钢桥面板疲劳剩余寿命评估方法探讨
基于实测应变的钢桥面板疲劳寿命分析
基于实测应变的钢桥面板疲劳寿命分析吉伯海;程苗;傅中秋;袁周致远【摘要】In order to evaluate the fatigue life of a steel bridge deck, stress measuring points were set near the weld of the roof connected to the U-rib and the arc-shaped notch of the diaphragm plate across a quarter of a bridge ’ s steel box girder, and the fatigue stress was monitored for 24 hours. According to the measured data, the fatigue stress spectra were calculated with the rain-flow counting method. Based on the BS 5400 specification, the fatigue damage state of the stress measuring points was evaluated. The results show that the stress level of the measuring points near the arc-shaped notch of the diaphragm plate was relatively high. Each stress measuring point was mainly a low-rising stress cycle and the cycles of 2 to 10 Mpa stress amplitude accounted for more than 90%. However, the maximum stress amplitude exceeded the limit of fatigue damage stipulated by the BS 5400 specification. Fatigue life analysis shows that fatigue cracks in the weld of the roof connected to the U-rib easily occurred near the roof area at the welding hole, and the fatigue life of the weld of the diaphragm plate connected to the U-rib’ s web was short.%为评估钢桥面板的疲劳寿命，在某大桥钢箱梁1/4跨截面的顶板与U肋连接焊缝处和横隔板弧形缺口处布置应力测点，进行24 h疲劳应力监测。
钢结构桥梁疲劳寿命评估方法研究
钢结构桥梁疲劳寿命评估方法研究引言：钢结构桥梁作为交通基础设施的重要组成部分，承载着巨大的交通流量和运载荷。
然而，长期受到动态荷载的作用，钢结构桥梁往往容易发生疲劳破坏。
因此，准确评估钢结构桥梁的疲劳寿命成为了维护管理的重要课题。
本文将讨论钢结构桥梁疲劳寿命评估方法的研究进展以及存在的挑战和未来发展方向。
一、背景和意义钢结构桥梁疲劳寿命评估是指通过分析桥梁所受到的动态荷载，预测桥梁在使用寿命内出现疲劳破坏的概率。
疲劳破坏是指桥梁在长期交通荷载下反复受力而导致的损伤积累和裂纹扩展，可能最终导致桥梁失效。
因此，准确评估疲劳寿命对于实施及时的维护和修复措施，保障桥梁的安全运营至关重要。
二、疲劳寿命评估方法研究进展1. 数字化模拟方法数字化模拟方法是目前主要应用于钢结构桥梁疲劳寿命评估的方法之一。
该方法基于桥梁受力和应力分析，通过建立数学模型，模拟荷载作用下的疲劳破坏过程。
然后利用数值计算方法，预测裂纹扩展速率和疲劳寿命。
2. 动态试验方法动态试验方法是通过在实际桥梁上进行长期监测和数据采集，评估桥梁的疲劳寿命。
该方法基于实测数据，分析动态荷载对桥梁的影响，提取桥梁的结构和材料参数，并利用相关的疲劳寿命模型计算桥梁的疲劳寿命。
3. 统计预测方法统计预测方法是通过对大量实验数据的统计分析，建立起桥梁疲劳寿命与设计参数、材料性能、施工和维护质量等之间的关系模型。
利用这些模型，可以根据桥梁的设计参数和实际使用情况，预测桥梁的疲劳寿命。
三、存在的挑战和未来发展方向1. 材料和荷载模型的不确定性钢结构桥梁的材料特性和荷载条件是影响疲劳寿命评估准确性的关键因素。
然而，由于现实中桥梁的使用环境和荷载条件的复杂性，材料和荷载模型的确定性往往存在挑战。
未来的研究应关注材料行为和荷载特性等方面的不确定性，提高评估方法的可靠性和准确性。
2. 动态荷载的实时监测和预测桥梁所受到的动态荷载是影响桥梁疲劳寿命的主要因素之一。
然而，目前对于动态荷载的监测和预测技术还存在一定的限制。
钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究
钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究1前言由于不良的环境、日益增长的交通量以及公路运输业经常提倡提高汽车荷载标准的影响，许多既有桥梁不能满足为修建新桥而规定的设计标准；劣化和（或）荷载的增加也导致了桥梁可靠性的降低，甚至可能降低到规范规定的水平之下，近年发生的既有桥梁垮塌事故比比皆是，如图1所示。
因此，需要经常根据桥梁的安全性及耐久性状况，对其剩余使用寿命和经济合理维修时间作出评鉴。
图1典型服役钢筋混凝土桥梁垮塌多年来，国内外专家对桥梁评估检测、使用维护，进行了深入地研究和探索，提出了许多有学术价值和推广使用价值的成果和建议。
随着国家建设的发展，我国的桥梁建设规模越来越大，结构越来越复杂。
传统的分析己不能满足桥梁科学管理的要求，必须要借助现有理论、技术和科研成果，并进一步提升，提高我国桥梁的科学管理，进一步加快桥梁结构安全性和耐久性以及剩余寿命预测技术的研究和应用步伐。
为此，2006年5月，由长沙理工大学与中南大学、浙江大学、广西壮族自治区高速公路管理局、广西壮族自治区交通科学研究所、贵州省交通科学研究所组成投标联合体进行了"钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究”项目的可行性研究。
西部交通建设科技项目管理中心组织专家对项目投标书进行审查。
2006年9月交通部科教司下达交通部科技项目任务书（任务书编号200631800019 ）。
本项目预期目标为：结合快速腐蚀试验、实体工程构件室内试验、以及现场试验开展理论研究，为在用钢筋混凝土和混凝土的梁桥和拱桥的评定、维修加固决策以及剩余寿命的预测提供一套完整实用的技术方法和理论，在中西部省份推广应用，提高各省公路桥梁管理部门对在用钢筋混凝土和混凝土桥梁的管理水平。
项目在实施过程中，各单位团结协作，分工明确，措施得力，严格按合同要求完成了各项研究任务，解决了研究工作大纲提出的关键技术，取得了相应的研究成果，达到了考核指标要求。
整体水平达到国际先进水平。
剩余寿命评估技术对依托工程起到了很好的指导作用。
钢结构桥梁的疲劳与寿命评估
钢结构桥梁的疲劳与寿命评估钢结构桥梁作为现代城市交通的重要组成部分，承载着大量的车辆和行人通行任务。
然而，长期以来，由于外界环境和车辆荷载的作用，钢结构桥梁容易受到疲劳损伤，严重影响其使用寿命和安全性。
因此，进行钢结构桥梁的疲劳与寿命评估是至关重要的。
一、疲劳损伤机理疲劳是指物体在经历了一定次数的应力循环加载后发生损伤的现象。
钢结构桥梁受到交通荷载作用时，会产生周期性的应力变化，而长期循环加载会导致钢构件内部的裂纹逐渐扩展，最终引发疲劳破坏。
常见的疲劳损伤机理包括低周疲劳、高周疲劳和蠕变疲劳等。
低周疲劳是指加载周期较长，应力变化较大的疲劳损伤，主要发生在大型移动荷载作用下；高周疲劳是指加载周期较短，应力变化较小的疲劳损伤，主要发生在交通荷载作用下；蠕变疲劳则是由于长期受到恶劣环境条件作用下，钢结构桥梁会出现温度变形和应力松弛，从而引发蠕变破坏。
二、疲劳与寿命评估方法为了确保钢结构桥梁的安全使用和延长其寿命，需要进行疲劳与寿命评估。
在评估过程中，可以采用以下方法：1. 材料试验与力学性能研究：通过对钢材料的拉伸试验、冲击试验等试验手段，获取钢材料的力学性能参数，进而分析其疲劳性能。
2. 荷载测量与应力分析：通过悬挂应变片、应变计等装置对桥梁进行实时荷载测量与应力分析，以获取荷载数据与桥梁的应变应力分布情况。
3. 疲劳寿命计算：根据钢材料的疲劳试验数据和荷载数据，采用伤害累积理论来计算钢结构桥梁的疲劳寿命。
4. 结构健康监测：借助现代技术手段，如无损检测、振动测试等，对钢结构桥梁的健康状况进行实时监测，及时发现疲劳裂纹、变形等问题。
5. 寿命预测与可靠性评估：通过建立可靠性模型，综合考虑材料的疲劳特性、载荷环境、结构健康状况等因素，对钢结构桥梁的寿命进行预测与评估。
三、寿命延长与维护策略对于已经投入使用的钢结构桥梁，为了延长其寿命和保障其安全，需要采取适当的维护策略。
具体策略包括：1. 定期巡查与检测：定期对钢结构桥梁进行巡查与检测，发现潜在的裂纹、变形等问题，并采取相应的预防性维修措施。
钢结构的疲劳寿命和评估
钢结构的疲劳寿命和评估疲劳是指物体在周期性加载下的循环应力作用下逐渐累积损伤的现象。
钢结构广泛应用于建筑、桥梁、船舶等领域，而对于钢结构的疲劳寿命和评估，对于保障结构的安全性和可靠性具有重要意义。
一、疲劳寿命的含义和评估方法疲劳寿命是指钢结构在不断受到循环应力作用下，能够保持结构完整性和性能的时间。
钢结构的疲劳寿命评估方法目前主要有试验方法和计算方法两种。
试验方法是通过搭建实验模型，给予不同频率和幅值的循环载荷加载，测量应变和应力的变化，然后评估结构的疲劳寿命。
试验方法的优势在于可直接观测和测量结构变形和受力情况，但其劣势是成本高昂且耗时较长。
计算方法是通过使用疲劳寿命的评估公式来预测结构的寿命。
常用的评估公式包括极限应力幅值公式、应力周期计数公式和应变幅值公式。
计算方法的优势在于成本较低且速度较快，但其劣势是需要可靠的材料性能数据和较为精确的工况分析。
二、影响钢结构疲劳寿命的因素1.循环载荷频率和幅值：循环载荷频率和幅值是影响钢结构疲劳寿命的重要因素。
载荷频率越高、幅值越大，结构的疲劳寿命就越短。
2.材料的疲劳性能：不同的钢材具有不同的疲劳寿命。
一般情况下，高强度钢材的疲劳寿命较短，而低强度钢材的疲劳寿命较长。
3.构件的形状和尺寸：构件的形状和尺寸对钢结构的疲劳寿命也有一定影响。
一般情况下，形状复杂的构件疲劳寿命相对较短，而较为简单的构件疲劳寿命相对较长。
三、钢结构疲劳寿命评估的重要性评估钢结构的疲劳寿命对于工程设计、结构检测和维护具有重要意义。
1.工程设计：在钢结构的设计阶段，进行疲劳寿命评估可以帮助工程师合理选择材料，优化结构形式和尺寸，预测结构的疲劳损伤，从而提高工程的安全性和可靠性。
2.结构检测：定期对钢结构进行疲劳寿命评估可以帮助监测结构的健康状况，及时发现潜在的疲劳问题，采取相应的维修和保养措施，延长结构的使用寿命。
3.维护管理：钢结构的疲劳寿命评估结果可以作为维护管理的依据，合理安排维修和保养周期，提高维护管理的效益和准确性。
钢结构桥梁的疲劳寿命评估与监测研究
钢结构桥梁的疲劳寿命评估与监测研究随着城市化的不断推进和人口流动的增加，钢结构桥梁作为城市基础设施的重要组成部分，承担着极其重要的运输功能。
然而，由于长期使用和恶劣的环境条件，钢结构桥梁存在着疲劳问题，摩擦磨损、应力集中、氧化腐蚀等不良因素都可能导致桥梁结构的断裂。
因此，钢结构桥梁的疲劳寿命评估与监测研究至关重要。
首先，钢结构桥梁的疲劳寿命评估是确保桥梁安全使用的重要措施。
疲劳寿命评估主要通过对桥梁结构的疲劳强度、荷载作用和应力水平进行分析，以确定桥梁的疲劳强度和疲劳寿命。
通过基于现场数据和实际负载监测来估计疲劳裂缝扩展速率和寿命预测模型的建立，可以有效预测桥梁结构的疲劳寿命。
此外，结合疲劳寿命评估结果，还可以制定优化的养护和维修计划，提高桥梁结构的使用寿命和整体可靠性。
其次，钢结构桥梁的疲劳监测研究是及时发现和处理桥梁结构疲劳问题的关键。
通过使用现代监测技术和设备，可以实时获取桥梁结构的运行状况和性能参数。
例如，使用应变传感器、加速度传感器等传感器可以监测桥梁结构的变形和振动情况，从而判断桥梁的健康状况和结构可靠性。
此外，结合无损检测技术，如超声波、红外热成像等，可以发现桥梁结构中的隐患和缺陷，进一步评估桥梁的疲劳状况。
这些监测结果有助于及时采取措施，保护桥梁结构免受疲劳破坏。
在钢结构桥梁疲劳寿命评估与监测研究中，科学的方法和技术应用至关重要。
首先，疲劳试验是评估钢结构桥梁疲劳性能的基础和关键。
通过对不同材料和结构的疲劳试验，可以获取疲劳曲线和疲劳参数，并为疲劳寿命评估提供参考。
其次，数值模拟技术在疲劳寿命评估中得到广泛应用。
通过建立三维有限元模型，考虑桥梁结构的材料性能、外部荷载及环境因素，可以模拟桥梁结构在长期使用过程中的疲劳损伤。
此外，人工智能技术的发展为桥梁疲劳寿命评估和监测提供了新思路。
通过大数据分析和机器学习算法，可以实现对桥梁结构运行数据的智能分析和预警，提高桥梁安全性能。
总之，钢结构桥梁的疲劳寿命评估与监测研究是确保桥梁安全使用的重要环节。
钢结构桥梁的疲劳性能与寿命评价
钢结构桥梁的疲劳性能与寿命评价一、引言随着交通事业的不断发展，桥梁作为重要的基础设施建设，承担着道路交通的重要任务。
而桥梁的质量和安全性直接关系到交通运输的畅通和人民群众的生命财产安全。
而在钢结构桥梁的使用过程中，疲劳问题是其使用寿命的主要限制因素之一。
因此，研究钢结构桥梁的疲劳性能与寿命评价，对于提高钢结构桥梁的使用寿命和保障交通的安全具有重要意义。
二、疲劳性能的影响因素疲劳问题是桥梁使用过程中的一个重要限制因素，因此了解疲劳破坏的机理和影响因素对于预防和控制疲劳斑纹的出现具有重要意义。
目前，研究表明影响钢结构桥梁疲劳性能的因素较为复杂，主要包括以下几个方面。
1、荷载频率和振幅荷载频率和振幅是导致钢结构桥梁疲劳破坏的主要因素之一。
疲劳裂纹扩展速度随着荷载振幅的增加呈指数增长，荷载频率也会对钢结构桥梁疲劳性能产生一定的影响。
2、环境因素环境因素是疲劳性能的重要影响因素之一。
环境因素主要指外部介质对钢结构桥梁的腐蚀和损伤，如氧化、水汽、钝化膜等，使钢材的强度和韧性下降，加速桥梁的疲劳破坏。
3、结构形式和材料结构形式和使用材料的差异也会直接影响钢结构桥梁的疲劳性能。
结构的变形和应力分布不同，容易引起疲劳问题。
同时，钢材的品质和强度也会直接影响桥梁的使用寿命。
在选择材料和施工方式时需注意材料的质量和结构的合理性。
4、设计标准合理的设计标准也是保障钢结构桥梁疲劳性能的一个重要因素。
正常的设计标准会考虑到荷载频率、材料性能和结构形式等各方面的问题，从而减少钢结构桥梁的疲劳应力。
三、评价方法在疲劳性能的评价中，需要从以下几个方面进行评估：1、疲劳裂纹扩展疲劳裂纹扩展是钢结构桥梁疲劳性能评价的主要内容之一。
可以通过将裂纹扩展速率与材料的韧性和强度相对应来进行评估，以此为依据进行判断。
2、疲劳计算疲劳计算是一种判断疲劳损伤程度及其对结构稳定性的影响的方法。
可以通过疲劳计算来得出结构所承受的疲劳荷载和使用寿命，以便进行提前维护和更换。
钢桥面板疲劳剩余寿命评估方法探讨
估算步骤如 图 １ 所 示。
ｄ Ｎ 、 △ １
式 中：
图 １ 名 义应 力法疲 劳 寿命 估算步 骤
为裂纹长度 ； 为循环次数 ： △ 为应力强度
． 矗 ， ｍ ． ｎ ； 为 由材 料 决 定 的 常 数 。
因子 幅 值 ， △
应 力 强 度 因子 一 般 写 成 ：
现 了疲 劳裂 纹 ， 此 后 陆续 在 世 界各 国的钢 桥 面 板 结构 桥 梁 中均
险部位应力应变 历程估算 寿命【 ３ 】 。 具体估算步骤如图 ２所 示。
出现了大量疲劳裂纹 ，影响了钢桥的运营安全及使用寿命【 ］ 。 我 国 自上世纪 ９ ０年代起 ，已经 建设了超过 １ ０ ０座采用正交 异性钢桥 面板 的桥 梁，这些桥梁使用一段时 间后 ，同样 出现 了疲 劳裂 纹，甚至少量桥梁通车后不久就 出现 了疲 劳裂纹 。 随着疲 劳裂纹 的扩 展，不可避免地导致结构或构件 的损伤 累 积及承载 能力降低 ，其剩余使用寿命经受着严峻 的考验 。正 确地评估 它们 的疲劳剩余寿命 ， 是采用加固措施保障它们使
方法 ，对各种 方法的优缺 点和适用性进行 了分析 ，可 为选择适合 的评估 方法提供指导 。
关键 词：疲劳剩余 寿命 ；钢桥面板；断裂 力学；损伤 力学
Ｄ ０Ｉ ：１ ０． ３ ９ ６ ９ ／ｊ ．ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ １ — ６ ３ ９ ６ ． ２ ０ １ ３ ． ０ １ ． ０ １ １
１ 引 言
正交 异性钢桥面板 自诞生就受到世界各 国的青 睐， 从二 十世 纪 ６ ０年代 起，这类钢桥面 板结构在各 国索 支撑桥梁 中 得到广泛 的应 用。然而，世界上首座采用钢箱加劲梁 的英 国 Ｓ ｅ ｖ ｅ ｍ 桥 在使用约 ５年 后 ，于 １ ９ ７ １年在其钢桥面 板上即 出
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引言
险部位应力应变历程估算寿命[3]。 具体估算步骤如图 2 所示。
-
正交异性钢桥面板自诞生就受到世界各国的青睐， 从二 十世纪 60 年代起，这类钢桥面板结构在各国索支撑桥梁中 得到广泛的应用。然而，世界上首座采用钢箱加劲梁的英国 Severn 桥在使用约 5 年后，于 1971 年在其钢桥面板上即出 现了疲劳裂纹， 此后陆续在世界各国的钢桥面板结构桥梁中均 出现了大量疲劳裂纹，影响了钢桥的运营安全及使用寿命[1]。 我国自上世纪 90 年代起，已经建设了超过 100 座采用正交 异性钢桥面板的桥梁，这些桥梁使用一段时间后，同样出现 了疲劳裂纹，甚至少量桥梁通车后不久就出现了疲劳裂纹。 随着疲劳裂纹的扩展， 不可避免地导致结构或构件的损伤累 积及承载能力降低，其剩余使用寿命经受着严峻的考验。正 确地评估它们的疲劳剩余寿命， 是采用加固措施保障它们使 用的理论基础，同时可为改进钢桥面板的构造提供指导。目 前采用的疲劳剩余寿命评估方法主要有： 传统的疲劳寿命评 估方法、断裂力学方法、基于概率理论的断裂力学方法、基 于可靠度的断裂力学方法和损伤力学方法。
对于低应力高周疲劳裂纹扩展寿命， 线弹性裂纹扩展公 式能较好地描述裂纹扩展阶段的疲劳性能， 采用线弹性断裂 力学评估剩余疲劳寿命可取得较理想的效果。 3.2 弹塑性断裂力学评估方法 当疲劳荷载较大， 结构或构件处于低周疲劳时的剩余疲 劳寿命应采用弹塑性断裂力学方法进行评估。 根据 J 积分[10] 理论采用 J-A2 方法[11 12]对 J-R 阻力曲线[13]修正，得到 J-R 的预测公式，进一步推导得到弹塑性裂纹扩展速率预测公 式，并结合 EPRI[14]计算公式，推导出含裂纹构件剩余疲劳 寿命评估方法。 在小量循环过程ΔN 中的裂纹扩展量Δa，即裂纹扩展 速率为Δa/ΔN，在极限状态下，能写成微分形式 da/dN。用 构件在疲劳载荷作用下的 J 积分和 da/dN 之间的关系来研究 裂纹扩展速率，即：
根据疲劳细节的 S-N 曲线和 Miner 累积损伤准则，计算 疲劳细节的等效应力幅值ΔσE，由此可获得疲劳构件能够 承受的应力循环次数 N，计算得到该构件已经历的应力循环 次数 Nr，疲劳细节的剩余使用寿命为 Np=N-Nr [2]。 2.2 局部应力应变法 局部应力应变法结合材料的循环应力曲线， 将构件上的 名义应力谱转换成危险部位的局部应力应变谱， 然后根据危
-N
图2
局部应力应变法疲劳寿命估算步骤
2.3 传统疲劳寿命评估方法的应用 计算疲劳损伤应采用能代表日常交通状况的荷载普， 而 目前我国尚无可供使用的公路和铁路荷载谱。 传统疲劳寿命 评估方法为获得疲劳薄弱细节的应力历程， 可采用疲劳车在 桥梁模型上加载或实测法得到。
3
基于断裂力学的评估方法
2
传统疲劳寿命评估方法
2.1 名义应力法 名义应力法通过疲劳试验得到构件的 S-N 曲线， 然后根 据 Miner 线性累积损伤准则来估算构件的疲劳剩余寿命，其 估算步骤如图 1 所示。
S-N
断裂力学评估的立足点是结构的目前状况， 认为任何结 构都存在缺陷，而疲劳裂纹源于这些缺陷，破坏是疲劳裂纹 发展的结果。 疲劳裂纹扩展有两种类型：一种是裂纹在弹性区内扩 、 展；另一种是裂纹在塑性区内扩展[4 5]。对于前者采用线弹 性断裂力学评估结果较理想， 对于后者裂纹扩展寿命宜采用 弹塑性理论对其进行评估。 3.1 线弹性断裂力学评估方法[6-8] 对于疲劳裂纹扩展速率计算，比较著名的有四个公式： Paris 公式、Forman 公式、Zheng-Hirt 公式以及裂纹全程扩 展公式[9]。最常用的是 Paris 公式：
m
——（式 4）
22 对上述表达式求定积分， 便可得到疲劳裂纹扩展阶段的 寿命（即疲劳剩余寿命） ：
N f dN
0 Nc ac a0
开发应用 纹（随机变量） ；Y（a）为几何修正系数（确定性参量） ；B 为应力计算不确定性的修正参数（随机变量） ；BY 为考虑 Y （a）计算中模型不确定性的修正参数（随机变量） 。 因随机参量的统计分布规律各不相同，因此，要给出疲 劳寿命 Np 的分布规律以及各种可靠度和置信度下的设计结 果，用一般的概率统计理论存在很大困难。为使计算结果与 实际工程问题相近， 采用 Monte-Carlo 法随机抽样进行计算。 具体步骤为：由 Matlab 直接产生服从各相应概率分布的随机 变量数组并代入式 9，即可获得一定容量的疲劳寿命 Np 的分 布样本，从而破坏概率为 P 的剩余寿命的计算公式[16]为：
da m C K dN
图1 名义应力法疲劳寿命估算步骤
——（式 1）
式中： a 为裂纹长度；N 为循环次数；ΔK 为应力强度 因子幅值，ΔK=Kmax-Kmin；C、m 为由材料决定的常数。 应力强度因子一般写成： ——（式 2） K1 Y a 式 2 中 Y 为形状因子，一般与裂纹尺寸有关。于是： ——（式 3） K Y a 代入式 1 有： da da dN = m C K C Y a
中国西部科技
2013 年 01 月第 12 卷第 01 期总第 282 期
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钢桥面板疲劳剩余寿命评估方法探讨
黄 云
（西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031） 摘 要： 钢桥面板的疲劳是影响其使用寿命的关键因素之一。 本文简要论述了目前对钢桥面板进行疲劳剩余寿命评估的主要 方法，对各种方法的优缺点和适用性进行了分析，可为选择适合的评估方法提供指导。 关键词：疲劳剩余寿命；钢桥面板；断裂力学；损伤力学 DOI：10.3969/j.issn.1671-6396.2013.01.011
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ac
da Y m a n 2
a0
—— （式 5）
一般情况下， 式 5 很难得出解析表达式。 在特殊情况下， 当是 Y 常数时，可完成其积分为：
2m 2m 2 a 2 a0 2 n 2 m c 2 m Y ——（式 6） Nf a 1 c ln n 2 m a0 C Y