因式分解(一)

因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。

知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。

难点：因式分解方法的综合应用。

二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。

要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。

（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。

（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。

知识点四：公式法分解因式1、用平方差公式因式分解：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积．如；注：①它与整式乘法中的平方差公式正好相反．②要注意公式的形式与结构特征：，等号左边两项异号，且每项（不算符号）都能化成一个数或整式的平方；右边是这两个数（整式）的和与差的乘积．2、用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的2倍，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。

注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：等号左边为三项式，有两项能化为两个数（整式）的平方和；另一项正好是这两个数（整式）的积的2倍，两个平方项的符号相同（同正或同负），等号右边是这两个数（整式）的和（差）的平方．3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。

4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。

知识点五：分解因式的步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其他方法来分解（以后会学到）．知识点六：因式分解的注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．规律方法指导1．区分因式分解与整式的乘法它们的关系是意义上正好相反,结果的特征是因式分解是积的形式,整式的乘法是和的形式,抓住这一特征,就不容易混淆因式分解与整式的乘法。

2．因式分解的两种方法的灵活应用对于给出的多项式,首先要观察是否有公因式,有公因式的话,首先要提公因式,然后再观察运用公式法或其它方法。

经典例题透析类型一：因式分解的概念1．下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？(1)12x3y2＝3x3·4y2(2)m(x＋y－z)＝mx＋my－mz(3)ax＋bxy－xy＝ax＋xy(b－1)(4)x3y＋xy＝y(x3＋x)(5)(6)a2－2ab＋b2＝(a－b)2(7)a2－b2＝(a＋b)(a－b) (8)x2－x－6＝(x＋2)(x－3)思路点拨：由于因式分解的对象是多项式，而12x3y2是单项式，所以(1)不是；由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而m(x＋y－z)＝mx＋my－mz恰恰相反，它是把m与x＋y－z的积化为一个多项式，所以(2)不是；由于(3)的结果也不是整式的积的形式，而是将原多项式进行了部分的分解，所以(3)不是；(4)中等号右边的x3＋x还可以提公因式x，它还没有分解完，所以(4)不是；(5)采用的是提公因式法，但它提取的是，这不是整式，而我们要求提取的公因式应为整式，即单项式或多项式，所以(5)也不是；(6)、(7)、(8)均符合因式分解的定义，并且将等式右边的乘积算出来，其结果等于原式，所以(6)、(7)、(8)是因式分解．解析：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)不是因式分解；(6)、(7)、(8)是因式分解．总结升华：(1)因式分解是在整式范围内进行的．另外，要注意在什么数的范围内进行因式分解，若题目没有说明，一般指在有理数范围内进行．(2)因式分解不能只分解多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式的积的形式．(3)一定要把多项式的每个因式分解到不能再分为止。

举一反三：【变式1】下列从左到右的变形，属于因式分解的有( )A、(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6B、ax－ay－1＝a(x－y)－1C、8a2b3＝2a2·4b3D、x2－4＝(x＋2)(x－2)思路点拨：本题考查因式分解的意义，考查对概念的辨析能力。

要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。

A是整式乘法，显然不是因式分解；B的右端不是积的形式，也不是因式分解；C的左端是一个单项式，显然不是因式分解；D是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。

答案：D。

总结升华：因式分解与整式乘法是一对互逆的运算．多项式的因式分解是把和差化为积的形式；而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然都是恒等变形，但它们是互逆的两种过程．【变式2】下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是( )A、a(a－b＋1)＝a2－ab＋bB、a2－a－2＝a(a－1)－2C、－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D、x2－4x－5＝(x－2)2－9答案：C类型二：提公因式法分解因式2．用提公因式法分解下列因式．(1)21x2y2＋7x2y (2)－x3y2＋3xy2－12xy (3)x(x－y)2＋y2(x－y)思路点拨：(1)：当多项式的某一项和公因式相同时，注意不要漏掉1，即7x2y÷7x2y ＝1。

(2)这个多项式的第一项为负，而括号内多项式的首项应为正，所以公因式为－xy，注意括号内中的每一项都要变号．(3)把(x－y)当作一个因式，利用提公因式法进行分解因式，但注意最后结果应是最简形式，能合并的一定要合并．解析：(1)21x2y2＋7x2y＝7x2y(3y＋1)(2)－x3y2＋3xy2－12xy＝－xy(x2y－3y＋12)(3)x(x－y)2＋y2(x－y)＝(x－y)[x(x－y)＋y2]＝(x－y)(x2－xy＋y2)总结升华：在确定各项的公因式时要注意，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。

2：提出公因式后，剩下的项组成的另一个因式的项数应和原多项式的项数相同。

举一反三：【变式1】分解因式(1) 3x2y(x－y)2－6xy2(y－x)2，(2)3x(x－y)＋2y(y－x)思路点拨：要找出3x2y(x－y)2与－6xy2(y－x)2的公因式。

因为(y－x)2＝[－(x－y)]2＝(x －y)2，所以要先把－6xy2(y－x)2化为－6xy2(x－y)2后再找出公因式：3xy(x－y)2。

(2)因为(y －x)＝－(x－y)，所以公因式为(x－y)．解析：(1) 原式＝3x2y(x－y)2－6xy2(x－y)2＝3xy(x－y)2 (x－2y)(2) 原式＝3x(x－y)－2y(x－y)＝(x－y)(3x－2y)总结升华：当公因式是多项式时，要注意符号问题，若需要改变括号内的字母顺序，应尽量改变偶次幂项括号内的字母顺序，若均为奇次幂项，则应保持首项系数为正．当n为偶数时，(x－y)n＝(y－x)n当n为奇数时，(x－y)n＝－(y－x)n【变式2】分解因式15a(a－b)2n＋1－10ab(b－a)2n(n为正整数)。

解析：原式＝15a(a－b)2n＋1－10ab(a－b)2n＝5a(a－b)2n [3(a－b)－2b]＝5a(a－b)2n (3a－5b)。

【变式3】计算：(1)(2)如果，那么代数式的值等于多少？解析：(1)原式＝＝＝2005(2)＝12类型三：用平方差公式分解因式3．对下列多项式进行因式分解：(1)x2－16(2)1－25b2(3)x2y2－z2(4)思路点拨: 以上各式均满足使用平方差公式分解因式的条件，所以可直接利用公式法进行因式分解.解析：(1)x2－16＝x2－42＝(x＋4)(x－4)(2)1－25b2＝12－(5b)2＝(1＋5b)(1－5b)(3) x2y2－z2＝(xy)(4)＝()2－(0.1n) 2＝总结升华：注意平方差公式适用于只有两项而且是两个数的平方差或者是可化为平方差的形式的两项式，因式分解要分解彻底——即每一个多项式都不能再分解为止。

举一反三：【变式】把下列各式分解因式：(1)－49＋x(2)4(x＋m)－(x－m)(3) x3－x (4) x4－y4解析：(1)－49＋x2＝x2－49＝x2－72＝(x＋7)(x－7)或(2)4(x＋m)－(x－m)＝＝＝(3x＋m)(x＋3m)(3)x3－x＝x(x)＝x(x＋1)(x－1)(4)x4－y4＝(x2)2－(y2) 2＝(x2+y2)(x2－y2)＝(x2+y2) (x＋y)(x－y)类型四：用完全平方公式分解因式4．把多项式(1)25p2＋10pq＋q2 (2) －x2－4y2＋4xy (3) 9(p－q)2－6(q－p)＋1分解因式。

思路点拨：(1)此题目中含有两个字母，那么这两个字母同公式中的a、b含义是一样的，即25p2、q2是两个单项式且原式中是(5p)2与q2的平方和的形式，中间一项是它们乘积的2倍．(2) 此题没有明显的完全平方形式．但它是一个二次三项式，该式的前两项分别是x2的相反数、4y2的相反数，因此如果把负号提到前面来就可得完全平方式了．(3) 解这个题目时，一种可能就是忽略了p－q与q－p的问题，直接把它们看成一个整体，从而错解。