四川大学锦江学院微积分复习题
四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷
∞
⇒ g ′( x ) = ∑ x n =
n=1
⇒ g ( x ) = x 2 S ′( x ) = − x − ln(1 − x ) ⇒ S ′( x ) = − x − ln(1 − x ) ,x ≠0 x2
− x − ln(1 − x ) ,x ≠0 x2
⇒ S ′( x ) =
2.
∑
2n − 1 2( n −1) ; x 2n n =1
D
2
和直线 x + y = 2 所围成。
解: 曲线交点 (4, −2), (1,1) ⇒
∫
1 −2
dy ∫
2− y y2
( x + y )dx = ∫ (2 −
−2
1
y2 )dy = 3 2
五、1.求曲线 y = 2 x + 3, y = x 围成的面积.
2
解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[−1, 3]. 所求的面积为
∞
∞
⇒ ∫ S ( t )dt =
0
x 2 + x2 ⇒ S ( x ) = ,( − 2 < x < 2) 2 − x2 (2 − x 2 )2
九.
S=xy+2xz+2yz(x>0, y>0, z>0).在 xyz=k 下的最大值. 法 1 作函数 F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+λ(xyz−k). Fx = y + 2 z + λ yz = 0 Fy = x + 2 z + λ xz = 0 解方程组 , = 2 + 2 + = 0 F x y xy λ z xyz = k
微积分二期末复习题归纳
12
2. 已知生产某种产品必须投入两种要素，投入量分别为 x1和x2 ，生产函数为 Q = 2x13 x23 ，
其中 Q 为产出量。假设两种要素的价格分别为 4 和 1。试问当产出量 Q=12 时，两要素各投入多少可以使 总费用最小。（04）
12
解：总费用函数为 L
=
4 x1
+
x2
+
λ
(2
x13
x
3 2
，
∂2z ∂x∂y
=
f1′ex
+
y(ex )2
f1′1′ + (2x −
y)ex
f1′2′
−
2
xf
′′
22
4．设 w = f (x + y + z, x y z) , f 具有二阶连续导数，求 ∂w , ∂2 w .（05）续 F 偏导数, ∂x ∂x∂z
解：
∂w = ∂x
f1′⋅1 +
f2′⋅ y z
为偶函数（
Q
(1
+
e−x e−x
)
2
=
e−x (1 + e−x
⋅ e2x )2 ⋅e2x
= ex (1 + e x )2
）
∫∴
π 4 −π
4
sin
x
⋅
ex (1 + e x
)2
dx = 0 ，故原式=
2 2
∫2
2．
x
dx （03）（根式代换： u = x − 1 ）
1 x −1
1
∫ 3. 已知 y′(x) = arctan(x −1)2 , y(0) = 0,求 y(x)dx. （03）（先自己做吧~） 0
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
因为 d = 9 5 3 ，从而最短距离为 9 − 5 3 ，最长距离为 9 + 5 3 .
x x
2. 设函数 ϕ ( x ) 连续， 且满足 ϕ ( x ) = e + tϕ ( t )dt − x
x 0
∫
∫
0
ϕ ( t )dt ， 求 ϕ ( x ) .
解： 等式两边对 x 求导得 再求导得微分方程 微分方程的特征方程为
2 2 2 2 2
Lx = 2 x − 2 xλ + µ = 0 (1) L = 2 y − 2 yλ + µ = 0 (2) y Lz = 2 z + λ + µ = 0 (3) z x2 + y 2 (4) = 1 (5) x + y + z =
（1）-（2）得： ( x − y )(1 − λ ) = 0 即 = λ 1或 = x y 若 λ = 1 ，带回（1）得 µ = 0 ，由（3）可得 z = − 故 y = x ，由（4） ，可得 z = 2 x ，代入（5）式
′ f= lim y (0, 0)
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
0 0
2
2
2
= ∫ (− y 2 + xy 3 ) dx = ∫ (−4 + 8 x)dx = (−4 x + 4 x 2 ) = 8 .
四川大学《大学数学-微积分》期末考试试卷B(末尾含答案解析)
B．双叶双曲面 D．旋转抛物面
2. 设F (x y, y z, z x) 0，则 z ( ). x
A. F1 F3 F2 F3
B. F2 F1 F2 F3
C. F1 F3 F2 F3
D. F1 F3 F2 F3
3.函数z ln(x y)在抛物线y2 4x上点（1，2）处，沿着这抛物线 在该点处偏向X轴正向的切线方向的方向导数为（ ）
A. 2 3
B. 3 3
C.1
D. 3
4.
1
dx
x
e
y
2
01
dy
（
）.
A. 1 (e1 1) 2
B. 1 (e 1) 2
C. 1 (e 1) 2
D. 1 (e1 1) 2
5.若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程 y p(x)y q(x)y 0 的两个特解,则
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年级： 装
5.级数
n1
(2
x
n
1)
n
的收敛区间是
______
.
三．计算题（每小题8分，共24分）
1.设函数 Q(x，y) 在 xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L 2xydx Q(x, y)dy 与路径无关，并且对任意 t ，恒有
(1, t)
(t , 1)
(0,0) 2xydx Q(x, y)dy (0,0) 2xydx Q(x, y)dy
1.证明，变换
u v
x 2y x 3y
可把方程
6
2 x
z
2
2z xy
2z y 2
0 简化为 2 z 0 ． uv
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四川大学期末考试试卷
四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)
x
1
x4
2
x2
d 1
x
而
1 0
x4
2x 2x2
dx 1
1 2d x 2，
0
1
x4
2x 2x2
dx 1
1
2 x3
d
x
1，
故原无穷限广义积分也收敛.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 .
n1
n n1 n
(1)n1 1 xn
n1
n
f
(2017) (0)
a2017
2017!
2 2017
2017!
2 2016!
注 前一问 6 分，后一问 2 分.
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
解 1
2x
f ( x2 y) (2xy x2 dy ) e x y (1 dy ) 1
dx
dx
解之得 dy dx
f
( x2 f (
y x
)
2
2xy e x y) x2 e
x
y
y
1
.
y) 2xy e x y f ( x2 y) x2 e x y
(2) 由(1)知， x0 为极值点，所以 f ( x0 ) 0. 将函数 f ( x) 在点 x x0 处展开，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案
= 1 2 .所以R = 2,原级
∞ n1 n=1 (−1) n 收
∞ 1 n=1 n 发散.当t
= −2即x = −1时,级数为
解
=( 2.
∞ n−1 . n=1 nx n−1 = ∞ (xn ) s(x) = ∞ n=1 nx n=1 ∞ x 1 n n=1 x ) =( 1−x ) = (1−x)2
第一节 级数的概念与性质
一、 (1) 对级数 ∞ 则( ). n=1 un , 若limn→∞ un = 0 ， ∞ A. 必收敛; B. 必发散; C.不能判断 n=1 un 的收敛性; D. Sn = u1 + u2 + · · · + un = 0
(2) 若级数
∞ 则级数 n=1 un 收敛于S， ∞ n=1 (un
2.
∞ n 2n−1 . n=1 ( 3n−1 )
解 由根值判别法limn→∞ 原级数收敛。
3. 4.
∞ n=1 n+1 n .
√ n
un =limn→∞ ( 3nn −1 )
2n−1 n
=1 9 <1
解 级数通项的极限为1， 不为零.原级数收敛。 解 当a = 1时级数的通项趋于无穷，极限不存在。级数发散。当a = 1时，由比 1 1 lnn+3 a+ n n 1 0 1 n+1 值判别法limn→∞ uu = lim ) =ae = a ( .当a < 1时，原级数发散， n →∞ 1 lnn +2 n a+ a+ 1
1.
解 级数的通项极限不存在， 级数发散.
3. √ ∞ n=1 ( n √
解 Sn = 四、 判别下列级数的敛散性.
微积分(下)期末复习试题完整版
期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔 〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔 有关。
锦城学院大学数学(3)微积分(下)复习题
4
(B)
∫
2π
0
dθ ∫ rdr
1
4
(C)
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 dr
1
2
(D)
∫
2π
0
dθ ∫ rdr
1
2
三、计算二重积分
∫∫ x
D 3x 2x
2
y dxdy ，其中 D 是由直线 y=2x ,直线 y=3 x 和直线 x=1 所围成。
1 0
3
答:原式=
∫
1 0
x dx ∫
2
y dy = ∫
3
3 2 0
3 2 0
x 4 dx
= 2⋅π ⋅ ∫
(9 − 6 x 2 )dx = 2 6 ⋅ π ∂z ∂z −y =0 ∂x ∂y
六、1.设 z = f ( x 2 y 2 ) ，其中 f 具有连续偏导数，证明： x
解 因函数由 z=f(u), u=x2y2, 复合而成，(由 6 字求导口诀) ∂z ∂u ∂z ∂u ∂z ∂z = f ′( u ) = 2 xy 2 f ′ , = 2 x2 y2 f ′ − 2 x2 y2 f ′ = 0 = f ′( u ) = 2 x 2 yf ′, ∴ x −y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
∂2z ∂2z ∂2z 2.设 z=f(x +y ), 其中 f 具有二阶导数, 求 2 , , . ∂x ∂x∂y ∂y 2
2 2
解因函数由 z=f(u), u=x2+y2,复合而成 ∂z ∂u ∂z ∂u = f ′( u ) = 2 xf ′ , = f ′( u ) = 2 yf ′ , ∂x ∂x ∂y ∂y 其中 f ′ = f ′( u)
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
四川大学微积分(下)第9章4
一、重积分的元素法
二重积分的元素法：若要计算的某个量 U 对于平面 闭区域 D 具有可加性（即当闭区域 D 分成许多小闭区 域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部 分量之和），并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭 区域 d 时，相应地部分量可近似地表示为 f .x; y/d 的 形式，其中 .x; y/ 在 d 内。这个 f .x; y/d 称为所求量 U 的元素，记为 dU ，所求量的积分表达式为 U D
三重积分的元素法：若要计算的某个量 U 对于空间 闭区域 ˝ 具有可加性（即当闭区域 ˝ 分成许多小闭区 域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部 分量之和），并且在闭区域 ˝ 内任取一个直径很小的闭 区域 d 时，相应地部分量可近似地表示为 f .x; y; z/d 的形式，其中 .x; y; z/ 在 d 内。这个 f .x; y; z/d 称为 所求量 U 的元素，记为 dU ，所求量的积分表达式为
分别为该质点系对 y 轴和 x 轴的静矩。 设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在 点 .x; y/ 处的面密度为 .x; y/，
分别为该质点系对 y 轴和 x 轴的静矩。 设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在 点 .x; y/ 处的面密度为 .x; y/，假定 .x; y/ 在 D 上连 续，
2 2
例 2 求由曲面 x C y D az 和 z D 2a （a > 0）所围立体的表面积。 p p 5 5 1 解 AD 2C 6 a2 . 6
p
x2 C y2
三、质心
三、质心
平面薄片的质心：
三、质心
平面薄片的质心： 设 xOy 平面上有 n 个质点，
三、质心
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2012—2013(下)微积分期末复习
一．填空题
1. 设z =(1,2)dz =________
2. 设函数()22ln z x xy y =++，则________,________z z x y
∂∂==∂∂. 3. 方程222326x y z ++=确定函数z ，则
_______________z y ∂=∂ 4. 函数x z y =在点()2,1沿________方向的方向导数最大
5. 设42
0(,)(,)D
f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰，改变积分的次序后为________ 00(,)a x
dx f x y dy ⎰⎰＝________
6. 若常数项级数1
n n U
∞=∑收敛，则lim n n U →∞＝ 7.L 为连接（2，0）（0，2）两点的直线段，则()L x y ds +=⎰ 8. 设曲线L 是圆周229x y +=,方向为顺时针,则曲线积分
2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-=⎰
9. 设L 为圆周222x y a +=按逆时针方向绕行,则22222235L xy y x x dx dy x y x y
--+=++⎰ 10. Ω是球面2224x y z z ++≤所围成的闭区域，则
dV Ω=⎰⎰⎰
二、单项选择题
1. 若(,)z f x y =在点(0,0)的两个偏导数存在, 则(,)z f x y =在点(0,0) （ ）。
Ａ、连续且可微 Ｂ、连续但不一定可微
Ｃ、可微但不一定连续 Ｄ、不一定可微也不一定连续
2. 曲面3=+-xy z e z 在点P (2,1,0)处的切平面方程是( )
A 042=-+y x ；
B 42=-+z y x ；
C 042=-+y x ；
D 052=-+y x . 3．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐
标是（ ）
A.(1,1,2)-
B. (1,1,2)-
C.(1,1,2)
D. (1,1,1)--
4. 设幂级数0n n
n a x ∞=∑在2x =-处收敛，则此幂级数在32
x =处( ) （A ） 发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛性不能确定
5. 函数z x y x y =----2346122
的驻点是（ ） Ａ、（1，-1） Ｂ、（-1，-1） Ｃ、（-1，1） Ｄ、（1，1）
6.
级数211)n n
∞=-∑是（ ）。
Ａ、绝对收敛 Ｂ、条件收敛 Ｃ、发散 Ｄ、收敛性不定
7. 级数()01ln n n n
∞=-∑是( ) （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ） 发散 （D ）收敛性不能确定
8. 设正项级数
1n n u ∞=∑收敛,则下列级数发散的是（ ） Ａ、11100n n u ∞=∑ Ｂ、11n n u ∞=+∑ Ｃ、()11n n u ∞=+∑ Ｄ、100
n n u ∞=∑ 9. 若级数1n n u
∞
=∑发散，则（ ）
（A ）可能lim 0n n u →∞=，也可能lim 0n n u →∞≠ （B ）一定是lim 0n n u →∞
≠ （C ）一定是 lim n n u →∞=+∞ （D ）一定是lim 0n n u →∞
= 10. 级数()3
11sin()n n na n ∞=-∑（ ）。
（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不定
三、计算题
1.设2
(,2)z f xy x y =+，f 具有二阶连续偏导数，求2,,z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂ 2.求由xyz e z =所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数y
z x z ∂∂∂∂,. 3. 求函数11(,)f x y xy x y =+
+的极值 4.
计算二重积分
D σ，其中Ｄ是由222x y +=围成的闭区域. 5. 计算二重积分
sin d d D x x y x ⎰⎰,其中D 是直线,0,y x y x π===围成的闭区域.
6. 证明曲线积分cos sin ,x x c e ydx e ydy --+⎰在xoy 面内与路径无关,其中c 是曲线
sin y x =上从点(0,0)o 到点(,1)2
A π的一段弧,并计算积分值。
7. 利用高斯公式计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑是曲
面
z =与1z =所围立体表面的外侧
8.
求曲面z =0z =所围立体的表面积
9.
求幂级数1n
n ∞
=. 10. 求幂级数11n n nx
∞-=∑的收敛区间(含端点)与和函数()S x .。