河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试 数学(理)
河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
河南省洛阳市2009—2010学年下学期期中考试高二理数
河南省洛阳市2009—2010学年第二学期期中考试高二数 学 试 卷（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1、已知曲线21y x =-上一点13(,)24P ，则过点P 的切线的倾斜角为（ ）A 、30︒B 、45︒C 、135︒D 、150︒ 2、设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ）A 、2eB 、eC 、ln 22D 、ln 2 3、平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、C 对应的复数分别为2,43,35i i i +++，则顶点D 所对应的复数是（ ） A 、13i + B 、14i +C 、23i +D 、34i +4、下面使用类比推理正确的是（ ）A 、由“()a b c ab ac +=+”类比推出“()cos cos cos αβαβ+=+”B 、由“若33a b <，则a b <”类比推出“若ac bc <，则a b <”C 、由“平面内容垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D 、由“等差数列{}n a 中，若100a =，则121219n n a a a a a a -+++=+++(19,*)n n <∈N ”类比推出“在等比数列{}n b 中，若91b =，则有121217(17,*)n n bb b bb b n n -=<∈N ”5、满足34z i z -=-的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A 、直线B 、射线C 、抛物线D 、圆6、设()2, 012,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，则()20f x dx ⎰等于（ ）A 、34B 、45C 、56D 、不存在7、曲线223y x x =-+与直线3y x =+所围成图形的面积为（ ）A 、3B 、72C 、92 D 、58、已知函数()1(),,2x f x a b +=∈R ，()2a b A f +=，B f =，2()ab c f a b=+，则A 、B 、C 的大小关系是（ ）A 、A ≤B ≤C B 、A ≤C ≤BC 、B ≤C ≤AD 、C ≤B ≤A9、某箱子的容积V 与底面边长x 的关系为()()260()0602xV x x x -=<<，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为（ ） A 、30 B 、40 C 、50D 、其他10、已知()()21111,*12f n n n n n n=++++∈++N ，则下列结论正确的是（ ） A 、()f n 中共有n 项，当2n =时，()11223f =+B 、()f n 中共有1n +项，当2n =时，()1112234f =++C 、()f n 中共有()2n n -项，当2n =时，()11223f =+ D 、()fn 中共有()21n n -+项，当2n =时，()1112234f =++()11223f =+11、若函数()313f x x x =+-，则()f x 有（ ） A 、极小值－2，极大值2 B 、极小值－2，极大值3 C 、极小值－1，极大值1D 、极小值－1，极大值312、对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x += ②()()()1212f x x f x f x =+ ③()()12120f x f x x x ->-④()()1212()22f x f x x x f ++< 当()4log f x x =时。
河南省洛阳市2013-2014学年高二下学期期中考试试题 数学(文) Word版含答案
洛阳市2013--2014学年第二学期期中考试高二数学试卷（文A ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位．z 为复数，下面叙述正确的是？A. z z -为纯虚数 B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i+1的共轭复数为i-l D. 2+3i 的虚部为32．复平面内与复数 512i i-对应的点所在的象限是 A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4，12)，则回归直线的方程是A. 24y x =+B. 522y x =+ C ． 220y x =- D ． 126y x =+ 4．若用独立性检验的方法，我们得到能有99%的把握认为变量X 与Y 有关系，则 A. 2 2.706K ≥ B. 26.635K ≥ C. 2 2.706K < D. 2 6.635K <5.复数a 十bi(a ，b ∈R)的平方为实数的充要条件是A. 220a b += B ．ab=0 C ．a=0，且b ≠0 D.a ≠0，且b=06．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是大前提：若直线a ⊥直线 l ，且直线b ⊥直线 l ，则a ∥b ．小前提：正方体 1111ABCD A BC D -中， 111A B AA ⊥．且1AD AA ⊥结论： 11//A B ADA. 推理正确 B ．大前提出错导致推理错误C ．小前提出错导致推理错误D ．仅结论错误7. 232014i i i i +++⋅⋅⋅+=A. 1+iB. -1-iC. 1-iD. - l+i8．执行如图程序框图，若输出的 1112T =，则判断框内应填人 的条件是A ．i>9?B ．i>10?C ．i>ll?D ．i>12?9.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，下面说法：①至多有一个角大于60； ②至少有两个角大于或等于60 ;③至少有一个角小于60 ；④至多有两个角小于60 .其中正确的个数是A ．3B ．2C ．1 D.010.锐角△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，设m= sin A+sinB+sinC,n=cosA+cosB+cosC 则m 与n 的大小关系是A. m>n B ．m<n C. m-n D.以上都有可能11.已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足 (,2)n n n a b c n N n +=∈>．则△ABC 为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定12.对两个变量x 与y 进行回归分析，得到一组样本数据：(1，1)，(2，1.5)，(4，3)， (5．4．5)，若甲同学根据这组数据得到的回归模型 1:1y x =-，乙同学根据这组数据得到的回归模型 112:22y x =+，则 A ．型1的拟合精度高 B ．模型2的拟合精度高C ．模型1和模型2的拟合精度一样 D.无法判断哪个模型的拟合精度高第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1 3．用解释变量对预报变量的贡献率来刻蜮回归效果，若回归模型A 与回归模型B 的解释变量对预报变量的贡献率分别为 220.32,0.91A B R R ==，则这两个回归模型相比较，拟合效果较好的为模型__________．14．若等差数列 {}n a 的公差为d ，前n 项和为 n S 。
河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题
河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二下学期5月
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm 的球状物
体后，水面高度为6cm ，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm ，若从0t s =时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s 的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物
体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在2t s =时刻，水面上升的瞬时速度为
__________ cm/s.
16．已知数列{}n
a 满足21122315n n n a a a a a +++===，，，记()()9 n A n a B n ，，，，O 为坐标原点，则OAB V 面积的最大值为_____________.
四、解答题
17．2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表
.。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高二下学期3月联考试题 数学含答案
洛阳强基联盟高二3月联考数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y =在区间[]1,4上的平均变化率为（）A.13 B.35 C.53D.32.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V （单位：)3cm 与半径R （单位：cm ）的关系为34π3V R =，则7cm R =时体积V 关于半径R 的瞬时变化率为（）A.21372πcm 3B.2196πcm C.298πcm D.216πcm 3.函数()ln f x x x =的单调递减区间为（）A.()e,+∞ B.()0,e C.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭4.已知函数()()()20232024f x x x =--，则()f x 的图象在2024x =处的切线方程为（）A.240480x y +-=B.20240x y +-=C .240480x y --= D.20240x y --=5.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，那么曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的曲率()(){}03221f x K f x =⎡⎤+⎣⎦'''，则曲线()sin cos f xx x =+在点π4⎛ ⎝处的曲率为（）A.0B.9C.2D.6.当1x =时，函数()()e 0x a bf x x x+=>取得最小值2e ，则b a -=（）A.2B.1C.1- D.2-7.若函数()28ln f x x x mx =+-在()1,3上有且仅有一个极值点，则实数m 的最小值是（）A.8B.263C.283D.108.设()ln 1.2e a =，0.2e b =， 1.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a c b<< B.c b a<< C.c a b<< D.a b c<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭ B.2112x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.()()e 1e xxx x '=+ D.2ln 1ln x x x x'+⎛⎫= ⎪⎝⎭10.已知定义域为[]3,5-的函数()f x 的导函数为()fx '，且()f x '的图象如图所示，则（）A.()f x 在()2,2-上单调递减B.()f x 有极小值()2fC.()f x 有3个极值点D.()f x 在3x =-处取得最大值11.已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x '+>，则下列说法正确的是（）A.e (1)(0)f f < B.e (1)(0)f f >C .2(ln 2)e (1)f f < D.2(ln 2)e (1)f f >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()()232f x f x x '=-，则()2f -=__________.13.函数()ex xf x =的最大值为________．14.已知函数()()212e x f x x +=-，过点()0,A m 且与曲线()y f x =相切的直线只有1条，则实数m 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2ln f x x ax x =++（a ∈R ），且()14f '=．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的图象在点()()22f ,处的切线方程．16.已知函数()323f x ax x x b =--+，且当3x =时，()f x 有极值5-．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值．17.已知函数()e cos xf x x =-，()()()g x xf x f x '=-．（1）证明：()g x 在()0,∞+上单调递增；（2）判断133f ⎛⎫ ⎪⎝⎭与144f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系，并加以证明．18.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.19.定义：若函数()y f x =和()y g x =的图象上分别存在点M 和N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有C 关系．（1）判断函数()e 2xf x =-和()g x x =是否具有C 关系；（2）若函数()e xf x x =和()sing x k x =-（0k >）在区间()0,π上具有C 关系，求实数k 的取值范围．洛阳强基联盟高二3月联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y =在区间[]1,4上的平均变化率为（）A.13 B.35 C.53D.3【答案】A 【解析】【分析】直接利用平均变化率的定义求解.【详解】设()f x =，则函数y =在区间[]1,4上的平均变化率为()()41211414133f f --===--．故选：A.2.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V （单位：)3cm 与半径R （单位：cm ）的关系为34π3V R =，则7cm R =时体积V 关于半径R 的瞬时变化率为（）A.21372πcm 3B.2196πcm C.298πcm D.216πcm 【答案】B 【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.【详解】由34π3V R =，求导得24πV R '=，所以7R =时体积V 关于半径R 的瞬时变化率为24π7196πV =⨯='.故选：B.3.函数()ln f x x x =的单调递减区间为（）A.()e,+∞B.()0,e C.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】直接求导并解不等式()0f x '<，即可得到()f x 的单调递减区间.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()1ln ln 1f x x x x x=+⋅=+'，解不等式()0f x '<，得ln 1x <-，即1e x <，即()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：D .4.已知函数()()()20232024f x x x =--，则()f x 的图象在2024x =处的切线方程为（）A.240480x y +-=B.20240x y +-=C.240480x y --=D.20240x y --=【答案】D 【解析】【分析】求出()2024f 、()2024f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.【详解】由题意知()2024202324047f x x x x =-+-=-'，所以()20241f '=，又()20240f =，所以()f x 的图象在2024x =处的切线方程为2024y x =-，即20240x y --=．故选：D ．5.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，那么曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的曲率()(){}03221f x K f x =⎡⎤+⎣⎦'''，则曲线()sin cos f x x x =+在点π4⎛ ⎝处的曲率为（）A.0B.9C.2D.【答案】D 【解析】【分析】根据曲线的曲率定义，对函数()sin cos f x x x =+求导得出()f x '，再对()f x '求导得出()f x ''，将0π4x =代入()(){}032201f x K f x =⎡⎤+⎣⎦'''求解即可.【详解】对函数()sin cos f x x x =+求导，得()cos sin f x x x '=-，对()f x '求导，得()sin cos f x x x =--''，所以ππππππcos sin 0,sin cos 444444f f ''⎛⎫⎛⎫=-==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，所以曲线()sin cos f xx x =+在点π4⎛ ⎝处的曲率()(){}()03322220101f x K f x ⎤'''==+⎡+⎣⎦.故选：D.6.当1x =时，函数()()e 0x a bf x x x+=>取得最小值2e ，则b a -=（）A.2 B.1C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】由条件可知()12e f =，()10f '=，可解出2a =，0b =，然后验证2a =，0b =满足条件即可.【详解】由于()()2e 1x a x bf x x ='--，函数()()e 0x a bf x x x+=>在1x =处取得最小值2e ，故()12e f =，()10f '=，从而e 2e a b +=，0b -=，解得2a =，0b =.若2a =，0b =，则()()2e 0xf x x x =>，()()22e 1x x f x x='-，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以()f x 在1x =处取到极小值，也是最小值.而()12e 12e 1f ==，所以函数()f x 在1x =处取得最小值2e ，故2a =，0b =满足要求，所以2a =，0b =，故2b a -=-．故选：D .7.若函数()28ln f x x x mx =+-在()1,3上有且仅有一个极值点，则实数m 的最小值是（）A.8B.263C.283D.10【答案】B 【解析】【分析】求导，分离参数，并构造新函数确定零点个数得m 的范围即可.【详解】()82f x x m x +'=-，令()0f x '=，得82x m x+=，由题意知82x m x+=在区间()1,3上只有一个变号的根，令()82g x x x =+，则()()2224x g x x'-=，令()0g x '=，得2x =，当()1,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()2,3x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增．又()110g =，()28g =，()2633g =，所以当26,103m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，82x m x +=在区间()1,3上只有一个变号的根，即函数()f x 在()1,3上有且仅有一个极值点时，26,103m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即m 的最小值为263．故选:B ．8.设()ln 1.2e a =，0.2e b =， 1.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a c b <<B.c b a<< C.c a b<< D.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】利用函数()ln 1f x x x =--在()1,+∞上的单调性可得出a 、c 的大小关系，利用函数()1e x g x x -=-在()1,+∞上的单调性可得出b 、c 的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()ln 1f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增，所以()()1.2 1.2ln1.2110f f =-->=，即()1.2ln1.21ln 1.2e >+=，则a c <；令()1ex g x x -=-，则()1e 1x g x -'=-，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()0.21.2e1.210g g =->=，即0.2e 1.2>，即c b <．综上所述，a c b <<．故选：A ．【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）ln 1≤-x x ；（2）e 1x x ≥+.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭ B.2112x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.()()e 1e xxx x '=+ D.2ln 1ln x x x x'+⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】由导数的除法公式可得出A 错误，D 错误；由导数的加法公式可得出B 正确；由导数的乘法公式可得出C 正确/【详解】由导数的除法公式可得2210111x x x x '⋅-⋅⎛⎫==-⎪⎝⎭，由导数的加法公式可得2112x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由导数的乘法公式可得()()e ee 1e xxx x x x x '=+=+，由导数的除法公式可得2211ln ln 1ln x x x x x x x x ⋅-⋅'-⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A ，D 错误；B ，C 正确.故选：BC ．10.已知定义域为[]3,5-的函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x '的图象如图所示，则（）A.()f x 在()2,2-上单调递减B.()f x 有极小值()2fC.()f x 有3个极值点D.()f x 在3x =-处取得最大值【答案】ABC 【解析】【分析】首先分析给定图像，由()f x '的图象可知()2,2x ∈-时，()0f x '<，则()f x 单调递减，进一步分析其他选项，由()f x '的图象可知当2,2,4x =-时，()f x 有极值，所以()f x 有3个极值点，再找出最大值和极小值即可.【详解】由()f x '的图象可知()2,2x ∈-时，()0f x '<，则()f x 单调递减，故A 正确；又()2,4x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以当2x =时，()f x 有极小值()2f ，故B 正确；由()f x '的图象可知2,2,4x =-时，()f x 有极值，所以()f x 有3个极值点，故C 正确；当()3,2x ∈--时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以()()32f f -<-，则()f x 在3x =-处不能取得最大值，故D 错误．故选：ABC ．11.已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x '+>，则下列说法正确的是（）A.e (1)(0)f f < B.e (1)(0)f f >C.2(ln 2)e (1)f f <D.2(ln 2)e (1)f f >【答案】BC 【解析】【分析】令()()x g x e f x =，可得()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，取自变量的值可得结果.【详解】令()()x g x e f x =，所以[]()e ()e ()e()()0xxxg x f x f x f x f x ''++'==>，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以(0)(1)g g <，即(0)e (1)f f <，故A 错误，B 正确；又(ln 2)(1)g g <，所以ln 2e (ln 2)e (1)f f <，即2(ln 2)e (1)f f <，故C 正确，D 错误.故选：BC .【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数()h x ．(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()()232f x f x x '=-，则()2f -=__________.【答案】24【解析】【分析】求导后代入即可得()234f x x x =-，代入求解即可.【详解】()()2223f x x f x '=⋅-'，故()()24212f f '=-'，解得()24f '=，故()234f x x x =-，所以()2324(2)(2)24f -=⨯---=.故答案为：2413.函数()e xxf x =的最大值为________．【答案】1e【解析】【分析】利用导数求得()f x 的最大值.【详解】()'1e xxfx -=，所以()f x 在()()()',1,0,fx f x -∞>递增，在()()()'1,,0,f x f x +∞<递减，所以当1x =时，()f x 取得最大值为1e.故答案为：1e14.已知函数()()212e x f x x +=-，过点()0,A m 且与曲线()y f x =相切的直线只有1条，则实数m 的取值范围是______．【答案】{2e m m <-或}0m =【解析】【分析】设切点为()()21,2ea a a +-，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点()0,A m 代入可得()221242e a m a a +=-+-，构造函数()()221242e x g x x x +=-+-，则()y g x =的图像与直线y m =只有1个交点，利用导数求出函数()g x 的单调区间和极值，作出图象，结合图象即可得解.【详解】设切点为()()21,2e a a a +-，由()()212ex f x x +=-，得()()()212121e 22e 23e x x x f x x x +++=+-⋅=-'，所以切线的斜率为()()2123e a k f a a +=-'=，切线方程为()()()21212e23e a a y a a x a ++--=--，因为点()0,A m 在切线上，所以()()()21212e 23e 0a a m a a a ++--=--，即()221242ea m a a +=-+-，令()()221242ex g x x x +=-+-，则()()22144ex g x x x +=-+'，令()0g x '=，得0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(),0∞-和()1,∞+上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()g x 的极小值为()02e g =-，极大值为()10g =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x ∞→-，所以()g x 的图象如图所示，因为过点()0,A m 且与曲线()y f x =相切的直线只有1条，所以()y g x =的图像与直线y m =只有1个交点，由图象可得2e m <-或0m =，即实数m 的取值范围是{2e m m <-或}0m =．故答案为：{2e m m <-或}0m =．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2ln f x x ax x =++（a ∈R ），且()14f '=．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的图象在点()()22f ,处的切线方程．【答案】（1）()2ln x f x x x =++；（2）1122ln2100x y -+-=．【解析】【分析】（1）将()14f '=代入()f x '的表达式即可解出a ，从而得到()f x 的解析式；（2）由导数的定义可知所求直线为经过点()()2,2f 且斜率为()2f '的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.【小问1详解】由()2ln f x x ax x =++，得()121f x ax x=++'，又()14f '=，所以1214a ++=，解得1a =，即()2ln f x x x x =++．【小问2详解】由（1），得()2ln f x x x x =++，()121f x x x+'=+，所以()2ln 26f =+，即切点为()2,ln 26+，又切线的斜率为()11124122k f ==++='，所以函数()f x 的图象在点()()2,2f 处的切线方程为()()11ln2622y x -+=-，即1122ln2100x y -+-=．16.已知函数()323f x ax x x b =--+，且当3x =时，()f x 有极值5-．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值．【答案】（1）13a =，4b =；（2）最大值为173，最小值为643-．【解析】【分析】（1）由极值的必要条件(3)0f '=以及(3)5f =-可列方程求解参数；（2）求导得出()f x 在[]4,4-的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.【小问1详解】由()323f x ax x x b =--+，得()2323f x ax x -'=-，又当3x =时，()f x 有极值5-，所以()()32790327185f a f a b ⎧=-=⎪⎨=-+=-'⎪⎩，解得1,34,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以()()()22313f x x x x x =--=+-'，当()1,3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()3,x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以当3x =时，()f x 有极小值5-．所以13a =，4b =满足题意．【小问2详解】由（1）知()321343f x x x x =--+，()()()13f x x x =+-'．令()0f x '=，得11x =-，23x =，()f x '，()f x 的值随x 的变化情况如下表：x4-()4,1--1-()1,3-3()3,44()f x '＋0－＋()f x 643-单调递增极大值173单调递减极小值5-单调递增83-由表可知()f x 在[]4,4-上的最大值为()1713f -=，最小值为()6443f -=-．17.已知函数()e cos xf x x =-，()()()g x xf x f x '=-．（1）证明：()g x 在()0,∞+上单调递增；（2）判断133f ⎛⎫⎪⎝⎭与144f⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）113434f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，确定()0g x '>即可证明；（2）构造函数()()f x h x x=，求导确定单调性即可证明.【小问1详解】证明：()e sin xf x x '=+，所以()()()()e sin e cos 1e sin cos xxxg x x x x x x x x =+--=-++，所以()()e cos xg x x x =+'．当0x >时，因为0e cos e cos 1cos 0x x x x +>+=+≥，所以()0g x '>．所以()g x 在()0,∞+上单调递增．【小问2详解】113434f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明如下：设()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()()()22xf x f x g x h x xx'-'==．由（1）知()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以()0h x '>，即()h x 在()0,∞+上单调递增．所以1134h h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即113434ff ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =--+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+，所以()221m x mf x x x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，令()0f x '=，得x m =，当()0,x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增.【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+，令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =--+=--++，则()ln e xg x x =-'，令()()ln e xh x g x x '==-，则()1e x h x x='-，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>，所以当1x ≥时，()h x '1e 0xx=-<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e xg x x =-'在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g '≤-'=<，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x --+≤.【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．19.定义：若函数()y f x =和()y g x =的图象上分别存在点M 和N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有C 关系．（1）判断函数()e 2xf x =-和()g x x =是否具有C 关系；（2）若函数()e xf x x =和()sing x k x =-（0k >）在区间()0,π上具有C 关系，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()f x 与()g x 具有C 关系；（2）()1,+∞．【解析】【分析】（1）依据给定的新定义结合导数判断即可.（2）令()()()h x f x g x =+，得出所以()h x 在()0,π上存在零点且．()h x 在()0,π上单调递增，推出()0h x >，后结合给定定义求解参数范围即可.【小问1详解】()f x 与()g x 具有C 关系．理由如下：根据定义，若在()f x 与()g x 的定义域的交集上存在x ，使得()()0f x g x +=，则()f x 与()g x 具有C 关系．令()()()e 2xm x f x g x x =+=+-，x ∈R ，则()e 10xm x '=+>，所以()m x 单调递增，又()0121m =-=-，()1e 12e 10m =+-=->，所以()00,1x ∃∈，使得()00m x =，即()()000f x g x +=，即()f x 与()g x 具有C 关系．【小问2详解】令()()()h x f x g x =+，则()e sin xh x x k x =-，因为()f x 与()g x 在()0,π上具有C 关系，所以()h x 在()0,π上存在零点．()()1e cos xh x x k x =+-'，若01k <≤，当()0,πx ∈时，因为()1e 1xx +>，cos 1k x k -<-≤，所以()0h x '>，即()h x 在()0,π上单调递增，则()()00h x h >=，此时()h x 在()0,π上不存在零点，不满足题意．若1k >，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，()0h x '>，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()()()1e cos x x h x x k x ϕ=+-'=，则()()2e sin 0xx x k x ϕ'=++>，所以()()x h x ϕ='在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()010h k '=-<，π2ππ1e 022h ⎛⎫⎛⎫=+'> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()h x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点，设零点为α，则()0h α'=，所以当()0,x α∈时，()0h x '<；当π,2x α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>．所以()h x 在()0,α上单调递减，在(),πα上单调递增，()h x 在()0,π上存在唯一极小值α，因为()00h =，所以()0h α<，又()πππe 0h =>，所以()h x 在()0,π上存在唯一零点β，所以函数()f x 与()g x 在()0,π上具有C 关系．综上所述，1k >，即实数k 的取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是得出所以()h x 在()0,π上存在零点且．()h x 在()0,π上单调递增，推出()0h x >，然后利用给定定义得到所要求的参数范围即可．。
河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知某次降雨过程中，洛阳市区降雨量y （单位:mm)与时间t （单位:min)的函数关系可近似表示为y =90min t =时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ）A ．1 m m /min 6B ．1 m m /min 3C ．1 m m /min 2D m /min 2．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（ ） A ．48个B ．24个C ．18个D ．12个 3．函数()()e 211x x f x x -=-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．0212222412C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n ---⋅+⋅+⋅++⋅=L （ ） A ．24nB ．41n -C ．10nD ．101n - 5．已知函数321()(2)1263f x f x x '=-+-，则(1)f =（ ） A ．10 B ．343 C ．12 D ．14.6．洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（ ）A ．90种B ．150种C ．240种D ．300种 7．已知奇函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若(1)(1)f x f x x -=+-，则(2025)f '=（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．1 8．已知3eln4,eln3,34a b c ===，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<二、多选题9．对于61⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式，下列说法正确的是（ ） A ．展开式共有6项B ．展开式中的常数项是20C ．展开式中各项系数之和为0D ．展开式中的二项式系数之和为64 10．已知函数2()16ln(1)10f x x x x t =++-+，则下列结论正确的是（ ）A ．1x =是函数()f x 的极大值点B ．()f x 的单调增区间是(1,1),(3,)-+∞C ．当0t =时，直线16ln29y =-与函数()f x 的图象有3个交点D ．若函数()f x 在区间A 上，对,,,(),(),()a b c A f a f b f c ∀∈为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()f x 在区间[0,1]上是“三角形函数”，则实数t 的取值范围为16ln29t >-11．5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（ ）A ．甲不排在最中间，则不同的排法有72种B ．甲乙不相邻，则不同的排法有72种C ．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种D ．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种12．已知ln e 0y x -=，则使220x y k -->恒成立的k 值可以是（ ）A ．12-B ．2C ．4D ．5三、填空题13．在8(21)x -的展开式中，2x 的系数为.14．曲线2e ()cos xf x x=在点(0,(0))f 处的切线方程是. 15．已知正四棱锥P ABCD -，从底面四个顶点A ，B ，C ，D 和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥个.（用数字作答）16．已知函数ln 1()e xx f x +=，直线:420l mx y m -+=，若满足点(,())P x f x 在直线l 上方的正整数x 恰有一个，则实数m 的取值范围是.四、解答题17．（1）计算:54886577A A A A --; （2）1111A 1C A 1m m n n m m m n n -+-++⋅-⋅+. 18．已知斜率为1的直线l 与曲线()ln f x x =相切.(1)求直线l 的方程;(2)若直线(),0,e x t t =∈分别交曲线()y f x =和e y x=于M ，N 两点，求OMN V 的面积的最大值.（其中0为坐标原点）19．已知2n ⎫⎝的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等. (1)求展开式的通项公式和中间一项;(2)设22012444444nn n x x x a a a a x x x ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝L ，求23a a +. 20．已知函数31()4f x x ax =-+.(1)当34a =时，求()f x 的单调区间; (2)讨论函数()f x 在区间(01),内的零点的个数. 21．已知2()ln ,()2sin(1)f x x x x g x ax x =-=+-.(1)当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值; (2)若()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.22．给定函数()(21)e x f x x =-.(1)判断函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的极值;(2)证明:当0x >时，1e ()16ln 24x f x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.。
河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期6月质量检测数学试卷(含答案)
洛阳市2023——2024学年高二质量检测数学试卷本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列导数运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：x 123y2536404856且经验回归方程为，则当时，y 的预测值为（ ）A ．62.5B ．61.7C ．61.5D ．59.73．已知，则（ ）A．B ． CD ．4．已知成等比数列，则（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）A ．2B ．C ．D ．6．已知向量，则在上的投影向量为（ ）A ． B． C ．D．7．经过抛物线的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，与抛物线C 的准线交于点P ，若ππsincos 66⎛⎫'= ⎪⎝⎭'=()212122ln 2x x ++'=()1ln x x-'=⎡⎤⎣⎦2-1-ˆˆ5.5yx a =+4x =πsin 12α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πcos 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2323-2,,,,4x y z --xyz =±-16±16-()g x ()(),a g a 210x y -+=()g x ()g x '()'g a -=2-1212-()3,1,b a b =-== a b31,22⎛⎫-⎪⎝⎭31,22⎛⎫-⎪⎝⎭31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2:8C y x =,,AF AP BF成等差数列，则（）A ．B ． C．D ．8．甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者，甲、乙、丙胜各局的概率均为，且各局胜负相互独立．若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．各项系数的和是1024B ．各二项式系数的和是1024C ．含x 的项的系数是D ．第7项的系数是21010．下列命题中正确的是（ ）A ．设随机变量，若，则B ．一个袋子中有大小相同的3个红球，2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为x ，则C ．已知随机变量，若，则D ．若随机变量，则当时概率最大11．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，则下列叙述正确的是（）A ．直线与直线的斜率之积为B ．的最小值为C ．若，则的周长为D ．点P 到两条渐近线的距离之积12．如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，点F 满足，AB =16332312385161411610x ⎫-⎪⎭210-()~0,1X N ()1P X p >=()1102P X p -<≤=-()95E X =()~,X B n p ()()30,20E X D X ==23p =()~10,0.9X B 9X =12,F F 22:132x y C -=2F 1PF 2PF 32PQ PQ =1PF Q △651111ABCD A B C D -1AA ()11101A F A B λλ=≤≤则（ ）A ．三棱锥的体积是定值B ．当时，平面BDFC ．存在，使得AC 与平面BDF所成的角为D ．当时，平面BDF 截该正方体的外接球所得到的截面的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线被圆截得的弦长为_________．14．校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录，跳高记录，跳远记录工作，其中甲、乙、丙不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）15．在等差数列中，为其前n 项的和，若，则_________．16．若函数有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．（1）求B ；（2）若，求的周长l 的取值范围．18．（12分）已知正项数列的前n 项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）求证：．19．（12分）F BDE -0λ=1AC ⊥λπ323λ=56π19:0l x =()22:22C x y -+={}n a n S 486,20S S ==20S =()()12xf x e x ax =+-+ABC △sin cos C c c B -=3b =ABC △{}n a n S ()241n n S a =+{}n a 112ni iS =<∑如图所示，两个长方形框架ABCD ，ABEF 满足M ，N 分别在长方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记．（1）a 为何值时，MN 的长最小?（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 的夹角的余弦值．20．（12分）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n 次传球后球在乙手中的概率为；（1）求；（2）求；21．（12分）已知函数．（1）讨论在上的单调性；（2）证明：22．（12分）已知定圆，动圆P 过点，且和圆相切．（1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设P 是第一象限内轨迹E 上的一点，的延长线分别交轨迹E 于点．若分别为，的内切圆的半径，求的最大值．洛阳市2023——2024学年高二质量检测1,AB BC BE ===()02CM BN a a ==<<n P 123,,P P P n P ()()ln 2f x x ax =+-()f x ()0,+∞()16xf x e ax <--221:(1)8F x y ++=()21,0F 1F 12,PF PF 12,Q Q 12,r r 12PF Q △21PF Q △12r r -数学试卷参考答案一、单选题1–4DDCB5–8ACDB 二、多选题9．BD10．ABD11．BCD12．BCD三、填空题13．214．2415．11016．四、解答题17．解：（1， 1分∵，，即 3分又∵，∴． 4分（2）由（1）及正弦定理可知，，，6分∴， 7分又，∴，∴，∴，即， 9分∴的周长l 的取值范围为．10分18．解：（1）当时，得，当时，，31,0e ⎛-⎫⎪⎝⎭sin sin sin cos B C C CB -=0πC <<cos 1B B -=π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πB <<π3B=2si n b R B ===2sin a R A A ==()ππ2sin sin cos cos sin 3cos 33c R C A B A A A A ⎫==+=+=+⎪⎭π3cos 6sin 6a c A A A ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭2π03A <<π36sin 66A ⎛⎫ ⎝+⎪⎭<≤36a c <+≤69a b c <++≤(]6,9l ∈ABC △(]6,91n =2114(1)a a =+11a =2n ≥()21141n n S a --=+又，两式相减得，4分又∵，∴，∴是首项为1，公差为2的等差数列， 5分∴． 6分（2）∵，7分∴时，， 8分时，， 9分∴ 11分∴成立． 12分19．解：∵平面平面ABEF ，平面平面，∴平面ABEF ，∴，从而CB ，AB ，B E 两两垂直． 2分建立如图所示空间直角坐标系，，∵，∴．4分()241n n S a =+()()1120n n n n a a a a --+--=0n a >12n n a a --={}n a 21n a n =-()21212n n n S n +-==1n=111112Sa ==<2n≥()21111111n S n n n n n=<=---222211111111111111221232231ni iS n n n n ==++++<+-+-++-=-<-∑ 112ni iS =<∑ABCD ⊥ABCD ,ABEF AB CB AB =⊥CB ⊥CB BE ⊥()()(()()0,0,0,1,0,0,,,B A C F E CM BN a ==,,022a a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴． 5分∴时， 6分（2）由（1）可知：M ，N 为中点时，MN 最短，则，取MN中点为G ，连接AG ，BG，则，∵，∴．∴是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角．8分∵． 9分∴11分∴平面MNA 与平面MNB的夹角的余弦值为20．解：记“经过n 次传球后，球在乙手中”，，… （1）当时，当时， 3分当时， 3分（2）由即， 8分MN ==1a =minMN=11,22M N ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭12G ⎛ ⎝,AM AN BM BN ==,AG MN BG MN ⊥⊥AGB ∠11,,,22GA GB ⎛⎛==- ⎝⎝ 1cos ,5GA GB GA GB GA GB⋅=== 15n A =1,2,3n =1n =()1112P P A ==2n =()()()()()221211211111||02224P P A P A P A A P A P A A =⨯+⨯+===3n =()()()()()332322323113||04248P P A P A P A A P A P A A =⨯+⨯+===()()()()()()()111111||10122n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A P P A P ++++=-⋅+⋅===-+11122n n P P +=-+∴，∴是首项为，公比为的等比数列， 10分∴11分∴ 12分21．解：（1）由，得 1分当时，，在单调递增；当时，，在单调递减； 3分当时，可得：时，，单调递增，时，，单调递减5分综上所述，当时，在单调递增，当时，在单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减．6分（2）要证，即证，令，则，可知在上单调递增． 7分又，故在上有唯一的实根，且． 8分1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1612-1111362n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1111362n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()ln 2f x x ax =+-()12f x a x '=-+0a ≤()0f x '>()f x ()0,+∞12a ≥()0f x '<()f x ()0,+∞102a <<120,a a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-()0f x '>()f x 12,x a a -+∈∞⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<()f x 0a ≤()f x ()0,+∞12a ≥()f x ()0,+∞102a <<()f x 120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()16xf x e ax <--()1ln 26xe x -+>()()ln 2xg x e x =-+()12xg x e x '=-+()g x '()2,-+∞()12121'0,'00232g e g --=-<=⎫ ⎪⎝⎭>⎛()'0g x =()2,-+∞0x 01,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭当时，；当时，，从而当时，有最小值9分由，得，故 11分综上， 12分22．解（1）圆的圆心为，半径．设动圆P 的半径为r ，依题意有．由，可知点在圆内，从而圆P 内切于圆，故即．2分所以动点P 的轨迹E 是以为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．4分（2）设，则直线的方程为， 5分将其代人椭圆的方程可得，整理可得，则，，得，故7分当时，直线的方程为，()02,x x ∈-()'0g x <()0,x x ∈+∞()'0g x >0x x =()g x ()0'0g x =()00001,ln 22x e x x x ==-++()()000001123122222326g x g x x x x x ≥=+=++->--=++()16xf x e ax <--1F ()11,0F -R =2r PF =122F F =2F 1F 1F 12PF R PF =-1221PF PF F F +=>12,F F 2221x y +=()()()()0011122200,,,,,0,0P x y Q x y Q x y x y >>220022x y +=1F P ()0011y y x x =++()()2202021211y x x x +++=()2002200234340x x y x x x ++--=2000103423x x x x x --=+00001100003434,12312323x y x y x y x x x x ⎛⎫++=-=-+=- ⎪++++⎝⎭0010034,2323x y Q x x ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭01x ≠2F P ()0011y y x x =--将其代入椭圆方程并整理可得，同理，可得，8分由椭圆定义可知：，则和的周长均为因为，所以10分组仅当时，等号成立轴时，易知此时 11分综上的最大值为12分()2220000234340x x y x x x -+--+=0020034,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭1211122122PF PF Q F Q F Q F Q F +=+=+=21PQ F △12PQ F △12211211,22PF Q PF Q S S =⨯=⨯△△12r r -==00002323y y x x ⎫==--=⎪+-⎭0013=≤=00x y ==2PF x ⊥12,P y y ⎛== ⎝1215r r -===12r r -13。
河南省洛阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(答案图片版)
洛阳市2017—2018学年第二学期期中考试
高二数学试卷（理）
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题:本题共12个小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数
i 25+的共轭复数是A. 2-i B. 2 + i C.-2-i
D.-2 +i 2.设n 是自然数，n n f 1
(3121)
1
)(，经计算可得32)2(f ，)4(f >2, )8(f >25, )16(f >3, )32(f >27
.观察上述结果，可得出一般的结论为
A. )2(n f >
212n B. 22)(2n n f C. 22)2(n f n D. )2(n f >22n 3.曲线x x y
ln 在点1x 处的切线方程为A. 1x y B.1
x y C. x y D. 12x y 4.
dx x)cos 1(22A. B.2 . C.+2 D.-2
5.设有下面四个命题
1p :若复数z 满足R z
1
，则R z 2p :若复数z 满足R z 2，则R
z 3p :若复数21,z z 满足R z z 2
1，则21z z 4p :若复数R z 2，则R z。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。