浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学高三数学上学期期中试题
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题考生注意：1.不允许用计算器。
2.参考公式：球的表面积公式：S =4πR 2球的体积公式：V =34πR 3 其中R 表示球的半径 棱锥的体积公式：V =31Sh 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱柱的体积公式：V =Sh其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高棱台的体积公式V =)(312211S S S S h ++其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,h 表示棱台的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．定义集合{}12)(|-==x x f x A ，{})22(log |2+==xy y B ，则=B C A R I （ ）A ．),1(+∞B ．[0，1]C ．[0，1）D ．[0，2）2．下列命题正确的是（ ）A ．“92>a ”是“3>a ”的充分不必要条件B ．函数6)(2--=x x x f 的零点是（3，0）或（﹣2，0）C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2﹣x ﹣6＞0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2﹣x ﹣6≤0 D ．命题“若062=--x x ，则3=x ”的否命题为“若062=--x x ，则3≠x ” 3．已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若,,//α⊥m n m 则α⊥n B ．若,,αβ⊥⊥m m 则βα// C ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ D ．若n m =βααI ,//，则n m //4．已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 18 5．将函数x x x x x f 2sin )sin 2)(cos 23sin()(+-+=π的图象向左平移8π个单位长度后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．在)4,0(π上单调递增，为奇函数 B ．周期为π，图象关于)0,4(π对称C ．最大值为2，图象关于直线2π=x 对称 D ．在)0,2(π-上单调递增，为偶函数6．已知))(()(),0()(2x f f x g a c bx ax x f =>++=，若)(x g 的值域为)(),,2[x f +∞的值域为),[+∞k ，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知二面角A BD A --1的大小为6π，若空间一条直线l 与直线CC 1所成的角为4π，则直线l 与平面BD A 1所成的角的取值范围是（ ） A ．]125,12[ππ B ．]125,4[ππ C ．)2,12[ππ D ．]4,6[ππ 二．填空题：本大题共7小题，9-11和15小题6分，,12-14小题4分，满分36分. 9. 函数x x f =)(在1=x 处的切线l 方程是______________，以直线l 与y 轴的交点为焦点的抛物线标准方程是_________________.10．设函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，则=))21((f f ，方程1))((=x f f 的解集 ．11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为____________， 体积为_______________．12．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足3,2,1),0(3322111=-=-=->=a b a b a b a a a . 若a =1，则数列{}n a 的通项公式为______________，若数列{}n a 唯一，则a =__________.13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x 则y x z +=||2的取值范围是 ．14．在AOB ∆中，已知2,1,45OB AB AOB ==∠=︒u u u r u u u r ,若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r,且22λμ+=,则OA u u u r 在OP uuu r上的投影的取值范围是 ．15. 记{},p q max ,,p p q q p q≥⎧=⎨<⎩，设(){}22,max 1,1M x y x y y x =++-+，其中,x y R ∈，则(),M x y 的最小值是__________．三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（14分）已知在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且C a A c cos 3sin 2,2==．（1）求角C 的大小；（2）若C C B A sin )2sin(2sin 2=++，求ABC ∆的面积．17．（15分）如图，矩形ABCD 中，)1(>=λλADAB，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角E AB C --为直二面角． （1）求证：平面⊥ACE 平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角F AC E --的平面角 的大小为θ，当]3,2[∈λ时，求θcos 的取值范围．18．（15分）数列{}n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，都有)0(21>+=+λλn n n a a a ． （1）取11+=n a λ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若20161=λ，是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．19．（15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，焦点与短轴的两顶点的连线与圆4322=+y x 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)0,1(的直线l 与C 相交于B A ,两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NB NA ⋅为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．（15分）已知函数R m x x m x g x x x f ∈+-=-=,21)(,21ln )(22，令)()()(x g x f x F +=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值；（3）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求21x x +的取值范围．2015-2016学年度第二学期期末考试高三年级数学参考答案一、1.B ； 2.C ； 3.D ； 4.B ； 5.A ； 6.C ； 7.D ； 8.A.二、9.y x y x 2,0122==+-； 10.{}e e ,1,21； 11. 332,734++； 12. 31,)22(1-±=n n a ； 13. ]11,1[-； 14. ]1,22(-； 15. 43. 三、16.解：（1）由已知得,c sin A =a cos C ,由正弦定理得,sin C sin A =sin A cos C .又sin A >0,∴cos C ≠0,sin C =cos C ,tan C =, ∴C =. ………………………………6分（2）由2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 得, 2sin 2A =sin C-sin(2B+C ),∴4sin A cos A =sin(A+B )-sin[(π-A )+B ]=sin(A+B )+sin(B-A )=2sin B cos A. 当cos A =0时,A =,此时B =，∵c =2, ∴b =, S △ABC =bc =.当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,∴b =2a . 由c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得,4=a 2+b 2-ab . 联立,得334,332==b a , ∴S △ABC =ab sin C =.综上所述,△ABC 的面积为. ………………………14分17.证明：（1）∵二面角C ﹣AB ﹣E 为直二面角， AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴BC ⊥AE ∵AE ⊥CE ，BC∩CE=C，∴AE ⊥平面BCE∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE………..6分解：（2）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ，则，设平面EAC 的法向量为则，取x=1，， 同理设平面FAC 的法向量为，∴∵. …………15分18.（1）证明：0,121211211=+-⇒+=∴=+++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a λΘ251,0,25101)()(11121+=∴>±=⇒=+-∴++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a Θ (为常数)， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是公比为251+的等比数列. 11)251(21,21-+=∴=n n a a Θ. ………………………………………7分解：（2）∵a n+1=a n +ca n 2，c=， ∴a n+1＞a n ＞0．∴，即=，∴++…+=++…+=． ∴＜++…+=．当n=2016时，＜1，可得a 2017＜1． 当n=2017时，2﹣＞++…+=1，可得a 2018＞1．因此存在n ∈N *，使得a n ＞1． ………………………………………………………………………………15分 19.解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2+y 2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3，∴椭圆方程为. …………………………………………………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足. (15)分20. 解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．………4分（2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx2+x，x＞0，令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为G（1）=ln1﹣m×12+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×+（1﹣m）×+1=﹣lnm，令h（m）=﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，所以整数m的最小值为2．…………………………………………………………10分（3）m=﹣1时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即lnx1++x1+lnx2++x2=0，整理得：+（x1+x2）=x1 x2﹣ln（x1 x2），令t=x1•x2＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）=，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1，所以+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≤﹣﹣1，或x1+x2≥﹣1，因为x1，x2为正整数，所以：x1+x2≥﹣1成立．………………………………………………15分。
2017届高三下学期期中数学试卷
浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 的对应点为1n =()1,1，则2z =( ) AB ．2iCD ．2+2i2．命题p x ∈R ：且满足sin21x =．命题q x ∈R ：且满足tan 1x =．则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知实数,x y 满足不等式组330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的取值范围是( )A ．[]13-，B ．[]31--，C ．[]1-，6D ．[]6,1-4．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A．34+ B．44+ C．34+ D．32+5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+∞，单调递减，若实数a 满足()()313lo log g 21f a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是( )A ．(]03，B ．103⎛⎤⎥⎝⎦，C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,36．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若120AMB ∠=o ，则该双曲线的离心率为( )ABC ．3D ．27．在ABC △中，76cos BC AC C ===，，．若动点P 满足()()213AP AB AC λλλ=-∈R u u u r u u u r u u u r +，，则点P的轨迹与直线BC AC ，所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10 C． D．8．已知()()2ln 1,0,x x f x x ax x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，且()()2xg x f x =+有三个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．[)1+∞，C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．(]0,19．已知数列{}a 满足()21413n n n a a a a n +*==--∈N ，，则122017111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()[)2,bf x x a x a x=++∈+∞，，其中0a b >∈R ，，记(),m a b 为()f x 的最小值，则当(),2m a b =时，b 的取值范围为( )A ．13b >B ．13b <C ．12b >D ．12b <二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知全集为R ，集合{}{}2 31680x A y y x B x x x -==≤=+≤，，，则A B =U ____，A B =R I ð____．12．已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =+-∈，则1a =____；数列{}n a 的通项公式为n a ____． 13．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点()1,0F ，则p =____；M 是抛物线上的动点，()64A ,，则MA MF +的最小值为____．14．若()()1sin πcos π2x x +++=，则sin2x =____，1tan πsin cos 4xx x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=____． 15．已知直线280x my +-=与圆()224C x m y -+=：相交于A B 、两点，且ABC △为等腰直角三角形，则m =____．16．若正数a b c ，，满足1b c a c a b a b c ++++=+，则a bc+的最小值是____． 17．如图，矩形ABCD中，1AB BC ==，ABD △沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC长度在⎣⎦内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为____．三、解答题：（第18题）18．已知函数()()πsin 03f x x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，＞的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点．且PQ =（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,2x ∈时，求函数()()()h x f x g x =g 的最大值．19．三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，AB AD BD DC =⊥， （Ⅰ）求证：AE BD ⊥；（Ⅱ）若22DB DC ==，且二面角A BD C --为60o ，求AD 与面BCD 所成角的正弦值．20．已知函数()()ln 0af x x a x=+>． （1）判断函数()f x 在(]0,e 上的单调性（e 为自然对数的底）； （2）记()f x '为()f x 的导函数，若函数()()3222g x x x a x f x -=+'在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆22149x y +=上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且2PM MQ =u u u u r u u u u r ，点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()02D ，-作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设N 是过点40,17⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．22．已知数列{}n a 满足21132n n n a a a a n N *+==+∈，，*，设()2log 1n n b a =+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：()11112231n n n b ++++<≥-L ； （Ⅲ）若2nC n b =，求证：123nn n C C +⎛⎫≤< ⎪⎝⎭．。
2017-2018学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一上学期期中数学试卷和解析
2017-2018学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．2，4 C．2，4，6 D．1，2，3，4，62．（4分）已知α是第二象限角，且，则cosα的值是（）A．B．C．D．3．（4分）下列各式不正确的是（）A．sin（α+π）=﹣sinαB．cos（﹣α+β）=﹣cos（α﹣β）C．sin（﹣α﹣2π）=﹣sinαD．cos（﹣α﹣β）=cos（α+β）4．（4分）在下列各组函数中，两个函数相等的是（）A．f（x）=与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与g（x）=D．f（x）=|x|与g（x）=5．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．6．（4分）设lg2=a，lg3=b，则log1210=（）A．B．C．2a+b D．a+2b7．（4分）设函数f（x）是单调递增的一次函数，满足f（f（x））=16x+5，则f （x）=（）A．B．C．4x﹣1 D．4x+18．（4分）若﹣1＜a＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．9．（4分）对于任意实数a，b，定义：，若函数f（x）=x2，g（x）=x+2，则函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．410．（4分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题（共7个小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11．（6分）已知函数，f（﹣1）=，若f（f（0））=4a，则a=．12．（6分）函数的定义域是，值域是．13．（6分）函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点；若对数函数g（x）=log b x（b＞0，b≠1）的图象经过点（4，2），则b=．14．（6分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为，sinα=．15．（4分）已知tanα=2，则4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α=．16．（4分）已知函数y=（x2+bx﹣4）log a x（a＞0且a≠1）若对任意x＞0，恒有y≤0，则b a的取值范围是．17．（4分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f （n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5个小题，共74分）18．（14分）计算：（1）；（2）．19．（15分）已知函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，且．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，3π）时，求使f（x）取到最大值的所有x的和．20．（15分）A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．21．（15分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈（n，a﹣2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+∞），若存在，求出实数a和n的值，若不存在，说明理由．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f （2﹣x）=f（x﹣1），且方程f（x）=x有两个相等的实根．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．2，4 C．2，4，6 D．1，2，3，4，6【解答】解：因为A={1，2，3，4}B={2，4，6}所以其公共元素为2，4∴A∩B={2，4}故选：B．2．（4分）已知α是第二象限角，且，则cosα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵α是第二象限角，且，∴由sin2α+cosα2=1，可得cosα=﹣=﹣．故选：A．3．（4分）下列各式不正确的是（）A．sin（α+π）=﹣sinαB．cos（﹣α+β）=﹣cos（α﹣β）C．sin（﹣α﹣2π）=﹣sinαD．cos（﹣α﹣β）=cos（α+β）【解答】解：由诱导公式可知sin（α+π）=﹣sinα，A正确cos（﹣α+β）=cos[﹣（α﹣β）]=cos（α﹣β），B错误sin（﹣α﹣2π）=sin[﹣（α+2π）]=﹣sinα，C正确cos（﹣α﹣β）=cos[﹣（α+β）]=cos（α+β）D正确综上所述，错误的是B．故选：B．4．（4分）在下列各组函数中，两个函数相等的是（）A．f（x）=与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与g（x）=D．f（x）=|x|与g（x）=【解答】解：对于A，f（x）==x的定义域是R，g（x）==|x|的定义域是R，但对应关系不同，所以两个函数不相等；对于B，y==的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），g（x）=•=的定义域是[1，+∞），定义域不同，所以这两个函数不相等；对于C，x∈{0，1，2，3}时，f（x）=2x={1，2，4，8}，g（x）=+x+1={1，2，4，7}，所以这两个函数不是相等的函数；对于D，f（x）=|x|=，g（x）=，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．故选：D．5．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：先作出当x≥0时，f（x）=ln（x+1）的图象，显然图象经过点（0，0），且在（0，+∞）上缓慢增长．再把此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象，如图C所示，故选：C．6．（4分）设lg2=a，lg3=b，则log1210=（）A．B．C．2a+b D．a+2b【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，∴log1210=．故选：A．7．（4分）设函数f（x）是单调递增的一次函数，满足f（f（x））=16x+5，则f （x）=（）A．B．C．4x﹣1 D．4x+1【解答】解：∵f（x）单调递增的一次函数，∴设f（x）=ax+b，a＞0，f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，∴a2=16，ab+b=5，解得a=4，b=1或a=﹣4，b=﹣（不合题意舍去），∴f（x）=4x+1；故选：D．8．（4分）若﹣1＜a＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：在同一坐标系中画出y=2x、y=和y=（0.5）x，如图所示，当﹣1＜a＜0，故选：C．9．（4分）对于任意实数a，b，定义：，若函数f（x）=x2，g（x）=x+2，则函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：由题意F（x）=，可得：F（x）=作出图象如下：从图象不难看出：函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为1．故选：B．10．（4分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题（共7个小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11．（6分）已知函数，f（﹣1）=﹣1，若f（f（0））=4a，则a=2．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=﹣1，f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，解得：a=2，故答案为：﹣1，212．（6分）函数的定义域是[2，+∞），值域是[1，+∞）．【解答】解：由题意：x﹣2≥0，解得：x≥2故得定义域为[2，+∞）由，f（x）=是递增函数，∴值域为[1，+∞）故答案为：[2，+∞）；[1，+∞）13．（6分）函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点（0，2）；若对数函数g（x）=log b x（b＞0，b≠1）的图象经过点（4，2），则b=2．【解答】解：令x=0，求得f（x）=2，可得函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点（0，2）；根据对数函数g（x）=log b x（b＞0，b≠1）的图象经过点（4，2），可得log b4=2，即b2=4，∴b=2，故答案为：（0，2）；2．14．（6分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为，sinα=﹣．【解答】解：由题意可得x=﹣8m，y=﹣6sin30°=﹣3，r=|OP|=，cosα==﹣，解得m=，∴sinα=﹣．故答案为：，﹣．15．（4分）已知tanα=2，则4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α=1．【解答】解：4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α====1故答案为：116．（4分）已知函数y=（x2+bx﹣4）log a x（a＞0且a≠1）若对任意x＞0，恒有y≤0，则b a的取值范围是（1，3）．【解答】解：设g（x）=x2+bx﹣4，①若0＜a＜1，当0＜x＜1时，易知log a x＞0，故问题可转化为g（x）≤0在（0，1）上恒成立，则有g（0）≤0，g（1）=b﹣3≤0，解得：b≤3；当x≥1时，log a x≤0，此时不等式可转化为g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（1）=b﹣3≥0，即b≥3，∴b=3，∵0＜a＜1，∴1＜b a＜3，②若a＞1，当0＜x＜1时，log a x＜0，故g（x）≥0恒成立，但g（0）=﹣4＜0，故不成立；由此可知当a＞1时，不等式不可能恒成立．综上可知b a∈（1，3）．故答案为：（1，3）．17．（4分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f （n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是（）．【解答】解：∵当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，∴a＜0，此时，f（n）＞f（n+1）恒成立，等价于f（8）＞f（9），即64a+8＞81a+9，解得a．∵f（3）＜f（4），∴9a+3＜16a+4解得a，即a∈（）．故答案为：（）．三、解答题（共5个小题，共74分）18．（14分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）=；（2）==．19．（15分）已知函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，且．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，3π）时，求使f（x）取到最大值的所有x的和．【解答】解：（1）由题意得，即T=π，ω=2，由得，即，又，所以，．由，可求单调增区间为．（2）当x∈[0，3π）时，，所以当，即时，f（x）取到最大值，所以使f（x）取到最大值的所有x的和为．20．（15分）A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．【解答】解：（1）依题意得：A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x2+2x ﹣3＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，∴A∩B={x|1＜x＜4}；（2）分三种情况考虑：①当a=0时，C=∅，符合C⊆（A∩B）；②当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆（A∩B），则有，解得：1≤a≤2；③当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，显然a＜0，C不为A∩B的子集，不合题意，舍去，综上，a的范围是1≤a≤2或a=0．21．（15分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈（n，a﹣2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+∞），若存在，求出实数a和n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}关于原点对称，又，∴f（x）为奇函数（2）令，即，x∈（n，a﹣2）①当a＞1时，要使f（x）的值域为（1，+∞），则须t∈（a，+∞），令，解得．所以．故有②当0＜a＜1时，t∈（0，a），则，所以不满足．综上所述，存在实数，当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞）22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f （2﹣x）=f（x﹣1），且方程f（x）=x有两个相等的实根．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知f（x）=ax2+bx关于x=对称∴﹣=ax2+bx=x有两个相等的实根，∴△=0∴所以，f（x）=﹣x2+x；（2）F（x）=kx+1+x2﹣x=x2+（k﹣1）x+1F（x）的对称轴为：x=﹣①当﹣≤1时，F（x）min=F（1）≤k+1②当1＜﹣≤2时，③当﹣＞2 时，F（x）min=F（2）=2k+3∴F（x）min=（3）f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+∴2n⇒n∴f（x）在[m，n]上单调递增∴⇒∵m＜n∴赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
【浙江省宁波诺丁汉大学年附中】2017届高三下学年期期中数学年试题
1~5．BCCAC 6~10．DAABD
11． 0,4 ； 0，2 ．
12．2；
2, 2n
1,
n 1 n2
13．2；7
14． 3 ； 8 2
4
3
15．2 或 14
16． 5 2
17． 3 π 12
18．解：（Ⅰ）过 P 作 x 轴的垂线 PM 过 Q 作 y 轴的垂线 QM ，则由已知得 PM 2 ， PQ 13 ，
△ABD 为等腰直角三角形，故 AF 1 BD 1， 2
又 FE 1 DC 1 ，
2
2
AE2 AF 2 FE2 2AF FE cosAFE 1 1 21 1 cos60 3 ，
4
2
4
即 AE 3 ， AE2 FE2 1 AF 2 ， AE FE ， 2
AB AD BD AF 又 AF FE F，AF，FE 面 AFE ，
BD 面 AFE ， AE 面 AFE ，
AE BD ， BD FE ．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD AF ， AFE 即为二面角 A-BD C 的平面角
AFE 60 AB AD 2 ，
当
x
0，2
时，
2π 3
x
π 6
π 6
,
7π 6
，
当 2π x π π ， 3 62
即
x
1 时，
hmax
x
3 4
．
19．证明：（Ⅰ）如图，取 BD 的中点 F ，连 EF，AF ，
2017届高三下学期期中数学试卷-答案
浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷答 案1~5．BCCAC 6~10．DAABD11．(]0,4；()02，． 12．2；2,121,2n n n =⎧=⎨+≥⎩13．2；714．34-； 15．2或1416．521718．解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ = 由勾股定理得3QM =， ∴6T =，又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =． 函数()()()πππsin sin 333h x f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭g21ππsin cos 2333πx x x =+ 12π2π1cos sin 433x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12ππ1sin 2364x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362x -=， 即1x =时，()34max h x =． 19．证明：（Ⅰ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， Q E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ．又BD DC ⊥，∴ BD FE ⊥． Q AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ，Q AE BD ⊥，∴BD FE ⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角∴60AFE ∠=o Q 2AB AD ==， ∴ABD △为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g ，即2AE =，∴2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED △中，2AE AD =，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin 4AE ADE AD ∠==．20．解：（1）Q ()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x af x x x x-'=-+=，若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+Q 函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，Q 231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭） 21．解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=，1212221612,1414k x x x x k k +==++， 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0OA OB =u u u r u u u rg ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==± 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++，即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-22．解：（Ⅰ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又Q ()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（Ⅱ）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111n nn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次Q ()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ，111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．2．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z=2×3=6，．即﹣1≤z≤6．即[﹣1，6]．故选：C4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．5．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f （﹣log3a）≥2f（1），即为f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可．【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故选C．6．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e===2，从而得到答案．【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，∴该双曲线的离心率e====2，故选：D．7．【考点】98：向量的加法及其几何意义；HP：正弦定理．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=，∵=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+λ∴B，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线BC．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，∴sinC=∴S△ABC=×7×6×=15，∴S△BCD=S△ABC=5．故选：A8．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据图象得出g（x）在（﹣∞，0）上的零点个数，得出g（x）在[0，+∞）上的零点个数，利用二次函数的性质得出a的范围．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣，作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象，由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点，∴g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点，∴f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点，即得到x2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解，解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣，∴a﹣＞0，即a．故选A．9．【考点】8E：数列的求和．【分析】先判断数列{a n}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=++…+ =3﹣，再根据数列的单调性判断出a2018＞2，问题得以解决【解答】解：∵a=，a n+1﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），∴a n+1﹣a n=a n2+1＞0，∴a n+1＞a n，∴数列{a n}是单调递增数列，由a n+1﹣1=a n2﹣a n=a n（a n﹣1），∴==﹣，∴=﹣，∴m=++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣，由a=＞1，则a n+1﹣a n=（a n﹣1）2＞0，∴a2=1+，a3=1+，a4=1+＞2，…，a2018＞2，∴0＜＜1，∴2＜m＜3，∴整数部分是2，故选：B10．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围．【解答】解：函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），导数f′（x）=1﹣，当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．综上可得b的取值范围是（﹣∞，）．故选：D．11．【考点】1H：交、并、补集的混合运算；1D：并集及其运算．【分析】求函数值域得集合A，解不等式求集合B，根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}={y|y≤3}=（0，3]，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}=[2，4]∴A∪B=（0，4]，∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），∴A∩∁R B=（0，2）．故答案为：（0，4]、（0，2）．12．【考点】8H：数列递推式．【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：∵S n=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴a n=，故答案为：2，=．13．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式求得sinx+cosx=﹣，两边平方，根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求得sinx2x=﹣， =，化简整理即可求得答案．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案为：﹣，﹣．15．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d =rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形， ∴圆心C （m ，0）到直线2x +my ﹣8=0的距离d =rsin45°，即=，解得：m =2或14， 故答案为2或14．16．【考点】7F ：基本不等式． 【分析】根据题意，对+=+1变形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化简可得答案． 【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6， 化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．17．【考点】J3：轨迹方程．【分析】过A 作BD 的垂线AE ，则A 点轨迹是以E 为圆心的圆弧，以E 为原点建立坐标系，设二面角A ﹣BD ﹣A ′的大小为θ，用θ表示出A 和C 的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE A E '，．∵矩形ABCD 中，1AB BC =，∴22AE CE ==．∴A 点的轨迹为以E 为半径的圆弧． A EA ∠'为二面角A BD A -'-的平面角．以E 为原点，以EB EA EA '，，为坐标轴建立空间直角坐标系E xyz -， 设A EA θ∠'=，则022A θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，102C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-，，∴AC =解得10cos 2θ≤≤，∴6090θ≤≤o o ，∴A 点轨迹的圆心角为30o ， ∴A 点轨迹的长度为=．故答案为：18．【考点】HK ：由y =Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；HJ ：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理得cos ∠POQ 的值，可得sin ∠POQ ，求出P 的坐标可得A 的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P 的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y =f （x ） 的解析式．（Ⅱ）求出g （x ） 的解析式，化简h （x ）=f （x ）g （x ）的解析式，再根据x 的范围求出h （x ） 的值域，从而求得h （x ） 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ =勾股定理得3QM =，∴6T =， 又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =．函数()()()2πππ1ππsin sin sincos 3332π333h x f x g x x x x x x ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g12π2π12ππ11cos sin sin 4332364x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666⎡⎤⨯-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362⨯-=， 即1x =时，()34max h x =． 19．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）取BD 的中点F ，连EF ，AF ，推导出FE ∥DC ．从而BD ⊥FE ．再求出BD ⊥AF ，从而BD ⊥面AFE ，由此能证明BD ⊥FE ．（II ）由BD ⊥AF ，得∠AFE 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，由此能求出AD 与面BCD 所成角的正弦值． 【解答】证明：（I ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， ∵E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ． 又BD DC ⊥，∴BD FE ⊥． ∵AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ， ∵AE BD ⊥，∴BD FE ⊥． 解：（II ）由（I ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角 ∴60AFE ∠=o ∵2AB AD ==， ∴ABD V 为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g，即AE =2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED V 中，2AE AD ==，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin AE ADE AD ∠=．20．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）先求导，再根据a 与e 的关系，得到函数的单调区间，（2）先求出g （x ），再求导，函数g （x ）有极值等价于关于x 的方程3x 2﹣ax +1=0在区间（，3）上有异号实根，继而求得a 的范围． 【解答】解：（1）∵()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x a f x x x x-'=-+=， 若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+∵函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，∵231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a 的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭）21．【分析】（1）设M （x ，y ）是所求曲线上的任意一点，然后得出的坐标代入方程，化简即可求出轨迹C 的方程．（2）设出直线l 的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C 的方程，联立并化简，根据根的判别式计算【解答】解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=…（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=， (1212)221612,1414k x x x x k k +==++，… 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形，…假设存在矩形OANB ，则OA OB =u u u r u u u r g ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==±… 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++， 即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-…22．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8H ：数列递推式． 【分析】（I ）由题意可知：，，两边取对数，即可求得b n +1=2b n ，则{b n }是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得a n ，代入即可求得a n ； （II ）利用数学归纳法即可求证1+++…+＜n （n ≥2）；（III ）．证明：由得c n =n ，，利用二项式定理展开，，当n =1时显然成立．所以得证．【解答】解：（I ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又∵()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（2）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111nnn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次∵()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ， 111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．。
2016-2017年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一(下)期中数学试卷和答案
．
（3）是否存在正整数 m，k，使得 am，am+5，ak 成等比数列？若存在，求出 m 和 k 的值，若不存在，请说明理由．
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2016-2017 学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（下） 期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1． （5 分）化简 cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（ A． B． C．﹣ ） D．﹣
12． （4 分） 已知钝角△ABC 的三边 a=k， b=k+2， c=k+4， 求 k 的取值范围
13． （6 分） 在四边形 ABCD 中， 已知 AD⊥DC， AB⊥BC， AB=1， AD=2， ∠BAD=120°， 则 BD= ，AC= ． + ） = ， 则 cos （θ+ ） 的值为 ．
）
A．
B．
C． ）
D．
7． （5 分）若 c=acosB，b=asinC，则△ABC 是（ A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三角形
8． （5 分）在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，b=c，且满足 = ．若点 O 是△ABC 外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π） ，OA=2OB=2，平面 ） C．3 D．
【解答】解：cos15°cos45°﹣cos75°sin45° =cos15°cos45°﹣sin15°sin45° =cos（15°+45°）=cos60°= 故选：A． 2． （5 分）已知△ABC 中，a= A．45° B．60° ，b= ，b= ，B=60°，那么角 A 等于（ C．120°或 60° ， ）
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试英语试题 Word版含答案
宁波诺丁汉大学附属中学2017-2018学年度第一学期期中考试[高三]年级[英语]试题卷答卷时间：[120分钟] 满分：[150分]注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第Ⅰ卷第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，现将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话, 每段对话后有一个小题，从题中所给的A, B, C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置；听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Who will the man call?A. His wifeB. His bossC. Taxi driver2. What does the man suggest the woman do?A. Wait on the phoneB. Order the pizza onlineC. Drive to the pizza place3. What does the woman want to do?A. Make some coffeeB. Buy a coffee makerC. Learn to make a video4. What will the man do at 3 o’clock on Friday?A. Go to classB. Meet the doctorC. Take the woman’s shift5. What does the man think of the lecture?A. ExcellentB. DifficultC. Boring第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
【精编】2016-2017年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一(上)数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合∁U（A ∩B）的元素个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（5分）a、b是实数，集合M={，1}，N={a，0}，映射f：x→x即将集合M 中的元素x映射到N中仍是x，则a+b的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±13．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0）B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）4．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）C．{﹣3}D．（﹣∞，5）5．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（5分）函数f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤1且x≠0}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0或＜x≤1}D．{x|﹣1≤x＜﹣或0＜x≤1}7．（5分）设x1，x2是函数f（x）=a x（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设．那么下列不等式恒成立的是（）A．|f（m）﹣f（x1）|＞|f（x2）﹣f（m）| B．|f（m）﹣f（x1）|＜|f（x2）﹣f （m）|C．|f（m）﹣f（x1）|=|f（x2）﹣f（m）|D．8．（5分）设函数f（x）=m﹣，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是（）A．（﹣]B．[﹣2，﹣）C．[﹣3，﹣）D．[﹣]二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．（5分）函数f（x）=ln（2+x﹣x2）的定义域为．10．（5分）函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．11．（5分）设函数f（x）=则的值为．12．（5分）已知函数f（x）=ln（+x），若实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，则a+b等于．13．（5分）函数的定义域和值域相等，则实数a=．14．（5分）设函数f（x）（x∈N）表示x除以2的余数，函数g（x）（x∈N）表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：①f（x）≠g（x）；②f（2x）=0；③g（2x）=2g（x）；④f（x）+f（x+3）=1．其中正确的式子编号是．（写出所有符合要求的式子编号）15．（5分）已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）=，若对任意的n∈N*，总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有个．三、解答题：本大题共5小题，满分75分．要求每小题写出必要的步骤16．（15分）求下列各式的值：（Ⅰ）．（Ⅱ）．17．（15分）若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=A，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．（2）当AE为何值时，绿地面积最大？19．（15分）设a，b∈R且a≠2，函数在区间（﹣b，b）上是奇函数．（Ⅰ）求ab的取值集合；（Ⅱ）讨论函数f（x）在（﹣b，b）上的单调性．20．（15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=4﹣x+p•2﹣x+1，g（x）=．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若，函数g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围．2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合∁U（A ∩B）的元素个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：A∪B={1，2，3，4，5}A∩B={3，4}∴C U（A∩B）={1，2，5}故选：C．2．（5分）a、b是实数，集合M={，1}，N={a，0}，映射f：x→x即将集合M 中的元素x映射到N中仍是x，则a+b的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【解答】解：由已知得b=0，a=1，∴a+b=1．故选：A．3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0）B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）【解答】解：对于A．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数，排除A；对于B．y=x3+x（x∈R）定义域R，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数，又f′（x）=3x2+1＞0，即有f（x）在R上递增，故B正确；对于C．y=3x，定义域为R，但f（﹣x）=3﹣x≠﹣f（x），即f（x）不是奇函数，排除C；对于D．y=﹣（x∈R，x≠0）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，但在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为增函数，排除D．故选：B．4．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）C．{﹣3}D．（﹣∞，5）【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，又函数在区间（﹣∞，4）上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．故选：A．5．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．6．（5分）函数f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤1且x≠0}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0或＜x≤1}D．{x|﹣1≤x＜﹣或0＜x≤1}【解答】解：由图可知，f（x）为奇函数．∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1可转化为：2f（x）＞﹣1转化为f（x）＞﹣如图解得：﹣1≤x＜﹣或0＜x≤1．故选：D．7．（5分）设x1，x2是函数f（x）=a x（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设．那么下列不等式恒成立的是（）A．|f（m）﹣f（x1）|＞|f（x2）﹣f（m）| B．|f（m）﹣f（x1）|＜|f（x2）﹣f （m）|C．|f（m）﹣f（x1）|=|f（x2）﹣f（m）|D．【解答】解：∵x1＜x2，a＞1，∴0＜，∴|f（m）﹣f（x1）|==＜==|f（x2）﹣f（m）|，因此B正确．故选：B．8．（5分）设函数f（x）=m﹣，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是（）A．（﹣]B．[﹣2，﹣）C．[﹣3，﹣）D．[﹣]【解答】解：由x+3≥0可得x≥﹣3，又由复合函数的单调性可知函数为减函数，故有f（a）=m﹣=b，f（b）=m﹣=a，两式相减可得﹣=a﹣b，即﹣=（a+3）﹣（b+3），即+=1，两式相加可得2m=a+b++=a+b+1，记p=，q=，故有p+q=1，a=p2﹣3，b=q2﹣3=（1﹣p）2﹣3，代入可得m==p2﹣p﹣2=，又因为p+q=1且pq均为非负数，故0≤p≤1，由二次函数的值域可得：当p=时，q=，与a＜b矛盾，m取不到最小值，当p=0或1时，m取最大值﹣2，故m的范围是（，﹣2]，故选：A．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．（5分）函数f（x）=ln（2+x﹣x2）的定义域为（﹣1，2）．【解答】解：要使函数有意义，须满足2+x﹣x2＞0，解得：﹣1＜x＜2，所以函数的定义域为（﹣1，2），故答案为（﹣1，2）．10．（5分）函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．【解答】解：∵y=﹣x（x≥0），∴y′=﹣1，∴x∈（0，），y′＞0，x∈（，+∞），y′＜0，∴x=时，函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．故答案为：．11．（5分）设函数f（x）=则的值为．【解答】解：由于2＞1，故f（2）=22+2﹣2=4故=≤1故=1﹣=故答案为．12．（5分）已知函数f（x）=ln（+x），若实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，则a+b等于．【解答】解：∵函数f（x）=ln（+x），∴函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）=ln（﹣x）=ln（+x）﹣1=﹣ln（x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，观察知函数f（x）单调递增，∵实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，∴f（a+2）=﹣f（b）=f（﹣b），∴a+2=﹣b，∴a+b=﹣2．故答案为：﹣2．13．（5分）函数的定义域和值域相等，则实数a=﹣4或0．【解答】解：若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为，但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为．由于此时，故函数的值域．由题意，有，由于b＞0，所以a=﹣4．若a=0，则对于每个正数b，的定义域和值域都是[0，+∞）故a=0满足条件．故答案为：﹣4或0．14．（5分）设函数f（x）（x∈N）表示x除以2的余数，函数g（x）（x∈N）表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：①f（x）≠g（x）；②f（2x）=0；③g（2x）=2g（x）；④f（x）+f（x+3）=1．其中正确的式子编号是②④．（写出所有符合要求的式子编号）【解答】解：根据新定义：当x是6的倍数时，可知f（x）=g（x）=0，所以①不正确；当x∈N时，2x一定是偶数，所以f（2x）=0正确；所以②正确；当x=2时，g（2x）=g（4）=1，而2g（x）=2g（2）=4，所以g（2x）≠2g（x），故③错误；当x∈N时，x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f（x）和f（x+3）中有一个为0、一个为1，所以f（x）+f（x+3）=1正确．故答案为：②④15．（5分）已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）=，若对任意的n∈N*，总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有2个．【解答】解：∵0＜a≤1，∴f（2）=2f（1）=2a，①当0＜a≤时，0＜2a≤，0＜4a≤1，∴f（3）=2f（2）=4a，f（4）=2f（3）=8a，此时f（4）=f（1）不成立．②当＜a≤时，＜2a≤1，1＜4a≤2，∴f（3）=2f（2）=4a，f（4）==，此时f（4）=f（1），=a，解得a=；③当＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，∴f（3）==≤，∴f（4）=2f（3）=，此时f（4）=f（1），得=a，解得a=1．综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，则a在（0，1]内的可能值有两个：a=或a=1．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，满分75分．要求每小题写出必要的步骤16．（15分）求下列各式的值：（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）=|1﹣3|+|lg3﹣2|+lg300=2+2﹣lg3+lg3+2=6．…（8分）（Ⅱ）==﹣．…（15分）17．（15分）若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2＜x＜4}，若m=3，B={x|x＜3}，全集U=A∪B={x|﹣2＜x＜4}∪{x|x＜3}={x|x＜4}．∴A∩（C u B）={x|﹣2＜x＜4}∩{x|3≤x＜4}={x|3≤x＜4}．（2）A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，∵A∩B=∅，∴{m|m≤﹣2}．（3）∵A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，①当m=4时，B={x|x＜4}，显然A∩B=A成立②当m＞4时，很明显A∩B=A也是成立的③当m＜4时，得到A∩B={x|﹣2＜x＜m}≠A，不成立综上有m≥4．18．（15分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．（2）当AE为何值时，绿地面积最大？【解答】解：（1）S△AEH=S△CFG=x2，（1分）S△BEF=S△DGH=（a﹣x）（2﹣x）．（2分）∴y=S ABCD﹣2S△AEH ﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣（a﹣x）（2﹣x）=﹣2x2+（a+2）x．（5分）由，得0＜x≤2（6分）∴y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2（7分）（2）当，即a＜6时，则x=时，y取最大值．（9分）当≥2，即a≥6时，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，则x=2时，y取最大值2a﹣4（11分）综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a﹣4（12分）19．（15分）设a，b∈R且a≠2，函数在区间（﹣b，b）上是奇函数．（Ⅰ）求ab的取值集合；（Ⅱ）讨论函数f（x）在（﹣b，b）上的单调性．【解答】解：（I）函数在区间（﹣b，b）内是奇函数∴对任意x∈（﹣b，b）都有f（﹣x）+f（x）=0，∴+==0即即a2x2=4x2，此式对任意x∈（﹣b，b）都成立∴a2=4又∵a≠2，∴a=﹣2代入，得＞0，即﹣＜x＜此式对任意x∈（﹣b，b）都成立，相当于﹣＜﹣b＜b＜所以b的取值范围是（0，]∴ab的取值集合为[﹣1，0）（II）设任意的x1，x2∈（﹣b，b），且x1＜x2，由b∈（0，]得所以0＜1﹣2x2＜1﹣2x1，0＜1+2x1＜1+2x2从而f（x2）﹣f（x1）=﹣=＜lg1=0∴f（x2）＜f（x1）因此f（x）在（﹣b，b）内是减函数20．（15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f （x）的上界．已知函数f（x）=4﹣x+p•2﹣x+1，g（x）=．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若，函数g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当p=1时，f（x）=1+（）x+（）x，因为f（x）在（﹣∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，0）的值域为（3，+∞），故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．所以函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（Ⅱ）g（x）=﹣1，∵q＞0，x∈[0，1]，∴g（x）在[0，1]上递减，∴g（1）≤g（x）≤g（0），即，∵q∈（0，]，∴||≥||，∴|g（x）|≤||，H（q）≥||，即H（q）的取值范围为[，+∞）．（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，设t=，t∈（0，1]，由﹣3≤f（x）≤3，得﹣3≤1+pt+t2≤3，∴﹣（t+）≤p≤﹣t在（0，1]上恒成立，设h（t）=﹣t﹣，m（t）=﹣t，则h（t）在（0，1]上递增；m（t）在（0，1]上递减，所以h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=﹣5；m（t）在（0，1]上的最小值为m（1）=1，所以实数p的取值范围为[﹣5，1]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
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浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题考生注意：1.不允许用计算器。
2.参考公式：球的表面积公式：S =4πR 2球的体积公式：V =34πR 3 其中R 表示球的半径 棱锥的体积公式：V =31Sh 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱柱的体积公式：V =Sh其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高棱台的体积公式V =)(312211S S S S h ++其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,h 表示棱台的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．定义集合{}12)(|-==x x f x A ，{})22(log |2+==xy y B ，则=B C A R （ ）A ．),1(+∞B ．[0，1]C ．[0，1）D ．[0，2）2．下列命题正确的是（ ）A ．“92>a ”是“3>a ”的充分不必要条件B ．函数6)(2--=x x x f 的零点是（3，0）或（﹣2，0）C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2﹣x ﹣6＞0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2﹣x ﹣6≤0 D ．命题“若062=--x x ，则3=x ”的否命题为“若062=--x x ，则3≠x ” 3．已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若,,//α⊥m n m 则α⊥n B ．若,,αβ⊥⊥m m 则βα// C ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ D ．若n m =βαα ,//，则n m //4．已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 18 5．将函数x x x x x f 2sin )sin 2)(cos 23sin()(+-+=π的图象向左平移8π个单位长度后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．在)4,0(π上单调递增，为奇函数 B ．周期为π，图象关于)0,4(π对称C ．最大值为2，图象关于直线2π=x 对称 D ．在)0,2(π-上单调递增，为偶函数6．已知))(()(),0()(2x f f x g a c bx ax x f =>++=，若)(x g 的值域为)(),,2[x f +∞的值域为),[+∞k ，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立， 则λ的值为（ ） A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知二面角A BD A --1的大小为6π，若空间一条直线l 与直线CC 1所成的角为4π，则直线l 与平面BD A 1所成的角的取值范围是（ ）A ．]125,12[ππB ．]125,4[ππC ．)2,12[ππD ．]4,6[ππ 二．填空题：本大题共7小题，9-11和15小题6分，,12-14小题4分，满分36分.9. 函数x x f =)(在1=x 处的切线l 方程是______________，以直线l 与y 轴的交点为焦点的抛物线标准方程是_________________.10．设函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，则=))21((f f ，方程1))((=x f f 的解集 ．11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为____________， 体积为_______________．12．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足3,2,1),0(3322111=-=-=->=a b a b a b a a a . 若a =1，则数列{}n a 的通项公式为______________，若数列{}n a 唯一，则a =__________.13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x 则y x z +=||2的取值范围是 ．14．在AOB ∆中，已知1,45OB AB AOB ==∠=︒ ,若OP OA OB λμ=+,且22λμ+=,则OA 在OP上的投影的取值范围是 ．15. 记{},p q max ,,p p q q p q≥⎧=⎨<⎩，设(){}22,max 1,1M x y x y y x =++-+，其中,x y R ∈，则(),M x y 的最小值是__________．三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（14分）已知在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且C a A c cos 3sin 2,2==． （1）求角C 的大小；（2）若C C B A sin )2sin(2sin 2=++，求ABC ∆的面积．17．（15分）如图，矩形ABCD 中，)1(>=λλADAB，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角E AB C --为直二面角． （1）求证：平面⊥ACE 平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角F AC E --的平面角 的大小为θ，当]3,2[∈λ时，求θcos 的取值范围．18．（15分）数列{}n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，都有)0(21>+=+λλn n n a a a ． （1）取11+=n a λ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若20161=λ，是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．19．（15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，焦点与短轴的两顶点的连线与圆4322=+y x 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)0,1(的直线l 与C 相交于B A ,两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NB NA ⋅为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．（15分）已知函数R m x x m x g x x x f ∈+-=-=,21)(,21ln )(22，令)()()(x g x f x F +=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值；（3）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求21x x +的取值范围．2015-2016学年度第二学期期末考试高三年级数学参考答案一、1.B ； 2.C ； 3.D ； 4.B ； 5.A ； 6.C ； 7.D ； 8.A.二、9.y x y x 2,0122==+-； 10.{}e e ,1,21； 11. 332,734++； 12. 31,)22(1-±=n n a ； 13. ]11,1[-； 14. ]1,22(-； 15. 43.三、16.解：（1）由已知得,c sin A =a cos C ,由正弦定理得,sin C sin A =sin A cos C .又sin A >0,∴cos C ≠0,sin C =cos C ,tan C =, ∴C =. ………………………………6分（2）由2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 得, 2sin 2A =sin C-sin(2B+C ),∴4sin A cos A =sin(A+B )-sin[(π-A )+B ]=sin(A+B )+sin(B-A )=2sin B cos A. 当cos A =0时,A =,此时B =，∵c =2, ∴b =, S △ABC =bc =.当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,∴b =2a . 由c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得,4=a 2+b 2-ab . 联立,得334,332==b a , ∴S △ABC =ab sin C =.综上所述,△ABC 的面积为.………………………14分17.证明：（1）∵二面角C ﹣AB ﹣E 为直二面角， AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴BC ⊥AE ∵AE ⊥CE ，BC∩CE=C，∴AE ⊥平面BCE∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE………..6分解：（2）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ，则，设平面EAC 的法向量为则，取x=1，， 同理设平面FAC 的法向量为，∴∵. …………15分18.（1）证明：0,121211211=+-⇒+=∴=+++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a λ251,0,25101)()(11121+=∴>±=⇒=+-∴++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a (为常数)， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是公比为251+的等比数列. 11)251(21,21-+=∴=n n a a . ………………………………………7分解：（2）∵a n+1=a n +ca n 2，c=， ∴a n+1＞a n ＞0．∴，即=，∴++…+=++…+=． ∴＜++…+=．当n=2016时，＜1，可得a 2017＜1． 当n=2017时，2﹣＞++…+=1，可得a 2018＞1．因此存在n ∈N *，使得a n ＞1． ………………………………………………………………………………15分 19.解：（1）∵椭圆C：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2+y 2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3，∴椭圆方程为. …………………………………………………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足. (15)分20. 解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．………4分（2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx2+x，x＞0，令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为G（1）=ln1﹣m×12+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×+（1﹣m）×+1=﹣lnm，令h（m）=﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，所以整数m的最小值为2．…………………………………………………………10分（3）m=﹣1时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即lnx1++x1+lnx2++x2=0，整理得：+（x1+x2）=x1 x2﹣ln（x1 x2），令t=x1•x2＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）=，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1，所以+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≤﹣﹣1，或x1+x2≥﹣1，因为x1，x2为正整数，所以：x1+x2≥﹣1成立．………………………………………………15分。