等差数列的定义
等差数列的认识及公式运用
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨等差数列的认识与公式运用由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识例题精讲【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
数列：第2讲等差数列
等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m＝a p＋a q(p，q，m，n∈N*)．(3)若{a n}，{b n}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pa n}，{a n＋q}，{a n±b n}也为数列，且公差分别为，，.(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n，a n＋m，a n＋2m，…为等差数列，公差为md.(5)等差数列的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝a na n＋1.(7){a n}为等差数列，S n为前n项和，则S2n－1＝(2n－1)a n；{b n}为等差数列，S′n为前n项和，则S′2n－1＝(2n－1)b n，a nb n＝S2n－1S′2n－1.(8)等差数列{a n}前m项与后m项的和等于m(a1＋a n)．练习题1等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()A．1 B．2 C．3 D．42已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为() A．100 B．210 C．380 D．4003等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S3＝()A．－1 B．－13 C.13D．14在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.5已知递增的等差数列{}a n满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝________.6.在等差数列{a n}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a n；(2)已知a6＝10，S5＝5，求S n；7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2411.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )A ．－65B ．－35C ．65D ．3513．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2314．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．415．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．616．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n|}的前n项和T n.等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为 数列，且公差分别为 ， ， .(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md .(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d .(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (7){a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；{b n }为等差数列，S ′n 为前n 项和，则S ′2n －1＝(2n －1)b n ，a n b n ＝S 2n －1S ′2n －1. (8)等差数列{a n }前m 项与后m 项的和等于m (a 1＋a n )．【答案】1．差 常数 公差 a n －a n －1 a n ＋1－a n2．等差中项3．a 1＋(n －1)d ①d a 1－d y ＝dx ＋(a 1－d )②单调递增 单调递减 常数列4．(1)n （a 1＋a n ）2 na 1＋n （n －1）d 2倒序相加法 (2)≥0 ≤0 ≤0 ≥06．(1)(m －n ) (2)a n 2(3)等差 pd 1 d 1 d 1±d 21 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5.又a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2.故选B .2 已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则其前10项的和为( )A ．100B ．210C ．380D ．400解：在等差数列{a n }中，∵a 2＝7，a 4＝15，∴d ＝a 4－a 22＝4，a 1＝a 2－d ＝3，∴S 10＝10×3＋10×92×4＝210.故选B .3 等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 3＝( )A ．－1B ．－13 C.13 D ．14 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解：因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝37，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝74，故填74.5 已知递增的等差数列{}a n 满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解：∵{}a n 是等差数列，a 1＝1，a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝()1＋d 2－4得d 2＝4，又{}a n 是递增数列，∴d ＞0.∴d ＝2，a n ＝2n －1.故填2n －1.6.在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝33，a 45＝153，求a n ；(2)已知a 6＝10，S 5＝5，求S n ；解：(1)解法一：设首项为a 1，公差为d ，依条件得⎩⎨⎧33＝a 1＋14d ，153＝a 1＋44d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝－23，d ＝4.∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27.解法二：由d ＝a n －a m n －m ，得d ＝a 45－a 1545－15＝153－3330＝4， 由a n ＝a 15＋(n －15)d ，得a n ＝4n －27.(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解得a 1＝－5，d ＝3.∴S n ＝－5n ＋n （n －1）2·3＝32n 2－132n .7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；7.解：(1)S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝1100.故填1100. 8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；8.因为数列{}a n ，{}b n 都是等差数列，所以数列{}a n ＋b n 也是等差数列．故由等差中项的性质，得()a 5＋b 5＋()a 1＋b 1＝2()a 3＋b 3，即a 5＋b 5＋7＝2×21，解得a 5＋b 5＝35.故填35.9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；9.∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝36，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝124，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝160，即a 1＋a n ＝40.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝20n ＝780，解得n ＝39.故填39.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2410.解：在等差数列中，S 3＝3a 2＝6⇒a 2＝2.∴3d ＝a 5－a 2＝6⇒d ＝2.所以a 9＝a 5＋4d ＝16.故选C .11.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n11.解：∵S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n （a 2＋a 2n ）2，a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B .12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于() A ．－65 B ．－35 C ．65 D ．3512.解：由⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －（6a 1＋15d ）＝27 得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9， 解得a 1＝35.故选D .13．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2313.解：a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10（a 1＋10）2＝70，解得d ＝23.故选D .14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( ) A.94 B.32 C.53 D ．414.解：设S 2＝x ，则S 4＝4x ，因为S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以S 6－S 4＝5x ，即S 6＝9x ，所以S 6S 4＝9x 4x ＝94.故选A . 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．615.解法一：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.又S m ＋1＝(m ＋1)a 1＋（m ＋1）m 2＝3，①，a m ＋1＝a 1＋m ＝3.将a 1＝3－m 代入①得m 2－5m ＝0，解得m ＝5或0(舍去)．解法二：设S n ＝an 2＋bn ，通过题意建立并解方程组获解．故选C .16．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解：∵S 2＝a 3，∴a 1＋a 2＝a 3，又{a n }为等差数列．∴a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d .∴d ＝a 1＝12.∴a 2＝a 1＋d ＝1.S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝14n (n ＋1)．故填1；14n (n ＋1)． 17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n |}的前n 项和T n . 解：(1)由等差数列的性质得，a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，又公差大于零，即a 4＞a 3，所以a 3＝9，a 4＝13. 易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．。
等差数列定义式是什么
等差数列定义式是什么
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
公差常用字母d表示。
通项公式为：an=a1+(n-1)*d。
首项a1=1，公差d=2。
前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。
等差数列定义式是什么
等比数列
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式——复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。
随着房价越来越高，很多人没办法像这样一次性将房款付清，总是要向银行借钱，既可以申请公积金也可以申请银行贷款，但是如果还款到一定时间后想了解自己还得还多少本金时，也可以利用数列来自己计算。
众所周知，按揭贷款（公积金贷款）中一般实行按月等额还本付息。
下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0 元，贷款月利率为p，还款
方式每月等额还本付息 a 元，设第n 月还款后的本金为an，那么有：a1=a0(1+p)-a；a2=a1(1+p)-a；a3=a2(1+p)-a；......an+1=an(1+p)-a,.... 将其变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p。
由此可见，{an-a/p} 是一个以a1-a/p 为首项，1+p 为公比的等比数列。
其实类似的还有零存整取、整存整取等银行储蓄借贷，甚至还可以延伸到生物界的细胞细胞分裂。
高二数学第一讲等差数列
高二数学第一讲等差数列数学讲义一、知识梳理1、等差数列的定义：数列{an}满足：anan1d(n≥2,nN某)（d是与n 的取值的常数）；2、等差数列的通项公式：（1）ana1d；（2）anamd(n,mN)；3、等差中项：三个数a,A,b组成等差数列，A叫做a,b的等差中项，且A=；4、等差数列前n项和的公式：Sn＝；5、等差数列{an}的常用性质：（1）数列{an}是等差数列，则数列{anp}、{pan}（p是常数）都是等差数列；（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k为等差数列，公差为kd（3）若mnpq，则特别地当pq2m时，（4）Sn,S2nSn,S3nS2n仍是等差数列，其公差为（5）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等差数列anS2n1．bnT2n1二、典例研习类型一、等差数列的判断与证明例1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bnSn(nN)，求证：数列{bn}是等差数列n-1-变式1、已知数列{an}中，a11，an1an(nN某)2an11（1）求证数列为等差数列；an（2）求数列{an}的通项公式方法点拨：等差数列的判定方法：①定义法：即证明an1and（d是常数，nN某）。
②中项公式法：即证明2an1anan2(nN某)。
类型二、等差数列的基本运算例2、已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a97,S20155，求：a11及S10变式2、（1）已知{an}为等差数列，且a72a41，a30，则公差d（）11B．C．D．2221（2）若数列{an}为等差数列，公差为，且S100145，则a2a4a100的值为（）2A．2A．60B．85C．1452D．其它值项重要的量，是解题的关键。
②等差数列{an}中，当项数为2n(nN)时，有SaS偶S奇nd,偶n1；S奇an-2-类型三、等差数列性质的运用例3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n。
等差数列的认识与公式运用
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合详细数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨等差数列的认识与公式运用找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列根本概念及公式的简单应用等差数列的根本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？假设是，请指明公差，假设不是，那么说明理由。
等差数列及其性质
等差数列及其性质1、等差数列的定义(1)文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。
(2)符号定义：如果数列{}n a 满足1(,2;)n n a a d n N n d +--=∈≥是常数，那么数列{}n a 叫做等差数列。
其中，常数d 叫做数列的公差。
2、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是：1(1)n a a n d =+-。
(1)在等差数列中 21a a d =+，3212a a d a d =+=+，……，1(1)n a a n d =+-。
(2)根据等差数列的定义 21a a d -=，32a a d -=，……，1n n a a d --=。
将以上1n -个式子相加，就可以得到1(1)n a a n d =+-。
总结：等差数列的通项公式由两个量决定：首项1a ，公差d 。
只要知道等差数列的任意两项，就能列出二元一次方程组解出首项1a ，公差d ，进而确定通项公式。
3、等差数列的前n 项和等差数列的n 项和公式为：（1） 1()2n n n a a S += （2） 1(1)2n n n S na d -=+ 等差数列的前n 项和是一个关于n 的二次函数，同样有两个参数：首项1a ，公差d 。
4、等差中项（1）若2a cb +=，则称b 为,ac 的等差中项。
b 为,a c 的等差中项是,,a b c 成为等差数列的充分必要条件。
（2）在一个数列中，从第二项起，每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
在等差数列{}n a 中，我们有112n n n a a a -++=。
5、判断一个数列是否为等差数列的方法（1）1()n n a a d ++-=∈常数（n N ）。
（2）122()n n n a a a n N +++=+∈。
（3）(,)n a kn b k b =+为常数。
等差数列定义
等差数列定义
等差数列是一种常见的数列，其定义为：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如，数列 1，4，7，10，13，16 就是一个等差数列，其中，公差为 3。
等差数列的通项公式是：an = a1 + (n-1)d，其中 an 表示等差数列的第 n 项，a1 表示等差数列的第一项，n 表示数列中的项数，d 表示公差。
等差数列的性质有：
1. 公差相等性质：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，公差相等。
2. 首项性质：等差数列的第一项称为首项，通常用 a1 表示。
3. 末项性质：等差数列的最后一项称为末项，通常用 an 表示。
4. 项数性质：等差数列中项的数量称为项数，通常用 n 表示。
5. 总和性质：等差数列的前 n 项和称为总和，通常用 Sn 表示。
通过这些性质，可以求解等差数列的各种问题。
例如，可以根据已知的等差数列前几项和公差，求出数列的通项公式和第 n 项的值；也可以根据已知的等差数列前几项，求出数列的前 n 项和。
等差数列在数学中有广泛的应用，例如在科学和工程中，可以用等差数列描述时间、距离、速度等变化规律；在金融领域中，可以用等差数列描述资金的增长和降低等变化规律。
等差数列的概念及其通项公式
实际应用：等差数列在实际生活中也有很 多应用，如等差数列求和在实际计算中的 应用，等差数列在统计学中的应用等。
在物理中的应用
弹簧振子的周期公式：等差数列通项公式在弹簧振子的周期计算中的应用。 放射性元素的衰变：等差数列通项公式在放射性元素的衰变计算中的应用。 音阶和乐谱：等差数列通项公式在音阶和乐谱计算中的应用。 光的干涉和衍射：等差数列通项公式在光的干涉和衍射计算中的应用。
an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式
为an=a1*q^(n1)，其中q表示公
比。
添加标题
性质不同：等差数 列具有对称性，即 从第一项开始每隔 两项取一项，数列 中剩下的项仍然是 一个等差数列；而 等比数列具有周期 性，即从第一项开 始每隔若干项取一 项，数列中剩下的 项仍然是一个等比
数列。
添加标题
通项公式不同：等 差数列的通项公式 为an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式 为an=a1*Hale Waihona Puke ^(n1)，其中q表示公比。
添加标题
应用上的联系
等差数列与等比数列在金融领域的应用 等差数列与等比数列在计算机科学中的应用 等差数列与等比数列在物理学中的应用 等差数列与等比数列在数学教育中的应用
06
等差数列与等比数 列的区别与联系
定义上的区别
等差数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数
等比数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数
性质上的区别
定义不同：等差数 列是指相邻两项的 差相等的数列，而 等比数列是指相邻 两项的比值相等的
数列。
添加标题
符号不同：等差数 列的通项公式为
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列为：6000，6500，7000，7500
，8000，8500，9000。
②
引例三
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生 活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼 。 如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低 2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以
进行清理工作的18那天15，.5水库13每天10的.水5 位8组成5数.5列 （单位水：库m每）：天，的，水位可排 ，列，为： ，
课堂反思
1. 将有穷等差﹛an﹜数列的所有项倒序排列， 所成数列仍是等差数列吗？
2. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由
定义进行判断：an+1-an（n∈N+）是不是同一个
常数？
课堂练习
下列数列是否为等差数列？如果是，写出数 列的首项a1和公差d；如果不是说明理由。
（1）1，3，5，7，… 是 a1=1, d=2 （2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9, d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8, d=2
第二章 数列
第二节
等差数列
课程：普通高中课程标准实验教科书数学
讲课教师：魏 兵
听课对象：高二（2）班全体同学
2.2 等差数列
讲课人：魏 兵
复习巩固
1.数列定义: 按照一定顺序排成的一列数, 简记作:{an} 2.通项公式: 数列{an}中第n项an与n之间的关系式 3.数列的分类 (1)按项数分： 有穷数列， 无穷数列
递增数列 递减数列 常数列
数列（1）中，首项改为-2，公差不变，数列的单 调性是否改变？
首项不变，公差改为-3，数列的单调性是否改变？
知识探究二
已知数列{an}是等差数列，公差为d，则： 当d>0时， {an}为递增数列； 当d<0时， {an}为递减数列； 当d=0时， {an}为常数列；
所成数列 25,18,11,4 仍是等差数列吗 若不是，请说明理由。？ 公差d=-7
典例讲评
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，
则公差是多少? 若不是，请说明理由。公差d=0
常数列是一种特殊的等差数列。
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是 ，
不是
则公差是多少? 若不是，说明理由。
（4）3，3，3，3，…
是 a1=3, d=0
(5)1,1,1, 1,1,K 不是
2345
（6）15，12，10，8，6，… 不是
课堂小结
对于等差数列的定义，你认为应该注意哪些问题？
1、注意定义中“同一个常数”，可理解为：从第2项起， 每 一项与前一项的差是常数且是同一个常数，则这个数
2、公列差是d等一差定数是列由，后否一则项这减个前数一列项不所能得称，为不等能差颠数倒列前。后项 的位置。
2.等差数列定义的符号语言： an-an-1=d， ( n≥2 )，或 an+1-an = d ( n∈N+ ）其中d为常数
典例讲评
例1、下列数列是否为等差数列？如果是，写出数 列的首项a1和公差d；如果不是说明理由。
1、(1)、4,11,18,25.
公差d=7
(2)、若将数列(1)中的所有项倒序排列，
请你说出5月份的星期天依次是几号? 将日期从小到大可排列为: 4, 11, 18, 25。 ①
引例二
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
罚球增数列，递减数列， 摆动数列，常数列。
复习巩固
4.数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数 .
5.递推公式: 如果已知数列{an}的第1项(或前n项), 且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系 可用一个公式来表示, 这个公式叫做数列{an}的递推公式.
引例一
从第二项起，每一项与前一项的差都是同一常数-2.5。
思考：以上三个数列具有什么共同特性？
从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，
我们称这样的数列为等差数列.
形成概念 等差数列的定义：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一
项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用 字母d表示。
18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③
知识探究
① 4,11,18,25.
从第二项起，每一项与前一项的差都是同一常数7。 ② 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000。 从第二项起，每一项与前一项的差都是同一常数 500。 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5.
3、要注意定义中的an+1-an = d（d为常数）是对任意 n∈N+ 都成立，如有一项不满足，则{an}就不是等差数列。 如数1,1,2,3,4,5，…就不是等差数列。
课后作业
教科书P13 练习1
课后思考
等差数列的通项公式是如何推导的？
知识探究二
思考：下列数列的公差与数列单调性的关系？
（1）4,11,18,25.…… d=7 （2）25,18,11,4…… d= -7 （3）a，a，a，a…… d=0