自动控制原理 第五章 频率法

频率特性
在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +υ ) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = ————— e1 = ———— e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1
-— = ———— e1 1+jwRC
与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关
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幅相特性与传递函数之间的关系
输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | 输出输入的相位差（相频特性）： υ (w) = υ - 0 =∠G(jw) =∠G(S) | 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕
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一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10

(a )
( )
0o
90o

(b)
180o
图5-20 一阶不稳定环节 的对数频率特性
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时滞环节
传递函数： G(S) = e-τ
S
幅相频率特性：
G(jw) = e-jτ
A(w) = 1 υ (w) = -τ w
w
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时滞环节
对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 υ (w) = -τ w
（横坐标对数分度，曲线）
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第三节
1.
系统开环频率特性
一、 系统开环幅相频率特性 简单系统常用的两种方法: GK(jw) = P(w) + jQ(w) 无tg-1的多值性问题. GK(jw) = A(w) e
-1
0
与惯性环节相同

图5-19 一阶不稳定环节 的
一阶不稳定环节
当由0变化时，惯性环节的相频由0趋向于-90；相 位角的绝对值小,称为最小相位环节. 一阶不稳定环节的相频则由-180趋向-90。相位角的绝对
值大称为非最小相位环节.
推广之，传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统） 称为非最小相位环节（或系统），而传递函数中没有右极点、 右零点的环节（或系统）则称为最小相位环节（或系统）。
G(jw) = 1/(1+jwRC) —— 频率特性 线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入之比。
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频率特性

幅相特性: G(jw) = A(w)ejυ (w) 幅频特性： A(w) = |G(jw)| A(w) = |e2/e1| = 1/[1+(wRC)2]1/2

- jw - jw
= | G(jw)| e-j∠G(jw）Ar/(-2j)
= | G(jw)| Ar e-j[∠G(jw 同理：D = | G(jw)| Ar e
-π /2)]
/2 /2
j[∠G(jw -π /2)]
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幅相特性与传递函数之间的关系
CS(t) = [|G(jw)|/2]Are-j[∠G(jw
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幅相频率特性
绘制方法: 1. G(jw) = A(w) e 计算幅值,
jυ (w)
幅角相对简单,
但计算幅角时有时会遇到多值性的问题.
2. G(jw) = P(w) + 计算实部, jQ(w)
虚部相对复杂.
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二、对数频率特性（Bode图）
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形— —对数频率特，也称Bode图。 G(jw) = A(w) e
0.8 1
2
3
4 5 6 8 10
图5-12 振荡环节的误差修正曲线
δ =0, wm=wn, 信号频率(峰值频率)=自然振荡频率----共振.
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微分环节
理想微分环节 G(S) = S 是积分环节的倒数
L2(w) = - L1(w)
υ 2(w) = -υ 1(w)
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A( ) | G( j ) |
相频特性:
实频特性:
T 2 2 1
T ( ) argG( j ) arct an 1
P ( ) 1 1 T 2 2
与惯性环节不同
j
0
与惯性环节不同
虚频特性:
T Q ( ) 1 T 2 2
jυ (w)
lg G(jw) = lg A(w) + jυ (w)lg e
= lg A(w) + j0.434υ (w) 两张图：对数幅频特性, 对数相频特性
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对数频率特性
对数幅频特性图 纵坐标：L(w) = 20lg | G(jw) | = 20 lg A(w) 单位：分贝(db)
20 dB
ξ =0.05
误差除与w有关, 还与δ 有关. δ ＞0.5 负误差 δ ＜0.5 正误差 令:dA(w)=0,可得峰值频率:
16 12
0.2 0.1
8
0.3
4
0.4 0.5
wm = wn(1- 2ξ
)1/2
0 -4 -8 0.1 0.2 0.3 0.4
0.6 0.7 0.8
δ ＞0.707, 无峰值频率 δ ＜0.707, wm＜wn,转折频率前出现峰值.
S=jw S=jw
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一、幅相频率特性(Nyquist曲线)
G(jw) = A(w) e
jυ (w)
矢量的长度 = A(w) 相对于极坐标轴的转角 =υ (w)
当w由0到∞变化时，G(jw)矢量
的终端描绘出一条曲线——称 为Nyquist曲线。 一条曲线, 同时表示幅频和相 频特性----幅相频率特性.
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对数频率特性
特点：
1、 对串联环节，变乘为加； 2、 有近似画法； 3、 高低频特性兼顾。
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第二节 基本环节的频率特性
一、 比例环节
传递函数：G(S) = K 幅相频率特性：G(jw) = K = K + j 0
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比例环节
对数频率特性：L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg K υ (w) = 0 K﹥1， 20lgK﹥0db K﹤1， 20lg K﹤0db
斜率：-20db/dec （每十倍频程 -20db）
转折频率：1/T 对数相频：
W 0
υ （w） 0 -45° -90°
υ (w) =∠G(jw) =∠[1/ (1+jTw)] = 自动控制原理
tg-1Tw
1/T ∞
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惯性环节
1/T处误差最大： 误差 = 实际值 - 近似值 = -20lg (1+T2w2)1/2︱w=1/T - 0
第五章
定性，快速性和稳态精度。
频率法
频率法所研究的问题，仍然是控制系统的控制性能：稳
频率响应——系统对正弦输入信号的稳态响应。 频率特性——频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频率特性是一种稳态响应特性，但它不仅反映系统的稳
态性能，而且可以用来研究系统的暂态性能.
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第一节
输入正弦信号：e1 = E1Sin wt
对数频率特性： 对数幅频（近似画法）： L(w)= 20 lg A(w) = -20lg(1+T2w2)1/2 低频段:w＜＜1/T，L(w)≈-20lg1= 0db 高频段: w＞＞1/T，L(w)≈-20lgTw (直线) w = 1/T， L(w)= -20lgTw=0 db (w=1/T处过横轴) w1=10/T， L(w1)= -20lgTw1= -20lg10 = -20 db
微分环节
一阶微分环节 G(S) = TS + 1 是惯性环节的倒数
二阶微分环节 G(S)= T2S2 + 2δ TS + 1 是振荡环节的倒数。
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一阶不稳定环节
具有正实部特征根（即不稳定根）的环节----不稳定环节。 传递函数: G(S) = 1/(TS-1) 频率特性: G(jω ) = 1/(jω T -1) 幅频特性: 与惯性环节相同 1
0db
= - 40lgTw
转折频率：w=1/T
直线
斜率：- 40db/dec (每十倍频程 -40db) υ (w) = - tg-1[2δ Tw/(1-T2w2)]
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振荡环节
误差 = 实际值 - 近似值 = -20lg [(1 - T2w2)2 + (2δ Tw)2]1/2︱w=1/T - 0 = -20lg (2δ ) db
= -20 lg 21/2 - 0
= -3 db
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积分环节
传递函数： G(S) = 1/S 幅相频率特性： G(jw) = 1/(jw) = 0–j(1/w)
W 0 1 ∞ Re 0 0 0 Im -∞ -1 0
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积分环节
对数频率特性： L(w) = 20lg A(w)
-20db/dec
= -20lg w
直线
0 1/T φ(W) 0 W W
w=1， L(w) = 0， （过横轴）
斜率：-20db/dec
-90°
υ (w) = - 90°
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