武汉市蔡甸区二中2011届高三第5次月考数学(理科)

武汉市蔡甸区二中2011届高三第5次月考数学(理科)(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，N ＝{x ||x |<2，x ∈R}，则M ∩N 等于( ) A.∅ B.{x |－1≤x <2} C.{x |－2≤x <－1} D.{x |2≤x <3}2.若a ，b 是空间两条不同的直线，α，β是空间的两个不同的平面，则a ⊥α的一个充分不必要条件是( )A.a ∥β，α⊥βB.a ⊂β，α⊥βC.a ⊥b ，b ∥αD.a ⊥β，α∥β3.函数y ＝3x ＋1(－1≤x <0)的反函数是( )A.y ＝1＋log 3x (x >0)B.y ＝－1＋log 3x (x >0)C.y ＝－1＋log 3x (1≤x <3)D.y ＝－1＋log 3x (－1≤x <3)4.已知两个向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若(a ＋2b)//(2a －2b)，则x 的值是( )A.1B.2C.12D.135.已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤1，x ＋2y －2≥0，则x －y 的取值范围是( )A.[1,2]B.[－1,2]C.[－2,1]D.[－2，－1]6.一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有( )A.30种B.25种C.24种D.20种7.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N )的取值范围是( )A.[12,16]B.[8，323]C.[8，323)D.[163，323]8.已知定义域是全体实数的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2π)＝f (x )，且函数g (x )＝f (x )＋f (－x )2，函数h (x )＝f (x )－f (－x )2.现定义函数p (x )，q (x )为：p (x )＝⎩⎨⎧g (x )－g (x ＋π)2cos x (x ≠k π＋π2)0 (x ＝k π＋π2)，q (x )＝⎩⎨⎧h (x )＋h (x ＋π)2sin2x (x ≠k π2)0 (x ＝k π2)，其中k ∈Z ，那么下列关于p (x )，q (x )叙述正确的是( )A.都是奇函数且周期为πB.都是偶函数且周期为πC.均无奇偶性但都有周期性D.均无周期性但都有奇偶性第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上)9.设i 为虚数单位，则复数(1＋i)21－i＝ .10.若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为256，则n ＝ ，其展开式的常数项等于 .(用数字作答)11.在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝ .12.设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝ .13.以双曲线x 24－y 2m＝1的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则m ＝ .14.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为27和43，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ； ②弦AB 、CD 可能相交于点N ； ③MN 的最大值是5； ④MN 的最小值是1；其中所有正确命题的序号为 .三、解答题(本大题共6个小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π2.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，求此时f (x )的值域.16.(本小题满分13分)将3封不同的信投进A 、B 、C 、D 这4个不同的信箱、假设每封信投入每个信箱的可能性相等.(Ⅰ)求这3封信分别被投进3个信箱的概率； (Ⅱ)求恰有2个信箱没有信的概率；(Ⅲ)求A 信箱中的信封数量的分布列和数学期望.17.(本小题满分13分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边的中点，AC 与DE 交于点O ，PO ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证：PD ⊥BC ；(Ⅱ)若AB ＝63，PC ＝62，求二面角P －AD －C 的大小； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值.18.(本小题满分13分)设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4(a 0，a 1，a 2，a 3，a 4∈R)当x ＝－1时，f (x )取得极大值23，且函数y ＝f (x ＋1)的图象关于点(－1,0)对称.(Ⅰ)求函数f (x )的表达式；(Ⅱ)试在函数y ＝f (x )的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－2，2]上；(Ⅲ)设x n ＝2n －12n ，y m ＝2(1－3m )3m(m ，n ∈N )，求证：|f (x n )－f (y m )|<43.19.(本小题满分14分)已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以F 2为焦点的抛物线，自点F 1引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的交点，点P 关于x 轴的对称点记为M .设F 1P ＝λF 1Q .(Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)证明：F 2M ＝－λF 2Q ；(Ⅲ)若λ∈[2,3]，求|PQ |的取值范围.20.(本小题满分14分)已知数列{a n }中，a 1＝t (t ∈R ，且t ≠0,1)，a 2＝t 2，且当x ＝t 时，函数f (x )＝12(a n －a n －1)x 2－(a n ＋1－a n )x (n ≥2，n ∈N )取得极值.(Ⅰ)求证：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(Ⅱ)若b n ＝a n ln|a n |(n ∈N )，求数列{b n }的前n 项和S n ；(Ⅲ)当t ＝－710时，数列{b n }中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由.参考答案及解题提示1.B 【解析】∵M ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }＝[－1,3]，N ＝{x ||x |<2，x ∈R }＝(－2,2)，∴M ∩ N ＝[－1,2).本题考查了不等式的解法及集合的交集运算，属基础题.2.D 【解析】由a ∥β，α⊥β可得a ∥α或a 与α相交；由a ⊂β，α⊥β，可得a ∥α或a 与α相交；由a ⊥b ，b ∥a 可得a ∥α或a 与α相交；由a ⊥β，α∥β可得a ⊥α.本题考查了直线与平面、平面与平面平行与垂直的充要条件的判断.属空间想象能力题.3.C 【解析】由y ＝3x ＋1(－1≤x <0)可得y ∈[1,3)，且x ＝－1＋log 3y ，∴函数y ＝3x ＋1(－1≤x <0)的反函数y ＝－1＋log 3x (1≤x <3).本题考查了指数型函数的反函数的求解方法，解题中要注意原函数的值域的求解.4.C 【解析】∵(a ＋2b)∥(2a －2b)，∴(1＋2x,4)∥(2－2x,2)，即得2＋4x ＝8－8x ，解之得 x ＝12.本题考查了平面向量的加法与减法的坐标表示及两向量平行的坐标表示，运算过程中要注意坐标的运算顺序.5.B 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2y ≤1x ＋2y －2≥0所表示的可行域如图所示，当平行直线系x －y ＝z过点A (2,0)、B (0,1)时，目标函数z ＝x －y 分别取得最大值2和最小值－1.本题考查了线性规划问题，此类问题对考生的作图能力要求较高. 6.A 【解析】可以将两个小品节目依次插入，第一个小品插入有C 15种方法，第二个小品插入有C 16种方法，由分步计数原理可得6个节目不同的排列方法有C 15C 16＝30种.本题考查了利用排列组合知识解决日常生活中常见的排列问题，此题也可以利用消序法A 66A 44＝30来求解.7.Czxxk 【解析】由{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，可得q 3＝a 5a 2＝18，解之得q ＝12，从而可得a 1＝4，又由a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝14可得数列{a n a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8(1－14n )1－14＝323(1－14n )∈[8，323).本题考查了等比数列的通项公式及新生成数列的求和问题，此类考点是近来命题的追踪点，应当很好地去研究. 8.B 【解析】∵g (x )＝f (x )＋f (－x )2，zxxk ∴g (－x )＝f (－x )＋f (x )2＝g (x )，且g (x ＋π)＝f (x ＋π)＋f (－x －π)2＝f (x －π)＋f (－x ＋π)2＝g (x －π)，即g (x )周期为2π，∴x ?k π＋π2时，p (－x )＝g (－x )－g (－x ＋π)2cos(－x )＝g (x )－g (x －π)2cos x＝g (x )－g (x ＋π)2cos x＝p (x )，且p (x ＋π)＝g (x ＋π)－g (x ＋2π)2cos(x ＋π)＝g (x ＋π)－g (x )－2cos x＝p (x )，由此可得p (x )是偶函数且周期为π，同理可得q (x )也是偶函数且周期为π.本题考查了抽象函数的奇偶性及其周期性，此类考点具有很强的抽象性，因而难度较大，是历年高考中的难点问题. 9.－1＋izxxk 【解析】(1＋i)21－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝i(1＋i)＝－1＋i.本题考查了复数的基本运算，属基础运算题.10.8,70 【解析】由已知条件可得2n ＝256，解之得n ＝8；则二项式⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的通项公式为C r 8·x 8－2r ，令8－2r ＝0得r ＝4，展开式的常数项为C 48＝70.本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，是高考必考题型之一.11.24 【解析】∵数列{a n }是等差数列，∴a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，解之得，a 8＝24，∴2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝24.本题考查了等差数列的通项公式及其性质的应用，此题也可以利用基本量加以解决.12.－π6 【解析】令2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，解之得x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，由x 0∈[－π2，0]，可得x 0＝－π6.本题考查了三角函数的对称中心的图象特征及三角函数角度范围的准确判断问题，此类考题的难点在于给定区间下角度的值的确定.13.43 【解析】双曲线中焦点到渐近线的距离为m ，又双曲线x 24－y2m＝1的离心率为m ＋42，即得m ＝m ＋42，解之得m ＝43.本题考查了双曲线的离心率及双曲线的几何性质，此类考点是圆锥曲线的几何类热点题型之一，要注意充分挖掘其几何性质进行解题.14.①③④ 【解析】如图所示，分别取球O 的两条弦A B 、C D 的中点E 、F ，则O E ＝42－7＝3，O F ＝42－12＝2，即可以看做弦A B 、C D 分别是球半径为3和2的球的切线，且弦A B 在半径为2的球的外部，弦A B 与C D 只可能相交于M 点，且M N 的最大距离为2＋3＝5，最小距离为3－2＝1，综上可得正确的命题的序号为①③④.本题考查了球体的切线的性质及其空间位置关系问题，此类考题对空间想象能力的要求较高，考生对于命题①②的正确性不能分析到位，使该题的错误率较高.15.(本题满分13分)解：(Ⅰ)f (x )＝32sin2ωx －12(cos2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12.∵函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝π2，∴ω＝2.此时f (x )的表达式为f (x )＝sin(4x －π6)－12. (6分)(Ⅱ)由题意，得cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac.∵b 2＝ac ，∴cos x ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12.(当且仅当a ＝c 时等号成立)∵0<x <π，∴0<x ≤π3.∴－π6<4x －π6≤76π.∴－12≤sin(4x －π6)≤1.∴－1≤sin(4x －π6)－12≤12.即函数f (x )的值域为[－1，12]. (13分)16.(本题满分13分)解：(Ⅰ)这3封信分别被投进3个信箱的概率为P 1＝C 34A 3343＝38. (4分)(Ⅱ)恰有2个信箱没有信的概率为 P 2＝C 24C 23A 2243＝916. (8分) (Ⅲ)设信箱A 中的信封数为ζ，则ζ＝0,1,2,3.∵P (ζ＝0)＝3343＝2764，P (ζ＝1)＝C 13·3243＝2764，P (ζ＝2)＝C 23·343＝964，P (ζ＝3)＝C 3343＝164.∴ζ的分布列为∴Eξ＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. (13分)17.(本题满分13分)解：解法一：(Ⅰ)在菱形ABCD 中，连接DB ，则△BCD 是等边三角形. ∵点E 是BC 边的中点 ∴DE ⊥BC .∵PO ⊥平面ABCD ，∴OD 是斜线PD 在底面ABCD 内的射影.∴PD ⊥BC . (4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE ⊥BC ， 菱形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴DE ⊥AD .又∵PO ⊥平面ABCD ，DE 是PD 在平面ABCD 的射影， ∴PD ⊥AD .∴∠PDO 为二面角P －AD －C 的平面角.在菱形ABCD 中，AD ⊥DE ，由(1)知，△BCD 为等边三角形， ∵点E 是BC 边的中点，AC 与BD 互相平分， ∴点O 是△BCD 重心. ∵AB ＝63，又∵在等边△BDC 中，DO ＝23DE ＝23·32BC ＝33×63＝6.∴OC ＝OD ＝6.∵PC ＝62，∴PO ＝6.∴在Rt △POD 中，tan ∠PDO ＝PO DO ＝66＝1.∴∠PDO ＝π4.∴二面角P －AD －C 的大小为π4. (9分)(Ⅲ)取AD 中点H ，连接HB ，HP . 则HB ∥DE .∴HB 与PB 所成角即是DE 与PB 所成角. 连接OH ，OB .∵PO ⊥平面ABCD ，OH ，OB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥OH ，PO ⊥OB .在Rt △DOH 中，HD ＝33，OD ＝6， ∴OH ＝37.在Rt △PHO 中，PH ＝PO 2＋OH 2＝99.在Rt △POB 中，OB ＝OC ＝6，PB ＝PO 2＋OB 2＝6 2. 由(Ⅱ)可知DE ＝HB ＝9. 设HB 与PB 所成角为α，则cos α＝HB 2＋PB 2－PH 22·HB ·PB ＝24.∴异面直线PB 、DE 所成角的余弦值为24. (13分)解法二：(Ⅰ)同解法一； (4分)(Ⅱ)过点O 作AD 平行线交AB 于F ，以点O 为坐标原点，建立如图的坐标系. ∴A (63，－6,0)，B (33，3,0)，C (－33，3,0)， D (0，－6,0)，P (0,0,6). ∴AD ＝(－63，0,0)，PD＝(0，－6，－6).设平面P AD 的一个法向量为s ＝(a ，m ，n ). 则0,0,s PD s AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即⎩⎨⎧0·a －6m －6n ＝0，－63·a ＋0·m ＋0·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，m ＝－n . 不妨取s ＝(0，－1,1).∵O P＝(0,0,6)是平面ADC 的一个法向量，∴cos 〈s ，O P 〉＝s ·OP |s |·|OP |＝22.∴二面角P －AD －C 的大小为π4. (9分)(Ⅲ)由已知，可得点E (0,3,0). ∴PB ＝(33，3，－6)，DE＝(0,9,0). ∴cos 〈PB ，DE 〉＝PB ·DE |PB |·|DE |＝24.即异面直线PB 、DE 所成角的余弦值为24. (13分)18.(本题满分13分)解：(Ⅰ)将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y ＝f (x )的图象， ∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，即函数y ＝f (x )是奇函数， ∴f (x )＝a 1x 3＋a 3x . ∴f ′(x )＝3a 1x 2＋a 3.由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3a 1＋a 3＝0，f (－1)＝－a 1－a 3＝23. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 3＝－1，f (x )＝13x 3－x .经检验满足题意. (4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，f ′(x )＝x 2－1.故设所求两点为(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，(x 1，x 2∈[－2，2])得f ′(x 1)·f ′(x 2)＝(x 21－1)(x 22－1)＝－1.∵x 21－1，x 22－1∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－1＝－1，x 22－1＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧x 21－1＝1，x 22－1＝－1. ∴⎩⎨⎧ x 1＝0，x 2＝±2.或⎩⎨⎧x 1＝±2，x 2＝0.∴满足条件的两点的坐标为：(0,0)，⎝⎛⎭⎫2，－23或(0,0)，⎝⎛⎫－2，23. (8分) (Ⅲ)∵x n ＝2n－12n ＝1－12n ，(n ∈N )∴x n ∈⎣⎡⎭⎫12，1. 当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，导函数f ′(x )<0，即函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上递减， 得f (x n )∈⎝⎛⎦⎤f (1)，f (12)， 即f (x n )∈⎝⎛⎦⎤－23，－1124. 易知y m ∈⎝⎛⎦⎤－2，－223，用导数可求f (y m )在(－2，－1)上递增；在(－1，－223)上递减，∵f (－2)＝13·(－2)3＋2＝23，f (－223)＝13·(－223)3＋223＝70281，∴f (－2)<f (－223)， ∴f (y m )∈(f (－2)，f (－1)]，即f (y m )∈⎝⎛⎦⎤23，23.∴|f (x n )－f (y m )|＝f (y m )－f (x n )<23－(－23)＝43. (13分)19.(本题满分14分)解：(Ⅰ)∵椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 2的坐标为(1,0)，∴可设曲线C 的方程为y 2＝2px .(p >0) ∴p ＝2.曲线C 的方程为y 2＝4x . (3分)(Ⅱ)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1). ∵1F P ＝λ1F Q ，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1). ① y 1＝λy 2， ②∴y 21＝λ2y 22，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴x 1＝λ2x 2. ③③代入①得λ2x 2＋1＝λx 2＋λ. ∴λx 2(λ－1)＝λ－1.∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ.∴2F M＝(x 1－1，－y 1).由②知，－y 1＝－λy 2， ∴2F M ＝－λ(1λ－1，y 2)，＝－λ2F Q . 故2F M ＝－λ2F Q. (9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1.∴y 21·y 22＝16x 1x 2＝16. ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4.则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝(λ＋1λ)2＋4(λ＋1λ)－12＝(λ＋1λ＋2)2－16.∵λ∈[2,3]，∴λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤52，103. ∴|PQ |2∈⎣⎡⎦⎤174，7×169. 得|PQ |∈⎣⎡⎦⎤172，473. (14分)20.(本题满分14分)解：(Ⅰ)由f ′(t )＝0，得(a n －a n －1)t ＝a n ＋1－a n (n ≥2)又a 2－a 1＝t (t －1)，t ≠0且t ≠1，∴a 2－a 1≠0，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝t . ∴数列{a n ＋1－a n }是首项为t 2－t ，公比为t 的等比数列. (3分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n ＋1－a n ＝t n ＋1－t n ，∴a n －a n －1＝t n －t n －1，∴a n －1－a n －2＝t n －1－t n －2，…，…a 2－a 1＝t 2－t ，上面n －1个等式相加并整理得a n ＝t n .(t ≠0且t ≠1)b n ＝a n ln|a n |＝t n ·ln|t n |＝nt n ·ln|t |.∴S n ＝(t ＋2·t 2＋3·t 3＋…＋n ·t n )ln|t |，tS n ＝[t 2＋2·t 3＋…＋(n －1)t n ＋n ·t n ＋1]ln|t |，两式相减，并整理得S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t (1－t n )(1－t )2－nt n ＋11－t ln|t |. (9分)(Ⅲ)∵t ＝－710，即－1<t <0， ∴当n 为偶数时，b n ＝nt n ln|t |<0；当n 为奇数时，b n ＝nt n ln|t |>0，∴最大项必须为奇数项.设最大项为b 2k ＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 2k ＋1≥b 2k －1，b 2k ＋1≥b 2k ＋3， 即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)t 2k ＋1·ln|t |≥(2k －1)t 2k －1·ln|t |，(2k ＋1)t 2k ＋1·ln|t |≥(2k ＋3)t 2k ＋3·ln|t |， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)t 2≥2k －1，2k ＋1≥(2k ＋3)t 2 将t 2＝710代入上式，解得116≤k ≤176. ∵k ∈N ，∴k ＝2，即数列{b n }中的最大项是第5项. (14分)综评：本份试卷试题新颖，命题构思巧妙，紧扣大纲，知识点的考查全面适中，试卷对高考热点问题作了一定的探索，整份试卷与高考试卷基本相近，可作为高考一轮复习使用.。