高考数学 不等式的证明 专题
高考数学 不等式的证明 专题
一.选择题
(1) 已知R c b a ∈,,，那么下列命题中正确的是 （ ）
A ．若b a >，则2
2
bc ac > B ．若
c
b
c a >，则b a > C ．若03
3
<>ab b a 且，则
b a 11> D ．若022>>ab b a 且，则b
a 11< (2) 设a >1，0<
b <1，则a b b a log log +的取值范围为
（ ）
A ．[)+∞,2
B ．),2(+∞
C ．)2,(--∞
D ．(]2,-∞-
(3) 设x ＞0，P ＝2x +2－
x ，Q ＝(sin x +cos x )2，则 （ ）
A ．P ≥Q
B ．P ≤Q
C ．P ＞Q
D ．P ＜Q
(4)命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.
命题
q:函数
y=
21--x 的定义域是(-∞,-1][?3,+∞).则
( )
A ． “p 或q”为假
B ． “p 且q”为真
C ． p 真q 假
D ． p 假q 真
(5)如果a ，b ，c 满足c ( ) A ． ab>ac B ． c(b-a)>0 C ． cb 2 D ． ac(a-c)<0 (6)若a 、b 为实数, 且a+b=2, 则3a +3b 的最小值为 ( ) A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 (7) 设p+q=1, p>0, q>0, 则不等式1)(log 1 (8) 设42,=+∈+ y x R y x 且，则y x lg lg +的最大值是 （ ） A ．2lg - B ．2lg C ．2lg 2 D ．2 (9) 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A ．)11)((b a b a ++≥4 B ．33b a +≥22ab C ．22 2++b a ≥b a 22+ D ．b a -≥b a - (10) 设0 b x a -+12 2的最小值为 （ ） A ．4ab B ．)(22 2 b a + C ．2 )(b a + D ．2 )(b a - 二.填空题 (11) 设a <0，－1 (12) 设1(,=+-∈+ ） 且y x xy R y x ，则x +y 的最小值为_________ (13)若 b a 11<<0,已知下列不等式:①a+b a a b +>2, 其中正确的不等式的序号为 . (14)设集合{} φ≠<-+-m x x x 43|，则m 的取值范围是 . 三.解答题 (15) 已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，a C +=11 ，试比较A 、B 、C 的大小. (16) 已知正数x 、y 满足y x y x 11,12+=+求的最小值. : 210 x y x y +=>Q 解且、1111 2x y x y x y ∴+=++≥=（）（）,24)1 1(min =+∴y x 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． (17) 已知3201,log (1),log (1),,a a a a x a y a x y >≠=+=+且试比较的大小. (18) 已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，. （1）求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么； （2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论； 解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f x x f f x x f . 参考答案 一选择题: 1.C [解析]：A ．若b a >，则2 2 bc ac >（错），若c=0，则A 不成立； B ．若c b c a >，则b a > （错） ， 若c<0，则B 不成立； C ．若033<>ab b a 且，则b a 11>（对），若03 3<>ab b a 且，则? ??>>00b a D ．若02 2>>ab b a 且，则b a 11<（错），若???<<0 0b a ，则D 不成立。 2.D [解析]：∵∴a >1，0 log ,0log <= a b a b a 设t a t b b a 1log ,log ==，则21 ≥-+-t t ； 则a b b a log log +=t t 1 +=2)1(-≤-+--t t 3.C [解析]： 2x +2－ x 2222=?≥-x x （当且仅当x =0,等号成立），而x ＞0，故P>2， Q ＝(sin x +cos x )2=1+sin2x ，而 sin2x 1≤，故Q 2≤ 4.D [解析]：取a=1,b=－1，可验证p 假； 由21--x 0≥，可得∈x (-∞,-1][?3,+∞)，故q 真 5.C [解析]：取b=0，可验证C 不成立。 6.B [解析]：∵a+b=2, ∴3a +3b 63232332=?==?≥+b a b a 7.D [解析]：∵p+q=1, p>0, q>0,则由pq q p ≥+2，得4 1 ≤pq 若 x>1，则0)(log 8.B [解析]：设42,=+∈+ y x R y x 且，则22 22=+≤?y x y x ，即2≤xy 故y x lg lg +=2lg )lg(≤xy 9.B [解析]：∵a ＞0, b ＞0，∴ A ． )11)((b a b a ++≥ab ab 1 2 2?≥4 故A 恒成立， B ．3 3 b a +≥2 2ab ，取3 2 ,21== b a ，则B 不成立 C ．22 2++b a －（b a 22+ ）=0)1()1(22≥-+-b a 故C 恒成立 D ． 若b a < 则b a -≥b a -恒成立 若b a ≥,则--2)(b a 2 )(b a -=2ab ≥0，∴ b a -≥b a - 故D 恒成立 10.C [解析]：设α2cos =x ，则α2 sin 1=-x x b x a -+122=ab b a b a 2)cot 1()tan 1(2 22222++≥+++αα 二填空题: 11. a ＜ab 2＜ab [解析]：0)1(0)1(222 >-=->-=-b a a ab b ab ab ab 12. 222+ [解析]：∵2)2 (y x xy +≤∴ 1)(4)(2 ≥+-+y x y x ， x +y ≥222+ 13. ①,④ [解析]： ∵ b a 1 1<<0 , ∴b 1 [解析]：∵{} φ≠<-+-m x x x 43|，∴m x x <-+-|4||3|有解 即min |)4||3(|-+->x x m ，故m >1． 三解答题: (15)证：不妨设2 1-=a ，则4 5=A ，4 3=B ，2=C 由此猜想C A B << 由01<<-a 得01>+a ，02)1()1(222>=--+=-a a a B A 得B A >， 0143)21(1)1()1(1122 2>+? ???? ? ++-=+++-=+-+=-a a a a a a a a a A C 得A C >，即得C A B <<. (16) 解：错误. ； 12 11xy y x ≥+Θ等号当且仅当x =y 时成立，又； 222xy y x ≥+Θ等号当 且仅当x =2y 时成立，而①②的等号同时成立是不可能的. 正确解法：因为x >0，y >0，且x +2y =1， 223223232x 2y x 11+=?+≥++=+++=+∴y x x y y x x y y y x y x ，当且仅当 1,2y x 22=+==，又即y x y x x y ∴这时?? ? ??-= -=2 2212y x (17解)1()1()1(223-=+-+a a a a Θ, ∴（1）当a >1时，a －1>0 ∴),0(log ,1123 +∞=+>+在因x y a a a 上递增，∴.y x > （2）当0 综上（1）（2）知：x >y. (18) （1）证明：当， ，，且时，)()()()(0a f b f b f a f a b b a b a -≥-≥∴-≥-≥≥+ ).()()()(b f a f b f a f -+-≥+∴ （2）中命题的逆命题为：0)()()()(≥+?-+-≥+b a b f a f b f a f ① ①的逆否命题是：)()()()(0b f a f b f a f b a -+-<+?<+ ② 仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题 的逆命题成立. 根据（2），所解不等式等价于101 99 10211lg ≤ <-≥++-x x x ，解得