三角形的中线角平分线
三角形的中线和角平分线
虽然掌握了三角形中线和角平分线的基本知识点，但在实际应用中，如解决几何问题时，往往不 能灵活运用这些知识。
缺乏与其他知识点的联系
在学习三角形中线和角平分线时，容易忽视它们与其他几何知识点（如相似三角形、勾股定理等 ）的联系，导致知识体系不够完整。
对未来学习方向展望
深化概念理解
通过更多的练习和阅读相关文献， 加深对三角形中线和角平分线概 念的理解，掌握其背后的数学原
中线性质
三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的 重心。
3
中线与底边平行且等于底边一半
在三角形中，一条中线与它所对的底边平行，且 等于底边的一半。
中线长度与三角形面积关系
中线长度与三角形面积关系定理
三角形的中线长度与三角形的面积存在一定的比例关系。具体来说，对于任意 三角形ABC，若M是BC的中点，则AM（即中线）的长度与三角形ABC的面积 之比为2:1。
理和性质。
提高应用实践能力
通过解决更多的实际问题，提高 运用三角形中线和角平分线知识 的能力，培养自己的数学思维和
解决问题的能力。
建立知识网络
将三角形中线和角平分线的知识 与其他几何知识点联系起来，形 成一个完整的知识网络，提高自
己的数学素养和综合能力。
THANKS
感谢观看
利用中线构造平行四边形
在三角形中，一条中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形。如果将这两个三角形沿 中线翻折，就可以得到一个平行四边形。这一性质常用于构造平行四边形或证明某些四边 形是平行四边形的问题。
03
角平分线性质与定理
角平分线定义及性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。
三角形的中线高线与角平分线
三角形的中线高线与角平分线三角形的中线、高线与角平分线在几何学中，三角形是最基本的多边形之一。
它由三条线段组成，连接三个非共线点。
三角形中的中线、高线和角平分线是三条重要的直线，在研究三角形的性质和关系时起着重要作用。
一、中线中线是连接三角形的一个角的顶点和所对边中点的线段。
三角形共有三条中线，分别连接各个角的顶点和对边中点。
中线具有以下几个重要性质：1. 中线的长度相等：对于任意一个三角形，它的三条中线的长度相等。
即对于三角形ABC，连接顶点A和对边BC的中线AD，连接顶点B和对边AC的中线BE，连接顶点C和对边AB的中线CF，有AD = BE = CF。
2. 中线的交点称为重心：三条中线的交点被称为三角形的重心，用G表示。
重心是三角形中心的一种，具有重要的几何意义。
3. 重心将中线划分成2:1的比例：重心将每条中线划分成两个线段，其中一个线段的长度是另一个线段的两倍。
二、高线高线是从三角形的一个顶点垂直地引到对边上的线段。
三角形共有三条高线，分别从三个顶点向对边引垂线。
高线具有以下几个重要性质：1. 高线相交于一点：对于任意一个三角形，三条高线相交于一个点，称为垂心。
垂心用H表示。
2. 垂心到顶点的距离相等：垂心到每个顶点的距离相等，即AH = BH = CH。
3. 高线的中点连线平行于底边：连接垂心和对边上垂足的线段平行于底边。
三、角平分线角平分线是指从三角形的一个顶点将角平分成两个相等角的线段。
三角形共有三条角平分线，分别从三个顶点将对角角平分。
角平分线具有以下几个重要性质：1. 角平分线相交于一点：对于任意一个三角形，三条角平分线相交于一个点，称为内心。
内心用I表示。
2. 内心到对边的距离相等：内心到三条对边的距离相等，即AI =BI = CI。
3. 角平分线的交点到边上各顶点的距离相等：内心到三角形的各个顶点的距离都相等，即ID = IE = IF。
通过研究三角形的中线、高线和角平分线，我们可以发现它们之间存在着一种特殊的关系。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角平分线和中线的定义
角平分线是数学中的概念，指的是角平分线上的一点和该角顶点的连线与角相等的线。
在角的内部，从顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
此外，角平分线还可以转化为轴对称图形。
中线是数学中的概念，指的是平面几何中三角形中与三角形一边相连的线段。
具体来说，中线是三角形中从一个顶点出发，经过对边画作平行线，再向对边延长，这条线就是三角形的中线。
在三角形中，一个顶点向对边做垂线，这条垂线段被这个顶点与对边两个端点的连线构成的三角形的面积三等分，这条垂线段线段就是三角形中的高，而连接这个顶点和对边中点的线段就是三角形中的中线。
除了三角形，四边形也有中线。
另外，三角形的中线可以把三角形的面积分成两个面积相等的部分，起到了分割面积的作用。
与此同时，角平分线和中线的定义也适用于其他的多边形。
另外，三角形的稳定性很好，经常用于建筑和工程领域。
中线和角平分线的性质可以用于证明三角形全等等，具有实际的应用价值。
总的来说，角平分线和中线的定义在数学领域具有重要的意义。
角平分线提供了新的视角和思考方式，让我们可以更深入地理解角的特点和性质。
而中线的概念则对于三角形的形状和面积的确定起到了关键的作用。
这些定义的应用不仅仅局限于数学领域，还可以在其他领域如建筑、工程等有所应用。
学习和研究这些定义可以帮助我们更好地理解数学的概念和本质，增强我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
以上内容仅供参考，如有需要，您可以进一步咨询专业人士。
三角形的高、中线与角平分线
定义：高是三角形任意两边所成的夹角中线是连接三角形任意两边中点的线段角平分线是连 接三角形任意两个角的平分线的线段。
性质：高、中线与角平分线都是三角形的辅助线它们都有各自的性质和作用。
关系：高、中线与角平分线之间存在一定的关系例如高与中线可以相交角平分线与中线也可 以相交。
应用：高、中线与角平分线在解决三角形问题中具有重要的应用价值例如利用高、中线与角 平分线可以解决三角形的面积、周长等问题。
高是三角形的一个重要性质它与三 角形的面积、周长等几何量有关。
高的长度与三角形的形状、大小有 关不同的三角形高的长度也不同。
高是三角形中连接顶点和底边的线段 高的长度等于底边和顶点之间的垂直距离 高的方向垂直于底边 高的性质：三角形的高是三角形的一个重要性质它决定了三角形的面积和形状。
确定三角形的三个顶点 连接两个顶点形成一条边 垂直于边的另一侧形成一条高 重复以上步骤得到其他两个高
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01.
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三角形是由三条线段组成的封闭图 形这三条线段称为三角形的边。
三角形具有稳定性即三角形的三个 顶点在同一平面内且任意两个顶点 的连线都在第三个顶点的两侧。
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三角形的三个内角之和等于180度。
三角形可以分为等边三角形、等腰 三角形、直角三角形、钝角三角形 和锐角三角形等。
中线：连接三角形任意两边中点的线段 性质：中线将三角形分成两个面积相等的三角角形中中线也是底边的垂直平分线
中线将三角形分成两个面积相等的三角形 中线将三角形分成两个全等三角形 中线将三角形分成两个相似三角形 中线将三角形分成两个等腰三角形
三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用(解析版)
专题01三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用【解题策略】 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,对我们以后深入研究三角形的一些特征有很大帮助,因此,我们需要从不同的角度认识这三种线段.在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.题型01三角形的高在求线段长中的应用【典例分析】【例1-1】（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，90,8,10,ACB AC AB CD ∠=°==是斜边的高，则CD =（ ）A ．3B ．4.2C ．4.8D ．5【答案】C 【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出BC ，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键．【详解】解：∵90,8,10ACB AC AB ∠=°==，∴6BC ，∵CD 是斜边的高， ∴1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴8610CD ×=， ∴48 4.810CD ==； 故选C【例1-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，5AB =，4AC =，3BC =，则点C 到AB 边距离为 ．【答案】125/225/2.4 【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，由三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=°， ∴ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，1122ABC S AC BC AB h ∴=⋅=⋅ ，即345h ×=，125h ∴=， 故答案为：125． 【例1-3】（22-23八年级上·河南·阶段练习）如图，在ABC 中，8AC =，4BC =，高3BD =．(1)作出BC 边上的高AE ；(2)求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)6AE =【分析】（1）过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E 即可；（2）利用等积法求得AE 的长度即可．【详解】（1）解：如图， 过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E ，∴线段AE 即为BC 边上的高，（2）解：∵11S 22ABC BC AE AC BD =⋅=⋅ ，8AC =，4BC =，3BD =， ∴1148322AE ×=××， ∴6AE =．【点睛】本题考查了作三角形的高及求高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，CD 是斜边的高，则CD 的长为（ ）A ．245B ．125C ．5D ．10【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．先根据勾股定理求出10AB =，然后根据三角形面积进行计算即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，∴10AB =， ∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴6824105AC BC CD AB ．故选：A【变式1-2】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，6,5,4AB AD BC ===，则CE 的长为 ．【答案】103/133【分析】本题考查了三角形的面积计算，根据1122ABC S AB CE BC AD =×=× ，即可求解． 【详解】解：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥， ∴1122ABC S AB CE BC AD =×=× ， ∵6,5,4AB AD BC ===， ∴1164522CE ××=××， ∴103CE =． 故答案为：103【变式1-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在ABC 中，AD 为边BC 上的高，连接AE ．(1)当AE 为边BC 上的中线时，若6AD =，ABC 的面积为24，求CE 的长；(2)当AE 为BAC ∠的平分线时，若66C ∠=°，36B ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】(1)4CE =(2)15DAE ∠=°【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识． （1）先根据三角形面积公式计算出8BC =，然后根据AE 为边BC 上的中线得到CE 的长；（2）先根据三角形内角和定理计算出78BAC ∠=°，再利用角平分线的定义得到39CAE ∠=°，接着计算出CAD ∠，然后计算CAE CAD ∠−∠即可．【详解】（1） AD 为边BC 上的高，ABC 的面积为24，1242BC AD ∴⋅=， 22486BC ×∴==， AE 为边BC 上的中线，142CE BC ∴==； （2） 66C ∠=°，36B ∠=°，∴180180663678BAC C B °−°°°°∠=∠−∠=−−=，∴AE 为BAC ∠的平分线， ∴1392CAE BAC ∠=∠=°，90ADC ∠=°，66C ∠=°， ∴906624CAD ∠°°=°=−，∴392415DAE CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°题型02三角形的高在求角的度数中的应用【典例分析】【例2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC∠交AC 边于E ，60BAC ∠=°，22ABE ∠=°，则DAC ∠的大小是（ ）A ．10°B ．12°C ．14°D ．16°【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据角平分线的定义可得2ABC ABE ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAC BAC BAD ∠=∠−∠计算即可得解．【详解】解：BE 平分ABC ∠，222244ABC ABE ∴∠=∠=×°=°，AD 是BC 边上的高，90904446BAD ABC ∴∠=°−∠=°−°=°，604614DAC BAC BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：C【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知ABC 中，50A ∠=°，AB ，AC 边上的高所在的直线交于H ，则BHC ∠=度． 【答案】130°或50°【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分ABC 是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．分两种情况考虑：①ABC 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出90ADB ∠=°，90BEC ∠=°，然后根据直角三角形两锐角互余求出ABD ∠的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②ABC 是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出BHC A ∠=∠即可．【详解】解：①如图1，ABC 是锐角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90ADB ∴∠=°，90BEC ∠=°， 在ABD △中，50A ∠=° ，905040ABD ∴∠=°−°=°，4090130BHC ABD BEC ∴∠=∠+∠=°+°=°；②ABC 是钝角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90A ACE ∴∠+∠=°，90BHC ∠+∠=°，ACE HCD ∠=∠ ， 50BHC A ∴∠=∠=°，综上所述，BHC ∠的度数是130°或50°，故答案为：130°或50°【例2-3】（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，在ABC 中，50ABC ∠=°，CE 为AB 边上的高，AF 与CE 交于点G ．若80∠=°AFC ，求AGC ∠的度数．【答案】120°【分析】由高的定义可得90BEC ∠=°，由三角形内角和可得BCE ∠的度数，再根据三角形内角和可得出CGF ∠的度数，由平角的定义可得出AGC ∠的度数．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键【详解】解：CE 是AB 边上的高，90BEC ∴∠=°，在ABC 中，50ABC ∠=°， 18040BCE ABC BEC ∴∠=°−∠−∠=°，80AFC ∠=° ，18060CGF AFC BCE ∴∠=°−∠−∠=°，180120AGC CGF ∴∠=°−∠=°【变式演练】【变式2-1】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图，在ABC 中，5525B C AD ∠=°∠=°，，是BC 边的高，AE 平分BAC ∠，则DAE ∠的度数为（ ）A ．12.5°B ．15°C ．17.5°D ．20°【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据AE 平分BAC ∠求出BAE ∠的度数，根据AD BC ⊥求出BAD ∠的度数，由DAE BAE BAD ∠=∠−∠即可得出结论．【详解】在ABC 中，55B ∠=°，25C ∠=°，1805525100BAC ∴∠=°−°−°=°．AE 平分BAC ∠，1502BAE BAC ∴°∠=∠=． AD 是边BC 上的高，90ADB ∴∠=°，90905535BAD B ∴∠=°−∠=°−°=°，503515DAE BAE BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：B【变式2-2】（22-23）八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且38B ∠=°，74C ∠=°，则DAE ∠= ．【答案】18°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质定理，利用三角形内角和定理求出68BAC ∠=°，利用角平分线的性质得出34EAC ∠=°，再利用三角形内角和定理求出16DAC ∠=°，进一步即可求出DAE ∠．【详解】解：∵38B ∠=°，74C ∠=°∴18068BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是BAC ∠的平分线， ∴1342EAC BAC ∠=∠=°， ∵AD 是ABC 的高，∴90ADC ∠=°， ∴18016DAC C ADC ∠=°−∠−∠=°，∴341618DAE EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°，故答案为：18°【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC °∠=，70C ∠=°．(1)求EAD ∠的度数；(2)求BOA ∠的度数．【答案】(1)10°(2)125°【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由角平分线的定义得30CAE BAE ∠=∠=°，结合直角三角形的两个锐角互余，得20CAD ∠=°，即可作答．（2）先由角平分线的定义得55OAB OBA +=°∠∠，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵AE 是BAC ∠的平分线，60BAC ∠=° ∴30CAE BAE ∠=∠=° ∵AD 是高，70C ∠=°∴在Rt ACD △中，20CAD ∠=° ∴302010EAD CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°（2）解：∵AE BF 、是角平分线 ∴11 110552()2OAB OBA CAB CBA ∠+∠=∠+∠=×°=° ∴180125()BOAOAB OBA ∠=°−∠+∠=° 题型03三角形的高在求相关线段的比值中的应用【典例分析】【例3-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，,AE CD 是ABC 的高，5,3AE CD ==，则AB BC=（ ）A ．53B ．45C ．35D ．25【答案】A【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法列出比例式，进行求解即可．【详解】解：∵,AE CD 是ABC 的高， ∴1122ABC AB B S CD C AE ⋅=⋅= ，∴53AB AE BC CD ==； 故选：A【例3-2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 相交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F .若5AB =，4BC =，6AC =，则CE ：AD ：BF 的值为 .【答案】12:15:10【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：BF AC ⊥，再根据三角形的面积公式，可得5432ABCS AD CE BF === ，进而即可得到答案． 【详解】解： 在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ， BF AC ∴⊥，5AB = ，4BC =，6AC =，∴1122ABC S BC AD AB CE BF =⋅=⋅=⋅ ， ∴5432ABCS AD CE BF === ， CE ∴：AD ：BF =12:15:10，故答案是：12:15:10【例3-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 与CE 是ABC 的高．(1)若7cm,10cm,8cm AB BC CE ===，求AD ； (2)若2,3,AB BC ABC ==△的高AD 与CE 的比是多少？【答案】(1)28cm 5(2)12【分析】（1）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，即可求解； （2）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ 求解即可． 【详解】（1）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴1178=1022AD ××××， ∴285AD cm =； （2）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴112=422CE AD ××××， ∴12AD CE =． 【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键【变式演练】【变式3-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）在ABC 中，高2,4AD CE ==．则边:AB BC 是（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．3:1 D ．1:3【答案】A【分析】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，2,4AD CE ==， ∴42AB BC =， ∴:2:41:2AB BC==， 故选：A ．【变式3-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在ABC 中，2AB =，4BC =，ABC 的高AD 与CE的比是 ．【答案】1:2【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△，即可求解．【详解】解：∵11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△ ∴2142AD AB CE BC ===， 故答案为：1:2【变式3-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，AD 是ABC 的中线，DE AC DF AB ⊥⊥，，E ，F 分别是垂足．已知2AB AC =，求DE 与DF 的长度之比．【答案】2:1【分析】根据三角形面积法进行求解即可． 【详解】解：∵AD 是ABC 的中线， ∴ABD ACD S S ， ∵DE AC DF AB ⊥⊥，，∴1122ABD ACD S AB DF S AC DE =⋅=⋅△△，， ∴1122AB DF AC DE ⋅=⋅， ∵2AB AC =， ∴2:1DE ABDF AC==． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键题型04三角形的高在求相关线段和的问题中的应用【典例分析】【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC ∆中，2ABAC ==，P 是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若1ABC S ∆=，则PE PF +值为（ ）A ．1B ．1.2C ．1.5D ．2【答案】A【分析】连接AP ，则ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+，依据Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，代入计算即可得到1PE PF +=．【详解】解：如图所示，连接AP ，则ABCACP ABP S S S ∆∆∆=+，∵PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ， ∴Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，又∵1ABC S ∆=，2ABAC ==， ∴111=+22AC PF AB PE ××， 即111=2+222PF PE ××××，∴1PE PF +=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算【例4-2】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰ABC 中，4ABAC ==，30BAC ∠=°，D 是BC 上任意一点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF +=．【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．作BH AC ⊥于H ，利用含30度的直角三角形的性质得到122BH AB ==，根据ABCABD ACD S S S =+ ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，列出等式，由此即可解决问题．【详解】解：过B 作BH AC ⊥于H ，30BAC ∠=° ，122BH AB ∴==， ∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，ABCABD ACD S S S =+ ， ∴111222AC BH AB DE AC DF ⋅=⋅+⋅， 则111444222BH DE DF ×⋅=×⋅+×⋅， 则2BH DE DF =+=， 故答案为：2【例4-3】（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在ABC 中，2ABAC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ．若6ABC S = ，求PE PF +的长．【答案】6PE PF +=【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅ ，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接AP ，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅ ， 2AB AC == ，6ABC S = ，∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅6PE PF =+=【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）Rt ABC △中，90C ∠=°，D 是BC 上一点，连接AD ，过B 、C 两点分别作直线AD 的垂线，垂足为E 、F ，若8BC =，6AC =，9AD =，则BE CF +的值是（ ）A ．6B ．163C ．8D ．203【答案】B【分析】本题考查三角形的面积，根据两种不同三角形的面积：12ABCS AC BC =⋅ ，ABCABD ACD S S S =+ ，建立等式是解决问题的关键．【详解】解：∵90C ∠=°，8BC =，6AC =， ∴11682422ABC AC B S C ⋅=××==， 又∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，9AD =，∴ABC ABD ACD S S S =+ 即：()111924222AD BE AD CF BE CF ⋅+⋅=××+= ∴163BE CF +=， 故选：B ．【变式4-2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在ABC 中，5ABAC ==，F 是BC 边上任意一点，过F 作FD AB ⊥于D ，FE AC ⊥于E ，若10ABC S =△，则FE FD +=．【答案】4【分析】连接AF ，根据ABC ABF ACF S S S =+ ，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】解：连接AF ，如图：则10ABF A ABC CF S S S =+= △△， 12ABFS AB FD =×△，12ACF S AC FE =×△， ∴111022AC FE AB FD ×+×=，∵5ABAC ==， ∴551022FE FD +=， ∴4FE FD += 故答案为：4题型05三角形的中线在求线段长中的应用【典例分析】【例5-1】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，ABC 中，159AB BC ==，，BD 是AC 边上的中线，若ABD △的周长为35，则BCD △的周长是（ ）A ．20B ．29C ．26D ．28【答案】B【分析】本题考查了中线的意义，根据BD 是AC 边上的中线，得到AD CD =，根据ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，计算周长的差，得到()()1596AB BD AD BC BD CD BC ++−++=−=−=，结合ABD △的周长为35，计算35629−=即可． 【详解】∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD CD =，∵ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，∴()()1596AB BD AD BC BD CD AB BC ++−++=−=−=， ∵ABD △的周长为35， ∴BCD △的周长为35629−=, 故选B【例5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，已知5cm AD =，6cm CE =，则ABC 的面积为 ．【答案】230cm【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 先根据中线的定义求出212BC CE cm ＝＝，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：AE 是ABC 的中线，6cm CE =，212cm BC CE ∴，AD 是ABC 的高，∴2130cm 2ABC S AD BC， 故答案为：230cm【例5-3】（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知ABC ，AD 是BC 边上的中线，且4AC =，若ABD △的周长比ACD 的周长大5，求AB 的长． 【答案】9AB =【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到BD CD =，根据三角形的周长公式计算得到答案．【详解】解：如图，∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD CD =，∵ABD △的周长比ACD 的周长大5，∴()()5AB BD AD AC AD CD ++−++=， ∴5AB AC −=， ∵4AC =， ∴9AB =【变式演练】【变式5-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是中线，若3AD =，6ABC S = ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出4BC =，根据AE 是中线即可求解． 【详解】解：∵162ABC S BC AD =××=，3AD =， ∴4BC = ∵AE 是中线， ∴122BE BC == 故选：B【变式5-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在ABC 中，AD 为BC 边的中线．若ABD △与ADC △的周长差为3,8AB =，则AC = ． 【答案】5或11AD 为BC 边上的中线，得BD CD =，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当AB AC >时，∵ABD △与ADC △的周长差为3，∴()3AB BD AD AC CD AD ++−++=， ∵AD 为BC 边上的中线，∴BD CD =，∴()3AB BD AD AC CD AD AB AC ++−++=−=，∵8AB =，∴835AC =−=,②当AC AB >时，同理可得3AC AB −=，则8311AC =+= 故答案为：5或11【变式5-3】（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在ABC 中()AB BC >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，求AC 和AB 的长．【答案】40AC =，25AB =【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①50AC CD +=，②35AC CD +=，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程．【详解】解：设BDCD x ==，则24AC BC x ==， BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，AB BC >，①当50AC CD +=，35AB BD +=时， 450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==×=，10BD CD ==，35351025AB BD ∴=−=−=，2520AB BC ∴=>=，满足条件；20254540BC AB AC +=+=>= ，满足三边关系，40AC ∴=，25AB =；②当35AC CD +=，50AB BD +=时， 435x x +=，解得：7x =，44728AC x ∴==×=，7BD CD ∴==，5050743AB BD =−=−=，28144243AC BC AB +=+=<= ，∴不满足三角形的三边关系，∴不合题意，舍去，综上：40AC =，25AB =题型06三角形的中线与高在证明线段相等中的应用【典例分析】【例6】如图，ABC ∆中，AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，且40ABC S ∆=，CM AD ⊥于M ．（1）ABD S ∆= ；（2）若5AE =，求CM 的长；（3）若BN AD ⊥交AD 的延长线于N ，求证：CM BN =．【分析】（1）根据三角形中线的性质得出面积即可；（2）根据三角形面积公式得出CM 即可；（3）根据三角形面积公式进行证明解答．【解答】（1）解：AD 为中线，且40ABC S ∆=，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==×=， 故答案为：20；（2）解：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，40ABC S ∆=， ∴111024AEC ACD ABC S S S ∆∆===，12AECS AE CM ∆=⋅， ∴15102CM ×⋅=， 4CM ∴=；（3）证明：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点， ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==， 12ABDS AD BN ∆=⋅，12ACD S AD CM ∆=⋅， ∴1122AD BN AD CM ⋅=⋅， CM BN ∴=．【点评】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答．题型07三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用【典例分析】【例7-1】（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，在ABC 中，DE BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若36FG DE ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线，平行线的性质可得EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则BE EG DC DF ==，，根据EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−，计算求解即可．【详解】解：∵BG CF 、是ABC ∠和ACB ∠的平分线，∴ABG CBG ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵DE BC ∥，∴EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴BE EGDC DF ==，， ∴9EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−=，故选：C【例7-2】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的角平分线分别交ED 于点G ，F ，若4BE =，6CD =，3FG =．则ED 的长为 ．【答案】7【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证EBG 和DFC 是等腰三角形，从而可得4EB EG ==，6DC DF ==，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，ABG CBG ∴∠=∠，ACF BCF ∠=∠，ED BC ∥，EGB CBG ∴∠=∠，DFC BCF ∠=∠，ABG EGB ∴∠=∠，ACF DFC ∠=∠，4EB EG ∴==，6DC DF ==，3FG = ，4637DE EG DF FG ∴=+−=+−=，故答案为：7【例7-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．(1)求证：DE BC ∥；(2)若65A ∠=°，45AED ∠=°，求EBC ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)35°【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，由等边对等角可得DBE DEB ∠=∠，从而得出CBE DEB ∠=∠，即可得证；（2）由平行线的性质可得45ACB AED ∠=∠=°，由三角形内角和定理得出70ABC ∠=°，最后由角平分线的定义计算即可得出答案．【详解】（1）证明：BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，DB DE = ，DBE DEB ∴∠=∠，CBE DEB ∴∠=∠，DE BC ∴∥；（2）解：DE BC ∥，45ACB AED ∴∠=∠=°，18070ABC ACB A ∴∠=°−∠−∠=°，BE 平分ABC ∠，11703522EBC ABC ∴∠=∠=×°=°．【变式演练】【变式7-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若37FG ED ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线、平行线的性质可得EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则EB EG DF DC ==，，根据EB CD ED FG +=+，计算求解即可．【详解】解：∵BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∴ABG GBC ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵ED BC ∥，∴EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴EB EGDF DC ==，， ∴10EB CD EG DF EG FG DG ED FG +=+=++=+=．故选：B【变式7-2】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为 ．【答案】9【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得MBE MEB NEC ECN ∠=∠∠=∠，，由等角对等边得出BM ME EN CN ==，，再由MN BM CN =+，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键．【详解】解：ABC ACB ∠∠ 、的平分线相交于点E ，MBE EBC ECN ECB ∴∠=∠∠=∠，，MN BC ，EBC MEB NEC ECB ∴∠=∠∠=∠，，MBE MEB NEC ECN ∴∠=∠∠=∠，，BM ME EN CN ∴==，，MN ME EN ∴=+，即MNBM CN =+， 9BM CN += ，9MN ∴=，故答案为：9【变式7-3】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点，若40ADE ∠=°，求证：DE AB ∥．【答案】见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出80BAC ∠=°，由角平分线的定义得出1402BAD BAC ∠=∠=°，从而得出40ADE BAD ∠=∠=°，即可得证． 【详解】证明：∵在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，∴180465480BAC ∠=°−°−°=°． ∵AD 平分BAC ∠， ∴1402BAD BAC ∠=∠=°． ∵40ADE BAD ∠=∠=°． ∴DE AB ∥题型08三角形的角平分线与高再求角的度数中的应用【典例分析】【例8-1】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，70B ∠=°，34C ∠=°，则DAE ∠=（ ）A ．18°B ．34°C ．20°D ．38°【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题．利用垂直求得9056DACC ∠=°−∠=°是正确解答本题的关键．在ABC 中，根据三角形内角和定理得到BAC ∠的度数，进而求出DAC ∠的度数，在直角ACD 中根据三角形内角和定理得到DAC ∠的度数，则DAE ∠的度数就可以求出．【详解】解：在ABC 中，70B ∠=°，34C ∠=°，∴18076BACB C ∠=°−∠−∠=°， 又∵AE 平分BAC ∠， ∴1382EAC BAC ∠=∠=°， 在直角ACD 中，9056DACC ∠=°−∠=°， ∴18DAE DAC EAC ∠=∠−∠=°．故选：A【例8-2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,若60,16B DAE ∠=°∠=°,则C ∠= ．【答案】28?/28度【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论．先由AD 是高与=60B ∠°求得BAD ∠，再求得BAE ∠，再由角平分线AE 推得BAC ∠，最后由三角形的内角和求得C ∠的度数．【详解】∵AD 是高，∴90ADB ∠=°， ∵=60B ∠°，∴9030BADB °∠=−∠=°． ∵16DAE ∠=°， ∴46BAE BAD DAE =+=°∠∠∠． ∵AE 是角平分线，∴46CAEBAE ==°∠∠， ∴92BAC BAE CAE =+=°∠∠∠， 在ABC 中，180180609228CB BAC =°−−=°−°−°=°∠∠∠． 故答案为：28°【例8-3】（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，70C ∠=°，60ABC ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】5°【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的角平分线等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理求出50BAC ∠=°，再根据直角三角形的性质可得30BAD ∠=°，然后根据角平分线的定义可得1252BAE BAC ∠=∠=°，最后根据DAE BAD BAE ∠=∠−∠求解即可得．【详解】解：∵在ABC 中，70C ∠=°，60ABC ∠=°， ∴18050BACC ABC ∠=°−∠−∠=°， ∵在ABC 中，AD 是高，即AD BC ⊥，∴9030BADABC ∠=°−∠=°， ∵在ABC 中，AE 是角平分线，即AE 是BAC ∠的角平分线，∴1252BAE BAC ∠=∠=°， ∴5DAE BAD BAE ∠=∠−∠=°【变式演练】【变式8-1】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线．若60BAC ∠=°，70C ∠=°，则EAD ∠的大小为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由AD 是高，70C ∠=°，可得20CAD ∠=°，再由AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°，从而得30CAE ∠=°，进而可求EAD ∠的度数． 【详解】解：AD 是ABC 的高，70C ∠=°，90ADC ∴∠=°，18020CAD ADC C ∴∠=°−∠−∠=°，AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°， 1302CAE BAC ∴∠=∠=°， 10EAD CAE CAD ∴∠=∠−∠=°．故选：B【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，角平分线AE ，BF 相交于点O ，30BAE ∠=°，20DAC ∠=°，则AOB ∠ 的度数是 ．【答案】125°【分析】本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的含义，先计算70C ∠=°，60BAC ∠=°，50ABC ∠=°，25ABO ∠=°，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：AD 是ABC 的高，90ADC ∴∠= ，180ADC C CAD ∠+∠+∠=° ，20DAC ∠=°，180902070C ∴∠=°−°−°=°，∵AE 平分BAC ∠，30BAE ∠=°， ∴60BAC ∠=°， 180ABC C CAB ∠+∠+∠°= ，180706050ABC ∴∠=°−°−°=°，BF 分别平分ABC ∠， ∴1252ABO ABC ∠=∠=°， 180ABO BAO AOB ∠+∠+∠= ，1802530125AOB °°°°∴∠=−−=．故答案为：125°【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的角平分线，若38B ∠=°，70C ∠=°．求AEC ∠和DAE ∠的度数．【答案】74AEC ∠=°，16DAE ∠=° 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得BAC ∠的度数，根据角平分线定义求出EAC ∠的度数，在Rt ADC 中，可求得DAC ∠的度数，最后根据角的和差关系求解即可．【详解】∵38B ∠=°，70C ∠=°，∴18072BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是角平分线，∴1362EAC BAC ∠=∠=°． ∵AD 是高，70C ∠=°， ∴9020DAC C ∠=°−∠=°， ∴362016EAD EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°， 901674AEC ∠=°−°=°。
三角形的中线与角平分线
三角形的中线与角平分线在平面几何学中，三角形是最基本的几何形状之一。
而三角形的中线与角平分线则是三角形内部特殊的线段与线，它们具有独特的性质和重要的几何意义。
本文将对三角形的中线与角平分线进行详细的论述，以便更好地理解和应用这些概念。
一、三角形的中线中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于任意一个三角形ABC，连接顶点A和对边BC的中点D的线段AD就是三角形ABC的中线。
1. 性质1：三角形的三条中线交于一点对于任意一个三角形ABC，它的三条中线AD、BE和CF交于一点，该点称为三角形ABC的重心G。
重心G将三角形的每一条中线按照1:2的比例分成两段，即AG:GD = BG:GE = CG:GF = 1:2。
2. 性质2：重心到顶点的距离与中线的比例关系设三角形ABC的重心为G，连接重心G和顶点A的线段AG是三角形ABC的一条中线，那么有AG:GD = 2:1。
这意味着重心到顶点的距离是中线上对应中点到重心距离的两倍。
同样的，对于中线BE和中线CF，也有类似的比例关系。
二、三角形的角平分线角平分线是将一个角平分成两个相等角的线段。
对于任意一个三角形ABC，连接顶点A和角BAC的角平分线的线段AD就是三角形ABC的角平分线。
1. 性质3：三角形的三条角平分线交于一点对于任意一个三角形ABC，角平分线AD、BE和CF交于一点，该点称为三角形ABC的内心I。
内心I到三角形的每一条边的距离相等，即IA = IB = IC，而且IA垂直于边BC，IB垂直于边AC，IC垂直于边AB。
2. 性质4：内心到边的距离与角平分线的比例关系设三角形ABC的内心为I，连接内心I和边BC的垂足为D，那么有ID:IA = BD:BA + CD:CA。
这意味着内心到边的距离与角平分线相交点到对边的距离之比等于两个角的对边之比。
三、中线与角平分线的关系在一个三角形中，其三条中线与三条角平分线有一定的关系。
1. 性质5：三角形的三条中线都经过内心对于任意一个三角形ABC，它的三条中线AD、BE和CF都经过内心I。
11.1.2三角形的角平分线和中线
新知探究 △ABC的三条中线相交于一点，这个焦点叫做三角形的重心.
A F O B D C E
新知探究 如图，线段AD是△ABC的中线， △ABD和△ACD面积有什么关 系？
A
B
D
C
中线的性质：中线AD将△ABC分成面积相等的两部分.
典型问题 例题1.如图，点D是BC的中点，若S△ABD＝8，则S△ACD＝______.
(1)若AB＝5，AC＝4，则△ABD与△ACD的周长差为
A
.
(2)若AE⊥BC，垂足为E，BC＝10，AE＝6，求△ACD的面积．
B
D
C
课堂练习 3.如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，AB＝13，AC＝5， (1)△ABD与△ACD的周长的差是______； (2)若E恰好是CD的中点，那么△ABE和△ACE的面积有什么样的 数量关系？请说明理由.
A
B
D
E
C
课堂练习 4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE∥AC，DE交AB于点E， DF∥AB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？
解：∠1＝∠2，理由如下： ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠FAD ∵DE∥AC ∴∠1＝∠FAD ∵DF∥AB ∴∠2＝∠EAD ∴∠1＝∠2.
C
D A B
课堂练习 1. 如图，点D，E分别是BC，AD的中点，若S△ABD＝8，则 S△ACE＝______.
C
D E A B
课堂练习 2.如图，在△ABC中，D是边BC中点，E，F分别为线段AD，CE的 中点，且S△ABC＝8，则△BFE的面积为____.
A E
F C
B
D
典型问题 例题2.如图，AD是△ABC的中线．
三角形的中线与角平分线
中线与角平分线的应用
在几何学中，中线和角平分线的 性质和定理被广泛应用于证明和
解题。
例如，可以利用中线和角平分线 的性质证明三角形中的一些等式
或不等式。
此外，在三角形的面积计算中， 中线和角平分线也是常用的工具。
04 三角形中线与角平分线的定理和证明
CHAPTER
三角形中线定理
总结词
三角形中线定理描述了中线与基线之 间的关系，即三角形中线将相对边分 为两段相等的线段。
在等腰三角形中，中线也是底边 的垂直平分线，因此其长度等于
底边的一半。
在直角三角形中，斜边的中线长 度等于斜边的一半。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角平分的线段。
02
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
角平分线的性质
角平分线上的点到该 角的两边距离相等。
三角形三条中线
一个三角形有三条中线，分别连 接每个顶点与其对边中点。
三角形中线的性质
三角形中线与对应的底边平行且等于底边的一半。 三角形中线将对应的顶点与对边中点连接，且将相对的边分为两段相等的部分。
三角形中线将相对的角分为两个相等的角。
三角形中线的长度
三角形中线的长度等于从顶点垂 直于底边的线段长度的一半。
05 三角形中线与角平分线的实际应用
CHAPTER
在几何问题中的应用
三角形中线定理
三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，且中线长度为 对应底边的一半。
角平分线定理
角平分线将相对边分为两段相等的线段，且角平分线长度为 相对边上的高的一半。
在三角函数中的应用
三角形的角平分线和中线-PPT课件
OBC OCB 1 (1800 800 ) 500 ,BOC 1300
2
3
任意画一个三角形，用刻度尺画BC的中 A 点D，连接AD。
在三角形中，连结一个顶 点与它对边中点的线段， 叫做三角形的中线。
B
D
C
书写形式：∵AD是△ABC中的BC边上的中线。 ∴BD＝CD
特别提醒：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角
形的中线的一端平分这条边。
4
Байду номын сангаас
操作归纳：
任意画一个三角形， 然后利用刻度尺画 出这个三角形的三 条中线，你有什么 发现？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。
5
巩固提升：
A
1.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边
上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空：
（1）BE_=__EC
（2）∠CAF_=__
点， CF C，D如果 ACB 7，0那么下列说法中错误的
是（ B） A．CF 平分 ACE B．B、 55 C．1 4 90
D．3 4 55
5．如图，E、 F、G 分别是 AB 、BC AC 边上的中点，则
S SABC __4___ SBEF ___4_____ FGC
9
大家有疑问的，可以询问和交流
形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
解 ABD的周长 AB AD BD
A
ACD的周长 AC AD DC
AD是中线 BD DC,两三角形
的周长差为: AB AC 2, AB 7
B
C D
7
课堂巩固：
1. 如图，在 ABC 中，若 BD平分 ABC
则下列说法中不正确的是（ D ）
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锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。 (1) 画出直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. A
D B
●
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
直角边BC边上的高是 直角边AB边上的高是 AB ; CB ;
D
B
巩固
1、下列画出△ABC的高AD，正确 的是( )
A A B B
D C
D A
C
A D
A
B
B
B
C
C
D
C
D
三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
三角形中线的理解
●
A E
O ∵AD是△ ABC的中线 ● B C 1 ∴BD=CD= BC D 2 三角形的三条中线相交于一 点,交点在三角形的内部.
•锐角三角形 •直角三角形 •钝角三角形
•高在三角形内部的数量 •高之间是否相交 •高所在的直线是否相交 三条高所在直线的 交点的位置
3 相交 相交
三角形内部
1 相交 相交
直角顶点
1 不相交 相交
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
新授
三角形的高的几何语言表达 C
∵CD是△ABC中 AB边上的高(已知) A ∴CD⊥AB (三角形高的定义) 或∠CDA=90° 或∠CDB=90°
C
角平 分线
B
D
小结
角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线
A
1 ∠ABC ∠ ABE ∠CBE ∴ ____=_____= _____ 2
∵CF是△ABC的角平分线
F
O
E
∠ACF ∠BCF B ∴∠ACB=2______=2______
D
C
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线 段 , 角的平分线是一条射线
C
斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
钝角三角形的三条高
A F D B E C
(1) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？ 它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流.
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。 三角形的三条高的特性：
9
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形纸片。 使折痕过顶点,顶点的 A (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? 对边边缘重合 F (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? E (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 将你的结果与同伴进行交流. C B 锐角三角形的三条高是 D 在三角形的内部还是外部?
B A
画法
性质
D
C
三角板或量 三条线相交于 角器画垂线 三角形内、外 的一部分 或边上一点
得用直尺画 三条中线相交 两点之间的 于三角形内一 线段 点，且把三角 形分成面积相 等的两部分 利用量角器 三条角平分线 画角的平分 相交于三角形 线的一部分 内一点，且这 C 点到三边的距 离相等
中线
A
B
D A
范例
例1、 BM是△ABC的中线，若AB=5cm， BC=13cm，那么△BCM的周长与 △ABM的周长之差是多少？
A M
B C
巩固
6、△ABC中，∠ACB=90°， CB=6， CA=8， AB=10，则AB 边上的高是( ) A A 8 B 6 C 4.8 D 2.4
B C
名称 基本图形 高
H B
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A)
D
A (B)
B
C
B A (C) D
B C D (D) A
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个 顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
三角形的高、中线与 角平分线
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
0 42 5 3 4 5 1 23456A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 7
0 1 2 3 4 5 8 9 10
三角形的高
C
D
A
B
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
A
这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 ∵AD是 △ ABC的角平分线 １∠BAC ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２
●
︶
1 2
● C B 三角形的三条角平分线相交于 D 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
思 考
现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD是⊿ABE的角平分线 (
×)
F
A 12 G E
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×) ③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) ④CH是⊿ACD边AD上的高 ( √ )
F
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出 这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
巩固
3、 E、F分别是△ABC的边AC、A B的 中点，则BE、CF分别是△ABC的边AC、 A B上的 ，EF既是 的中线，又 是 的中线。 A F B
E
C
巩固
4、 AD 是△ABC中BC上的中线，则 S△ABD S△ACD (填“=”、“<”或“>”)
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高， 简称三角形的高。 B 如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个 A
5
2 3
4
3
2
1
0
D
C
锐角△ABC, 请你画出BC边上的高. 注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
A
B
D
C
1
2
3
4
5
0 1 4 5 6 7 8