 1．等差数列的判定．(难点) 2．等差数列的通项公式及运用．(重点)
高中数学教师欧阳文丰制作
活页规范训练
复习数列的有关概念1
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
1
●
0
1234
56 78
9 10
●
活页规范训练
等差数列的图象2
10 9 （2）数列：7，4，1，-2，… 8
7
●
6
5
4
●
3
2 ●
(6) 0，0，0，0，0，…
公差 d=1 递增数列 公差 d=3 递增数列 公差 d= -4x 公差 d= -2 递减数列 公差 d=0 非零常数列 公差 d=0 零常数列
如果数列 an 的第n项an 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫
做这个数列的通项公式。
Sn a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n
2)
活页规范训练
两个实例
4 5 6 7 8 9 10
• 图中表示堆放的钢管，共堆放了7层，自上而下分别有4，5，6，7， 8，9，10根钢管，钢管数排成一个数列：
2．2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
【课标要求】
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认
识并能运用． 【核心扫描】 1．等差数列的判定．(难点) 2．等差数列的通项公式及运用．(重点)
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活页规范训练
复习数列的有关概念1
8
●
7
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活页规范训练
等差数列的图象2
10 9 （2）数列：7，4，1，-2，… 8
7
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3
2 ●
高中数学第二章2.2.1等差数列的概念精品课件苏教必修5.ppt
课标定位
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是 否为等差数列． 2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单 问题． 重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项． 本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念 定义：一般地，如果一个数列从第_二__项起，每一项 减去它的_前__一__项_所得的差都等于_同__一__个_常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 公的差____，公差通常用d __表示． 说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个 常数，那么数列{an}就是等差数列． (2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差 (从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2， n∈N*)即可． 【解】 取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an －1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差 为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p ＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p. 【点评】 深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一 个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
例1 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为 常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是 ，求其首项与公差．
【分析】 根据等差数列的定义可知，要证明一个数
列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项
项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个
常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是 等差数列．
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是 否为等差数列． 2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单 问题． 重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项． 本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念 定义：一般地，如果一个数列从第_二__项起，每一项 减去它的_前__一__项_所得的差都等于_同__一__个_常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 公的差____，公差通常用d __表示． 说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个 常数，那么数列{an}就是等差数列． (2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差 (从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2， n∈N*)即可． 【解】 取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an －1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差 为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p ＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p. 【点评】 深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一 个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
例1 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为 常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是 ，求其首项与公差．
【分析】 根据等差数列的定义可知，要证明一个数
列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项
项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个
常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是 等差数列．
等差数列的概念PPT课件
( m, n, p, q N * )
19
等差数列的性质
性质 1．an＝am＋ (n－m)d (m，n∈N*)． 性质 2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋an
＝ap＋aq. 特别地：若 m＋n＝2p (m，n，q∈N*)，则则am＋an ＝2ap.
性质3.在等差数列{a
n
}中，a m m
即a, b, c成等差 2b a c b是a与c的等差中项
数列an中，若对任意n N *, 都有
an
,
an1
,
an
成
2
等
差
，
则
该
数
列
是
等差
数
列.
探究二 等差中项的应用
【例 1】（1） 与 的等差中项是
（4）三个数成等差数列，和为 12，积为 48 ，则这三个数为
.
.
变式：在等差数列an 中，若 m n p q ，求证：am an a p aq
(2)若a1 a2 a3 7, a4 a5 a6 3， 则a10 a11 a12
(3)方程 x2 52 x m x252 x n 0的四个根
组成一个首项为 23的等差数列，则 m n ；
【思维拓展】: 数列{an}, a1 5, an 3an1 3n 1
例3 （1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第 几项是-401？ （3）等差数列-5，-9，-13，…，321的项数？
变式二：首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是？
例4 等差数列 an 中，已知 a5 10, a12 31 （1）求 an; （2）判断数列的单调性； （3）若an 100 ，求 n的最小值；
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等差数列的性质
性质 1．an＝am＋ (n－m)d (m，n∈N*)． 性质 2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋an
＝ap＋aq. 特别地：若 m＋n＝2p (m，n，q∈N*)，则则am＋an ＝2ap.
性质3.在等差数列{a
n
}中，a m m
即a, b, c成等差 2b a c b是a与c的等差中项
数列an中，若对任意n N *, 都有
an
,
an1
,
an
成
2
等
差
，
则
该
数
列
是
等差
数
列.
探究二 等差中项的应用
【例 1】（1） 与 的等差中项是
（4）三个数成等差数列，和为 12，积为 48 ，则这三个数为
.
.
变式：在等差数列an 中，若 m n p q ，求证：am an a p aq
(2)若a1 a2 a3 7, a4 a5 a6 3， 则a10 a11 a12
(3)方程 x2 52 x m x252 x n 0的四个根
组成一个首项为 23的等差数列，则 m n ；
【思维拓展】: 数列{an}, a1 5, an 3an1 3n 1
例3 （1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第 几项是-401？ （3）等差数列-5，-9，-13，…，321的项数？
变式二：首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是？
例4 等差数列 an 中，已知 a5 10, a12 31 （1）求 an; （2）判断数列的单调性； （3）若an 100 ，求 n的最小值；
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
高中数学 第二章 2.2(一)等差数列(一)课件 新人教A版必修5
第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效 例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲 栏 目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开 关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本 讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏 目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开 关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效 探究 若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲 栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开 关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
第十三页，共25页。
跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲 栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
2019_2020版高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念及通项公式课件新人教A版必修
提示(1){an}的递推公式是a1=1,an-an-1=3(n≥2),累加可得an=3n-2;
(2)a1=1,a2=a1+3,a3=a2+3=a1+2×3,…,an=a1+(n-1)·3.
2.填空: 等差数列的通项公式 以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
即 b=-12+7=3.同理 a 是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所
以 a=-12+������=1,c=3+27=5.故 a,b,c 的值分别为 1,3,5.
反思感悟等差中项的应用策略
1.求两个数 x,y 的等差中项,根据等差中项的定义得 A=������+2������. 2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项 即可,即若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b;反之,若 a+c=2b,则 a,b,c 成等 差数列.
一二三
二、等差中项
【问题思考】
1.在下面两个数之间,插入一个怎样的数,这三个数就可以构成等差
数列?插入的数唯一吗?
(1)2,
,6;(2)10,
,-30;(3)9,
,9.
提示插入的数分别是4,-10,9,插入的数是唯一的.
2.填空: 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时 ,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.
2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念 及通项公式
课标阐释
思维脉络
1.理解等差数列的概念,理解
等差中项的概念.
等差数列的概念及通项公式
2.掌握等差数列的通项公式, 能运用公式解决相关问题. 3.掌握等差数列的判断与证
(2)a1=1,a2=a1+3,a3=a2+3=a1+2×3,…,an=a1+(n-1)·3.
2.填空: 等差数列的通项公式 以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
即 b=-12+7=3.同理 a 是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所
以 a=-12+������=1,c=3+27=5.故 a,b,c 的值分别为 1,3,5.
反思感悟等差中项的应用策略
1.求两个数 x,y 的等差中项,根据等差中项的定义得 A=������+2������. 2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项 即可,即若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b;反之,若 a+c=2b,则 a,b,c 成等 差数列.
一二三
二、等差中项
【问题思考】
1.在下面两个数之间,插入一个怎样的数,这三个数就可以构成等差
数列?插入的数唯一吗?
(1)2,
,6;(2)10,
,-30;(3)9,
,9.
提示插入的数分别是4,-10,9,插入的数是唯一的.
2.填空: 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时 ,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.
2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念 及通项公式
课标阐释
思维脉络
1.理解等差数列的概念,理解
等差中项的概念.
等差数列的概念及通项公式
2.掌握等差数列的通项公式, 能运用公式解决相关问题. 3.掌握等差数列的判断与证