必修五解三角形常考题型
必修五解三角形常考题型1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形
例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.
例2在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3 在△ABC中， 2
a ·tanB=
2
b ·tanA ，判断三角形ABC的形状。
例 4 在△ABC中，如果lg a lgc lgsin B lg 2 ，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式 例 5 在△ABC 中，求证
2
2
2
2
2
2
a b b c c a
cos A cos B cos B cos C cos C cos A
0 .
例 6 在△ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， C=2B ，求证
2 2
c b ab .
考察点 4：求三角形的面积
例 7 在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若
B 2 5
a 2,C
,cos , 求
4
2
5
△ABC 的面积 S.
例 8已知△ ABC 中a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为 12，且
求△ABC 的面积 S 的最大值。
C
,
3
考察点5：与正弦定理有关的综合问题
例9 已知△ABC的内角A,B 极其对边a,b 满足a b a cot A b c ot B, 求内角 C
例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c, 且c=10, 的内切圆半径。c os A b 4
cos B a 3
，求a,b 及△ABC
『易错疑难辨析』
易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解
【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
例1
（1）在△ABC中，a 2 3,b 6,A 30 ,求B;
（2）在△ABC中，a 2 3,b 2,A 60 ,求B;
易错点忽略三角形本身的隐含条件致错
【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。例2 在△ABC中，若 C 3B, 求c
b 的取值范围。
『高考真题评析』
例1（2010·广东高考）已知a，b，c 分别是△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边，若a 1,b 3, A C 2B, 则sin C _______
例2（2010·北京高考）如图1-9 所示，在△ABC 中，若则a _________.
2
b 1,
c 3,C ,
3
C
2
1 a
3
A B
3
图1-9
例3（2010·湖北高考）在△ABC 中，a 15, b10, A 60 , 则cos B 等于（）
A.2 2
3
B.
2 2
3
C.
6
3
D.
6
3
A C cos B
例4（2010·天津高考）在△ABC中，
.
AB cosC
（1）求证 B C ；（2）若cos 1
A ，求sin 4
B 的值。
3 3
1.2余弦定理
『典型题剖析』
考察点1：利用余弦定理解三角形
例1：已知△ABC中，b3,c 3 3,B 30 ,求A，C和a。
例2：△ABC中，已知a 2 6,b 6 2 3,c 4 3 ，求A，B，C
考察点2：利用余弦定理判断三角形的形状
例3：在△ABC中，已知a b c a b c 3ab,且2cos A sin B sin C ，试判断△ABC 的形状。
例4：已知钝角三角形ABC的三边a k,b k 2,c k 4,求k 的取值范围。
考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例5在中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，
（1）求证a cos B b cos A c;（2）求证2C2A1
a cos cos a
b c.
222
例6在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。
（1）求证
22
sin
A B
a b
2
c sin C
;
（2）求证
a ccos B sin B
b c cos A sin A
考察点4：正余弦定理的综合应用
例7：在ABC中，已知b31a,C30,求A,B.
例8：设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2c2a23bc,（1）求A的大小；（2）求2sin BcosC sin B C的值。
例9：设ABC得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B3,b sin A 4.（1）求边长a；（2）若ABC的面积S=10，求ABC的周长l。
『易错疑难解析』
易错点利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况
【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可
以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。
例1：在ABC 中，已知 a cos A b cos B, 试判断ABC 的形状
易错点易忽略题中的隐含条件而导致错误
【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的b＞a 就是一个重要条件。
例2：在ABC中，已知a 2,b 2 2,C 15 ,求A 。
『高考真题评析』
例1：（2011. 山东模拟）在ABC中，D为BC边上一点，B C 3BD , AD 2, ADB 135 ,
若AC 2AB,则B D __________.
例 2 ：（2010. 天津高考）在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
2 2
3 ,sin 2 3sin ,
a b bc C B 则A等于（）
A．30° B.60 ° C.120 ° D.150 °
例3：（2010. 北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14 所示），它由腰长为1，顶角为 a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A. 2sin a 2cos a 2 B. sin a 3cos a 3
C. 3sin a 3 cosa 1
D. 2sin a cos a 1
例4：（2010. 安徽高考）设ABC是锐角三角形，a，b，c 分别是内角A，B，C所对边长，
且 2 2
sin A sin B sin B sin B 。
3 3
（1）求角 A 的值；（2）若AB AC 12,a 2 7 ，求b，c（其中b＜c）
例5：（陕西高考）如图1-15 所示，在ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长。
A
B C
D
图1-15
例6：（2010. 江苏高考）在锐角ABC 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b a 6 c o s, C
a b
t an C tan C
求
的值。
tan A tan B
必修五解三角形常考题型
1.3正弦定理和余弦定理
1.1.2正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形
例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.
【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正
弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
A: B :C1: 2:3, A B C .
而
解：A, B ,C ,
6 3 2
1 3
a :
b : sin A: sin B : sinC sin : sin : sin : :1 1: 3 :2.
6 3 2 2 2
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活
应用。
例2在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，c= 2+ 6 ，∴由正弦定理得：
a b c
2 6 sin A sin B sin C sin 30
,
∴a=2( 2+ 6 )sinA,b=2( 2+ 6 )sinB=2( 2+ 6 )sin（150°-A）.
∴a+b=2( 2+ 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2+ 6 ) ·2sin75 °·cos(75 °-A)= 2
2 6 cos(75 °-A)
①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值
2
2 6 =8+4
3 ；
②∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75 °＜75°-A＜75°，∴cos75 °＜cos(75 °-A) ≤1，
∴＞
2
2 6 cos75 °=
2
2 6 ×
6 2
4
= 2+ 6 .
综合①②可得a+b 的取值范围为( 2+ 6 ,8+ 4 3 > 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3 在△ABC中， 2
a ·tanB=
2
b ·tanA ，判断三角形ABC的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：
2 sin B 2 sin A
2R sin A 2R sin B
cos B cos A
,
sin A c os A sin B cos B,
即sin 2A sin 2B ，2A2B或2A 2B ，
A B或A
B .
2
∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC中，由sin 2A sin 2B 得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述
解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=
”的导出过程。
2
例 4 在△ABC中，如果lg a lgc lgsin B lg 2 ，并且B 为锐角，试判断此三角形的
形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。
解：
2 lgsin B lg 2, sin B .
2
又∵B为锐角，∴B=45°.
由
c 2 lg a lg c lg 2, .
得
a 2
由正弦定理，得
s in A 2
sin C 2
,
∵A 180 45 C, 代入上式得： 2 sinC 2sin 135 C 2 sin135 cosC cos135 sin C
2 cosC 2 sin C,
cos C0, C 90 , A 45 .
ABC为等腰直角三角形。
考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式
例5 在△ABC中，求证
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
cos A cos B cos B cos C cos C cos A
0 .
【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将 2 2 2
a ，
b ，
c 转化
为 2 2 2
sin A,sin B,sin C .
证明：由正弦定理的变式 a 2R s in A,b 2R s in B 得：
2 2 4 2 sin 2 4 2 sin2
a b R A R B
=
cos A cos B cos A cos B
2 2 2
（1- A）-(1- B) 4R
[ cos cos ]
cos A cos B
2 2
(cos B cos A) cos A cos B
2
4R (cos B cos A)
同理
2 2
b c
cos B cos C
2 2
c a
cos C cos A
2
4R (cos C cos B),
2
4R (cos A cosC ).
左边 2
=4R (cos B cos A cosC cosB cosA cosC )
右边
等式成立。
【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6 在△ABC中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B，求证 2 2
c b ab .
【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.
证明： A B C 180 , B C 180 A.
又
C 2B, C B B.
sin( B C) sin(180 A) sin A,
2 2 2 2 2
c b 4R (sin C sin B)
2
4R (sin C sin B )(sin C sin B)
2
B C C B B C C B
4R 2sin cos 2cos sin
2 2 2 2 2
2
4R sin( C B)sin( C B) 4R sin A s in B ab 右边.
等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。
（1）
A B C
A B C ,A B C, ,2A
2 2 2
2B 2 2C.
(2)sin( A B) sin C,cos( A B) cosC, tan( A B)
tan C.
A B C A B C A B (3)sin cos ,cos sin , tan
2 2 2 2 2
C cot . 2 (4)sin(2 A 2B) sin 2C,cos(2 A 2B) cos 2C, tan(2 A 2B)
tan 2C.
考察点 4：求三角形的面积
例 7 在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若
B 2 5
a 2,C
,cos , 求
4
2
5
△ABC 的面积 S.
【点拨】先利用三角公式求出
sinB,sinA
及边 c ，再求面积。
解：由题意
cos
B 2 5 2
5
，得 2 B 3 cos B 2cos 1 ,
2 5 ∴B 为锐角，
4
3
7 2 sin B ,sin A sin(
B C) sin(
B) ,
5
4 10
由正弦定理得 c 10 7
,
1 1 10 4 8 S ac sin B
2 .
2 2 7 5 7
【解题策略】在△ ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，
并能灵活应用，
,sin(
) sin ,cos( ) cos ;sin
A B C A B C A B
C
C A B C
cos ,cos sin .
2 2 2
A B 2 例 8已知△ ABC 中a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为 12，且
求△ABC 的面积 S 的最大值。
C ,
3
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。 解：
1
1
S
ab sin C 2R s in A 2R s in B sin C ABC
2
2
2
3 2
3R sin A s in B R [cos( A B) cos( A B)]
2
3
1
2
R [cos( A B) ]. 2 2
当
即 时，
cos(A B) 1, A B
3 3 3 3
2
(S) R 144 108 3.
ABC max
4 4
【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题
例9 已知△ABC的内角A,B 极其对边a,b 满足a b a cot A b c ot B, 求内角 C
【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、
分析能力和转化能力。
a b
解法1：cot cot , 2
且（R为△ABC的外接圆半径），
a b a A b B R
sin A sin B
sin A cos A cos B sin B, 1 sin 2A 1 cos 2B.
cos 2A cos 2B 0
又sin 2A sin 2B 2cos( A B)sin( A B).
cos(A B)sin( A B) 0,
cos(A B) 0或sin( A B) 0.
又∵A,B 为三角形的内角，,
A B 或A B
2
当时，；
A B C
2 2
当A B 时，由已知得cot 1, , .
A A
B C
4 2
综上可知，内角C.
2
解法2：由a b a cot A b cot B 及正弦定理得，
sin A sin B= cos A cos B ，
sin A cos A cos B sin B ，
从而sin cos cos sin cos sin sin cos ,
A A
B B
4 4 4 4
即sin( ) sin( ).
A B
4 4
又∵0＜A+B＜π，,
A B
4 4
A B , C .
2 2
【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。
例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c, 且c=10, 的内切圆半径。c os A b 4
cos B a 3
，求a,b 及△ABC
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。
解：
cos A b cos A sin B 由 可得
, = ,
cos B a cos B sin A
变形为 sin A c os A sin B cos B, sin 2A sin 2B 又
, 2
2 ,
,
a b A B A B
2
∴△ABC 是直角三角形。
2
2
102
a b 解得 a 6,b 8.
由
b 4
a 3,
ABC 的内切圆半径为 r=
a b c 6 8 10 2
2
2
【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。 ------------------------------------------
『 易错疑难辨析 』
易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解
【易错点辨析】 本节知识在理解与运用中常出现的错误有： （1）已知两边和其中一边的对角， 利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解； （2）在判断三角形的形状时，出现漏解
的情况。 例 1
（3） 在△ABC 中， a 2 3,b 6,A 30 ,求B; （4） 在△ABC 中， a 2 3,b 2,A 60 ,求B;
【错解】
（1） 由正弦定理得
sin A
sin30 3
sin B b
6 , B 60 a
2 3
2
（2） 由正弦定理得
sin A sin 60 1
sin B b
2
, B 30 150 或
a
2
2 3
【点拨】（1）漏解，由
sin
3
B
（0° ＜B ＜180° ）可得 B 60 或120 因为 b ＞a, 所
以 2
两解都存在。 （2）增解。由
sin 1 B （0° ＜B ＜180° ）可得 B 30 或150 ，因为 b ＜
a,
2
根据三角形中大边对大角可知 B ＜A, 所以 B 150 不符合条件，应舍去。
【正解】
（1）由正弦定理得
sin A sin 30 3 sin B b 6 .
a 2 3 2
又∵0°＜B＜180°
B 60 或120 （经检验都符合题意）
（2）由正弦定理得
sin A sin 60 1 sin B b 2 .
a 2
2 3
又∵0°＜B＜180° B 30 或150
∵b＜a, 根据三角形中大边对大角可知B＜A，
B 150 不符合条件，应舍去， B 30 。
易错点忽略三角形本身的隐含条件致错
【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。
例2 在△ABC中，若 C 3B, 求【错解】c
b
的取值范围。
由正弦定理得
c sin C sin 3B sin( B 2B)
=
b sin B sin B sin B
sin B cos 2B cos B sin 2B
sin B
2 2
cos 2B 2cos B 4cos B 1.
c 2 2
0 cos B 1 1 4cos B 1 3, 0 3
b
【点拨】在上述解题过程中，得到了c
b
2
=4cos B 1 后，忽略了三角形的内角和定理及隐含
的A, B,C 均为正角这一条件。
【正解】
由正弦定理可知
c sin C sin 3B sin( B 2B) =
b sin B sin B sin B
sin B cos 2B cos B sin 2B
sin B
2 2
cos 2B 2cos B 4cos B 1.
A B C =180 ，C 3B.
∴0°＜B＜45°，
2
2
＜cos B＜1.
∴1＜ 2
4cos B 1＜3，故1＜c
b
＜3.
『高考真题评析』
例1（2010·广东高考）已知a，b，c 分别是△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边，若
a 1,
b 3, A C 2B, 则sin C _______
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角 C 的值。
【点拨】在△ABC 中， A B C , 又 A C 2B ，故B，由正弦定理知
3
a s in B 1 sin A ,
b 2 又a＜b，因此
B
A 从而可知
6
C ，即sin C 1。故填 1.
2
【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。
例2（2010·北京高考）如图1-9 所示，在△ABC 中，若则a _________.
2
b 1,
c 3,C ,
3
【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。
【点拨】由正弦定理得，
sin 3 1 1
, sin B .
2 sin 2
B
3
∵C 为钝角，∴ B 必为锐角，
B A . a b 1.
6 6
故填 1
【名师点评】
在0, 范围内，正弦值等于忽略角的范围而出现增解1
2
的角有两个，因为角 C 为钝角，所以角 B 必为锐角，防止
C
2
1 a
3
A B
3
图1-9
例3（2010·湖北高考）在△ABC 中，a 15, b10, A 60 , 则cos B 等于（）
必修五数列与解三角形单元测试试题卷.
高一数学单元测试试题 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分． 1．某型号手机今年1月份价格是每台a 元，以后每个月比上月降价3%，则今年10月份该手机的价格是每台 （ ） A ．9 )97.0(?a 元 B ．10 )97.0(?a 元 C ．11 )97.0(a 元 D ．0.97a 元 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a +=，则8S 等于 （ ） A . 18 B. 36 C. 54 D. 72 3．数列{a n }满足=+- ==+200811a ,11 ,2则n n a a a （ ） A ．2 B ．－ 3 1 C ．－ 2 3 D ．1 4．边长分别为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 （ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 5．ABC ?中，3A π ∠= ，3BC = ，AB = ，则C ∠= （ ） A ． 6 π B ．4π C ．34 π D ． 4π或34 π 6．已知等比数列{}n a 中， 19a a 与是方程2 11160x x -+=的两根，则a 2a 5a 8 的值为 （ ） A ． B ． C ．6464或- D ．64 7．在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是 （ ） A ． 2 3 B ． 4 3 C ． 4 3 D ． 2 3 8．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为 （ ） A 9 B 12 C 16 D 17 9. 数列{a n }中，a 1=1,a 2= 3 2 ,且n ≥2时，有1111+-+n n a a =n a 2,则 （ ） A. a n =( 3 2)n B. a n =( 32)n －1 C. a n =22+n D. a n =1 2+n 10．在ABC ?中，A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC ?的形状是 （ ）
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
人教版高一必修五解三角形单元试题及答案
高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．2
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
高一必修5解三角形练习题及答案
第一章 解三角形 一、选择题 1．在A B C ?中，a =03,30;c C == (4) 则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ?中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ） A ； B C D 4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ） A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A B ．120≤ 三、解答题 11. 已知在ABC ?中,cos A = ,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()2 B π += ,c =求ABC ?的面积. 解: 12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5 82 22bc b c a - =-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。 ⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解： 解三角形常见题型 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、 角 关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、 中线)及周长等基本问题．1. 在ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ( ) A ． 2 3B ． 3 2C ． 3 2D ． 2 3【答案】D 2．（1）在ABC 中，已知0 32.0A ，0 81.8B ，42.9a cm ，解三角形； （2）在ABC 中，已知20a cm ，28b cm ，0 40A ，解三角形（角度精确到0 1，边长精确到 1cm ）。 3．（1）在 ABC 中，已知23a ，62c ，0 60B ，求b 及A ； （2）在 ABC 中，已知134.6a cm ，87.8b cm ，161.7c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷 ) ABC 中，3 A ，BC ＝3，则 ABC 的周长为（ ） A ． 33 sin 34B B ．3 6 sin 34B C ．3 3 sin 6B D ．3 6 sin 6B 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷 ) 在ΔABC 中，已知6 6cos ,3 64B AB ，AC 边上的中线BD= 5，求 sinA 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sinA ．解：设E 为BC 的中点，连接 DE ，则DE//AB ，且3 622 1AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得： BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ， x x 6 63 622 3 852 ，解得1x ，3 7x （舍去） 故BC=2，从而3 28cos 22 2 2 B BC AB BC AB AC ，即3 212AC 又6 30sin B ， 故 221 23sin 306 A ， 14 70sin A （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)； ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 的外接圆的半径，则有 a b c 2R ．sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； ②化边为角： sin a， sin b， sin C c ； 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ； ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 7、三角形面积公式： S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理：在 C 中， a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论： cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2． 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角 高中数学必修5第一章单元测试题 一 选择题：（共12小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个符合要求) 1．在ABC ?中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A ．30? B ．45? C ．60? D ．120? 2．在ABC ?中，若20sin A sin B cosC -=，则ABC ?必定是 （ ） A 、钝角三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、锐角三角形 3．在△ABC 中，已知5cos 13A =，3 sin 5 B =，则cos C 的值为（ ） A 、1665 B 、5665 C 、1665或5665 D 、16 65- 4．不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 5．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 A ．5000米 B ． 米 C ．4000米 D ． 6．已知ABC △ 中，a = b =60B = ，那么角A 等于 A ．135 B ．90 C ．45 D ．45 或135 7．在△ABC 中，60A ∠=?，2AB =，且△ABC 的面积ABC S ?=，则边BC 的长为（ ） A B ．3 C D ．7 8．已知△ABC 中，2cos c b A =，则△ABC 一定是 A 、等边三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 9．在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若22241c b a + =，则c B a c o s 的值为（ ） A.41 B. 45 C. 85 D.8 3 10．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C 等于( ) (A) π3 错误！未找到引用源。(B) 2π3 错误！未找到引用源。 (C)错误！未 解三角形知识点、常见题型及解题方法 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23- B ．3 2- C ．32 D ．23 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ?? +πB B ．36sin 34+??? ? ?+πB C ．33sin 6+??? ?? +πB D ．36sin 6+??? ? ?+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 22?-+=， x x 6 636223852??++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆 的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大 时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若 点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( ) 高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值 (4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A 解三角形的基本题型 睢县回族高级中学 杨少辉 解三角形问题是高考的一种基本问题，可以说是常考；下面就这类问题来做个总结，有不对的地方希望大家指正。 一、与解三角形有关的公式、定理、结论： 1、正弦定理： 2,(R ABC )sin sin sin a b c R A B C ===?是的外接圆半径 ； 正弦定理的变形：::sinA:sinB:sinC a b c = ; （根据合比定理） 2,(R ABC )sin sin sinA sinB sin a b a b c R A B C ±±±==?±±±是的外接圆半径 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的变形：222sin sin sin 2sinBsinCcos A B C A =+- 222sin sin sin 2sin sinCcos B A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 3、三角形面积公式： （1）12 ABC S ?=?底高； （2）（两边及夹角）111sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ?===； （3）（两角及夹边） 2221sinB.sinC 1sin .sinC 1sin .sin 2sin(B C)2sin()2sin() ABC A A B S a b c A C A B ?= ==+++； （4）（两角及对边） ()()222sin .sinC sin .sinA 1sin(A B).sin 112sin 2sin 2sin ABC B C A C B S a b c A B C ?+++===； （5）（三边） 2ABC a b c S p ?++? ?= = ??? 其中； （6）（代入正弦定理）22sinAsinBsin 4ABC abc S R C R ?==； （7）()1.;(r )2 ABC S a b c r ?=++其中为内切圆半径； 4、三角形中的边角关系： （1）,A B C,2 2 2 A B C A B C πππ+++=+=-=-； （2）转化为三角函数： ()()sin sin ,cos cosC A B C A B +=+=-； sin cos ,cos sin 2 2 2 2 A B C A B C ++???? == ? ? ?? ?? ； （3）大边对大角： sinA sinB cosA cosB a b A B =?=?=?=； sinA sinB cosA cosB a b A B >?>?>?<； （4）锐角与钝角的判定： 角A 为锐角222sinA cosA 1a b c ?<+?+>； 角A 为直角222sinA cosA 1a b c ?=+?+=； 角A 为钝角222sinA cosA 1a b c ?>+?+<； （5）锐角三角形中的边角关系： sinA cosB 22 A B A B π π +>?> -?>； 二、解三角形的常见题型： 题型一：已知两边及对角，判断三角形解的个数； 必修五第一章测试题 班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批： 一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ） A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ） A 3 B 2 C 1 2 D 2 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150° 4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b = ，c = ，ABC S =A ∠等于 （ ） A 30 B 60 C 30或150 D 60或 120 8.△ABC 中，若60A = ，a =sin sin sin a b c A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1 2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34 D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 必修5解三角形数列综合测试题 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．已知锐角ABC ?的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 75 2. 在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．108 3. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 3952a a a ?=，21a =，则1a =（ ） A ． 1 2 B ．2 C D ．2 4. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为（ ） A . 158或5 B . 5 或1631 C .3116 D .15 8 5. 已知数列{}n a 的前n 项和2 9n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 6. 在各项均为正数的等比数列{n a }中，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ） A ． B ．7 C ． 6 D ． 7. 在ABC ?中，60A =，且最大边长和最小边长是方程2 7110x x -+=的两个根，则第三边的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = ( ) A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 9. 在ABC ?中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且 30=A ，a =4b =，那么满 足条件的ABC ?（ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 10. 已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．50 B ．45 C ．40 D ．35 11. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10302,14S S ==，则40S =（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 12. 在?ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（ ） A ．（0， 6 π ] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3 π ，π） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知c b a ,,分别是ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边，若 B C A b a 2,3,1=+==则=C sin . 14. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 5359a a =，则95 S S = ． 15. 已知ABC ? 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面积为_______________. 16.下表给出一个“直角三角形数阵” 41 4 1,21 解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ， 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或 10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D． 二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则 的值为． 三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=． （1）求角B的大小； （2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．解三角形常见题型
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