有限元法基本原理及应用第2章重庆大学龙雪峰

第二章 弹性力学基本理论
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因此，一点的应力状态完全可以有六个应力分量确定： 用一个应力列阵表示为：
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第二章 弹性力学基本理论
• 2.2.4 应变 • 在外力作用下的物体，其内部各部分将会发生变形。为了分析某一点 的变形情况，在这一点沿着坐标轴x、y、z 的正方向取三个微小线段。 这三条线段的长度以及它们之间的直角都将会有所改变。 • 长度的改变：正应变或线应变，如εx 表示x 方向上的线应力。正应变 以伸长为正，缩短为负； • 角度的改变：切应变或剪应变， γxy 表示xy 两方向的线段之间的直角 改变量。切应变以直角变小为正，变大为负。 • 正应变和切应变都是无量纲数。由切应力互等和胡克定律，可得切应 变也是两两互等的，即
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这个极限矢量FA 就是物体在P 点所受面力的集度，因为Δ A 是标量，所以FA 的方向就是ΔF 的极限方向。矢量FA 在三个坐 标轴x、y、z 上的投影 ， 称为该物体在P 点的面力分 量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。它们的 因次是[力][长度]-2。它们的总体用一个面力列阵表示为：
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5．小变形假设。 假设物体的变形和位移比物体的尺寸小得多。这样，研 究弹性体受力之后的静力平衡时，可不考虑力的作用方向 随变形而改变；在研究变形和位移时可略去应变和转角的 二次项， 简化弹性力学的数学模型，使外力和变形成线性 关系，可使用叠加原理。
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• 2.2.7 主应变 • 由单元体六个应变分量：
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• 可以求出过该点任意方向线应变和任意两 线段之间角度的改变：
2.7 2.8
式中l、m、n 为过物体内一点P 的线 段PN 的方向余弦， l1、m1、 n1为过P 点 与PN 成θ 角的线段PN1 的方向余弦，θ’ 为物体受力变形后线段PN 与PN1 的夹角, 如图2.5 所示。
• 物体内一点（微元体）的位移由两部分组成： 一部分是刚性位移，由其它点的形变引起的位移； 另一部分是本身弹性变形产生的位移，这与应变有着确定的几何关系。 • 位移是一个矢量，用{δ}表示，在空间直角坐标系中，三个坐标方向 的位移分量用u、v、w 表示。
• 位移分量以沿坐标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。位移及 其分量的量纲为[长度]，用一个位移列阵表示为：
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2．均匀性假设。 假设物体内各处材料的力学性能完全相同，即从物体中任 意取出一个微元体进行分析，都可以使用同一组材料常数。 实际上，物体是由颗粒组成的，不可能是完全均匀的， 但只要颗粒的尺寸远远小于物体的尺寸并且均匀分布，将 物体性能看作各组成部分性能的统计平均量是没问题的。 这里的均匀性假设并不妨碍弹性力学处理由不同材料组成 的弹性体，只要在每一部分都满足均匀性假设即可。
由此：过一点有六个应变分量： ， ，可以完全确定 该点的变形状态。即如果已知一点这六个应变分量就可求出过该点任 意方向线应变和任意两线段之间角度的改变。 用一个应变列阵表示为：
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• 2.2.5 位移
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• 位移就是位置的移动，物体在受力过程中，物体上各点位置将会发生 变化，这就是该点的位移。
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• 这个极限矢量Fv 就是物体在P 点所受体力的集度，因为ΔV 是标量，所以Fv 的方向就是ΔF 的极限方向。矢量Fv 在三个 坐标轴x、y、z 上的投影X、Y、Z 称为该物体在P 点的体力 分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。它们 的因次是[力][长度]-3。它们的总体用一个体力列阵表示为: • • {FV}={X Y Z}T
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• 这个极限矢量p 就是物体在截面mn 上的、在P 点所受内力的 集度，即P 点的应力。因为ΔA 是标量，所以p 的方向就是ΔF 的极限方向。 • 对于应力，通常沿截面的法向和切向将应力分解为正应力σ 和切应力τ，如图2.3 所示。应力及其分量的因次是[力][长 度]-2。 • 在物体内的同一点，不同方向的截面上的应力是不同的。过 一点，各截面上应力的大小和方向的总和称为一点的应力状 态。
• 其中l，m，n 为斜面法线方向N 的方向余弦。
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• 由部分微元体的平衡条件可得
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2.1
此外还有关系
2.2
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• 求解如下： • 由式2.1得
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2.3
• 这是关于l、m、 n 的齐次线性方程组，因为l、m、 n 不可能都等于 零，以方程组的系数行列式应当等于零，即
2.4
• 用 方程
分别代替
并将行列式展开，得出σ 的三次
2.5
• 求解这个方程，得到σ 的三个实根σ1、σ2、σ3，即为P 点的三个主应 力。
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• 为了求得与主应力σ1对应的方向余弦l1、m1、 n1，可以利用式 中的任意两式，如前两式，
2.6
与式2.5联立解得l1、m1、 n1. • 同样可求得与主应力σ2对应的方向余弦l2、m2、 n2 ，及与主应 力σ3对应的方向余弦l3、m3、 n3。 • 可以证明，受力物体内一点总是存在三个主应力，即方程总有 三个实根，并且三个主应力方向是相互垂直的。、
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• 4．各向同性假设。 • 假设物体在各个方向的力学性能完全相同，如物体的弹 性模量、泊松比不随方向而变化。这一假设对于橡胶、塑 料等许多非晶体材料是符合的；对于钢铁等由晶体组成的 金属材料，晶体本身表现出明显的各向异性，但它们是随 机排列的，并且尺寸很小，从统计平均的效应看，也可以 作为各向同性的材料。 • 显然，如木材、竹材等在不同的方向具有不同的力学性 能，这样的材料称为各向异性材料，还有正交各向异性材 料，只在某两相互垂直方向上力学性能相同，如胶合板等。
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• 进一步分析还可知，物体内任意一点，一定存在三个相互垂直 的应变主向，这三个方向的应变称为主应变，三个主应变中最 大的一个就是该点的最大线应变，三个主应变中最小的一个就 是该点的最小线应变。三个应变主向与三个应力主向是重合的， 在线弹性范围内，存在：
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• 2.2.2 面力 • 面力也是一种外载荷，它是作用在物 体表面的力，如接触力和流体压力。 物体在其表面各点所受的面力一般是 不同的，为了表明物体在某一点P 所受 面力的大小和方向，围绕这一点在物 体表面取一小块面积ΔA，如图2.2 所示。 设作用在这小块面积上的力为ΔF，则 面力的平均集度为ΔF/ΔA。随着ΔA 的 不断减小，ΔF 和ΔF/ΔA 都将不断的改 变大小和方向。当ΔA 无限减小而趋近 于点P 时， ΔF/ΔA 将趋于某一极限值 FA，即
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• 为了研究一点的应力状态，围绕这一 点取一个微小单元体，通常用与坐标面 平行的平面，截出微小的平行六面体 单元体三个方向上的尺寸dx、dy、dz。 单元体每个面上的应力分解为一个正应 力， 两个切应力，分别与坐标轴平行； 正应力的作用面：如法线平行于x 轴的 面称为x 面，x 面上的正应力记作σx； 切应力的作用面：如τxy 表示x 面上的 切应力，应力本身方向沿y 轴，而τxz表 示x 面上的切应力，其方向沿z 轴。 正应力也可以简单的记作拉为正、压 为负。图2.4 中各面上的应力分量都是正 的。根据切应力互等定理，六个切应力 有三组互等关系，即：
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• 2.2.6 主应力 • 设经过任意一点P 的某斜面上的切应力为零，则该斜面上的正 应力称为P 点的一个主应力，该斜面称为P 点的一个主平面， 而该斜面法线的方向称为P 点的一个应力主向。 • 假设P 点有一个应力主面存在，由于该面上切应力等于零，所 以该面上全应力就是该面上的正应力，即σ。 • 该面上的全应力在坐标轴上的投影为
•
•
{δ}={u v w}T。
注： 一般，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分 量都随该点位置变化而改变，即都是位置坐标的函数。弹性力学的问题里，通常是已 知物体的形状和大小、物体的弹性常数、物体所受的力、物体边界上的约束情况或面 力，求解出应力分量、应变分量和位移分量。
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线性弹性力学中一般作如下基本假设： • 1．连续性假设。 • 假设物质毫无空隙地充满了整个物体域空间，物体是没 有空隙的连续的密实体。这一假设是建立弹性力学数学模 型和求解所必须的，因为只有介质是连续的，物体内部的 应力、应变、位移等物理量才可能是连续的，才能够用坐 标的连续函数来描述它们。 • 当然，实际上一切物体都是由原子、分子或晶体颗粒组 成的，它们之间存在着空隙，与连续性假设不符。但是， 微粒的尺寸以及相邻微粒之间的间隙与物体的尺寸相比要 小得多，因此假设物体是连续的不会引起显著误差。
注：我们通常说的集中力也是一种面力，它作用于 物体表面，但集中力是忽略了它的作用面积，认为 只作用于一点。集中力的因次是[力]，还有线分布力， 是把单位面积上的分布力乘以某一方向尺寸后得到 的单位长度的力，线分布力的因次是[力] [长度]-1。
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• 2.2.3 应力 • 应力是内力的分布集度，是描述物体内某 位置、沿某一截面分布内力的大小和方向的 物理量。物体在外力作用下，或由于温度改 变，其内部将产生内力。 • 假想用经过P 点的一个截面mn 把物体分 成两部分，取其中一部分来研究其受力，这 部分受到来自其它物体的外力，还受到去掉 部分对这部分的力的作用，在这两种力作用 下达到静力平衡。围绕截面上一点P，取微 小面积ΔA，设作用在这小块面积上的内力为 ΔF，则内力的平均集度为ΔF /ΔA。随着ΔA 的不断减小，ΔF 和ΔF /ΔA 都将不断的改变 大小和方向。当ΔA 无限减小而趋近于点P 时， 假定内力连续分布，ΔF /ΔA 将趋于某一极限 值p，即
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3．完全弹性假设。 假设除去引起物体变形的外力之后，物体形状能够完全恢 复，而没有任何残余变形并且假定材料服从胡克定律，即 应力与应变成正比，这样物体在任意瞬时，应变完全取决 于该瞬时所受外力，而与它之前加载的历史无关，与外力 施加顺序也无关。 由材料力学知，物体所受应力未达到比例极限之前，可 近似看作完全弹性体。
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第2章 弹性力学基本理论
• 2.1 弹性力学的基本假设 • 弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体 受外力作用或有温度变化等因素而发生的应力、应变 和位移。 • 为了由弹性力学问题中的已知量求出未知量，必须 建立这些已知量和未知量之间的关系，导出一套求解 的方程。 • 在导出方程时如果精确考虑所有各个方面的因素， 可能使方程无法建立或方程非常复杂，无法求解。 • 因此，通常必须按照研究对象的性质和求解问题 的范围，做出若干基本假设，从而略去一些次要因素， 使方程的建立和求解成为可能。
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上述五条基本假设中，前四条是关于物理方面的，凡是 满足这四条假设的物体称为理想弹性体， 它是由真实物体 抽象出来的物理模型；第五条假设是关于几何方面的假设。 建立在上述五条基本假设的弹性力学称为经典线性弹性力 学。
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• 2.2.1 体力 • 体力是外载荷的一种，它是随体积 分布的力，如重力和惯性力。物体内 各点所受的体力可能是不同的，为了 表明物体在某一点P 所受体力的大小和 方向，围绕这一点取物体的一小部分， 这一小块的体积假设为ΔV，如图2.1 所 示。作用在这小块体积上的力为ΔF， 则体力的平均集度为ΔF/ΔV。随着ΔV 的不断减小，ΔF 和ΔF/ΔV 都将不断的 改变大小和方向。当ΔV 无限减小而趋 近于P 时，ΔF/ΔV 将趋于一定的极限 Fv，即