曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册
2第十一章 曲线积分与曲面积分习题2复习进程
2第十一章曲线积分与曲面积分习题2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢23第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分：(1) ⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ；(2) ⎰-++Lyydy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界；(3) ⎰+-Ldy xy ydx x 22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；(4) ⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24(5) 利用曲线积分，求圆0622=++y y x 围成图形的面积.2．计算下列对坐标的曲线积分：(1) ⎰+-Lx x ydy e dx y e sin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；(2) ⎰++Ldy x dx x xy 2)2(，其中L 为由点)0,(a A 经曲线12222=+b y a x 在第一象限的部分到点)0,(),0(>b a b B ；3．求b a ,，使曲线积分⎰+L xbxdyaydx 2在右半平面0>x 内与路径无关，并求⎰+)2,1()1,2(2x bxdyaydx .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢254．验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分，并求出这样一个函数),(y x u ： （1）ydy x dx y x cos )sin 2(++； （2）dy e x dx xye e xy xy xy 2)(++.5．设函数)(u f 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有⎰=+Lxdy ydx xy f 0))((.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢26第四节 对面积的曲面积分1．填空题：(1) 设∑为球面1222=++z y x ，则=⎰⎰∑dS ；(2) 面密度3),,(=z y x μ的光滑曲面∑的质量=M . 2．计算下列对面积的曲面积分：(1) ⎰⎰∑++dS z y x )22(，其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分；(3) ⎰⎰∑zdS ，其中∑为)1()(2122≤+=z y x z 的部分；(3) ⎰⎰∑++2)1(yxdS，其中∑为0,0,0,1====++zyxzyx围成四面体的整个边界. 3．求2222azyx=++在2224ayx=+内的面积.4．求均匀曲面1222=++zyx)0,0,0(≥≥≥zyx的质心.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢27仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢285．求均匀半球面1222=++z y x )0(≥x 对x 轴的转动惯量.第七节 Stokes 公式 *环流量与旋度1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1) zdz dy dx y x ++⎰Γ32，Γ为xOy 面内圆周222a y x =+逆时针方向；(2) dz y x dy x z dx z y )()()(222222-+-+-⎰Γ，Γ为平面1=++z y x 在第一卦限部分三角形的边界，从x 轴正向看去是逆时针方向；(3) ⎰Γ++xdzzdyydx，其中Γ为圆周0,2222=+=++zxazyx，从x轴正向看为逆时针方向.第十一章综合练习题1．填空题：(1) 已知L为椭圆22143x y+=，其周长为a，则=++⎰dsyxxyL)432(22；(2)已知L为直线1x=上从点(1,2)到点(1,3)的直线段，则35sin tanLx ydx x dy+=⎰；(3)设L是以点(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形正向边界，则=+⎰L xydydxxy22；(4)曲线积分⎰+LxdyydxyxF))(,(与路径无关，则可微函数),(yxF应满足条件；(5)设∑为平面1=++zyx在第一卦限的部分，取上侧，则=---+-⎰⎰∑dxdyyxdzdxxzdydzzy)(3)(2)(222222 .2．求下列曲线积分：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢29仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢30(1) ⎰Γds x 2，其中Γ为球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 所截得的圆周；(2) ⎰-++-Lx x dy x y e dx y x y e )cos ())(2sin (，其中L 为从点)0,2(A 沿曲线22x x y -=到点)0,0(O 的一段弧；(3) ⎰+-L y x ydxxdy 224，其中L 是以)0,1(为圆心，2为半径的正向圆周；(4) dz y x dy x z dx z y )()()(222222-+-+-⎰Γ，Γ为球面三角1222=++z y x ,0,0,0>>>z y x 的边界线，沿它的方向前进时，球面三角形总在右方.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢313．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=ααx y 中，求一条曲线L ，使该曲线从O 到A 积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.4．设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且0)0(=ϕ,计算⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ.5．确定常数λ，使在右半平面.0x >上向量42242(,)2()()A x y xy x y i x x y j λλ=+-+为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y .326． 计算下列曲面积分：(1) dS z y x z ⎰⎰∑),,(ρ，其中∑为椭球面122222=++z y x 的上半部分，),,(z y x ρ为点)0,0(O 到平面π的距离，π为∑在点∑∈),,(z y x P 处的切平面；(2) ⎰⎰∑dS x 2，其中∑为圆柱面122=+y x 介于0=z 与2=z 之间的部分；33(3) ⎰⎰∑--++yzdxdy dzdx y xdydz y 4)1(2)18(2，其中∑是曲线⎩⎨⎧≤≤-==31,10y y z x 绕y 轴旋转一周所成的曲面，它的法矢量与y 轴正向的夹角恒大于2π；(4) ⎰⎰∑++++2222)1(z y x dxdyz xdydz ，其中∑为下半球面221y x z ---=的上侧；⎰⎰∑+++++dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf]),,([])),,(2[]),,([)5(其中),,(zyxf为连续函数，∑为平面1=+-zyx在第一卦限部分的上侧.34。
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
曲线积分与曲面积分复习
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
一定，二代，三换元，定，代，换关键在 方程。小下限,大上限.
L:
L:
步骤：
1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
应用：
例6 计算 L (3x y)dy ( x y)dx, 其中L为
( x 1) 2 ( y 4) 2 9 的负向.
例7 计算
2 2 xdy , 其中 L 为 x y 1上由点 L
A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段弧.
例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线. y L
利用路径无关计算曲线积分
2 2 xy d x x dy，其中L是xoy平面内的任 例9 计算 L
意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零.
x e 例10 计算 L cos ydx sin ydy，其中L是从点(0, 0)
到点 ( , ) 的任意有向曲线. 2 2
特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.
i
n 1
L
L
对坐标的曲线积分
M i 1 M2 M 1
L
Pdx Qdy
A
o
x
对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy
特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (2)被积函数的定义域是曲线弧.
P( x, y ), Q( x, y ),( x, y) L
(3)微元 dx,dy 是有向弧微分ds 在坐标轴上的投影 与一类曲线积分的 本质区别
曲线曲面积分期末复习题
曲线、曲面积分：一、选择题1．设L 是从点(,0)a 到点(,0)a -的一直线段，则()2L x y dx +⎰=（ ）。
A . 221a B . 0 C.a 2 D 1 （对坐标积分，将曲线代入）2．下列曲线积分在XOY 面内与路径无关的是（ ）A .(2,3)2(1,1)(3)(3)x y dx yx y dy ++-⎰２２ B .(2,3)22(1,1)(2)()xy x dx x y dy -++⎰ C.(2,3)2322(1,1)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰ D.dy y x dx y x )2()2()3,2()1,1(-++⎰（提示；P Q y x ∂∂=∂∂时，与路径无关） 3．∑设：)0(2222≥=++z a z y x ，在第一卦限的部分为∑∑1，则有（ ）A ．⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS xdS ； B.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS ydS ；C.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS zdS ；D.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xyzdS xyzdS 。
（对称）４． 设C 是圆周x y x 222=+，则⎰=C xds （ ）。
A 、0； B 、1； C 、π； D 、π2。
解：（对弧长的曲线积分，将曲线代入）Ｃ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，⎰=Cxds 20(1cos 2πθθπ+=⎰二、填空题１．C 为不包围原点的封闭曲线，积分=++⎰c y x ydy xdx 22２.曲线积分()22()()n L x y dx x y dyx y -+++⎰与路径无关，则n ＝＿ ＿＿＿＿，３．设L 是2214x y +=逆时针方向的封闭曲线，⎰=++L xydy dx y y 2)(2 ___________。
4．已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与(1,1)B 点之间的一段弧，则曲线积分=⎰_____ ___ 。
（Ｌ代入）５．已知C 为椭圆22221x y a b+=，反时针方向，则()()C x y dx x y dy +--=⎰ 。
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
大学高数下册试题及答案第9章
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
《高等数学 A 》期末辅导材料( 下册 第10,11,12 章).
《高等数学A 》期末辅导材料( 下册 第10,11,12章)第十章 曲线积分与曲面积分本章重点内容：两类曲线积分的概念及其计算法，格林公式，平面上曲线积分与路径无关的条件，两类曲面积分的概念及其计算法，高斯公式，斯托克斯公式。
本章难点内容：对坐标的曲面积分的概念及其计算法，斯托克斯公式。
复习指导：本部分将直线上的一个区间换为曲线弧段，从而将定积分的概念推广为曲线积分；将平面区域换为曲面，从而将二重积分的概念推广为曲面积分。
曲线积分有两类：对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分；曲面积分有两类：对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分； 在学习中，要注意：（1）两类曲线积分都是化为定积分来计算，两类曲面积分都是化为二重积分来计算，关键是：怎样化？要注意各自的化法。
（2）对坐标的曲线积分与曲线的方向有关，对坐标的曲面积分与曲面的侧有关。
（3）计算对坐标曲线积分时，若积分路径是封闭的，可以考虑利用格林公式来求；（但要注意满足格林公式的条件）计算对坐标曲面积分时，若积分曲面是封闭的，可以考虑利用高斯公式来求；（但要注意满足格林公式的条件）（4）计算对坐标的曲线积分时，可以考虑利用积分与路径无关的条件来求。
（5）计算对坐标曲线积分时，若积分曲线是空间闭曲线（一般题目给的是两个曲面的交线），可以考虑利用斯托克斯公式来求；（6）怎样判断是否),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+？怎样求出原函数。
求出的方法有多种，用公式),(y x u ),(y x u ∫∫+=yy x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0 来求是最基本的一种，必须掌握。
本部分常考的题型有：两类曲线积分的计算，两类曲面积分的计算；用格林公式计算平面闭曲线上的第二类曲线积分。
用曲线积分与路径无关的条件计算沿平面曲线的第二类曲线积分;用高斯公式计算封闭曲面上的第二类曲面积分；用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的第二类曲线积分。
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第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰C.2 C 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA.2π-B. 2π D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()x y z ds ∑++=⎰⎰ D B. π C. 14π D. 12π5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰ CA.22a π B. 2a π C. 32a π D. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155-9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ）A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21； C. ⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-Ly dy x e ydx )(2-2为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )y x (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
9. 光滑曲面z=f （x ，y ）在xoy 平面上的投影区域为D ，则曲面z=f （x ，y ）的面积是⎰⎰∂∂+∂∂+=Dd yzx z S σ22)()(1 10．设L 是抛物线3y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lx y dx -=⎰1211、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()I x y z ds Γ=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ 。
12、设L 为222x y a +=的正向，则22L xdy ydxx y -=+⎰ 2π。
三、计算题 1．L⎰，其中L 为圆周221x y +=，直线y x =及x 轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01y x =≤≤。
则原式＝OA⎰＋AB⎰＋OB⎰＝0＋40ed πθ⎰＋1x e dx ⎰＝2(1)4e e π-+ ＃2．[ln(Ly xy x dy +++，其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界。
解：利用格林公式，P =[ln(Q y xy x =+，则P y∂=∂2Q y x ∂=∂ 故原式＝()DQ Pdxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2Dy dxdy =⎰⎰sin 20xdx y dy π⎰⎰＝3014sin 39xdx π=⎰ ＃ 3．22Ly dx x dy +⎰，其中L 为圆周222x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。
解：L 的参数方程为cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩，t 从0变化到π。
故原式＝22220[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π-+⎰＝322[(1cos )(sin )(1sin )cos ]Rt t t t dt π--+-⎰＝343R - ＃4．求抛物面22z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积。
解：曲面∑的方程为22,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域22{(,)1}x y x y +≤。
故所求面积＝D =D2016d πθπ==⎰⎰＃ 5、计算(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰，其中L 为圆222()(0)x a y a a -+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)A a 沿L 到原点O 。
解：添加从原点到点A 的直线段后，闭曲线所围区域记为D ，利用格林公式(sin )x P e y my =-，cos x Q e y m =-，cos x P e y m y ∂=-∂，cos x Q e y x∂=∂ 于是(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰＋(sin )(cos )x x OAe y my dx e y m dy →-+-⎰＝22Dm a m dxdy π=⎰⎰而(sin )(cos )xxOAey my dx e y m dy →-+-⎰＝20000adx +=⎰，于是便有(sin )(cos )xxLe y my dx e y m dy -+-⎰＝22m a π ＃6．222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中L 为球面2221x y z ++=在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ 平面内的圆弧AB 的参数方程cos sin x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，t 从2π变化到0。
于是222222()()()ABy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰＝0222[sin (sin )cos (cos )]t t t t dt π--⎰＝43 由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByz dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz -+-+-=-+-+-=⎰⎰ ＃ 7．(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为平面1,0,x y z x ++==0,y =0z =所围立体的表面的外侧。
解：记1∑为该表面在XOY 平面内的部分，2∑为该表面在YOZ 平面内的部分，3∑为该表面在XOZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。
1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向，我们有1(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰＝1(1)z dxdy ∑+⎰⎰＝010112x y xdxdy ≤≤≤≤--=-⎰⎰同理，21(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 31(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故4(1)z dxdy ∑+=⎰⎰01012(2)3x y xx y dxdy ≤≤≤≤---=⎰⎰， 由对称性可得4(1)x dydz ∑+=⎰⎰42(1)3y dzdx ∑+=⎰⎰， 故4(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰于是所求积分为112322-⨯= ＃ 8．计算曲面积分：()[2sin()](3)x yS x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +++++++++⎰⎰，其中S +为曲面1x y z ++=的外侧。
解：利用高斯公式，所求积分等于1(123)u v w dxdydz ++≤++⎰⎰⎰=116832=8 ＃ 9. 计算I=⎰⎰++sxzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的表面外侧解：设V 是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass 公式得:I=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=⎰⎰⎰---++yx x dz z y x dy dx 101010)( =81＃ 10．计算I=⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB 解：直线段AB 的方程是123zy x ==；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t 从1变到0， 所以：I=⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233＝3221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ⋅+⋅-⋅⎰＝48787013-=⎰dt t ＃ 11. 计算曲线积分I=⎰⋂-+-AMO xxdy y e dx y y e,)2cos ()2sin ( 其中⋂AMO 是由点A(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周ax y x =+22解：在x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将⋂AMO 扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA 上, ⎰-=-+-OAx x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (从而⎰⎰⎰⎰⋂-⋂=+=AMOOAAMOAAMO又由Green 公式得:⎰⎰⎰≤+==-+-AMOA axy x xxa dxdy dy y e dx y y e2242)2cos ()2sin (2π ＃12. 计算曲线积分dz y dy x dx z L333++⎰其中L 是z=2)(22y x +与z=322y x -- 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L 写成参数方程:x=cost, y=sint, z=2 t: 0π2→ 于是: dz y dy x dx z L 333++⎰=⎰⎰+-ππ20420cos sin 8tdt dt t =π43 另证：由斯托克斯公式得dz y dy x dx zL 333++⎰=⎰⎰∑-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(22222:2,1z x y ∑=+≤上侧，则：2221333232001333cos 4Lx y z dx x dy y dz x dxdy d r dr πθθπ+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰ ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S 的面积I 解：S 在xoy 平面的投影区域为：{}10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xyI=⎰⎰SdS =dxdy xyD ⎰⎰3＝⎰⎰-10103xdy dx ＝23)1(31=-⎰dx x ＃ 14. 计算曲线积分⎰+++-Ly x dyy x dx y x 22)()(其中L 是沿着圆1)1()1(22=-+-y x 从点A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设22),(yx y x y x P +-=， 22),(yx y x y x Q ++=当022≠+y x 时，22222)(2y x xyx y x Q y P +--=∂∂=∂∂故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：⎰+++-Lyx dyy x dx y x 22)()(=⎰→+++-AByx dyy x dx y x 22)()(=⎰+-22)11(dx x x =21ln5-arctan2 ＃ 15. 确定λ的值，使曲线积分()()2124d 62d Cxxy x x y y y λλ-++-⎰在XoY 平面上与路径无关。