精品-高考数学一轮复习第6章不等式6.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式课件理
解析 当 a＞1 时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x) ＝－loga(1－x2)＞0. 当 0＜a＜1 时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝ loga(1－x2)＞0. ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
得xy＝ ＝13， ， 所以 f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
又 3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以 6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10， 即 f(－2)的取值范围是[6,10]．
方法技巧 不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略
1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例 1. 2．不等式的性质及应用 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性 质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答 案．
A.x－1＜x＜12
C．{x|－2＜x＜1}
B.xx＜－1或x＞12
D．{x|x＜－2 或 x＞1}
解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根．
由韦达定理 －1＋2＝－ba， －1×2＝2a
⇒ab＝ ＝－ 1. 1，
∴不等式 2x2＋bx＋a＜0，即 2x2＋x－1＜0.
2．教材衍化 (1)(必修 A5P74T3)下列四个结论，正确的是( ) ①a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d；②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac
＞bd；③a＞b＞0⇒3 a＞3 b；④a＞b＞0⇒a12＞b12.
A．①② B．②③
C．①④
D．①③
解析 利用不等式的性质易知①③正确．故选 D.
(2)(必修 A5P80A 组 T3)若关于 x 的一元二次方程 x2－(m ＋1)x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ___(－__∞__，__－__3_－__2___2)_∪__(_－__3_＋__2__2_，__＋__∞__)_____．
可知 x＝－1，x＝12是对应方程的根，故选 A.
经典题型冲关
题型 1 不等式性质的应用 典例1 若 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，则|loga(1－x)|与 |loga(1＋x)|的大小关系是__|l_o_g_a(_1_－__x_)_|＞__|l_o_g_a_(1_＋__x_)_| _．
用作差法．
第6章 不等式
6．1 不等关系与不等式的 性质及一元二次不等式
基础知识过关
[知识梳理] 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a ＞ b. (2)a－b＝0⇔a ＝ b. (3)a－b＜0⇔a ＜ b.
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a . (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c . (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a. (5)若 a>b>0，m>0，则ba<ba＋＋mm； ba>ba－ －mm(b－m>0)；ab>ab＋ ＋mm； ab<ab－ －mm(b－m>0)．
4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式： y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ．
(2)顶点式： y＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2(a≠0) ． (3)两根式： y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
解析 由题意知 Δ＝(m＋1)2＋4m＞0，即 m2＋6m＋1＞ 0，解得 m＞－3＋2 2或 m＜－3－2 2.
3.小题热身
(1)(2014·四川高考)若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有
()
A.ac＞bd
B.ac＜bd
C.ad＞bc
D.ad＜bc
解析 解法一： c＜cd＜＜d0＜⇒0cd＞0⇒
ac＜bc .
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒ a＋c＞b＋d . (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ac＞bd . (7)乘方法则：a＞b＞0⇒ an＞bn (n∈N，n≥1)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，n≥2)．
3．必记结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd.
3．求代数式的取值范围 (1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次 不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例 2. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化 不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩 大其取值范围．如冲关针对训练．
5．三个二次之间的关系
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)a＞b⇔ac2＞bc2.( × ) (2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋ ∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( √ ) (3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) (4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
ccd＜cdd＜0⇒1d＜1c＜0⇒－d1a＞＞－bc＞1＞0 0⇒－da＞－cb⇒ad ＜bc.故选 D.
解法二：依题意取 a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1， 代入验证得 A，B，C 均错，只有 D 正确．故选 D.
(2)已知不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为{x|－1＜x＜2}， 则不等式 2x2＋bx＋a＜0 的解集为( )
典例2 已知二次函数 y＝f(x)的图象过原点 ， 且 1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．
运用待定系数法． 解 由题意知 f(x)＝ax2＋bx，则 f(－2)＝4a－2b， 由 f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b， 设存在实数 x，y，使得 4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， 即 4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以xx＋ －yy＝ ＝－ 4，2， 解
高考数学(文)一轮复习 6-1不等关系与不等式
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高考一轮总复习 ·数学（文）
延伸探究 2 若将本例条件改为“－1<x＋y<4,2<x－ y<3”，求 3x＋2y 的取值范围．
解 设 3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则mm＋－nn＝＝32，，
∴m＝52， n＝21，
即 3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，
考向 不等式性质的应用 例 5 已知－1<x<4,2<y<3，则 x－y 的取值范围是 _(_－__4_,2_)__，3x＋2y 的取值范围是__(_1_,1_8_)__．
[解析] ∵－1<x<4,2<y<3， ∴－3<－y<－2， ∴－4<x－y<2. 由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18.
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触类旁通 利用不等式性质进行命题的判断
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反 例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断 的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性 质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其 他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
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触类旁通 比较大小的常用方法
(1)作差法：其基本步骤为作差，变形，判断符号，得 出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用 配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．
【高考讲坛】高考数学一轮复习 第6章 第1节 不等关系与一元二次不等式课件 理 苏教版
②由①知，原不等式化为 x2－(2＋c)x＋2c<0， 即(x－c)(x－2)<0. 当 c>2 时，原不等式的解集为{x|2<x<c}， 当 c<2 时，原不等式的解集为{x|c<x<2}． 当 c＝2 时，原不等式的解集为∅.
3． (2014· 南京质检)已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． [解析] ∵x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8.
[答案] (0,8)
4．(2014· 四川高考改编)若 a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正 确的是________．(填序号) a b a b a b a b ①d＞c ；②d＜c ；③c ＞d；④c ＜d.
第一节
不等关系与一元二次不等式
内容 考纲传真 一元二次不 等式 A
要求 B C √
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b⇔a－b > 0，a<b⇔a－b < 0，a＝b⇔a－b＝0. 2．一元二次不等式 只含有 一个 未知数，并且未知数最高次数是 2 的不等式．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的 解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的 解集 有两相异实根 x1， x2(x1<x2) 有两相等实根 b x1＝x2＝－2a 没有实 数根 R Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2015高考数学(文)一轮总复习课件：6.1 不等关系与不等式
1－a
，
1
∴B＞D. 综上所述，C＞A＞B＞D.
本题易出现的错误是不能发现所给式子的特点，不能利用分类比较， 运算过于复杂而导致失误．比较两个实数(代数式)的大小通常用作差法．
比较大小的方法： (1)作差法：其一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变 形， 常采用配方、 因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式． 当 两个式子都为非负数时，也可以先平方再作差． (2)作商法：其一般步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论． (3)特例法：若是选择题，还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以 用特殊值法“探路” ．
数、解析几何、方程等知识相结合，难度一般较大，近几年有加强的
趋势，题量在1～3道题左右；从考查的分值比例看，该部分占10%左 右，少则10分，多则17分；从考查的知识点看，主要考查不等式的性
质、一元二次不等式及其解法、简单的线性规划、基本不等式．尤其
是一元二次不等式经常与导数结合． • 地区差异：本部分内容各地考查的知识点无明显差异．
x3 3 y
用 a 与 b 来表示．
批注 3：利用 a 与 b 的范围来求 lg
x3 3 y
的范围
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是 必须严格运用不等式的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了 变量的取值范围， 要特别注意． 本题易出现运用同向不等式相加这一性质时， 不能等价变形的错误．
复习策略：
•1. 对于不等式的性质，要分清条件结论，能熟练地运用不等式解决 比较大小、求代数式的范围等问题． •2. 熟练掌握解一元二次不等式的方法技巧，在解不等式时注意与二
次函数的知识相联系，注重数形结合思想，注意解含参数不等式时要
高考一轮数学第六章 第一节 不等关系与不等式
能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是 a>b＋1. [答案] A
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 潍坊模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不 等式中正确的是 A．a－b>0 C．a2－b2>0 B．a＋b>0 D．a3＋b3<0 ( )
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
函数性质在大小比较中的作用． 返回
返回
[精析考题] [例1] 系为 x y A. > x＋a y＋b x y C. ＜ x＋a y＋b B. x y ≥ x＋a y＋b (2012· 珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，则： x y 与 的大小关 x＋a y＋b ( )
序号都填上)． 解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知
成立． 答案：②③
返回
1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘； 可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要
特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不 是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可 用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制 约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范
围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运
x3 所以 y4的最大值是27.
答案：A
高考理科数学一轮复习课件不等关系与一元二次不等式
模拟测试卷及答案解析
• 答案解析 • 1.【分析】本题考查基本不等式求最值，属于基础题。将
$\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$与$a + b = 1$相乘，利用基本 不等式即可求解。 • 【解答】$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{4}{b})(a + b) = 5 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{b}} = 9$ ，当且仅当$\frac{b}{a} = \frac{4a}{b}$即$a = \frac{1}{3},b = \frac{2}{3}$时取等号，故答案为9。
模拟测试卷及答案解析
2.【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基 础题。将不等式化为标准形式后，根据判别式即可求 解。
【解答】由题意可知，不等式$mx^{2} + mx - 1 > 0$对一切实数$x$均不成立，即不等式$mx^{2} + mx - 1 leqslant 0$对一切实数$x$均成立。当$m = 0$时，不等式变为$-1 leqslant 0$，显然成立；当 $m neq 0$时，由$left{ begin{matrix} m < 0 m^{2} - 4m < 0 end{matrix} right.$解得$-4 < m < 0$。综上，实数$m$的取值范围是$-4 < m leqslant 0$。
用数轴上的两个点表示区间的两个端点，并用圆括号或方括号表示开闭
情况。例如，(a,b)表示开区间，{a}表示单点集，[a,b]表示闭区间，
2022年高中数学理一轮不等式不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义
第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式1．两个实数比拟大小的依据2．不等式的根本性质3．必记结论1a>b，ab>0⇒错误!错误!错误!错误!b>0,0错误!错误!40b>0，m>0，那么错误!错误!错误!错误!b－m>0；错误!>错误!；错误!错误!0．4．一元二次函数的三种形式1一般式：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!f min＝－错误!＞0，解得－4＜a＜0或用Δ错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! in＞0，即0时，g在[1,3]上是增函数，所以g ma＝g3，即7m－60，又因为m2－＋1－60在区间[1,5]上有解，那么a的取值范围是________．答案错误!解析由Δ＝a2＋8>0，知方程2＋a－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程2＋a－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f5>0，解得a>－错误!，故a的取值范围为错误!2．函数f＝2＋a＋31当∈R时，f≥a恒成立，求实数a的取值范围；2当∈[－2,2]时，f≥a恒成立，求实数a的取值范围；3当a∈[4,6]时，f≥0恒成立，求实数的取值范围．解1∵当∈R时，2＋a＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－43－a≤0，即a2＋4a－12≤0，∴实数a的取值范围是[－6,2]．2当∈[－2,2]时，设g＝2＋a＋3－a≥0，分如下三种情况讨论如下图：①如图1，当g的图象恒在轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－43－a≤0，即－6≤a≤2②如图2，g的图象与轴有交点，但当∈[－2，＋∞时，g≥0，即错误!即错误!可得错误!解得a∈∅③如图3，g的图象与轴有交点，但当∈－∞，2]时，g≥0即错误!即错误!可得错误!∴－7≤a≤－6综上，实数a的取值范围是[－7,2]．3令ha＝a＋2＋3当a∈[4,6]时，ha≥0恒成立．只需错误!即错误!解得≤－3－错误!或≥－3＋错误!∴实数的取值范围是－∞，－3－错误!]∪[－3＋错误!，＋∞．。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等关系与不等式课件.ppt
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
9
1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
10
2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
14
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
15
考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
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通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。
最新-2018届高考数学一轮复习 第6章第一节 不等关系与一元二次不等式课件 文 精品
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(a>0)的解集
_
思考感悟 一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交 点为(x1,0)，(x2,0)，(x1<x2)，则ax2＋bx＋c>0的 解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)是否正确？ 提示：不正确，ax2＋bx＋c>0的形式不一定是标 准的，即a不一定为正的，因而解集的形式不能 确定．
【思路分析】 本题(1)可讨论m的取值，利用 判别式来解决，对于(2)含参数的一元二次不等 式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法： 方法一是利用二次函数区间上的最值来处理； 方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来 处理，一般情况下方法二比较简单．
【解】 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0； 若 m≠0，
(2)原不等式等价于xx22－ －xx－ －22≤ >04 ⇔xx22－ －xx－ －26≤ >00 ⇔((xx－ －23))((xx＋ ＋12))≤ >00 ⇔x－>22≤ 或xx≤ <－3.1，
结合数轴知，原不等式的解集为 {x|－2≤x<－1 或 2<x≤3}．
(3)因 a>0，则原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0.(*) ①当 a＝1 时，1a＝1，所以不等式(*)解集为∅； ②当 a>1 时，1a<1，所以不等式(*)的解集为{x|1a <x<1}；
(1)2x2＋4x＋3>0； (2)－3x2－2x＋8≥0；
(3)12x2－ax>a2(a∈R)． 【思路分析】 首先将二次项系数转化为正数， 再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得 方程的两根，若不能，则再看“Δ”，利用求根 公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中 对a要分类讨论．
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。