2019-2020学年江苏省南京市高一下期末数学试卷((有答案))(已审阅)
江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为．8．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．2019-2020学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为60°．【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=，设倾斜角等于α，则0°≤α＜180°，且tanα=，∴α=60°，故答案为60°．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为32．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6=1×25=32．故答案为：32．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为1．【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式：=1，∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1．故答案为：1．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为45°．【解答】解：∵a=，b=，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=45°．故答案为：45°．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1）．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1、﹣2，又函数y=（x﹣1）（x+2）的图象开口向上，∴（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx===．∴函数y=sinx﹣cosx的最大值为．故答案为：7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为4．【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞），∴x+2＞0∴y=x+=x+2+﹣2≥2﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1时取等号，故该函数的最小值为4，故答案为：48．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，故答案为：．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．【解答】解：sin（θ+）=，利用和与差构造即可求解．∵θ∈（，），∴θ+∈（，π）∴cos（θ+）=﹣．那么：cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin sin（θ+）==．故答案为：．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为③④．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确；在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．故答案为：③④．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为﹣2．【解答】解：∵S3，S2，S4成等差数列，∴2S2=S3+S4，∴2a3+a4=0，可得q=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B⊆A，∴2a≤2，联立，解得．②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B⊆A，由2a＜1，解得a．综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8] ．【解答】解：∵a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，即n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1．∵+19≤3n，化为：λ≤=f（n）．+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min．由f（n）≤0，可得n≤，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．f（n+1）﹣f（n）=﹣=≤0，解得n≤．∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），可得f（n）min=f（5）=﹣8．则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．故答案为：（﹣∞，﹣8]．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y===≥=．当且仅当y=，x=时取等号．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π）．∴cosα==．可得：tanα=．（1）sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=×=．（2）tan2α==．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点∵MP∥AC，MP=，又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0），∴BC的斜率为=1，故直线BC的方程为y﹣0=1•（x﹣1），即x﹣y﹣1=0，故BC边上高的长度即点A到直线BC的距离，即=．（2）∵直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，∴直线l垂直于线段AB，故直线l的斜率为==4，故直线l的方程为y﹣0=4•（x﹣1），即4x﹣y﹣4=0．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB．由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．得sinB=2sinBcosB．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴cosB=，即B=．（2）在△ABC中，AB=3，BC=2，B=．由余弦定理，cos=，可得：AC=．在△ADC中，AC=，AD=1，ABCD在圆上，∵B=．∴∠ADC=．由余弦定理，cos==．解得：DC=2四边形ABCD的面积S=S△ABC +S△ADC=AD•DC•sin+AB•BC•sin=2．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x，由△CHN∽△CAB可得，即，∴NH=，∴M到地面的距离MH=MN+NH=．（2）DG=CD﹣CG=CD﹣MH=，同理EG=9﹣，∴tan∠DMG===，tan∠EMG==，∴tanθ=tan（∠EMG﹣∠DMG）===，∵0＜x≤8，∴5x+≥2=30，当且仅当5x=即x=3时取等号，∴当x=3时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴b n=3n﹣1．（2）S n==n2．∴=．∵数列{}为等差数列，∴=+，t2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），∵37=2187，38=6561．∴取k=8，可得前=36项的和为：=1700，令T n=1821=1700+，解得m=5．∴n=36+5=41．。
江苏省南京市江宁中学 2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析
江苏省南京市江宁中学 2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三个数a=0.32，之间的大小关系是( )A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b参考答案：C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用幂函数、指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜log31=0，c=20.3＞20=1．∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．2. 已知等差数列的前项和为，且，则（）A．-31 B．20 C. 31 D．40参考答案：D3. 设全集是实数集，，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C7. 若,则等于A. B. C.D.参考答案：A略5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，，则S n中最大的是( ).A. B. C. D.参考答案：C分析：利用等差数列的通项公式，化简求得，进而得到，即可作出判定．详解：在等差数列中，，则，整理得，即，所以，又由，所以，所以前项和中最大是，故选C．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前项和的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得，进而得到是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．6. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．7. “”是“”成立的（）A. 充分非必要条件.B. 必要非充分条件.C. 充要条件.D. 既非充分又非必要条件.参考答案：A【分析】依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题8. 要得到y=sin的图象，只需将y=cos（﹣）的图象上的所有点（）A．向右平移B．向左平移C．向左平移D．向右平移参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=cos（﹣）的图象上的所有点向右平移个单位，可得y=cos（﹣）=cos（﹣）=sin的图象，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式化简可得y=sin[2（x+）]，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．【解答】解：∵ =sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和与差的公式和三角函数的平移，三角函数平移时一定要遵循左加右减上加下减的原则．10. 已知集合，若，则实数a满足（A）（B）（C） (D)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为第二象限角，若，则__________．参考答案：【分析】先求出，再利用二倍角公式求的值.【详解】因为第二象限角，若，所以.所以.故答案：【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12. 化简： .参考答案：。
江苏省南京市2019-2020学年高一下学期两校期末联考数学试卷
2019-2020学年第二学期两校期末联考试高一数学试题2020.07注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考生将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案填涂在答题卡上，答在试卷上无效．一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．1．若直线l 经过两点(1,3),(3,3)--，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．在ABC 中，3,2,sin a b B ===，则角A 等于（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 3．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ） A ．23π B ．π C ．2π D ．4π 4．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=5．在ABC 中，22tan tan a B b A =，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰或直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形6．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．3+7．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．①③④D ．②③8．在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列四个等式其中正确的是（ ）A ．tan 25tan 3525tan 35︒︒︒︒++= B ．2tan 22.511tan 22.5︒︒=-C ．221cos sin 882ππ-= D ．14sin10︒-= 10．平面α，直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m n ⊥的是（ ）A ．,//m n αα⊥B ．,m a n α⊥⊥C ．,m n αα⊥⊂D ．//,//m n αα11．下列说法正确的是（ ）A ．截距相等的直线都可以用方程1x y a a+=表示 B ．方程20()x my m R +-=∈能表示平行y 轴的一条直线C ．经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D ．经过两点()()111222,,,P x y P x y 的直线方程()()()()2112110y y x x x x y y -----=12．如图(2,0),(1,1),(1,1),(2,0)A B C D --，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W ．则下述正确的是（ ）A ．曲线W 与x 轴围成的面积等于2πB ．曲线W 有5个整点（横纵坐标均为整数的点）C ．CB 所在圆的方程为：22(1)1x y +-=D ．CB 与BA 的公切线方程为：1x y +=+三、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．已知1sin 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2x =_________．14．设R θ∈，则直线sin 10x θ-+=的倾斜角α的取值范围是_________．15．圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上的一点P 出发，绕着圆锥的侧面爬行一圈，再次回到P 点，则蚂蚁经过的最短路程是__________．16．平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，圆22:()(24)1C x a y a -+-+=．若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则a 的取值范围是_______________．四、解答题：本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=的交点为M ．（1）求过点M 且与直线3:310l x y -+=平行的直线l 的方程；（2）若直线l '过点M ，且点(0,4)P 到l 'l '的方程．18．（本小题满分12分）已知5cos()13αβα+==-，其中α，β均为锐角． （1）求cos()αβ-的值；（2）求tan tan αβ⋅的值．19．（本小题满分12分）已知圆M 上一点(1,1)A -关于直线y x =的对称点仍在圆M 上，直线10x y +-=截得圆M ．（1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线20x y ++=上的动点，PE 、PF 是圆M 的两条切线，E 、F 为切点，求四边形PEMF 面积的最小值．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AD PC ⊥；（2）若E 是BC 的中点，F 在PC 上，PA ∥平面DEF ，求PF FC的值． 21．（本小题满分12分）如图，有两条相交成60°角的直路1l ，2l ，交点是O ，警务岗A 、B 分别在12,l l 上，警务岗A 离O 点1千米，警务岗B 离O 点3千米．若警员甲从A 出发沿OA 方向，警员乙从B 出发沿BO 方向，同时以4千米/小时的速度沿途巡逻．（1）当警员甲行至点C 处时，45OBC ︒∠=，求OC 的距离；（2）t 小时后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Q 为第一象限内一点，QA 垂直于x 轴，QB 垂直于射线OM ，垂足分别为A ，B ，且10,tan 2QA QB AOB ==∠=-（1）求OQ 的值；（2）已知圆C 通过O ，A ，Q ，B 四点，①求圆C的方程；②设P是圆C上的任意一点，在x轴正半轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使PEPF为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由．。
江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末数学试题
江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-2．空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A B C ．D ．183．ABC 的内角A ．B ．C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin sin 0b A a C -=，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在平面直角坐标系中，已知点1,0A ，1,2B a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2C -三点共线，则a 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A B ．1C ．2D ．136．已知两直线m ，n ，两平面α，β，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 的位置关系是（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面7．已知α，β均为锐角，若sin 5α=，cos 10β=，则αβ+的大小为（ ）A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π 8．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，且2PA PB PC ===，则球O 的体积为（ ）A ．48πB ．C ．12πD ．9．设直线l 经过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y -=B ．30x y +-=C ．10x y --=D ．x +2y =010．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下说法错误的是（ ）A ．若m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若n ⊂α，//m n ，则//m αC ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若l α⊥，m α⊥，则//m l11．过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．3460x y +-= B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =︒，6c =，若解该三角形有且只有一解，则b 的可能值为（ ）A ．5B ．C ．D ．613．直线l 平行于直线30x y -=，且与y 轴交于点(0,2)-，则l 与两坐标轴围成的三角形面积为________．14．如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，SD AB =，则异面直线SB 与AC 所成角的大小为________，二面角S-AB-D 的大小为________．15．过点()1,1A -，且与圆22:100O x y +=切于点(8,6)B 的圆的方程为________． 16．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．17．如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，3cos 5C =，7CD =，5AC =．（1）求AD 的长；（2）若8AB =，求角B 的大小18．已知函数()cos sin 3f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的值域 19．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，AC 交于BD 点O ．（1）求证：1//BD 平面MAC ； （2）求证：平面1BDD ⊥平面MAC ．20．已知ABC 的顶点()5,1B ，AB 边上的高所在的直线2l 的方程为210x y --=，角A 的平分线所在直线2l 的方程为210x y --=． （1）求直线AB 的方程； （2）求点A 的坐标； （3）求直线AC 的方程．21．某人准备利用一直角墙角用栅栏围成一四边形花圃OAPB ．如图所示，OA ，OB 为墙面，P A ，PB 为栅栏．为了美观，要求60PAO PBO ∠=∠=︒，已知栅栏总长20米．设POA a ∠=．（1）用α表示P A 和PB ；（2）当α为何值时，四边形花圃OAPB 的面积最大，并求出最大值．22．已知圆22:2O x y +=，定点()0,1P ，过P 作直线l 与圆O 交于M ，N 两点．（1）若MN =求直线l 的方程：（2）若13MP PN =，求直线l 的方程： （3）设M '为M 关于x 轴的对称点，直线NM '与MN 分别交x 轴于(),0A a ，(),0B b ，试问乘积ab 是否为定值．请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】 【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据题意，由空间两点间距离公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP ==故选：B ． 【点睛】本题考查空间两点间距离的计算，注意两点间距离公式的计算公式，属于基础题 3．A 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式，结合sin A ≠0，可求sin B ＝sin C ，即b ＝c ，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：若b sin A ﹣a sin C ＝0，则由正弦定理可得：sin B sin A ＝sin A sin C ， 由于sin A ≠0，可得sin B ＝sin C ，即b ＝c ，所以此三角形为等腰三角形．故选：A．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．C【解析】【分析】根据斜率相等即可求出a的值．【详解】解：点A（1，0），B（12，a），C（﹣1，2）三点共线，则020 11112a--=---，解得a12 =，故选：C．【点睛】本题考查了三点共线问题，属于基础题．5．A【解析】【分析】根据棱柱体积公式求得结果.【详解】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是22)14⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查棱柱体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．D【解析】【分析】由平面与平面平行的定义及空间中两直线的位置关系得答案． 【详解】 解：//αβ，α与β没有公共点，又m α⊂，n β⊂，m ∴与n 没有公共点， 则m 与n 的关系为平行或异面． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的应用，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题． 7．A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，结合两角和差的余弦公式进行转化进行求解即可． 【详解】解：∵α，β均为锐角，若sinα=，cosβ=， ∴0＜α+β＜π，cosα5==，sinβ10==，则cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ5105102=⨯-⨯=-， ∵0＜α+β＜π， ∴α+β34π=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，利用两角和差的三角公式求出余弦值是解决本题的关键．属于基础题． 8．B 【解析】 【分析】由题知球O 为以2为棱长的正方体的外接球. 【详解】PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，且2PA PB PC ===∴球O 可看作以2为棱长的正方体的外接球，设半径为R ,222222223R，即R =， ∴球O 的体积343433V.故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，解题的关键是求出半径，属于基础题. 9．AB 【解析】 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得； 【详解】解：设直线l 经过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距相等，当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为y kx =，则21k =，12k =，所以直线方程为12y x =，即20x y -=； 当截距都不为零，则设直线方程为()0x y a a +=≠，则()210a a +=≠，所以直线方程为3x y +=，即30x y +-=综上直线方程为：20x y -=或30x y +-= 故选：AB 【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，属于基础题． 10．ABC 【解析】 【分析】由直线与平面垂直的判定判断A ；由直线与直线、直线与平面平行的定义判断B ；由平面与平面垂直的性质判断C ；由直线与平面垂直的性质判断D ． 【详解】解：对于A ，若m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥，错误，添加条件m 与n 相交才正确；对于B ，若n ⊂α，//m n ，则//m α或m α⊂，故B 错误；对于C ，若αβ⊥，m α⊂，则//m β或m β⊂或m 与β相交，故C 错误； 对于D ，若l α⊥，m α⊥，则//m l ，正确． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的应用及判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 11．BC 【解析】 【分析】先化圆方程的圆心与半径，再设直线l 的方程（注意讨论斜率不存在情况），利用圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果. 【详解】22222690(1)(3)1x y x y x y +--+=∴-+-=圆心(1,3)到直线2x =距离等于1，所以直线l 的方程可以为2x = 当直线l 的斜率存在时，设:(2)l y k x =-441:(2)438033k l y x x y =∴=-∴=--∴+-=故选：BC 【点睛】本题考查圆的切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．CD 【解析】【分析】直接利用三角形的解的情况①b ＝c sin B 或②b ＜c sin B 的应用求出结果． 【详解】解：①b ＞c sin B ＝62⨯=．三角形有两解②当b ＝③当b ＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．④当b ＜ 故选：CD ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角形的解得情况的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 13．6 【解析】 【分析】先根据条件得直线l 方程，再求与两坐标轴交点，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】因为直线l 平行于直线30x y -=，且与y 轴交于点(0,2)-，所以直线l ：123y x =-，因此l 与两坐标轴交点分别为(6,0),(0,2)-， 从而l 与两坐标轴围成的三角形面积为16262⨯⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．90︒ 45︒ 【解析】 【分析】连接BD ，交AC 于点O ，取SD 的中点M ，连接OM 、AM 、CM ，则AOM ∠即为异面直线SB 与AC 所成角，由线面垂直的性质可得90ADS CDS ∠=∠=︒，再根据SAS 证明ADM CDM ≅，说明AM CM =，从而求得AOM ∠；由二面角的定义可知，SAD ∠即为二面角S AB D --的平面角，易得ADS △为等腰直角三角形，从而求得SAD ∠．【详解】解：连接BD ，交AC 于点O ，取SD 的中点M ，连接OM 、AM 、CM ，则//OM SB ， AOM ∴∠即为异面直线SB 与AC 所成角．SD ⊥面ABCD ，90ADS CDS ∴∠=∠=︒，正方形ABCD ，AD CD ∴=，又DM DM =，ADM CDM ∴≅，AM CM ∴=， O 为AC 的中点，OM AC ∴⊥，90AOM ∠=︒，故异面直线SB 与AC 所成角的大小为90︒．SD ⊥面ABCD ，SAD ∴∠即为二面角S AB D --的平面角．SD AB AD ==，Rt ADS ∴为等腰直角三角形，45SAD ∴∠=︒．故二面角S AB D --的大小为45︒．故答案为：90︒；45︒．【点睛】本题考查空间中角的求法，通过平移的思想找出异面直线的平面角，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于中档题．15．22(4)(3)25-+-=x y【解析】【分析】设所求圆的圆心为(,)C a b ，由题意可得CA ＝CB ，OB OC K K =，解方程组求得a 、b 的值，可得圆的半径，从而求得圆的方程．【详解】设所求圆的圆心为(,)C a b ，由题意可得CA ＝CB ，OB OC K K =，∴2222(1)(1)(8)(6)a b a b -++=-+-，且060080b a --=--,解得43a b =⎧⎨=⎩，半径5r ==， 故所求圆的方程为22(4)(3)25-+-=x y ．故答案为：22(4)(3)25-+-=x y ．【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，考查圆与圆相切的性质，考查分析能力和计算能力，属于基础题．16．()3,7【解析】【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ，所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ， 则两圆圆心距为：5OA =，因为圆O 上存在两点到A 的距离为2，所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<.所以r 的取值范围是：()3,7.故答案为：()3,7【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题.17．（1）AD =（2）6B π=【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【详解】解：（1）在ADC 中，3cos 5C =，7CD =，5AC =． 利用余弦定理2222232cos 57257325AD AC CD AC CD C =+-=+-⨯⨯⨯=，解得AD =（2）利用余弦定理222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==，所以sin sin BDA ADC ∠=∠=，在ABD △中，利用正弦定理sin sin AB AD BDA B =∠∠，整理得12sin 82B ∠==， 故6B π=．【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．（1）T π=；（2）12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】【分析】（1）利用两角和差的三角公式以及辅助角公式，进行化简．（2）根据x 的范围，求出23x π+的范围，结合正弦函数最值与角的关系进行求解即可． 【详解】解：（1）1()cos sin cos sin 32f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin cos 2x x x =11cos2sin 242x x +=1111sin 22sin 22sin 242223x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则函数的最小正周期22T ππ==． （2）当02x π<<，则02x π<<，即42333x πππ<+<， 则当232x ππ+=，1()2f x =，当4233x ππ+=，1()(2f x =⨯=则1()2f x <，即函数()f x 的值域为12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化，结合三角函数的周期以及值域性质是解决本题的关键．属于中档题．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角形中位线性质得1//BD MO ,再根据线面平行判定定理得结果；（2）先证明AC ⊥平面1BDD ，再根据面面垂直判定定理得结果.【详解】（1）连MO ，因为,M O 分别为1,DD BD 中点,所以1//BD MO1BD ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，所以1//BD 平面MAC ；（2）正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1ABCD DD AC ∴⊥因为正方体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥因为1,BD DD 是平面1BDD 内两相交直线，所以AC ⊥平面1BDD ，因为AC ⊂平面MAC ，所以平面1BDD ⊥平面MAC ．【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理，考查基本分析论证能力，属基础题. 20．（1）2110x y +-=；（2）(3,5)A ；（3）211490x y -+=【解析】【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件的应用求出直线AB 的斜率，进一步求出直线AB 的方程．（2）利用二元一次方程组的应用求出交点的坐标．（3）利用到角公式和点斜式的应用求出直线的方程．【详解】解：（1）AB 边上的高所在的直线1l 的方程为210x y --=，所以直线AB 上的高的斜率12k =，直线AB 的斜率为12k =-． 所以直线AB 的方程为12(5)y x -=--，整理得2110x y +-=．（2）角A 的平分线所在直线2l 的方程为210x y --=．所以2110210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩故(3,5)A ．（3）由于直线AB 的斜率2AB k =-，角A 的平分线的斜率2k =，设直线AC 的斜率AC k k =， 利用到角公式：()2(2)212212k k ---=+-⨯+，解得211k =， 所以直线AC 的方程为25(3)11y x -=-，整理得211490x y -+=． 【点睛】本题考查的知识要点：直线方程的求法，直线垂直的充要条件，点斜式，到角公式，二元一次方程组的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21．（1）20sin sin cos PA ααα=+，20cos sin cos PB ααα=+．（2）4πα= 时， 75max S =+【解析】【分析】（1）在AOP 中和BOP △ 中各用一次正弦定理，可得到sin cos m n αα=，又因为20m n +=，解方程即可求出m ，n 关于α的表达式；（2）把四边形花圃OAPB 的面积看成AOP 中和BOP △ 面积之和，用m ，n 来表示，再把第（1）问结果代入化简得到150S =出S 的最大值．【详解】解：（1）设PA m =，PB n =，则20m n +=，在AOP 中由正弦定理得sin sin 60PA OP α=︒， 在BOP △ 中由正弦定理得sin(90)sin 60PB OP α=︒-︒， ∴sin sin(90)PA PB αα=︒-， 即sin cos m n αα=，又20m n +=，则20n m =-， ∴cos (20)sin m m αα=-，∴(sin cos )20sin m ααα+=， ∴20sin sin cos PA m ααα==+， 20cos sin cos PB n ααα==+． （2）过P 作PM OA ⊥ 于M ，作PN OB ⊥ 于N ，60PAO PBO ∠=∠=︒，∴1,2AM m PM ==，1,2BN n PN ==， ∴ 四边形花圃OAPB 面积：11()()22S AM PN PM BN PM PN =+++1131133()()2222m m n m n =++223)4m n mn =++， 又2222222220sin 20cos (sin cos )(sin cos )m n αααααα+=+++ 2400400(sin cos )1sin 2ααα==++， 2400sin cos 200sin 2(sin cos )1sin 2m n αααααα==++，∴4003200sin 21sin 241sin 2S ααα+++150sin 21sin 2αα=+=150=当sin21α= 即4πα= 最小值为75-， ∴150(7575max S =--=+【点睛】本题考查解三角形综合应用，三角函数最值问题，二倍角公式，把实际问题利用数学模型转化为数学语言是解题的关键，属于中档题．22．（1）10x y -+=或10x y +-=；（2220y -+=220y +-=．（3）ab 为定值，其定值为2；【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为1y kx -=，根据弦长公式求解即可；当k 不存在时，直线l 的方程为0x =，此时MN =（2）根据定点(0,1)P 分M ，N 关系13MP PN =，P 分线段MN 为4等分点，即可求解直线方程k ；（3）设N 的坐标为(,)s t ，M 的坐标为(,)m n ，M '为M 关于x 轴的对称点的坐标为(,)m n -，求解直线NM '与MN ，从而求解a 和b ，可知乘积ab 是否为定值；【详解】解：（1）当k 不存在时，直线l 的方程为0x =，此时MN =当k 存在时，设直线l 的方程为1y kx -=，MN =，半径r =l 的距离1:2d ==12=，解得1k =±， ∴直线l 的方程为10x y -+=或10x y +-=（2）根据定点(0,1)P 分M ，N 关系13MP PN =，P 分线段MN 为4等分点，k ∴存在； 设直线l 的方程为1y kx -=，∴12NM ①，14MN ② 由①②解得：223d =∴圆心到直线l 的距离d =21213k =+．得2k =± ∴直线l 220y -+=220y +-=．（3）设N 的坐标为(,)s t ，M 的坐标为(,)m n ，M '为M 关于x 轴的对称点的坐标为(,)m n -，10MN t n n k s m m --==--，M N t n k s m'+=-， ∴直线NM '方程为：()t n y n x m s m ++=--与x 轴交点为A ，此时()s m n a m t n -=++； 直线MN 方程为：()t n y n x m s m --=--与x 轴交点为B ，此时()n s m b m t n--=+-； 那么222222m t s n ab t n -=-， 222s t +=，222m n +=，222222222222(2)(2)2m t s n n t t n ab t n t n----∴===-- 故得ab 为定值，其定值为2；【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求解直线和圆相交的弦长计算．属于中档题．。
2019-2020学年南京市名校新高考高一数学下学期期末监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．512- D ．322．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ）A ．14B ．27C ．28D ．323．执行如图所示的程序框图，若输入4N =，则输出的数等于（ ）A ．54B ．45C ．56D ．654．如图，函数tan cos 0,,22y x x x πππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，3AB =，3C π=，O 为ABC ∆的外接圆的圆心，则CO =（ ）A ．3B ．23C ．3D ．66．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．56-B ．5-C ．6 D ．257．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则23a b +=（ ） A ．(5,10)-- B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4-- 8．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为A ．B ．C ．D ．9．已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ） A ．2B 10C ．4D ．1010．已知公式为正数的等比数列{}n a 满足：11a =，22844a a a ⋅=，则前5项和5S =( )A ．31B ．21C ．15D ．1111．下列各数中最小的数是（ ） A ．(9)85B ．(6)210C ．(4)1000D ．(2)11111112．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）A ．910B ．45C ．710D ．35二、填空题：本题共4小题13．在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点()00,P x y ，且(0)OP r r =>，定义： 00cos y x si rθ-=，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若cos 0si θ=，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________ ． 14．已知α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，则αβ+=__________． 15．若角α的终边经过点()2,1P -，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 16．（如下图）在正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
南京市2019学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1．2sin15°cos15°=．2．经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为．3．在等差数列{a n}中，已知a1=3，a4=5，则a7等于．4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x﹣2y+m﹣1=0在y轴上的截距为，则实数m的值为．5．不等式＞3的解集是．6．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y﹣1=k（x﹣）不经过第四象限，则实数k的取值范围是．7．如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE=90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是．9．记数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3，则数列{a n}的第6项a6=．10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥A﹣CPC1的体积是．11．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ12．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c＜4的解集是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则+的最小值是．14．已知等差数列{a n}是有穷数列，且a1∈R，公差d=2，记{a n}的所有项之和为S，若a12+S ≤96，则数列{a n}至多有项．二、解答题:本大题共6小题，共90分。
江苏省南京市金陵中学2019-2020学年下学期期末考试高一数学试卷(含解析)
江苏省南京市金陵中学2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知tanα＝﹣，tan（α+）的值为（）A．B．7 C．D．﹣72．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣3．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x+y﹣6＝0 D．x﹣y+1＝04．若直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的最大值为（）A．B．1 C．D．5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．7．△ABC中A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足，则角C的范围是（）A．B．C．D．8．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．二、多项选择题（共4小题）.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分. 9．已知函数f（x）＝4cos22x，则下列说法中正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）的最小正周期为C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）的值域为[0，4]10．对于△ABC，下列说法中正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形C．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或11．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（）A．B．C．D．12．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若圆（x﹣a+1）2+（y﹣a﹣2）2＝1上存在点M满足＝3，则实数a的值可以为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2三、填空题（共4小题）.13．在△ABC中，已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，1），则BC边上的中线长为．14．过P（5，4）作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的切线，切点分别为A，B，则四边形PACB 的面积为．15．如图，三个全等的三角形△ABF、△BCD、△CAE拼成一个等边三角形ABC，且△DEF 为等边三角形，若EF＝2AE，则tan∠ACE的值为．16．已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则的最小值为，此时a的值为．四、解答题（共6小题）.17．如图，在△ABC中，A（5，﹣2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求△ABC的面积．18．设x＞0，y＞0，xy＝x+4y+a，其中a为参数．（1）当a＝0时，求x+y的最小值；（2）当a＝5时，求xy的最小值．19．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1．现以AD 为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，如图2．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求CD与平面BEC所成角的正弦值．21．如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN 经过△ABC的中心G，设∠MGA＝a（）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数．（2）求y＝的最大值与最小值．22．如图，已知圆C：x2+y2＝4与x轴的左右交点分别为A，B，与y轴正半轴的交点为D，（1）若直线l过点（2，4）并且与圆C相切，求直线l的方程；（2）若点M，N是圆C上第一象限内的点，直线AM，AN分别与y轴交于点P，Q，点P是线段OQ的中点，直线MN∥BD，求直线AM的斜率．江苏省南京市金陵中学2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一.单项选择题（共8小题）.1．已知tanα＝﹣，tan（α+）的值为（）A．B．7 C．D．﹣7【分析】由条件利用两角和的正切公式可得tan（α+）＝＝，运算求得结果．解：利用两角和的正切公式可得tan（α+）＝＝＝＝，故选：A．2．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，可知：＝+，＝，＝＝，＝﹣+．故选：C．3．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x+y﹣6＝0 D．x﹣y+1＝0【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程．解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为k＝＝﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为y﹣＝1×（x﹣），即x﹣y+1＝0，故选：D．4．若直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的最大值为（）A．B．1 C．D．【分析】由题意画出图形，利用圆心到直线的距离等于半径列式求k，则答案可求．解：直线l：y+1＝k（x+）过定点A（，﹣1），圆C：x2+y2＝1，如图：化直线l的方程为kx﹣y+．原点O到直线的距离d＝，解得k＝0或k＝．由图可知，要使直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的最大值为．故选：D．5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r＝＝，由此能求出该圆柱的体积．解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r＝＝，∴该圆柱的体积：V＝Sh＝＝．故选：B．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值．【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），＝（﹣2，2，1），＝（0，﹣2，0），设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．故选：C．7．△ABC中A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足，则角C的范围是（）A．B．C．D．【分析】化简已知不等式可得a2+b2﹣c2≥ab，利用余弦定理得，利用余弦函数的图象和性质可求C的范围．解：由，得：a（a+c）+b（b+c）≥（b+c）（a+c），化简得：a2+b2﹣c2≥ab，同除以2ab，利用余弦定理得，，所以，故选：A．8．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1＝﹣4＝﹣4＝5﹣4．故选：B．二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数f（x）＝4cos22x，则下列说法中正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）的最小正周期为C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）的值域为[0，4]【分析】利用二倍角的三角函数化简函数的解析式，然后判断函数的奇偶性，求出函数的周期，函数的值域，判断函数的对称轴，即可推出结果．解：函数f（x）＝4cos22x＝2cos4x+2，函数是偶函数，所以A不正确，函数的周期为：，所以B正确；当x＝时，f（x）＝0，函数取得最小值，x＝为函数的对称轴正确；所以C正确；函数的值域为：[0，4]；所以D正确；所以选项B、C、D正确，故选：BCD．10．对于△ABC，下列说法中正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形C．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或【分析】A，由题可知，2A＝2B或2A+2B＝π，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，即A错误；B，角A与角B互余，所以△ABC为直角三角形，即B正确；C，利用正弦定理将角化边，有a2+b2＜c2，由余弦定理知，cos C＝＜0，可推出△ABC为钝角三角形，即C正确；D，由正弦定理知，⇒sin C＝⇒C＝60°或120°，然后分两类讨论：当C＝60°时，△ABC为直角三角形，可求得S△ABC；当C＝120°时，△ABC为等腰三角形，可求得S△ABC＝．解：对于选项A，若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B＝，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以A错误；对于选项B，若sin A＝cos B，则A与B互余，所以△ABC为直角三角形，所以B正确；对于选项C，由正弦定理知，，若sin2A+sin2B＜sin2C，则a2+b2＜c2，由余弦定理知，cos C＝＜0，所以C为钝角，△ABC为钝角三角形，即C正确；对于选项D，由正弦定理知，，即，所以sin C＝，因为C∈（0，180°），所以C＝60°或120°，当C＝60°时，△ABC为直角三角形，且A＝90°，所以S△ABC＝AB•AC＝；当C＝120°时，△ABC为等腰三角形，BC＝AC＝1，所以S△ABC＝BC•AC•sin C＝．综上所述，△ABC的面积为或，所以D正确．故选：BCD．11．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（）A．B．C．D．【分析】对于A，由∠BAD＝，CE∥AD，得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由CE⊥AB，DE⊥AB，得直线AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为，知直线AB与平面CDE不垂直；对于D，推导出DE⊥AB，CE⊥AB，从而AB⊥平面CDE．解：对于A，∵∠BAD＝，CE∥AD，∴AB与CE不垂直，∵CE⊂平面CDE，∴直线AB与平面CDE不垂直，故A错误；对于B，∵CE⊥AB，DE⊥AB，CE∩DE＝E，∴直线AB⊥平面CDE，故B正确；对于C，AB与CE所成角为，∴直线AB与平面CDE不垂直，故C错误；对于D，如图，∵DE⊥BF，DE⊥AF，BF∩AF＝F，∴DE⊥平面ABF，∵AB⊂平面ABF，∴DE⊥AB，同理得CE⊥AB，∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面CDE，故D正确．故选：BD．12．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若圆（x﹣a+1）2+（y﹣a﹣2）2＝1上存在点M满足＝3，则实数a的值可以为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】设点M的坐标为（x，y），则（x+1，y）•（x﹣1，y）＝3，即x2+y2＝4，原问题可转化为圆（x﹣a+1）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆x2+y2＝4有公共点（相交或外切或内含），故2﹣1≤≤2+1，解之可得a的取值范围，再对比选项即可得解．解：设点M的坐标为（x，y），∵＝3，∴（x+1，y）•（x﹣1，y）＝3，即x2+y2＝4．若圆（x﹣a+1）2+（y﹣a﹣2）2＝1上存在点M满足＝3，则圆（x﹣a+1）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆x2+y2＝4有公共点（相交或外切或内含），∴2﹣1≤≤2+1，解得﹣2≤a≤1．故选：ABC．三、填空题（共4小题）.13．在△ABC中，已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，1），则BC边上的中线长为．【分析】由题意利用中点公式、两点间的距离公式，求得结果．解：△ABC中，已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，1），则BC边上的中点D（﹣1，2），故BC边上的中线长为AD＝＝，故答案为：．14．过P（5，4）作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的切线，切点分别为A，B，则四边形PACB 的面积为10．【分析】根据题意，分析圆C的圆心以及半径，由圆的切线的性质可得△APC≌△BPC，进而求出AP、PC的长，又由S四边形APBC＝2S Rt△APC＝2××AP×AC，计算可得答案．解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0，变形可得（x﹣l）2+（y﹣1）2＝5，其圆心C（1，1），半径r＝，PA与PB分别为圆C的切线，则PA⊥AC，PB⊥BC，必有△APC≌△BPC，由P（5，4），得到CP＝＝5，则在Rt△APC中，AP＝＝2，则S四边形APBC＝2S Rt△APC＝2××AP×AC＝10．故答案为：10．15．如图，三个全等的三角形△ABF、△BCD、△CAE拼成一个等边三角形ABC，且△DEF 为等边三角形，若EF＝2AE，则tan∠ACE的值为．【分析】如果设AE＝x，根据题意可知CD＝AE＝x，EF＝DE＝2x，且∠CAE+∠ACE＝60°，由此在△ACE中借助于正弦定理，构造出∠ACE的方程，问题可解．解：如图，设∠ACE＝α，EF＝2AE＝2x，因为△ABF≌△BCD≌△CAE，且△ABC与△DEF均为为等边三角形，所以∠ACE＝∠BAF，所以∠ACE+∠CAE＝∠CAE+∠BAF＝60°，所以∠CAE＝60°﹣α．结合EF＝2AE＝2x可得CD＝AE＝x，DE＝EF＝2x，所以CE＝3x，在△ACE中，由正弦定理得，即，即sin（60°﹣α）＝3sinα，即，所以，解得．故答案为：．16．已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则的最小值为6，此时a的值为．【分析】由题知（a+b）2＝1，故＝＝，再利用基本不等式的性质即可得解．解：∵a+b＝1，∴（a+b）2＝1，∴＝＝＝+2≥2+2＝6，当且仅当＝，即，b＝时，等号成立．故答案为：6；．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图，在△ABC中，A（5，﹣2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）直接利用中点的坐标公式的应用求出结果．（2）利用两点间的距离公式的应用和点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）由题意，设点C（x，y），根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x 轴上，根据中点公式，可得，解得：，所以点C的坐标是（﹣5，﹣4）．（2）由题设|AB|＝．又由直线AB的方程为3x﹣y﹣17＝0，故点C到直线AB的距离，所以△ABC的面积．18．设x＞0，y＞0，xy＝x+4y+a，其中a为参数．（1）当a＝0时，求x+y的最小值；（2）当a＝5时，求xy的最小值．【分析】（1）利用“1”的代换法，转化化简，通过基本不等式求解表达式的最小值即可．（2）利用基本不等式转化求解xy的最小值即可．解：（1）当a＝0时，xy＝x+4y，两边同除以xy得，则x+y＝（x+y）（）＝≥2+5＝9，当且仅当，即x＝6，y＝3时取“＝”，即当a＝0时，x+y的最小值为9；（2）当a＝5时，xy＝x+4y+5≥2+5＝4+5，即有（）2﹣4﹣5＝（）（）＝0，所以≥5，即xy≥25，当且仅当x＝4y，即x＝10，y＝时取“＝”，即当a＝5时，xy的最小值为25．19．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD＝2DC，由AD 平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B＝，sin∠C＝，从而得解．（2）由（1）可求BD＝．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB＝2AC，令AC＝x，则AB＝2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵＝＝2∴BD＝2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC在△ABD中，＝，∴sin∠B＝在△ADC中，＝，∴sin∠C＝；∴＝＝．…6分（2）由（1）知，BD＝2DC＝2×＝．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∴＝＝2，∴AB＝2AC，令AC＝x，则AB＝2x，∵∠BAD＝∠DAC，∴cos∠BAD＝cos∠DAC，∴由余弦定理可得：＝，∴x＝1，∴AC＝1，∴BD的长为，AC的长为1．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1．现以AD 为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，如图2．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求CD与平面BEC所成角的正弦值．【分析】（1）推导出BD⊥BC，DE⊥AD，DE⊥平面ABCD，BC⊥DE，由此能证明BC ⊥平面BDE．（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CD与平面BEC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1．∴BD＝BC＝＝，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，∵以AD为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，∴DE⊥AD，∵平面ADEF与平面ABCD垂直，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴DE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥DE，∵BD∩DE＝D，∴BC⊥平面BDE．（2）解：由（1）知DA、DC、DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，C（0，2，0），D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，0，1），＝（0，﹣2，0），＝（1，1，﹣1），＝（0，2，﹣1），设平面BEC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（1，1，2），设CD与平面BEC所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．21．如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN 经过△ABC的中心G，设∠MGA＝a（）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数．（2）求y＝的最大值与最小值．【分析】（1）根据G是边长为1的正三角形ABC的中心，可求得AG，进而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面积公式求得S1，同理可求得S2（2）把（1）中求得S1与S2代入求得函数的解析式，进而根据α的范围和余切函数的单调性求得函数的最大和最小值．解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝，∠MAG＝，由正弦定理得则S1＝GM•GA•sin a＝同理可求得S2＝（2）y＝＝＝72（3+cot2a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值y max＝240当a＝时，y取得最小值y min＝21622．如图，已知圆C：x2+y2＝4与x轴的左右交点分别为A，B，与y轴正半轴的交点为D，（1）若直线l过点（2，4）并且与圆C相切，求直线l的方程；（2）若点M，N是圆C上第一象限内的点，直线AM，AN分别与y轴交于点P，Q，点P是线段OQ的中点，直线MN∥BD，求直线AM的斜率．【分析】（1）根据相切得d＝r，即＝2，可得．（2）联立方程组解得M，N的坐标，再根据平行得斜率相等，可解得k．解：（1）当斜率不存在时，直线x＝2满足要求；当斜率存在时，设切线方程为y﹣4＝k（x﹣2），即kx﹣y+4﹣2k＝0，则由相切得d＝r，即＝2，解得k＝综上得：切线方程为x＝2或3x﹣4y+10＝0．（2）显然直线AM的斜率存在，故设直线AM的方程为y＝k（x+2），（k＞0），由消去y得（1+k2）x2+4k2x+4k2﹣4＝0，因为x A＝﹣2，所以，代入y＝k（x+2），得，所以．在y＝k（x+2）中，令x＝0，得y P＝2k，而点P是线段OQ的中点，所以y Q＝4k．所以直线AN的斜率．在点中，用2k代k，得．所以，因为MN∥BD，所以k BD＝﹣1，即，即2k2+3k﹣1＝0，又k＞0，所以解得．。
江苏省南京市2019年高一下学期期末数学试卷A卷
江苏省南京市2019年高一下学期期末数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5}则（）A . {1,6}B . {4,5}C . {2,3,7}D . {2,3,4,5,7}2. （2分）(2016·潮州模拟) 已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a +3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7 ，则b6b7b8等于（）A . 1B . 2C . 4D . 83. （2分）已知点A（﹣3，5，2），则点A关于yOz面对称的点的坐标为（）A . （3，5，2）B . （3，﹣5，2）C . （3，﹣5，﹣2）D . （﹣3，﹣5，﹣2）4. （2分）过点（1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线的方程为（）A . 2x+y﹣1=0B . 2x+y﹣5=0C . x+2y﹣5=0D . x﹣2y+7=05. （2分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）A . 3B . 1C . －5D . －66. （2分） (2019高二上·青岛期中) 方程不能表示圆，则实数的值为（）A . 0B . 1C .D . 27. （2分）直线2x﹣y+7=0的纵截距为（）A . 7B . -1C .D . -8. （2分） (2018高二上·万州期中) 已知四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二下·汕头期中) 等差数列中，，（）A .B .C .D .10. （2分） A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（）A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条11. （2分） (2017高一上·福州期末) 如下图，梯形中，∥ , , ,,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面 .给出下面四个命题：① ；②三棱锥的体积为；③ 平面；④平面平面 .其中正确命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④12. （2分） (2018高二上·新乡月考) 在中，若，则其面积等于（）A . 12B .C . 28D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设x，y为正数，则的最小值是________14. （1分） (2017高二上·大庆期末) 过点P（﹣1，2）且与直线2x+y﹣5=0平行的直线方程为________．15. （1分）定义：min{a1 ， a2 ， a3 ，…，an}表示a1 ， a2 ， a3 ，…，an中的最小值．若定义f （x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N* ，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是________16. （1分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高三上·湖北期中) 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．18. （10分）(2020·新沂模拟) 已知分别是三个角所对的边，且满足．（1）求证：；（2）若 , ，求的值．19. （15分）如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；（2）证明：BD∥面PEC；（3）求该几何体的体积．20. （10分） (2015高一下·湖州期中) 已知等比数列{an}的首项a1= ，公比q满足q＞0且q≠1，又已知a1 ， 5a3 ， 9a5成等差数列；（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=log3 ，记Tn= ，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N* ，均有Tn＞成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由．21. （5分） (2016高二上·吉安期中) 已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．22. （5分） (2017高三上·湖南月考) 选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知函数．解不等式；（Ⅱ）已知均为正数．求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、第11 页共11 页。
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省南京市南门中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析
江苏省南京市南门中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若则实数的取值范围是（）A．；B. ；C. ；D.参考答案：B2. 已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( )A.k≥或k≤－4B.－4≤k≤C. ≤k≤4D.－≤k≤4参考答案：A略3. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )．A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样参考答案：D略4. 已知函数，则函数的最大值是（）A．22 B．13 C．11 D．－3参考答案：B5. 执行如图所示的程序框图，若输出的值在集合中，则输入的实数x的取值集合是（）A．[－1,10] B．[1,10] C．[－1,0)∪[1,10] D．[－1,0]∪[1,10]参考答案：D(1)若，则，(2)若，则，综上所述，则6. 在等羞数列{a n}中，a5=33，a45==153，则201是该数列的A、第60项B、第61项C、第62项D、第63项参考答案：B7. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,,则B．若,,,则C．若,,,则D．若,,,则参考答案：D8. 若a,b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A【详解】根据不等式的性质，由a＞b＞0可推出a2＞b2；但，由a2＞b2无法推出a＞b＞0，如a=-2,b=1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件，故选A.9. 已知全集I＝｛x|x 是小于9的正整数｝，集合M＝｛1，2，3｝，集合N＝｛3，4，5, 6｝，则（I M）∩N等于（）A.｛3｝B.｛7，8｝C.｛4，5, 6｝D. {4, 5，6, 7，8｝参考答案：C10. 已知，则等于（）A．8 B．-8 C. D．参考答案：B由，可得，∴，，∴．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时，.参考答案：略12. 函数在[2013,2013]上的最大值与最小值之和为 ______________．参考答案：略13. 已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）= ．参考答案：【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】将点的坐标代入解析式，求出a，再令x=9，求f（9）即可．【解答】解：由题意f（3）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（9）=故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．14. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1中点，则三棱锥D-A1BC 的体积为▲．参考答案：由题意，三棱锥D-A1BC的体积等于三棱锥A1-BCD的体积，则A1到平面BCD等于正三角形A1B1C1的高，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，三棱锥A1-BCD的体积为.15. 已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝_____．参考答案：14【分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，x1+x2＝4，x1x2＝1，x12+x22＝(x1+x2)2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．16. 的最小正周期为________________.参考答案：略17. 若，则的值为参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年江苏省南京市两校高一下学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南京市两校高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．若直线l 经过两点(1,3),(3,3)--，则直线l 的斜率为（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】D【解析】根据斜率公式求得l 的斜率. 【详解】由于直线l 经过两点(1,3),(3,3)--，所以直线l 的斜率为()33633142--=-=---.故选：D 【点睛】本小题主要考查斜率公式，属于基础题. 2．在ABC中，3,2,sin a b B ===，则角A 等于（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】D【解析】利用正弦定理求得sin A ，由此求得A . 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B=，即3sin sin A A =⇒=.所以A 为3π或23π. 故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理即三角形，属于基础题.3．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ） A ．23πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】利用正方形的内切圆求得最大圆柱的底面积，进而求得圆柱的体积. 【详解】正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切圆半径为1，面积为21ππ⨯=，以此内切圆为底、高为2的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为22ππ⨯=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆柱体积计算，属于基础题.4．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为 （ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-= C ．210x y --= D ．210x y -+=【答案】C【解析】由题意，求出圆的标准方程，再求出圆心与点p 确定直线的斜率为101132-=--，再利用垂径定理求得弦AB 直线斜率，再用点斜式求出方程. 【详解】圆2260x y x +-=的标准方程为22(3)9x y -+=又因为点()1,1P 为圆的弦AB 的中点， 圆心与点P 确定直线的斜率为101132-=-- 故弦AB 所在直线的斜率为2所以直线AB 的直线方程：y-1=2（x-1） 即2x-y-1=0 【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合知识，对于直线和圆的相关知识点的熟练运用是解题的关键.属于较易题.5．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】运用正弦定理以及化切为弦，将已知等式化为sin 2sin 2A B =，结合角的范围，即可得出结论. 【详解】22tan tan a B b A =化为22sin sin sin sin cos cos A B B AB A⋅⋅=， ,(0,),sin 0,sin 0A B A B π∈∴>>，sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅=，,A B 至少有一个是锐角，sin 2sin 20,2,2(0,)A B A B π=>∈，22A B =或22A B π+=，A B ∴=或2A B π+=,所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，以及三角恒等变换判定三角形形状，由三角函数值确定角要注意角的范围，属于中档题.6．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．3【答案】A【解析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 2cos 222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.7．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的AB平面MNP的图形的序号是（）中点，能得出//A．①③B．①④C．①③④D．②③【答案】B【解析】利用线面平行、线面相交的知识对四个图形逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知BC AD MN BD NP，由于BC⊄平面MNP，MN⊂平面MNP，所以// ////,//BC平BD平面MNP；由于面MNP；由于BD⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以//BC BD B=，所以平面//AB平面MNP，所以①正确.ACBD平面MNP，所以//对于②，如图，设BC与DE相交于O，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结AB ON，因为ON与平面MNP相交，所以AB与平面MNP不合正方体的性质可知//平行，所以②错误.AB CM，而CM与对于③，如图，设C是AD的中点，因为M是BD的中点，所以//平面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所以③错误.对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知////AB CD NP ，AB ⊄平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，所以//AB 平面MNP ，所以④正确.综上所述，正确的序号有①④. 故选：B 【点睛】本小题主要考查线面平行的判断方法，属于中档题.8．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +. 【详解】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 二、多选题9．下列四个等式其中正确的是（ ） A ．tan 25tan 35325tan 353︒︒︒︒++=B ．2tan 22.511tan 22.5︒︒=-C ．221cossin 882ππ-=D．14sin10cos10︒︒-= 【答案】AD【解析】根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角恒等变换一一计算可得答案. 【详解】 A 选项，tan 25tan 35tan(25351tan 25tan 3)5︒︒︒︒︒︒++==-tan 25tan 35tan 25tan 3525t )an 35︒︒︒︒︒︒∴-=+=tan 25tan 3525tan 3525tan 3525tan 35︒︒︒︒︒︒︒︒∴+=+=所以正确；B 选项，2tan 22.5tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒︒==-+，2tan 22.511tan 22.52︒︒∴=-，所以错误； C 选项，22cos sin cos(2)cos 88842ππππ-=⨯==，所以错误； D 选项，132(cos10sin10)1cos103sin1022sin10sin10cos10︒--==2(sin 30cos10cos30sin10)2sin 204112sin10cos10sin 2022-===⨯ 所以正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆是解本题的关键.10．平面α，直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m n ⊥的是（ ） A ．,//m n αα⊥ B ．,m n αα⊥⊥ C ．,mn ααD ．//,//m n αα【答案】AC【解析】根据线线垂直的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，若,//m n αα⊥，则m n ⊥，所以A 选项正确. 对于B 选项，若,m n αα⊥⊥，则//m n ，所以B 选项错误. 对于C 选项，若,mn αα，则m n ⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，若//,//m n αα，则,m n 可能平行、相交、异面，所以D 选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查线线垂直的判断，属于基础题. 11．下列说法正确的是（ ） A ．截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示 B ．方程20()x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C ．经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D ．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程211211()()()()0y y x x x x y y -----= 【答案】BD【解析】根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出． 【详解】对于A ，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程1x ya a+=表示，所以A 不正确；对于B ，当0m =时，平行于y 轴的直线方程形式为2x =，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90，则该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)y x θ-=-表示，所以C 不正确；对于D ，设点(),P x y 是经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线上的任意一点，根据 121//PP PP 可得211211()()()()0y y x x x x y y -----=，所以D 正确． 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查各种形式的直线方程的适用范围．12．如图()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W .则下述正确的是（ ）A ．曲线W 与x 轴围成的面积等于2π；B ．曲线W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C ．CB 所在圆的方程为：()2211x y +-=； D ．CB 与BA 的公切线方程为：21x y +=+.【答案】BCD【解析】计算面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；计算圆方程得到C 正确；计算公切线得到D 正确；得到答案. 【详解】如图所示：连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于K ，BL x ⊥轴于L . 则面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；CB 所在圆圆心为()0,1，半径为1，故圆的方程为：()2211x y +-=，C 正确；设CB 与BA 的公切线方程为：y kx b =+，根据图像知k 0<，则2211,111k b b kk+-==++，解得1k =-，21b =+，即21x y +=+，D 正确；故选：BCD .【点睛】本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力. 三、填空题 13．已知1sin 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为_________. 【答案】78【解析】依题意，利用诱导公式与二倍角的余弦公式即可求得答案． 【详解】解：1sin 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，217sin 2cos 2cos 212sin 12244168x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：78． 【点睛】本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查观察与基本运算能力，属于中档题．14．已知R θ∈，则直线10xsin θ+=的倾斜角的取值范围是________ 【答案】5[0,][,)66πππ⋃ 【解析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围． 【详解】设直线的倾斜角为 α，则 tan α=θ， ∵﹣1≤sin θ≤1，∴≤tan α≤又 α 的范围为[0,)π ， ∴α 的范围为][50,,66πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭， 故答案为][50,,66πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，正切函数的有界性以及倾斜角的取值范围． 15．圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上的一点P 出发，绕着圆锥的侧面爬行一圈，再次回到P 点，则蚂蚁经过的最短路程是__________. 【答案】33【解析】计算出圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角，利用余弦定理求得最短路程. 【详解】依题意，圆锥的母线长为3l =，底面半径为1r =，侧面展开图对应的扇形的弧长为22ππ=r ，所以侧面展开图对应的扇形的圆心角为23l r πα==，所以蚂蚁经过的最短路程是'22233233cos333PP π=+-⨯⨯⨯=. 故答案为：33【点睛】本小题主要考查圆锥的展开图应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题.16．平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，圆22:()(24)1C x a y a -+-+=.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则a 的取值范围是__________. 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设点(),M x y ，由2MA MO =化简得()2214x y ++=，结合点(),M x y 在圆C 上，推出2121CD -≤≤+，由此求得a 的取值范围. 【详解】设点(),M x y ，因为2MA MO =，且(0,3)A ，所以()222232x y x y +-=+22230x y y ++-=，即()2214x y ++=，所以M 在以()0,1D -为圆心，2为半径的圆上.所以M 即在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 和圆D 有公共点，所以2121CD -≤≤+， 即13≤≤，即22512805120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩，解得1205a ≤≤. 所以a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，属于中档题. 四、解答题17．已知直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=的交点为M . （Ⅰ）求过点M 且与直线3:310l x y -+=平行的直线l 的方程；（Ⅱ）若直线'l 过点M ，且点(04)P ，到'l 'l 的方程. 【答案】（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）230x y -+=【解析】（Ⅰ）联立直线方程可求出交点，根据所求直线过交点且与3:310l x y -+=平行即可求解（Ⅱ）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线距离求解即可. 【详解】（Ⅰ）联立2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：()1,2M . 所以与3l 平行的的直线方程为：()231y x -=-， 整理得：310x y --=.（Ⅱ） 当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设():21l y k x -=-，即：20kx y k -+-= .=24410k k -+= ，12k =； 所以，所求直线的方程为：230x y -+=. 【点睛】本题主要考查了两直线的交点，平行直线，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题.18．已知cos()5αβ+=-，5cos213α=-.其中,αβ均为锐角.（1）求cos()αβ-的值； （2）求tan tan αβ的值.【答案】（1（2）218【解析】（1）由同角三角函数的求值再结合两角和差的余弦公式求解即可； （2）由两角和，差的余弦可得cos cos αβ，sin sin αβ，再求解即可. 【详解】解：（1）由,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2α，(0,)αβπ+∈.又因为cos()5αβ+=-，5cos213α=-，所以sin()αβ+===12sin 213α===. cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=--=-+-，512cos()1313αβ⎛-=-⨯+= ⎝⎭（2）由（1）得cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=①又因为cos()αβ+=，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=，②由①，②得cos cos αβ=sin sin αβ= 所以sin sin 21tan tan cos cos 8αβαβαβ==.【点睛】本题考查了同角三角函数的求值问题，重点考查了两角和差的余弦公式，属中档题. 19．已知圆M 上一点(1,1)A -关于直线y x =的对称点仍在圆M 上,直线10x y +-=截得圆M . (1)求圆M 的方程;(2)设P 是直线20x y ++=上的动点,PE ､PF 是圆M 的两条切线,E ､F 为切点,求四边形PEMF 面积的最小值.【答案】(1)22(1)(1)4x y -+-=;(2)4.【解析】（1）根据对称性判断出圆心在直线y x =上，由此设出圆心坐标，列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆M 的方程.（2）根据圆的切线的几何性质，判断出四边形PEMF 面积最小时，MP 垂直于直线20x y ++=，根据点到直线的距离公式求得MP 的最小值，进而求得四边形PEMF 面积的最小值. 【详解】（1）由于圆M 上一点()1,1A -关于直线y x =的对称点'A 仍在圆M 上，所以圆心在直线y x =上，设圆心的坐标为(),M a a ，半径()()222211r MA a a ==-++，依题意直线10x y +-=截得圆M 的弦长BC ==1d 是圆心M 到直线10x y +-=的距离，即1d =）所以()2222117414,2r d rd -=-=，即()()()2222171122a a a --++-=，解得1a =，所以圆心()1,1M ，()()222211112,2r r =-++==.所以圆M 的方程为22(1)(1)4x y -+-=.（2）12222PEMF PEM S S PE ME PE ∆==⨯⨯⨯=，而22224PE PM ME PM =-=-，所以当PM 最小时，PE 最小，从而PEMF S 最小.PM 的最小值为圆心M 到直线20x y ++==224844,2PE PM PE =-=-==，也即PE 的最小值为2，所以四边形PEMF 面积的最小值为224⨯=.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若E 是BC 的中点，F 在PC 上，//PA 平面DEF ，求PFFC的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）通过证明AD ⊥平面PCD 来证明AD PC ⊥.（2）利用线面平行的性质，由//PA 平面DEF ，得到//PA FM ，进而求得PFFC的值. 【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥. （2）连接AC 交DE 于M ，连接FM . 由于//PA 平面DEF ，平面PAC 平面DEF FM =，所以//PA FM .所以PF AMFC MC=， 由于//AD BC 且E 是BC 的中点，所以2AM ADMC EC==， 所以2PFFC=.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面平行求比值，属于中档题.21．如图，有两条相交成60°角的直路1l ，2l ，交点是O ，警务岗A 、B 分别在12,l l 上，警务岗A 离O 点1千米，警务岗B 离O 点3千米.若警员甲从A 出发沿OA 方向，警员乙从B 出发沿BO 方向，同时以4千米/小时的速度沿途巡逻.（1）当警员甲行至点C 处时，45OBC ︒∠=，求OC 的距离； （2）t 小时后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？【答案】（1）3(31)-千米；（2）t 小时后两人相距248247t t -+千米，在14t =小时的时候两人的最短距离为2千米.【解析】（1）在OCB 中，利用余弦定理计算OC ；（2）对t 进行讨论，利用余弦定理求出距离，再根据结果，配方得出最短距离及其成立的条件，并进行比较找出最小值. 【详解】 （1）在OCB 中，180180456075OCB OBC COB ∠=-∠-∠=--=，3OB = 由正弦定理得sin sin OC OBOBC OCB=∠∠，2sin 333sin 262OBOC OBC OCB∴=∠==∠+， 所以当警员甲行至点C 处时，OC 的距离3(31)千米.（2）当3t 4=时，乙走到O 点，此时甲行驶的距离为3434⨯=千米，甲距离O 点4千米；当304t ≤<时，如图，设甲走到N 点，乙走到M 点，则4BM AN t ==，连接MN , 由余弦定理得2222cos MN OM ON OM ON MON =+-⋅∠22(34)(14)2(34)(14)cos 60t t t t =-++-⨯-+2214824748()44t t t =-+=-+，当14t =时，MN 有最小值2.当34t >时，如图，乙走到M 点，由余弦定理得 2222cos MN OM ON OM ON MON =+-⋅∠ 22(43)(14)2(43)(14)cos120t t t t =-++-⨯-+2214824748()44t t t =-+=-+，由于34t >，所以MN 无最小值.综上所述，当3t 4=时，两人相距4千米； 当304t ≤<或34t >时，t 248247t t -+千米，在14t =小时的时候两人的距离最短为2千米. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，注意对时间t 进行讨论，利用二次函数配方求最值.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Q 为第一象限内一点，QA 垂直于x 轴，QB 垂直于射线OM ，垂足分别为A ，B ，且10,45,tan 2QA QB AOB ==∠=-（1）求OQ 的值；（2）已知圆C 通过O ，A ，Q ，B 四点 ①求圆C 的方程；②设P 是圆C 上的任意一点，在x 轴正半轴及射线OM 上是否分别存在定点E ，F ，使PEPF为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）55 （2）①225100x y x y +--=5. 【解析】（1）设点00(,10)(0)Q x x >，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得05x =，进而求得OQ 长度；（2）①根据题意得到圆C 是以OQ 为直径的圆，进而写出圆心坐标，半径，进而写出圆的方程；②设圆C 上任意一点P 的坐标为(,)x y ，(,0),(,2)(0)E m F n n n -<，且22PEPF λ=，根据两点间的距离公式，得到2222()()(2)x m y x n y n λ-+=-++，由点P 在圆C 上，代入圆的方程，整理得22(5252)(10410)50n m x n y n m λλλλλ--+++-+-=，进而得到方程组，即可求解. 【详解】（1）直线OM 的方程为2y x =-，即20x y +=， 设点00(,10)(0)Q x x >， 由题意可得0222104521x QB +==+，解得05x =或015x =-（舍去），所以点(5,10)Q ，所以2251055OQ =+=（2）①由QA 垂直于x 轴，QB 垂直与射线OM ，垂足分别为,A B ，所以圆C 是以OQ 为直径的圆，可得圆心坐标为5(,5)2，半径为2， 所以圆C 的方程为225125()(5)24x y -+-=，即225100x y x y +--=. ②设圆C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，(,0),(,2)(0)E m F n n n -<，且22PEPFλ=， 所以2222()()(2)x m y x n y n λ-+=-++， 整理得22222222(244)x mx m y x nx n y ny n λ-++=-++++， 又因为点P 在圆C 上，即225100x y x y +--=所以2225210(521044)x mx m y x nx n y ny n λ-++=-++++， 所以22(5252)(10410)50n m x n y n m λλλλλ--+++-+-=，所以225252*********n m n n m λλλλλ--+=⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩，解得551,,442m n λ==-=-，经检验符合题意，所以在x 轴及射线OM 上存在定点51(,0),(,1)42E F --， 使得PE PF. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，圆的方程的求解，以及圆的方程的的综合应用，其中解答中熟记圆的方程的求法，合理应用圆的方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.。