甘肃省近两年(2018,2019)高考理科数学试卷以及答案(pdf解析版)

（ 2）由（ 1）得 Sn
2
n
8n
2
(n 4) 16 ．
所以当 n=4 时， Sn 取得最小值，最小值为 - 16．
18．解： （ 1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y? 30.4 13.5 19 226.1 (亿元 )．
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利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
17～ 21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、 23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（ 12 分） 记 Sn 为等差数列 { an } 的前 n 项和，已知 a1
7 ， S3
15 ．
（ 1）求 { an } 的通项公式；
（ 2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值．
0． 5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
势． 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条
直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，
利用 2010 年至 2016
年的数据建立的线性模型 y? 99 17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，
uuur 由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0), C(0,2,0), P(0,0,2 3), AP (0,2,2 3), 取平面 PAC 的
uuur 法向量 OB (2,0,0) ．
uuur 设 M (a,2 a,0)(0 a 2) ，则 AM (a,4 a,0) ．
因此利用模型②得到的预测值更可靠．
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（ⅱ） 从计算结果看， 相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元， 由模型①得到的预测值 226．1 亿元的增幅明显偏低， 而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理． 说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
绝密 ★ 启用前
甘肃省 2018 年高考理科数学试卷
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 工整、笔迹清楚。
（ 1）由题意得 F (1,0) ， l 的方程为 y k( x 1)(k 0) ．
设 A( x1, y1), B( x2, y2) ，
由
y k(x y2 4x
1),
得
k2
x2
(2 k 2
4) x
k2
0．
16k 2 16 0 ，故 x1 x2
2k 2 4 k2 ．
所以 | AB | | AF |
| BF | (x1 1) ( x2 1)
2 A．
3 二、填空题：本题共
1 B．
2
C． 1 3
4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 y 2ln( x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 __________ ．
1 D．
4
14．若 x, y 满足约束条件
x 2y 5 ≥ 0, x 2 y 3≥ 0, 则 z x y 的最大值为 __________ ． x 5≤ 0,
“每个大于 2 的偶
数可以表示为两个素数的和 ”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等
于 30 的概率是
1 A．
12 9．在长方体 ABCD
1 B．
14 A1B1C1D1 中， AB
1 C．
15 BC 1 ， AA1
1 D．
18 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为
设平面 PAM 的法向量为 n ( x, y, z) ．
uuur 由 AP n
uuur 0, AM n
0得 2y
2 3z 0
，可取
ax (4 a) y 0
n ( 3( a 4), 3a, a) ，
uuur 所以 cos OB ,n
2 3( a 4)
．由已知得
2 3(a 4)2 3a2 a 2
uuur | cos OB, n |
23． [选修 4－5：不等式选讲 ]（ 10 分） 设函数 f ( x) 5 | x a | | x 2| ． （ 1）当 a 1时，求不等式 f ( x) ≥ 0 的解集；（ 2）若 f (x ) ≤ 1 ，求 a 的取值范围．
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甘肃省 2018 年高考理科数学试卷答案解析
15．已知 sin α cos β 1 ， cos α sin β 0 ，则 sin( α β) __________．
16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA， SB所成角的余弦值为 7 ， SA与圆锥底面所成角为 45°，若 △SAB的 8
面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为 __________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
则 f (1) f (2) f (3)
f (50)
A ． 50
B．0
C． 2
D． 50
12．已知
F1 ，F2 是椭圆
C：x a
2 2
y2 b2
1( a b
0) 的左， 右焦点， A 是 C 的左顶点， 点 P 在过 A 且斜率为
3 6
的直线上， △ PF1 F2 为等腰三角形， F1F2 P 120 ，则 C 的离心率为
连结 OB ．因为 AB BC
2 AC ，所以 △ ABC 为等腰直角三角形，
2
且 OB
AC ， OB
1 AC
2．
2
由 OP 2 OB2 PB 2 知 PO OB ．
由 OP OB, OP AC 知 PO 平面 ABC ．
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uuur （ 2）如图，以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz ．
4k 2 4 k2 ．
由题设知 4k 2 4 k2
8 ，解得 k
1 （舍去）， k 1 ．
因此 l 的方程为 y x 1．
（ 2）由（1）得 AB 的中点坐标为 (3, 2) ，所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2 ( x 3) ，即 y x 5 ．
设所求圆的圆心坐标为 (x0, y0 ) ，则
y0 (x0
3．
2
所以
2 3 | a 4|
= 3 ．解得 a
2 3(a 4)2 3a 2 a 2 2
4 （舍去）， a
4
．
3
所以 n
(
8 3,4 3,
4) ．又
uuur PC
uuur (0,2, 2 3) ，所以 cos PC , n
33 3
3
．
4
所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为
3．
4
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一、选择题
1． D
2． A
3． B
4． B
5． A
7． B
8． C
9． C
10． A
11． C
二、填空题
13． y 2x
三、解答题
14． 9
1
15．
2
16． 40 2π
17．解：
6． A 12． D
（ 1）设 { an} 的公差为 d，由题意得 3a1 3d 15 ．
由 a1 7 得 d=2 ．
所以 { an} 的通项公式为 an 2n 9 ．
A．4
B．3
C． 2
D． 0
x2 y2 5．双曲线 a2 b2 1( a 0, b 0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A． y
2x
B． y
3x
6．在
△ABC 中，
C cos
5 ， BC 1 ， AC
25
C． y
2x
2
5 ，则 AB
D． y
3x
2
A． 4 2
B ． 30
C． 29
111 7．为计算 S 1
21．解：
（ 1）当 a 1 时， f ( x) 1等价于 ( x2 1)e x 1 0 ． 设函数 g( x) ( x2 1)e x 1，则 g' ( x) (x2 2x 1)e x (x 1)2e x ． 当 x 1 时， g' (x) 0 ，所以 g( x) 在 (0, ) 单调递减．
x0 1)2
5, ( y0
x0 2
1)2
解得
16.
x0 y0
3,
或
x0
2 y0
11, 6.
因此所求圆的方程为 ( x 3)2 ( y 2)2 16 或 ( x 11)2 ( y 6) 2 144 ．
20．解：
（ 1）因为 AP CP AC 4 ， O 为 AC 的中点，所以 OP AC ，且 OP 2 3 ．
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18．（ 12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据
2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2, ,17 ）建立模型①： y? 30.4 13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2, , 7 ）建立模型②： y? 99 17.5t ．
面 PAM 所成角的正弦值． 21．（ 12 分）
O
A
C
已知函数 f (x)
x
e
2
ax ．
M B
（ 1）若 a 1 ，证明：当 x ≥ 0 时， f (x) ≥ 1 ；
（ 2）若 f (x ) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22． [选修 4－4：坐标系与参数方程 ]（ 10 分）
y? 99 17.5 9 256.5 ( 亿元 )．
（ 2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y 30.4 13.5t 上
下．这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
234
11 ，设计了右侧的程
99 100
D． 2 5 开始
N 0,T 0
在空白框中应填入
A． i i 1 B． i i 2 C． i i 3 D． i i 4
i1
是
否
i 100
NN1 i
SNT
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TT
1
i1
输出 S
结束
序框图， 则
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是
（ 2）求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
20．（ 12 分）
如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 2 2 ，
P
PA PB PC AC 4 ， O 为 AC 的中点．
（ 1）证明： PO 平面 ABC ；
（ 2）若点 M 在棱 BC 上， 且二面角 M PA C 为 30 ，求 PC 与平
（ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （ 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（ 12 分）
设抛物线
2
C：y
4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k
0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | 8 ．
（ 1）求 l 的方程；
A． 1 5
10．若 f ( x)
cos x
5 B．
6
5 C．
5
sin x 在 [ a, a] 是减函数，则 a 的最大值是
2 D．
2
A． π 4
B． π 2
11．已知 f ( x) 是定义域为 ( ,
C． 3π 4
) 的奇函数，满足 f (1 x)
D． π f (1 x) ．若 f (1) 2 ，
要求的。
1． 1 2i 1 2i
A．
4
3 i
55
B． 4
3 i
55
C．
3
4 i
55
D．
3
4 i
55
2
2
2．已知集合 A {( x, y) | x y 3, x Z , y Z} ，则 A 中元素的个数为
A．9 3．函数 f ( x)
B．8
x
x
ee
x2 的图象大致为
C． 5
D． 4
4．已知向量 a ， b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b)
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在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 x 2cos θ, （ θ为 参 数 ）， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 y 4sin θ,
x 1 t cos α, （ t 为参数）．
y 2 t sin α, （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率．