高三数学一轮复习之二次函数课件
二次函数
洪马中学 鲁平英
二次函数是最重要的初等函数之一，有
着丰富内涵。二次函数的研究对近、现
代数学的发展，影响深远.二次函数是 历年来数学竞赛和高考中的重点考查内
容．同时，它是联系数学和其它学科的
重要的数学基础之一．
“四个二次型”:二次三项式，二次函数，一元 二次方程，一元二次不等式,合称为“四个二 次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)是 基础，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是 “四 个二次型”的中心。
当x=t+1 时 ymax t 2 2
y
1
0 t t+1 x
小结:
(1)求二次函数解析式要根据题目条件 灵活选用三种形式中的一种.
(2)求二次函数在闭区间上的最值要
注意对称轴和区间的位置关系及单调性求
解.
(3)要注意数形结合思想在解题中的
运用.
1.已知f(x)=x2+ax+b,f(1)=0,f(2)=0,则f(-1)= 6 .
b2)/4a
ymax=max{f(m),f(n)}(或比较区间端点与对称 轴距离的大小来确定,在离对称轴远的端点处 取得最大值.)
a<0,ymax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a, ymin=min{f(m),f(n}(或仿照ymax的方法确定) ②n<-b/2a或m>-b/2a时,二次函数是单调
2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
当 x 1时 ymax 4 a
(3) 当 0 a 1 即 2 a 0时
2 当 x a 时
2
a2 ymin 3 4
当 x 1时 ymax 4 a
(4) 当 a 1 即 a 2时 2
y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
当x 1时 ymax 4 a
当x 1时 ymin 4 a
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y
-1 0 1
x
4: 求函数 y x2 2x 3在 [t , t 1] 上的最大值 和最小值
解: y x2 2x 3 ( x 1(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2) 当t 1 1 且 1 t t 1 1 即 0 t 1 时
当x t 时 ymax t 2 2t 3
2
y
当x 1 时 ymin 2
二次函数的表达式
1．标准式：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0) 2．顶点式：f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0) 3．两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0) 主要用于待定系数法求二次函数解析式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质：
定义域为R.
单调性与值域：当a＞0时，值域为
f(k)>0
f(k1)>0 f(k2)>0 k1<- b <k2
2a
二次函数的图象和性质
一．二次函数的图象：抛物线 １．开口方向： ２．对称轴和函数的单调性: ３．顶点坐标： ４．最值： （１）x∈ R时 ( 2 ) x ∈ [m,n](m<n) ①(-b/2a)∈[m,n]时, 若a>0,则x=-b/2a,ymin=f(-b/2a)=(4ac-
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
ymin=4.25 ymax=f(1)=2
x=1 y
1
x
0 -2
x
x3 2
y
-3
1
0x
(2) y 1 x 2 2x 1 x [3 ,1]
5
x 5
当x 3时
ymax
26 5
y
当x 1时
6
ymin
5
1
-3 0
x
(3)
y 1 x2 2x 1 2
由 f(1)=0 ， f(2)=0 ， 得 方 程 x2+ax+b=0 的两根是1,2，所以a=-3，b=2. 故f(x)=x2-3x+2，所以f(-1)=6.
二次函数的平移
函数y=x2+4x-5可由函数y=x2怎样变换而来?
答：可由y=x2向左平移2个单位 再向下平移9个单位得到
那函数y=ax2+bx+c可由函数y=ax2怎样变换而来？
单调增区间为
， 减区间为 当a＜0时，值域为
单调增区间为
，减区间为
， ；
，
．
奇偶性：函数为偶函数⇔ b＝0 .
3.一元二次方程根的分布.
(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：
ac<0;
两正根
Δ>0
xx11+·xx22==c-
b >0 a>0;
a
两负根
Δ>0 b x1+x2=-c a <0 x1·x2= a >0;
x [1, 2]
y
x 2
5 当x 1时 ymin 2
-1
02 x
当x 2时 y max 5
1、 配方，求二次函数图象的对称轴 方程x=-b/2a;
2、判断-b/2a是否在闭区间内。
3、根据闭区间函数最值的求法求最植。
３： 求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
函数,可根据函数的单调性或图象确定最值.
③函数值大小的比较:设P,Q是二次函数图象 上二点, 则当a>0时,距离对称轴越近的点,其 纵坐标越小,而当a<0时,则反之.
热身训练
1、求下列二次函数的最大值 x=1 y
或最小值
4
(1) y x 2 2x 3
0
1
(2) y 2x 2 4x
２、求下列二次函数的最大值 或最小值
一零根 C=0
(2)实系数二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两
根x1、x2的分布范围与二次方程系数之 间的关系,如下表所示:
根的分布
图象
充要条件
x1<x2<k
Δ>0 f(kb)>0 - 2a <k
k<x1<x2
x1<k<x2 x1、x2∈(k1,k2)
Δ>0 f(k)>0 - b <k
2a
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
2
4
对称轴为x a
xa 2
y
2
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
(2) 当 1 a 0 即 0 a 0 时
0
t t+1 x
(3) 当 t 1 且 1 t t 1 1 即 1 t 1时
2
当x 1时
ymin 2
当x t 1时 ymax t 2 2
y
0
t t+1 x
(4) 当 t 1时
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递增
当x=t时
ymin=t2-2t+3
洪马中学 鲁平英
二次函数是最重要的初等函数之一，有
着丰富内涵。二次函数的研究对近、现
代数学的发展，影响深远.二次函数是 历年来数学竞赛和高考中的重点考查内
容．同时，它是联系数学和其它学科的
重要的数学基础之一．
“四个二次型”:二次三项式，二次函数，一元 二次方程，一元二次不等式,合称为“四个二 次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)是 基础，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是 “四 个二次型”的中心。
当x=t+1 时 ymax t 2 2
y
1
0 t t+1 x
小结:
(1)求二次函数解析式要根据题目条件 灵活选用三种形式中的一种.
(2)求二次函数在闭区间上的最值要
注意对称轴和区间的位置关系及单调性求
解.
(3)要注意数形结合思想在解题中的
运用.
1.已知f(x)=x2+ax+b,f(1)=0,f(2)=0,则f(-1)= 6 .
b2)/4a
ymax=max{f(m),f(n)}(或比较区间端点与对称 轴距离的大小来确定,在离对称轴远的端点处 取得最大值.)
a<0,ymax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a, ymin=min{f(m),f(n}(或仿照ymax的方法确定) ②n<-b/2a或m>-b/2a时,二次函数是单调
2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
当 x 1时 ymax 4 a
(3) 当 0 a 1 即 2 a 0时
2 当 x a 时
2
a2 ymin 3 4
当 x 1时 ymax 4 a
(4) 当 a 1 即 a 2时 2
y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
当x 1时 ymax 4 a
当x 1时 ymin 4 a
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y
-1 0 1
x
4: 求函数 y x2 2x 3在 [t , t 1] 上的最大值 和最小值
解: y x2 2x 3 ( x 1(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2) 当t 1 1 且 1 t t 1 1 即 0 t 1 时
当x t 时 ymax t 2 2t 3
2
y
当x 1 时 ymin 2
二次函数的表达式
1．标准式：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0) 2．顶点式：f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0) 3．两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0) 主要用于待定系数法求二次函数解析式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质：
定义域为R.
单调性与值域：当a＞0时，值域为
f(k)>0
f(k1)>0 f(k2)>0 k1<- b <k2
2a
二次函数的图象和性质
一．二次函数的图象：抛物线 １．开口方向： ２．对称轴和函数的单调性: ３．顶点坐标： ４．最值： （１）x∈ R时 ( 2 ) x ∈ [m,n](m<n) ①(-b/2a)∈[m,n]时, 若a>0,则x=-b/2a,ymin=f(-b/2a)=(4ac-
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
ymin=4.25 ymax=f(1)=2
x=1 y
1
x
0 -2
x
x3 2
y
-3
1
0x
(2) y 1 x 2 2x 1 x [3 ,1]
5
x 5
当x 3时
ymax
26 5
y
当x 1时
6
ymin
5
1
-3 0
x
(3)
y 1 x2 2x 1 2
由 f(1)=0 ， f(2)=0 ， 得 方 程 x2+ax+b=0 的两根是1,2，所以a=-3，b=2. 故f(x)=x2-3x+2，所以f(-1)=6.
二次函数的平移
函数y=x2+4x-5可由函数y=x2怎样变换而来?
答：可由y=x2向左平移2个单位 再向下平移9个单位得到
那函数y=ax2+bx+c可由函数y=ax2怎样变换而来？
单调增区间为
， 减区间为 当a＜0时，值域为
单调增区间为
，减区间为
， ；
，
．
奇偶性：函数为偶函数⇔ b＝0 .
3.一元二次方程根的分布.
(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：
ac<0;
两正根
Δ>0
xx11+·xx22==c-
b >0 a>0;
a
两负根
Δ>0 b x1+x2=-c a <0 x1·x2= a >0;
x [1, 2]
y
x 2
5 当x 1时 ymin 2
-1
02 x
当x 2时 y max 5
1、 配方，求二次函数图象的对称轴 方程x=-b/2a;
2、判断-b/2a是否在闭区间内。
3、根据闭区间函数最值的求法求最植。
３： 求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
函数,可根据函数的单调性或图象确定最值.
③函数值大小的比较:设P,Q是二次函数图象 上二点, 则当a>0时,距离对称轴越近的点,其 纵坐标越小,而当a<0时,则反之.
热身训练
1、求下列二次函数的最大值 x=1 y
或最小值
4
(1) y x 2 2x 3
0
1
(2) y 2x 2 4x
２、求下列二次函数的最大值 或最小值
一零根 C=0
(2)实系数二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两
根x1、x2的分布范围与二次方程系数之 间的关系,如下表所示:
根的分布
图象
充要条件
x1<x2<k
Δ>0 f(kb)>0 - 2a <k
k<x1<x2
x1<k<x2 x1、x2∈(k1,k2)
Δ>0 f(k)>0 - b <k
2a
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
2
4
对称轴为x a
xa 2
y
2
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
(2) 当 1 a 0 即 0 a 0 时
0
t t+1 x
(3) 当 t 1 且 1 t t 1 1 即 1 t 1时
2
当x 1时
ymin 2
当x t 1时 ymax t 2 2
y
0
t t+1 x
(4) 当 t 1时
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递增
当x=t时
ymin=t2-2t+3
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《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
因此
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习
单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二 求二次函数的解析式
【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确 定此二次函数的解析式．
【思路探索】 根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式； 根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数
∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学(理)一轮复习课件：第二章第四节 幂函数与二次函数(广东专用)
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
综上可知，当 0＜λ≤2 时，函数 g(x)在[－1＋2 λ，＋∞)上 是增函数．
因此 g(x)在(0,1) 上是增函数， 又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝2－|λ－1|＞0， 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有唯一的零点．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若12＜t＜34，求证：方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0，12) 上各有一个实根．
【证明】 (1)由于 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． (2)当12＜t＜34时，f(－1)＝3－4t＞0.
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴方程为 x＝－m2 . ∴－m2 ＝1，∴m＝－2.
【答案】 A
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
3．(2011·陕西高考)函数 y＝x31的图象是( )
【解析】 因为当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x31（广东专用）
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax ＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1.所以f(x)＝x2－x＋1.
[精]高三第一轮复习全套课件2函数二次函数
b 2
(0, )
b 0 故选 A
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1 b c 8 , 由 1 b c 0 .
) c(
2
) ,
2
解得
b 4, c 3.
点评 注意： b 且 a b a b , 这是用不等式证明等式的有效方法， a 很是值得重视
例 6 设 f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b （1）求证：函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点； （2） f(x)与 g(x)的图象交点 A、 在 x 轴上的射影为 A1、 1， 设 B B 求｜A1B1｜ 的取值范围；
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综上可得： a 的值为 a 2 或 a
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3
例 4 已知函数 f ( x ) x (2 a 1) x a 2 与非负 x 轴至少有一个交
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3 a 2 )
2
1 ， a 2 时， 即 函数 y ( t
1 4
( a a 2 ) 在 [ 1,1]
2
单调递减， 由 y m ax 1 a
1 4
(a a 2) 2 ， a 2 得
高三一轮复习-二次函数与一元二次方程、不等式课件
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 ⇔ b2－4ac<0.
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
二次函数与一元二次方程不等式课件-2025届高三数学一轮复习
巩固训练2 解关于x的不等式12x2－ax>a2.
解析：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令①(当4x＋a>a0)时(3，x－－a)4a＝<3a0，，不解等得式x1的＝解－集4a，为x{2x＝|x3a.<
−
a 4
或x
>
a}；
3
②当a＝0时，12x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}；
所以
x > 0， x−1 x+1
>0 或
x < 0， x − 1 x + 1 < 0，
解得x>1或－1<x<0，
所以不等式的解集为(－1，0)∪ 1， + ∞ ．
5．(易错)要使函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，则m的取值范 围为________．
答案：(－∞，0]
解析：函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋m－1<0对一
(2) 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c<0 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 ⇔
a = b = 0， c<0
或
a < 0，
Δ < 0.
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ ) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为R.( × ) (3) 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≥0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a>0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( × ) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋ c<0的解集一定不是空集．( √ )
二次函数与一元二次方程、不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2025届高考数学一轮复习讲义
集合、常用逻辑用语与不等式之
二次函数与一元二次方程、不等式
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口向上的抛物线
开口向下的抛物线
定义域
R
R
值域
4−2
[
，＋∞)
4
4−2
(－∞，
1.
−3
不等式
＜0的解集为(
−2
B )
A. ∅
B. (2，3)
C. (－∞，2)∪(3，＋∞)
D. (－∞，＋∞)
[解析]
−3
＜0等价于( x －3)( x －2)＜0，解得2＜ x ＜3.
−2
2. 已知函数 f ( x )＝ ax 2＋ ax ＋5的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是(
根与系数的关系得
−2 + 3 =
−2 × 3 =
− ，
2
，
2
＝ − 2，
解得
所以 m ＋ n ＝－14.故选D.
＝ − 12，
4. [多选]下列说法不正确的是(
BCD )
A. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0
B. 若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
a ＝1，所以 f ( x )＝( x －1)( x －3)＝ x 2－4 x ＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
一看符号
看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符
集合、常用逻辑用语与不等式之
二次函数与一元二次方程、不等式
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口向上的抛物线
开口向下的抛物线
定义域
R
R
值域
4−2
[
，＋∞)
4
4−2
(－∞，
1.
−3
不等式
＜0的解集为(
−2
B )
A. ∅
B. (2，3)
C. (－∞，2)∪(3，＋∞)
D. (－∞，＋∞)
[解析]
−3
＜0等价于( x －3)( x －2)＜0，解得2＜ x ＜3.
−2
2. 已知函数 f ( x )＝ ax 2＋ ax ＋5的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是(
根与系数的关系得
−2 + 3 =
−2 × 3 =
− ，
2
，
2
＝ − 2，
解得
所以 m ＋ n ＝－14.故选D.
＝ − 12，
4. [多选]下列说法不正确的是(
BCD )
A. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0
B. 若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
a ＝1，所以 f ( x )＝( x －1)( x －3)＝ x 2－4 x ＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
一看符号
看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符