函数与u(t)卷积
函数与u(t)卷积
在信号处理和控制系统领域中，函数与u(t)的卷积是一种基本操作。本文将介绍此操作的定义、性质和应用。
定义和基本性质
函数与u(t)卷积的数学定义是：
f(t) * u(t) = ∫_0^t f(τ) dτ
在此式中，f(t)是连续时域函数，u(t)是单位阶跃函数（也称为Heaviside函数），*表示卷积运算符，t是时间变量，τ是积分变量。
函数与u(t)卷积的基本性质如下：
1. 交换律：f(t) * u(t) = u(t) * f(t)
2. 结合律：[f(t) * g(t)] * u(t) = f(t) * [g(t) * u(t)]
3. 分配律：f(t) * [g(t) + h(t)] = f(t) * g(t) + f(t) * h(t)
利用这些性质，可以方便地推导和计算函数与u(t)的卷积。
应用
函数与u(t)卷积在信号处理和控制系统中有许多应用，例如：
1. 抽样和保持电路：这是一种常见的模拟到数字转换技术，其基本原理是将模拟信号采样并保持在一个电容器
中，然后将保持电容器中的电荷转换为数字信号。在这种电路中，保持电容器的电荷与一个单位阶跃函数进行卷积，以生成采样后的数字信号。
2. 数字滤波器：此技术用于从数字信号中提取所需的信息，并去除不必要的噪声。数字滤波器通常基于差分方程，其系数可以通过函数与u(t)的卷积计算得到。
3. 线性系统的响应：线性系统是一类特殊的控制系统，其输入信号和输出信号之间存在线性关系。系统的响应是输出信号与单位阶跃函数卷积的结果，因此可以通过计算函数与u(t)卷积来预测和设计线性系统的性能。
4. 信号的时域和频域分析：函数与u(t)卷积是计算信号时域性质的重要工具，可以用于计算信号的均值、方差和谱密度等。此外，通过傅里叶变换，也可以将函数与u(t)卷积转换到频域进行分析。
总结
函数与u(t)的卷积是信号处理和控制系统中的一种基本操作，其定义和基本性质可以方便地推导和计算。此操作的应用包括抽样和保持电路、数字滤波器、线性系统的响应和信号的时域和频域分析等。理解和掌握函数与u(t)卷积的知识对于相关领域的学习和实践至关重要。
第二章 连续信号的时域分析
第二章连续信号的时域分析 所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示。 本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算。此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法。 2.1 基本要求 1．基本要求 ?了解基本的连续信号及其相关参数和描述； ?了解信号的基本运算； ?掌握阶跃信号和冲激信号的定义、性质及作用； ?掌握卷积积分的定义、性质及计算。 2．重点和难点 ?冲激信号的定义及性质 ?含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算 ?卷积积分的计算 2.2 知识要点 1．基本的连续信号 了解正弦信号、实指数信号、复简谐信号、门信号及抽样函数信号的函数表达式、时间波形及其相关参数。 2．信号的基本运算 从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算。一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合。本章主要了解信号的加减乘除运算、翻转平移和尺度
变换、微积分等几种基本的运算。 所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行，也可以在时间波形图上进行运算。注意与数学上相关运算的区别。这里强调，作为信号基本运算之一的积分运算，运算结果得到的是一个新的以t 为自变量的函数，具体表示符号和定义为 ? ∞ --=t f t f ττd )()() 1( （2-1） 3．阶跃信号和冲激信号 阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号，这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用。阶跃信号和冲激信号的时间波形如图2-1所示。 在信号与系统的分析过程中，经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为一个解析表达式，以简化信号的运算。利用阶跃函数还可以方便地表示因果、非因果信号等。 由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数，因此在进行求导和求积分等运算时，必须根据其定义和性质对函数表达式进行分析，以便化为普通函数的运算。 本节公式较多，这里再将几个常用的公式和结论总结如下： （1）单位斜变信号的导数等于单位阶跃信号，单位阶跃信号的导数等于单位冲激信号，即 [()](),()()tu t u t u t t δ''== （2-1） （2）单位冲激信号的积分等于单位阶跃信号，单位阶跃信号的积分等于单位斜变信号，即 (1)(1)()()d (),()()d ()t t t u t u t u tu t δδττττ---∞ -∞ ====?? （2-2） 此外，有 ???-=<>=-?∞ )(0d )(00 -0t t Au t t t t A t A t ττδ （2-3） （3）对冲激信号取定积分，结果等于冲激的强度，即 A t t A =? +∞ ∞ -d )(δ （2-4） （4）冲激信号的性质： )(| |1 )(t a at δδ= （尺度变换性质） （2-5） ()()t t δδ-= （奇偶性质） （2-6） )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ （筛选性质） （2-7） A δ(t -t 0) t 0t 0 A 0 图2-1
《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案
第二章部分习题参考答案 2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。 121212(-)0 1(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)1 1 (1) 0 (2) ()t t t t t t t f t u t f t e u t f t f t f f t d u e u t d e e d e e e t f t ααταατααταατττ ττττ α α δ-+∞-∞ +∞ ---∞ --==>*===?= ?= -≥=? ??，解：，2121212() ()cos(45) ()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()() t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττ ω+∞ -∞=+*=-+=+=+--=---*?，解：，解： τ τ
2 222212 11 211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2) 2211 -(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3) 22 ()*()()1,()0 123, (1-)(1)21(1)--(12t t f t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ =+++=<=<<+=+-=++?22 2 -11 22 22212111 )-2221 23, (1-)(1)-2 21 ()2(1)-2(1-)(-1)2 111 21---15 222 3, ()*()0. t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=? 121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)] f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττ δδωττωω+∞∞ +∞∞ ==+==+?=+? ? -212-212--2-220 (5) ()(), ()sin () ()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t t t t t f t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d e e d τττττ ττττ +∞ ∞==?==???=?=????
函数与u(t)卷积
函数与u(t)卷积 在信号处理和控制系统领域中，函数与u(t)的卷积是一种基本操作。本文将介绍此操作的定义、性质和应用。 定义和基本性质 函数与u(t)卷积的数学定义是： f(t) * u(t) = ∫_0^t f(τ) dτ 在此式中，f(t)是连续时域函数，u(t)是单位阶跃函数（也称为Heaviside函数），*表示卷积运算符，t是时间变量，τ是积分变量。 函数与u(t)卷积的基本性质如下： 1. 交换律：f(t) * u(t) = u(t) * f(t) 2. 结合律：[f(t) * g(t)] * u(t) = f(t) * [g(t) * u(t)] 3. 分配律：f(t) * [g(t) + h(t)] = f(t) * g(t) + f(t) * h(t) 利用这些性质，可以方便地推导和计算函数与u(t)的卷积。 应用 函数与u(t)卷积在信号处理和控制系统中有许多应用，例如： 1. 抽样和保持电路：这是一种常见的模拟到数字转换技术，其基本原理是将模拟信号采样并保持在一个电容器
中，然后将保持电容器中的电荷转换为数字信号。在这种电路中，保持电容器的电荷与一个单位阶跃函数进行卷积，以生成采样后的数字信号。 2. 数字滤波器：此技术用于从数字信号中提取所需的信息，并去除不必要的噪声。数字滤波器通常基于差分方程，其系数可以通过函数与u(t)的卷积计算得到。 3. 线性系统的响应：线性系统是一类特殊的控制系统，其输入信号和输出信号之间存在线性关系。系统的响应是输出信号与单位阶跃函数卷积的结果，因此可以通过计算函数与u(t)卷积来预测和设计线性系统的性能。 4. 信号的时域和频域分析：函数与u(t)卷积是计算信号时域性质的重要工具，可以用于计算信号的均值、方差和谱密度等。此外，通过傅里叶变换，也可以将函数与u(t)卷积转换到频域进行分析。 总结 函数与u(t)的卷积是信号处理和控制系统中的一种基本操作，其定义和基本性质可以方便地推导和计算。此操作的应用包括抽样和保持电路、数字滤波器、线性系统的响应和信号的时域和频域分析等。理解和掌握函数与u(t)卷积的知识对于相关领域的学习和实践至关重要。
信号与系统实验2：信号与卷积
（规格为A4纸或A3纸折叠）
(3) 画出教材P131例3-45中{}{}[]1,2,3,4;0,1,2,3,[]1,1,1,1,1;0,1,2,3,4x k k y k k ====的图形，并利用conv 函数求出卷积[][]x k y k *，并画出图形 。 四、实验报告要求 1、简述实验目的和实验原理。 2、编程实现实验内容要求附上源代码及运行结果图示。 3、总结实验中的主要结论、收获和体会。 五、实验结果 1. 系统的冲激响应、阶跃响应、脉冲响应： （1）2()()32()2()zs zs zs d y t dy t y t x t dt dt ++=的冲激响应 代码： %y （s^2+3s+2)=2x a=[1,3,2]; b=[2]; impulse(b,a); （2）2()()32()2()zs zs zs d y t dy t y t x t dt dt ++=的阶跃响应 代码： %y （s^2+3s+2)=2x a=[1,3,2]; b=[2]; step(b,a);
3.[] 2.3452[1] 2.75[2] 1.889{3]0.6488[4]0.6488[]y k y k y k y k y k x k +-+-+-+-= 的单位脉冲响应 代码： clc clear close all b = [0.6488]; a = [1,2.3452,2.75,1.889,0.6488]; impz(b,a); ylim([-1.2,1.2]); 2. 连续时间信号卷积 (1)画出()(0.5)(0.5)x t u t u t =+--和()2[()(1)]h t u t u t =--的图形， 并利用Matlab 的函数conv 函数计算卷积积分()()x t h t *，并画出图形。 代码： p=0.1; t=0:p:10;
εt与εt的卷积过程
εt与εt的卷积过程 在信号处理中，卷积是一种重要的数学操作，常用于信号的滤波、平滑和特征提取等方面。本文将介绍εt与εt的卷积过程，探讨其定义、计算方法以及应用领域。 1. 定义 εt代表一个时间序列的误差项，通常用于描述随机性较强的信号。卷积是一种数 学运算，用于描述两个函数之间的关系。εt与εt的卷积表示将一个函数εt与 自身进行卷积运算。 卷积运算可以看作是两个函数之间的加权平均，其中一个函数作为输入信号，另一个函数作为卷积核或滤波器。卷积运算的结果是一个新的函数，描述了输入信号在滤波器作用下的变化。 2. 计算方法 εt与εt的卷积可以通过数学计算来实现。假设εt的表达式为f(t)，则卷积运算可以表示为： g(t) = f(t) * f(t) 其中，*表示卷积运算符号。 卷积运算的计算方法如下： g(t) = ∫f(τ) * f(t-τ) dτ 其中，τ是积分变量，表示滤波器作用的时间延迟。 3. 卷积过程示例 为了更好地理解εt与εt的卷积过程，我们以一个简单的示例进行说明。 假设εt的表达式为f(t) = t，我们需要计算εt与εt的卷积。 首先，我们将f(t)与f(t-τ)相乘，得到f(τ) * f(t-τ) = t * (t-τ)。 然后，对乘积函数进行积分，得到卷积结果g(t)。 具体计算过程如下： g(t) = ∫(t * (t-τ)) dτ = ∫(t^2 - tτ) dτ = (t^2τ - (tτ^2)/2) + C
其中，C是常数。 通过计算，我们得到了εt与εt的卷积结果g(t) = (t^2τ - (tτ^2)/2) + C。 4. 应用领域 εt与εt的卷积在信号处理领域有着广泛的应用。 首先，卷积可以用于信号滤波。通过选择合适的滤波器，可以去除信号中的噪声和干扰，提取出感兴趣的信号成分。 其次，卷积可以用于信号平滑。通过选择适当的滤波器，可以平滑信号的波动，减少噪声对信号分析的影响。 此外，卷积还可以用于特征提取。通过选择适当的滤波器，可以突出信号中的某些特征，帮助我们理解和分析信号。 在实际应用中，我们可以使用各种数学工具和编程语言来进行卷积运算，如MATLAB、Python等。这些工具提供了丰富的函数和库，可以方便地进行卷积运算。 5. 总结 本文介绍了εt与εt的卷积过程，包括定义、计算方法和应用领域。卷积是一种重要的数学运算，常用于信号处理中的滤波、平滑和特征提取等方面。通过选择合适的滤波器，可以对信号进行处理，提取出感兴趣的信息。卷积运算可以使用各种数学工具和编程语言来实现，方便快捷。希望本文对读者理解和应用εt与εt的卷积过程有所帮助。
卷积的快速算法
《数字信号处理》 课程设计报告 专业：通信工程 班级：通信08-2BF 组次：第10组 姓名： 学号：14082300925
一、 设计目的 卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。 二、设计任务 探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。 三、设计原理 1，什么是卷积？ 卷积是数字信号处理中经常用到的运算。其基本的表达式为： ()()()∑=-= n m m n x m h n y 0 换而言之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)= ∫f1(τ)∞ −∞f2(t −τ)d τ 做一变量代换不难得出： f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t −τ)d τ=f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t) 在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。 2，什么是阶梯函数 所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t)和u(t -1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1 其中 f(t)=2u(t)+u(t -1)-2u （t -2）-u(t -3), h(t)=2u(t)-u(t -1)+2u(t -2)-3u(t -3). 以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。 根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与 h(t)的积分的卷积，即： f(t)*h(t)= df(t)dt *∫h (τ)dτ.t −∞ 由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数δ(t )及其延时的线性组合，如图1—2（a ） 所示。
任意函数和tδ(t)函数的卷积
任意函数和tδ(t)函数的卷积 卷积是数学中非常重要的一种运算方式。它将两个函数合并，得到新的函数，描述了两个函数之间的关系。在信号与系统、物理、工程等领域中都得到广泛的应用。其中，任意函数和tδ(t)函数的卷积是一种非常特殊的情况，值得我们探究。 首先，我们需要了解一些基本知识。卷积的数学定义是： $(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ 其中，f(t)和g(t)是待卷积的函数，t是卷积结果的自变量。这个式子可以解释为，在时刻t处，f(t)和g(t)的重叠部分所占面积的大小。重叠部分越大，则卷积结果越大。 现在，我们考虑任意函数f(t)和tδ(t)函数的卷积。首先， tδ(t)的定义是： $t\delta(t)=\begin{cases}0, & t<0 \\ t, & t\geq 0\end{cases}$ 根据卷积的定义，我们有： $(f*t\delta)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)t\delta(t-\tau)d\tau$ 接下来，我们分别讨论t为正数和负数的情况。 当t为正数时，上述积分可以转换为： $(f*t\delta)(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)t d\tau$ 因为tδ(t)函数在t=0处的值是0，所以我们可以从负无穷积分到t。此时，卷积的结果就是f(t)乘以t的积分。这里有一个非常重要的性质，即t的积分可以看成是对f(t)进行加权。当f(t)很大的时候，加权就越重，卷积结果也越大。而当f(t)较小时，加权就较轻，卷积结果也较小。 当t为负数时，由于tδ(t)函数在t=0处不连续，所以我们需要将卷积式子拆开来处理： $(f*t\delta)(t)=\int_{-\infty}^{0}f(\tau)t
单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积推导
单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积推导 概述 1. 卷积是信号处理中非常重要的一种数学运算，用于描述两个信号之间的相互影响关系。而单位阶跃函数是一种特殊的信号，其在信号处理中具有重要的作用。本文将对单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积进行推导和分析，以便读者更好地理解这一概念。 单位阶跃函数的定义 2. 单位阶跃函数通常用u(t)表示，其定义如下： \[ u(t) = \begin{cases} 0, t<0 \\ 1, t\geq0 \end{cases} \] 这意味着在t=0时，单位阶跃函数跃升为1，在t<0时为0。单位阶跃函数在信号处理中常常用于描述系统的开关情况，以及描述某些事件从无到有的瞬间过渡。 卷积的定义 3. 两个信号f(t)和g(t)的卷积表示为： \[ (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau \] 其中*表示卷积运算，f(t)和g(t)为两个信号，τ为积分变量。卷积的物理意义是在时刻t时，信号f(t)与平移后的信号g(t-τ)的乘积在整个时间轴上的积分。 单位阶跃函数的卷积推导
4. 接下来我们将推导单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积。设 f(t)=u(t)，g(t)=u(t)，根据卷积的定义，单位阶跃函数的卷积为： \[ (u*u)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)u(t-\tau)d\tau \] 5. 根据单位阶跃函数的定义，可以得知u(τ)在τ<0时为0，在τ≥0时为1，而u(t-τ)在t<τ时为0，在t≥τ时为1。因此在积分区间内，当τ<0或者t-τ<0时，u(τ)u(t-τ)为0；当0≤τ≤t时，u(τ)u(t-τ)为1。因此上述积分可以被简化为： \[ (u*u)(t) = \int_{0}^{t} u(\tau)d\tau = \int_{0}^{t} 1d\tau \] 6. 对上述积分进行求解，得到： \[ (u*u)(t) = \left. \tau \right|_0^t = t \] 7. 单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积结果为： \[ (u*u)(t) = t \] 这表明两个单位阶跃函数的卷积是一个斜坡信号，其斜率为1。这一结果在信号处理领域有着重要的物理意义，也是卷积运算的一个典型案例。 总结 8. 本文通过推导和分析，介绍了单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积运算。单位阶跃函数作为一种特殊的信号，在信号处理中具有重要的作用，其与其他信号的卷积结果能够帮助我们更好地理解信号在系统
阶跃函数与冲激函数的关系
阶跃函数与冲激函数的关系 首先，我们来了解阶跃函数的定义。阶跃函数又被称为单位跃跃函数 或Heaviside阶跃函数，通常用符号u(t)表示。它的定义如下：\[ u(t)=\begin{cases}0, \quad t<0 \\1, \quad t\geq0\end{cases} \] 阶跃函数在t=0处从0跳跃到1，表示的是在该点之前信号为0，在 该点及之后信号为1、阶跃函数是一个非常简单的信号，但它可以用来描 述很多实际问题，如电路开关的打开时间、物体的运动状态等。 接下来我们来看看冲激函数的定义。冲激函数又称为单位冲激函数或Dirac冲激函数，通常用δ(t)表示。它的定义如下： \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1 \] 冲激函数的一个特点是在t=0时刻处取正无穷，而在其他时刻都是0，形状上类似于一个非常窄的脉冲。冲激函数在数学上是很难准确定义的， 但我们可以通过一些近似方法来描述它，如高斯分布等。 阶跃函数和冲激函数之间有着一定的关系。首先，我们可以把阶跃函 数表示为冲激函数的积分形式： \[ u(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)d\tau \] 这个式子表示了在t之前的所有时刻上的冲激函数的叠加，从而得到 阶跃函数。这个等式在数学上可以通过积分的性质予以证明。 另外，冲激函数也可以表示为阶跃函数的导数形式： \[ \delta(t)=\frac{d}{dt}u(t) \]
这个式子表示了冲激函数是阶跃函数的导数。这个等式在微积分中可 以通过导数的性质予以证明。 阶跃函数和冲激函数的关系在实际应用中有着重要的意义。首先，冲 激函数常常被用来描述理想的触发脉冲，以及用于控制系统中的激励信号。阶跃函数则常常被用来描述系统的响应，如单位阶跃响应函数。在信号与 系统的分析中，通过对冲激信号的积分可以得到系统对任意输入信号的响应。这一过程被称为卷积运算，是信号处理中的一种重要操作。 此外，阶跃函数和冲激函数也常常被用来描述信号的频谱特性。通过 傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，观察信号在不同频率上 的分布情况。阶跃函数的傅里叶变换可以得到一个频谱包络，而冲激函数 的傅里叶变换可以得到一个频率上的突发能量，对应于一个频率上的冲击 响应。
和阶跃函数相乘的积分
和阶跃函数相乘的积分 （原创版） 目录 1.阶跃函数的定义与性质 2.阶跃函数与积分的运算规则 3.含有阶跃函数的积分实例 4.结论 正文 一、阶跃函数的定义与性质 阶跃函数是一种特殊的数学函数，通常表示为 u(t)。它在实数域上的定义是： u(t) = { 1, 当 t > 0; 0, 当 t ≤ 0。} 阶跃函数具有以下性质： 1.单调性：在（-∞，+∞）上为增函数。 2.奇偶性：u(t) 为奇函数，即满足 u(-t)=-u(t)。 3.周期性：u(t+1) = u(t)。 二、阶跃函数与积分的运算规则 当阶跃函数与一个可积函数 f(t) 相乘时，其积分规则可以表示为：∫[f(t)u(t)]dt = [F(t)u(t)]|(-∞,+∞) - ∫ [-F(t-1)u(t-1)]dt|(-∞,+∞) 其中，F(t) 表示 f(t) 的原函数。 三、含有阶跃函数的积分实例
假设有一个可积函数 f(t)，其定义为： f(t) = { 0, 当 t ≤ 0; t, 当 t > 0。} 现在我们计算∫[f(t)u(t)]dt。 根据上面的积分规则，我们可以得到： ∫[f(t)u(t)]dt = [F(t)u(t)]|(-∞,+∞) - ∫ [-F(t-1)u(t-1)]dt|(-∞,+∞) 因为 f(t) 在 t=0 处不连续，所以我们需要分别计算 t≤0 和 t>0 的情况。 当 t≤0 时，f(t) = 0，所以∫[f(t)u(t)]dt = 0。 当 t>0 时，f(t) = t，所以： ∫[f(t)u(t)]dt = [F(t)u(t)]|(-∞,+∞) - ∫ [-F(t-1)u(t-1)]dt|(-∞,+∞) = [t*u(t)]|(-∞,+∞) - ∫ [-(t-1)*u(t-1)]dt|(-∞,+∞) = t*u(t) - (t-1)*u(t-1) 因此，∫[f(t)u(t)]dt = t*u(t) - (t-1)*u(t-1)。 四、结论 通过以上实例，我们可以看到阶跃函数在积分过程中的特性。
MATLAB信号卷积
利用MATLAB实现信号的时域卷积 一．引言 具有强大的图形处理功能及符号运算功能，为实现信号的可视化以及时域分析提供了强有力的工具，所以我们要利用编程辅助分析与计算。现在我们利用编程辅助计算连续时间信号、离散时间信号的卷积。 我们利用编制一个M函数，该函数可以计算离散序列 和的卷积，此程序要计算，返回的非零点对应向量,还将绘制出序列，和的时域波形图；我们要验证并调用这个函数计算“”这两个序列的卷积和运算, 并绘制图像。 现在我们再利用MATLAB编制一个计算连续时间信号卷积积分的M函数，此函数要计算出两个连续信号和的卷积积分的近似值，并绘制、和的时域波形图。编完之后，我们利用函数求 “”这两个连续时间信号的卷积积分运算，并绘制图形。 二．基本原理 对于信号的时域卷积有： （1)离散时间信号的卷积和：它的定义为，离散时间信号和的卷积和为： 设序列在区间非零，序列在非零，那么就有 的非零区间就为并且区间长度为 ，则只需计算序列的非零区间就可以表示整个序
列。 那么由上可知,在利用的函数的时候就要注意其卷积后的区间长度已经发生变化,在绘制卷积后的图像的时候就要有意识的先减去扩大的区间长度，不然绘制的卷积后的时域图像就是错误的,和横坐标不是正确的对应关系,并且我们在使用函数的时候要先构造和，让它们有限，才能返回序列的非零样值时间序列。 对于连续的时间信号和的卷积积分其定义为： 那么可以用分段求和来实现,即： 令则有 当足够小的时候，的结果就是连续时间信号的较好的近似值。所以当用MATLAB 实现和的卷积积分的时候要先对和以的间隔进行采样，得到它们的离散序列和，构造它们相应的时间向量；调用系统的函数计算卷积，计算的近似值；最后构造的时间向量，并用命令将波形图画出来。 三．实现方法 （1）先编制一个M函数d conv（），能是实现两个序列的卷积和，并绘制这两个序列的时域波形图和卷积之后的波形图。编程思路如框图1： 从外部获取两个序列 做这两个序列的时间向量 利用stem命令将这两个序列的图画出来
《信号与系统》实验报告
信号与系统实验报告 班级： 姓名： 信息与通信工程学院
实验一 系统的卷积响应 实验性质：提高性 实验级别：必做 开课单位：信息与通信工程学院 学 时：2 一、实验目的：深刻理解卷积运算，利用离散卷积实现连续卷积运算;深刻理解信号与系统的关系，学习MATLAB 语言实现信号通过系统的仿真方法。 二、实验设备： 计算机，MATLAB 软件 三、实验原理： 1、 离散卷积和： 调用函数:conv （） ∑∞ -∞ =-= =i i k f i f f f conv S )()(1)2,1(为离散卷积和， 其中，f1(k), f2 (k ） 为离散序列，K=…—2， -1， 0 ， 1, 2, ….但是，conv 函数只给出纵轴的序列值的大小，而不能给出卷积的X 轴序号.为得到该值,进行以下分析： 对任意输入：设)(1k f 非零区间n1～n2，长度L1=n2—n1+1；)(2k f 非零区间m1～m2，长度L2=m2-m1+1。则:)(*)()(21k f k f k s =非零区间从n1+m1开始，长度为L=L1+L2-1，所以S （K ）的非零区间为：n1+m1～ n1+m1+L-1。 2、 连续卷积和离散卷积的关系： 计算机本身不能直接处理连续信号，只能由离散信号进行近似： 设一系统(LTI ）输入为)(t P ∆，输出为)(t h ∆，如图所示. )t )()(t h t P ∆∆→
)()(lim )(lim )(0 t h t h t P t =→=∆→∆∆→∆δ 若输入为f(t ）： ∆∆-∆= ≈∑∞ -∞ =∆ ∆)()()()(k t P k f t f t f k 得输出： ∆∆-∆= ∑∞ -∞ =∆ ∆)()()(k t h k f t y k 当0→∆时：⎰∑∞ ∞-∞ -∞ =∆ →∆∆→∆-=∆∆-∆==ττδτd t f k t P k f t f t f k )()()()(lim )(lim )(0 ⎰∑∞ ∞ -∞ -∞ =∆→∆∆→∆-= ∆∆-∆==τττd t h f k t h k f t y t y k )()()()(lim )(lim )(0 所以: ∆ ∆-∆=-==∑⎰→∆)()(lim )()()(*)()(21 2121k t f k f d t f f t f t f t s τ ττ 如果只求离散点上的f 值)(n f ∆ ] )[()()()()(2121 ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=∆-∆∆=∆ ∆-∆∆= ∆k k k n f k f k n f k f n f 所以,可以用离散卷积和CONV(）求连续卷积，只需∆足够小以及在卷积和的基础上乘以∆. 3、 连续卷积坐标的确定： 设)(1t f 非零值坐标范围:t1~t2,间隔P )(2t f 非零值坐标范围：tt1～tt2，间隔P )(*)()(21t f t f t s =非零值坐标：t1+tt1～t2+tt2+1 根据给定的两个连续时间信号x(t ） = t[u （t)-u （t —1）]和h （t ） = u （t ）—u （t-1)，编写程序，完成这两个信号的卷积运算，并绘制它们的波形图。范例程序如下：
2020-2021某大学《信号与系统》期末课程考试试卷合集(含答案)
2020-2021《信号与系统》期末课程考试试卷 适用专业： 考试日期： 考试所需时间： 满分：100分 一、应用冲激信号的抽样特性，求下列表示式的函数值。（15分） dt t t e dt t t t f t )2()()5)()()10++∞ -∞ -∞ -∞ -⎰ ⎰δδ dt t t t dt t t t f )6()sin ()6)()()20πδδ-+∞-∞-∞-∞⎰⎰ dt t t t e dt t t u t t t j )]()([)7)2 ()()300 0--∞ -∞- -∞ -∞-⎰ ⎰δδδω dt t t u t t )2()()400--∞ -∞⎰δ 二、绘出下列各时间函数的波形图。（10分） 1) t[u(t)-u(t-1)] 4) (t-1)u(t-1) 2) t ·u(t-1) 5) -(t-1)[u(t-1)] 3)t[u(t)-u(t-1)]+u(t-1) 三、判断下列系统是否为线性的，时不变的，因果的？（15分） )()()()2) ()()1t u t e t r dt t de t r •== )1()()4) ()](sin[)()3t e t r t u t e t r -== )()()6) 2()()52t e t r t e t r == ττττd e t t r d e t t r )(5)()8)()()7⎰ ⎰ ∞ -=∞ -= 四、求下列两组卷积（10分） )()()(),1()()()1t f t f t s t u t u t f *=--=求 )()()(), 2()1()()2t f t f t s t u t u t f *=---=求 五、求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。（10分） )2()()1-=-t u e t f t )()()2)2(t u e t f t --= )2()()3)2(-=--t u e t f t )1()2sin()()4-=t u t t f )]2()1()[1()()5----=t u t u t t f 六、求下列函数的拉普拉斯逆变换。（15分） ) 5(1) 4) 32(4) 33 24)21 1 )12 ++++S S S S S S 2 31 ) 811 1 ) 7) 2)(4(3) 6) 2)(4(3 ) 522+-++++++S S S S S S S S 七、利用时域与频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数。（10分） )()()()2) ()()1000w w u w w u w F w w w F --+=-=δ ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤=) (0)|(|)()300 其他w w w w F π 八、给定系统微分方程 )(3)()(2)(3)(22t e t e dt d t r t r dt d t r dt d +=++ 若激励信号和起始状态为以下两种 情况：2_)0(,1_)0(),()()22_)0(,1_)0(),()()13='==='==-r r t u e t e r r t u t e t 试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应， 强迫响应各分量。（15分）