角的概念的推广
角的概念的推广
角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。角
的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解
决实际问题。本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。
一、角的定义和性质
角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。根据角
的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。锐角指小于90度的角，直
角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。
除了大小外，角还具有其他一些重要性质。首先，两个角互为补角
当且仅当它们的和为90度。其次，两个角互为余角当且仅当它们的和
为180度。此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。这
些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。
二、角的推广应用
1. 几何学中的角
在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。例如，我们可以通过计算
多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的
判定、多边形的内切圆问题等。
2. 物理学中的角
角的概念在物理学中也有着广泛的应用。例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。
3. 工程学中的角
在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。
4. 地理学中的角
在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。这些信息对于导航和地图制作非常关键。
5. 计算机图形学中的角
在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。通过角的计算，可以确定三维物体之间的相对位置和旋转状态，进而实现真实感的渲染和动画效果。
三、结语
角是几何学中的重要概念，它在日常生活和各个学科的应用十分广泛。角的定义和性质帮助我们更好地理解和描述物体之间的关系。而
角的推广应用在几何学、物理学、工程学、地理学和计算机图形学等领域发挥着重要的作用。通过深入学习和探索角的概念，我们可以更全面地认识这个几何学中的重要概念，并将其运用到实际问题的解决中。
角的概念的推广概念
角的概念的推广概念 角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。 首先，角可以分为几何角和平面角。几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。平面角则是指在一个平面上的角。几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。 角的概念可以推广到三维空间中。在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。 角的概念也可以推广到曲线上。在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。 此外，角的概念还可以应用于三角函数中。三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。
在物理学中，角的概念也有广泛的应用。例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。 在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。 总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
高中数学角的概念的推广
角的概念的推广 教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法 类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行 角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到 推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过 几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解 例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的 观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度； 让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教学用具 在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。 教学用具:多媒体、三角板、圆规 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同 学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一 下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。 这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？ 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。 【探究新知】 如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备) 1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)． 我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作 任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。 过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是
角的概念的推广
角的概念的推广 引言 角是几何学中重要的概念之一，它在实际生活和学术领域中有着广泛的应用。本文将介绍角的定义、性质以及与其他几何概念的关系，从而推广角的概念。 角的定义 在几何学中，角是由两条射线公共端点所围成的部分。我们可以把射线看成是一根直线，并延长它们，当两条射线共线时，所围成的角度为零。根据角的凸度，角可以分为锐角、直角和钝角。 •锐角：角度小于90度的角称为锐角； •直角：角度等于90度的角称为直角； •钝角：角度大于90度但小于180度的角称为钝角。
角的性质 除了不同凸度的分类，角还有一些重要的性质，下面将介绍几个常 见的性质。 直角的性质 直角是一种特殊的角，它有一些独特的性质。 •直角可以被等分成两个相等的角，每个角的度数为45度。 •直角的两条边相互垂直。 锐角和钝角的性质 锐角和钝角也有一些特殊的性质。 •锐角的度数总是小于90度，而钝角的度数总是大于90度。 •锐角和钝角的正弦、余弦和正切值的大小具有不同的关系。
角与其他几何概念的关系 角与其他几何概念之间存在着紧密的联系，下面将介绍角与直线、多边形以及圆的关系。 角与直线的关系 直线可以被看成无数个角的集合，两条直线之间的夹角就是这两条直线所围成的角。夹角可以分为对顶角、同位角和内错角等。 •对顶角：两条相交的直线所围成的角，称为对顶角，对顶角的度数相等。 •同位角：两条平行直线被一条交错直线切割形成的相对应的内错角。 •内错角：平行直线被一条截线分成两段，则截线处的内错角相等。
角与多边形的关系 多边形是有多个边和角组成的图形，角是多边形内角和外角的基本单位。 •多边形内角和为180度，每个内角的大小取决于多边形的边数。 •多边形外角和为360度，每个外角的大小与多边形内角之和相等。 •多边形的对角线可以划分内部成多个角。 角与圆的关系 角与圆的关系是通过圆周角来描述的。 •圆周角：圆周角是以圆心为顶点的任意两条射线所围成的角，圆周角的度数等于对应的圆心角的度数。
角的概念的推广
角的概念的推广 角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。角 的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解 决实际问题。本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。 一、角的定义和性质 角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。根据角 的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。锐角指小于90度的角，直 角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。 除了大小外，角还具有其他一些重要性质。首先，两个角互为补角 当且仅当它们的和为90度。其次，两个角互为余角当且仅当它们的和 为180度。此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。这 些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。 二、角的推广应用 1. 几何学中的角 在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。例如，我们可以通过计算 多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的 判定、多边形的内切圆问题等。 2. 物理学中的角
角的概念在物理学中也有着广泛的应用。例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。 3. 工程学中的角 在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。 4. 地理学中的角 在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。这些信息对于导航和地图制作非常关键。 5. 计算机图形学中的角 在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。通过角的计算，可以确定三维物体之间的相对位置和旋转状态，进而实现真实感的渲染和动画效果。 三、结语 角是几何学中的重要概念，它在日常生活和各个学科的应用十分广泛。角的定义和性质帮助我们更好地理解和描述物体之间的关系。而
三角函数基础知识
三角函数 基础知识整理 一． 角的概念： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α ⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后， 它包括任意大小的正角、负角和零角． 2．“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3．终边相同的角 结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： { } Z k k S ∈?+==,360|ο αββ 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 注意： (1)Z k ∈ (2)是任意角；
(3)0 360?k 与 之间是“+”号， 如：0 360?k -30°，应看成0 360?k +(-30°)； (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． 二． 弧度制： 1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作 弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 2．弧长公式：α?=r l 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180r n l π= 简单 即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 三． 三角函数的定义： 1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222 2>+= +=y x y x r 2. 比值 r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x = αcos 比值x y 叫做α的正切 记作： x y = αtan 比值 y x 叫做α的余切 记作： y x =αcot
角的概念的推广 优秀教学设计最终版
《角的概念的推广》教学设计 一、教材分析 本节课是北师大版教材《数学》必修4的第一章第2节，是本章第一个重要概念，是一个承前启后的核心概念，也是本章内容的出发点，为初中锐角三角函数推广到任意角的三角函数做好了铺垫。 二、学情分析 本节课内容在初中角的知识及刚学过周期现象的基础上展开的，学生对初中角的概念有一定的认识，但由于生活中很多大于360°的角和朝着两个方向旋转的角，这就要求我们要对角的概念重新定义。初中角的概念是静态的，而高中的角是通过“旋转”而形成的（动态的），学生理解起来就会相对吃力，终边相同的角集合表示体现了数形结合的思想，学生理解掌握起来会比较困难（可以借助周期现象进行解释）。 三、教学目标 知识与目标: 理解角的概念推广的必要性，理解正角、负角、零角。学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示。 过程与方法：通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会从特殊到一般的思维方法。 情感态度与价值观：通过本节的学习，让学生体会类比、数形结
合等思想，激发学习数学的兴趣，培养学生分析、解决问题的能力，为今后的学习奠定良好的基础。 四、教学重难点 重点：了解任意角的概念，初步理解正角、零角、负角、象限角、终边相同角的概念，初步学会终边相同角的表示。 难点：理解“旋转”定义角，终边相同角的集合表示法。 五、教学方法手段 在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念，把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后，了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法;我们在学习这部分内容时，首先要弄清楚角的表示符号，以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。 运用教具让同学直观感受角的概念，教具：多媒体、三角板、圆规。 六、教学过程 1.导入部分： 同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三
角的概念及推广
1.1.1角的概念的推广 一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角，这个公共 顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。 (2)角可以看成是一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所成的 。 二、自主学习：自学53P P ，回答： 1。正角、负角、零角： 一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向： 方向和 方向，习惯上 规定：按 照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。 注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋 转生成的角，又常叫做 角。 （2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为 ，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的 。 2.终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个 集合可记为S ＝ 。 终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。 3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与 重合，角的始边与 重 合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。 三、典型例题： 1。自学4P 、5P 例1、例2、例4完成练习A 2。自学5P 例3完成下面填空： 终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴上角的集合表示为 终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为 .第一象限角的集合表示为
第二象限角的集合表示为 第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为 3。补充例题： 例5。已知α是第一象限的角，判断2 α 、α2分别是第几象限角？ 练习：7P 练习B2、3、5 4。小结： 5。作业： 1.在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（ ） A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 2.下列命题中正确的是（ ） A.终边相同的角都相等 B.第一象限的角比第二象限的角小 C.第一象限角都是锐角 D.锐角都是第一象限角 3.射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（ ） A.150° B.－150° C.390° D.－390° 4.如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（ ） A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角 5.与405°角终边相同的角（ ） A. k ·360°－45° k ∈z B. k ·360°－405° k ∈z C. k ·360°+45° k ∈z D. k ·180°+45° k ∈z 6.（2005年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则2 α 所在象限是（ ） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 7.把－1050°表示成k ·360°+θ（k ∈z ）的形式，使θ最小的θ值是 8.（2005年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y 则α的集合S ＝ . 9.已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）， 那么β∈ °
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广274
§2角的概念的推广 内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)． 知识点1 角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． (2)按照角的旋转方向，分为如下三类： (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√) (2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√) (3)没有作任何旋转就没有角对应(×) (4)终边和始边重合的角是零角(×) (5)经过1小时时针转过30°(×) 知识点2 象限角 如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 【预习评价】 1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？ 提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角． 2．第二象限的角比第一象限的角大吗？ 提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°. 知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)终边相同的角一定相等(×) (2)相等的角终边一定相同(√) (3)终边相同的角有无数多个(√) (4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×) 题型一角的概念的推广 【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数． 解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. 规律方法 1.理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两个注意点 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负． 【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________； (2)经过10 min，分针转了________．
四种象限角,角概念的推广
四种象限角 第一象限角 1.定义： 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第一象限的角，称为第一象限角。 2.表示： 集合表示：{x|2kπ 3.性质： 第三象限角的正弦值为负数，余弦值为负数，正切值为正数。 第四象限角 1.定义：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第四象限的角，称为第四象限角。 2.表示： 集合表示:{x|-90°+2kπ≤x≤2kπ，k∈Z}或{x|-90°+k·360°≤x≤k·360°，k∈Z}区间表示:(-90°+2kπ，2kπ)(k∈Z)或(-90°+k·360°，k·360°)(k∈Z) 3.性质： 第四象限角的正弦值为负数，余弦值为正数，正切值为负数 角的概念的推广高一知识点 角是我们在几何学中经常遇到的概念之一，它在高一阶段具有 重要的地位。本文将对角的概念进行推广，探讨其在不同领域的 应用，并结合例子进行解释。 首先，我们来回顾一下角的基本定义。在几何学中，角是由两 条射线公共端点而形成的图形部分。通常，我们以大写字母来表 示一个角，如∠ABC，其中A和C是两条射线共有的端点，B是 这两条射线之间的点。 角的度量通常使用度（°）作为单位。一个完整的角度是360°，这意味着角度的度量在360°之内。此外，一个直角角度是90°，一个钝角是大于90°但小于180°的角，一个锐角是小于90°的角。因此，角的度量不仅可以用来描述角的大小，还可以用来分类角。 在实际生活中，角的概念广泛应用于不同的领域。其中一个示 例是建筑设计。建筑师在设计房屋时需要考虑建筑物之间的角度 关系，以达到美观和结构稳定的目的。例如，在两个相邻房屋之 间形成的夹角可能会影响采光和通风。因此，建筑师会根据角的 度量和分类来进行合理的布局和设计。 另一个领域是自然科学，尤其是物理学。角的概念与物体的运 动和力学有关。例如，在机械学中，轴承的角度对于机器的运转 非常重要。若角度超出了工作范围，机器可能会发生故障。此外，在热学中，角的度量被用来描述物体受热时的变化。了解角的度 量有助于预测物体的热膨胀和冷缩，从而在工程设计中起到重要 的作用。 除了在实际领域中的应用，角的概念还在数学中起着重要的作用。角度的概念是几何学的基础，也是其他几何概念的重要组成 部分。例如，三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的 度量和三角形的关系。正弦、余弦和正切等三角函数都是通过角 的度量来定义的，它们在数学和物理中有广泛的应用。 此外，角的概念也在计算机科学中扮演着重要的角色。计算机 图形学、计算机视觉等领域都需要通过角来计算和描述物体的位置、姿态和运动。例如，计算机游戏中的三维模型运动，物体的 旋转等都涉及到角的概念。 综上所述，角是几何学中的一个重要概念，具有广泛的应用。 从建筑设计到物理学、数学以及计算机科学，角的概念在不同的 中职数学“角的概念的推广”教学设计 一教学内容分析 1 教材的地位和作用 从中职数学教材总体上来看：第五章《三角函数》是继集合和函数之后的又一重要章节，是对初中锐角三角函数的延伸和推广，也是对集合和函数知识的又一渗透。本节内容为《三角函数》的第一节课，是本章内容的基础，为后续学习任意角三角函数的定义、三角函数在各象限的符号等做好认识上的铺垫。 2 教学目标 （1）知识目标： ①推广角的概念； ②理解“正角”，“负角”，“零角”，“象限角”，“非象限角”的含义； ③会表示终边相同的角的集合。 （2）能力目标： ①通过布置课前任务——培养学生的自学能力； ②通过让学生讨论、讲解——训练学生的语言表达能力； ③通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题——培养学生分析问题、解决问题的能力． （3）情感目标： ①通过解决一些生活或专业中的问题——让学生感悟数学的实用性； ②通过小组活动——培养学生的团队协作意识； ③通过让学生解决一系列层层深入的问题——培养学生积极探索勇于创新的精神． 3 重点与难点 重点：理解有关角的概念的含义，会表示终边相同的角的集合. 难点：把与角有关的所有概念系统归类；把终边相同的角用集合表示. 突破难点的关键：通过实物演示、类比举例等方法让抽象概念具体化. 二教学理念和策略分析 由于本节课的授课对象是数控专业一年级学生，他们数学基础知识不扎实，对数学存在一定的厌学情绪，但他们普遍比较重视对专业知识的学习，而 且思维较活跃，渴望被认同。因此本节课的教学设计主要采用探究式问题教学法：把学生的学习活动与问题相结合，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，从而使学生独立地完成学习任务。整堂课采用低重心教学，更多地关注学生的可持续发展，教师作为组织者、帮助者、指导者，引导学生独立地获取知识。 为了更好地培养学生的协作意识和参与意识，课前老师将全体学生按照组内强弱搭配，组间能力均衡的分组方式，将学生分为四个小组。 三教学过程 本节课教学过程是教法和学法的有机结合： 1 课前准备: (1) 预习课本126页—128页的“新知识”． (2) 学生自制可以演示角的生成过程的教具． 【设计意图】让学生了解即将要学的内容，培养学生的动手能力和参与意识。 2情境导入：老师请学生演示拧螺丝的过程，并告诉同学们拧过的角度是多少？在此过程学生发现无法表示角度，从而引入本节课的主题。 【设计意图】让学生自己动手，体会角的概念的推广的必要性，印象更深刻。 3 新课讲授： 新课分为四个环节：认识概念，梳理概念，辨析概念，巩固概念。采用了小组合作探究的方法，通过小组讨论，小组抢答，组间互补，教师点评的方式进行课堂教学，为了提高学生学习的协作意识和参与意识，特别设计了小组对抗赛和优胜小组评价规则（三轮比赛环节，第一轮抢答，第二轮必答，第三轮自选题，按照一定规则进行小组加分）。 （1）认识概念 （抢答环节）教师提出以下几个问题 ①角是如何生成的？ ②依据角的旋转方向角可以分为几类？ 【设计意图】学生小组讨论回答，让学生理解任意角的概念和正角，负角，零角的概念 ③在直角坐标系中画出这几个角200，-600,450,1200 角的概念的推广 1. 引言 角是几何学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。了解和掌握角的相关知识，对于学习几何学、物理学以及工程学等学科都具有重要意义。本文将通过推广角的概念，介绍角的定义、分类以及角的应用。 2. 角的定义 角可以理解为两条射线的相交部分，通常用符号α、β、γ 等表示。在几何学中，角的大小通常用弧度（radian）或度（degree）来表示。通过测量角的顶点和射线之间的夹角，可以确定角的大小。 3. 角的分类 根据角的大小，可以将角分为以下几类： 3.1 零角（Zero Degree Angle） 零角是指两条重合的射线所形成的角。零角的度数为0度或0弧度。 3.2 直角（Right Angle） 直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。直角的度数为90度或π/2弧度。 3.3 锐角（Acute Angle） 锐角是指小于90度的角。锐角的度数小于90度，弧度小于π/2。 3.4 钝角（Obtuse Angle） 钝角是指大于90度、小于180度的角。钝角的度数大于90度，弧度大于 π/2。 3.5 正角（Oblique Angle） 正角是指大于0度、小于180度的角，不包括直角。正角的度数大于0度，小于180度，弧度大于0，小于π。 4. 角的应用 角的概念在各个领域都有重要的应用，下面我们将介绍几个常见的应用： 4.1 几何学 在几何学中，角的概念经常被用于计算和描述图形的属性。例如，在三角形中，角的大小和性质决定了三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）以及边长比例关系。角的概念还被广泛应用于圆的测量和刻画。 4.2 物理学 在物理学中，角的概念被广泛运用于描述物体的运动和力学性质。例如，角速度和角加速度是衡量旋转运动的重要物理量，角度在电路中也是电流和电压之间的重要参数。 4.3 工程学 角的概念在工程学中也具有重要意义。例如，在建筑工程中，工程师需要通过计算角度来确定墙壁的垂直度和水平度。在电子工程中，角的概念被应用于天线的定向和辐射角度的测量。 5. 结论 角的概念是几何学中的基础概念，也是各个学科中的重要组成部分。通过推广角的概念，我们可以深入了解和应用角的相关知识。掌握角的定义、分类以及应用，将对我们的学习和工作带来重要帮助。同时，发展和应用角的概念，也有助于推动几何学和相关学科的进一步发展和创新。 角的概念的推广 引言： 在数学中，角是一个基本的概念，它的定义和应用在几何学、三角函数等领域中都至关重要。随着科学技术的不断发展，角的概念得到了广泛的应用和推广。本文将介绍角的概念及其在不同领域中的应用。角的定义： 角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线共同的一点称为角的顶点。角可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角等类型，其中锐角小于直角，钝角大于直角而小于平角，平角的度数为180度，周角的度数为360度。 角的分类： 根据角的度数和性质，我们可以将角分为以下几类： 1、锐角：小于90度的角称为锐角。 2、直角：等于90度的角称为直角。 3、钝角：大于90度但小于180度的角称为钝角。 4、平角：等于180度的角称为平角。 5、周角：等于360度的角称为周角。 除了以上几种常见的角，还有不等角和不等边角等更为复杂的角类型。角的应用： 角的概念在各个领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍几个具体的应用场景： 1、几何学：在几何学中，角是研究平面和立体图形的基本工具。通 过对角的定义和性质的研究，我们可以推导出许多重要的几何定理，例如三角形内角和定理、勾股定理等。 2、三角函数：在三角函数中，角的定义和性质是基础。通过对角的 研究，我们可以推导出正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，进而在解三角形、进行振动分析等方面得到应用。 3、物理学：在物理学中，角的概念也是基本且重要的。例如在运动 学中，速度、加速度等物理量都可以通过角的变换来表达。此外，在电磁学中，交流电的相位、电磁波的偏振等也都涉及到角的概念。4、工程学：在工程学中，角的概念被广泛应用于机械、建筑、航空 等领域。例如在机械设计中，通过角的调整可以实现机构的精确控制；在建筑设计中，通过角度的调整可以创造出不同的建筑风格和空间效果。 5、计算机科学：在计算机科学中，角的计算和处理也是非常常见的。例如在计算机图形学中，通过角的计算可以实现图形的旋转、缩放等 三角函数知识点总结 一任意角的概念与弧度制 (一)角的概念的推广 1、角概念的推广： 在平而内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平而直角坐标系X轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义： (1)正角，负角，零角：见上文。 (2)象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等 (3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角 终边在X轴上的角的集合：{β∖β= k×∖SO∖kEz} 终边在y轴上的角的集合：= Z^×180o+90βΛ∈z} 终边在坐标轴上的角的集合：∖p∖β= k×^∖k≡z} (4)终边相同的角：与Q终边相同的角x = a + 2kπ (5)与α终边反向的角：x = a + (2k + ∖)π 终边在直线产AT上的角的集合：pl0 = "18O°+45°,R∈z} 终边在直线y = -尤上的角的集合：{0I0 = Z8O°-45°,"Z} (6)若角α与角0的终边在一条直线上，则角α与角0的关系：α = 18O°R + 0 (7)成特殊关系的两角 若角α与角0的终边关于X轴对称，则角α与角0的关系：α = 36O°-0 若角α与角0的终边关于F轴对称，则角α与角0的关系：α = 36O°R + 18O°-0 若角α与角0的终边互相垂直，则角α与角0的关系：α = 36O^ + 0±9(Γ 注：(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一泄相等,相等的角终边一楚相同. 3、本节主要题型： 1•表示终边位于指定区间的角. 例1:写出在-720°到720°之间与一1050°的终边相同的角. 例2:若&是第二彖限的角，则2α,-是第几象限的角？写出它们的一般表达形式. 2 例3:①写出终边在〉，轴上的集合. 课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。 3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1．回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是0°≤α≤360°，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。 2．生活中很多实例会不在范围0°≤α≤360°内。 如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。 二、讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” ⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角． ⑶意义 角的概念推广 4.1角的概念推广（第二课时）教学目的： 1.巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 2.掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 3.体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示； 教学过程： 一、复习引入： 角的概念的推广：“旋转”形成角，“正角”与“负角”“0 角”；“象限角”；终边相同的角. 二、讲解新课： 例1. （1）若角a的终边经过点.试求角a ； （2）若角B的终边所在直线经过点•试求角B . 分析：（1） a为与.求得a等于 （2） B为与.求得B等于 例2.已知a是第二象限的角，判断所在的象限. 分析：由• 法（1）按k=3n,k=3n+1,k=3n+2 （以上n均为整数）讨论. 法（2）把 答案：是第一、二、四象限的角. 探索：若a分别在第一、二、三、四象限，分别在第几象限？ 例3.时钟1小时，时针，分针分别转多少度？把时钟拔慢5分钟, 时针，分针分别转多少度？ 三、课堂练习： 1.若a是第四象限角，贝卩180°—a是（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.若a与B的终边互为反向延长线，则有() A. a=B + 180° B. a=B —180° C. a=—p D. a=B +( 2k + 1) 180°,k€Z 3.终边在第一或第三象限角的集合是. 4.角a = 45°+k ? 90°的终边在第象限. 四、作业：《精析精练》P4智能达标训练角的概念的推广高一知识点
角的概念的推广(教学设计)
角的概念的推广
角的概念的推广
三角函数知识点整理
数学人教B版必修4教学教案-1.1.1-角的概念的推广-第一课时-含答案
角的概念推广