2019年高考数学(理)真题汇编：专题03 导数及其应用

专题03 导数及其应用

1、【2019高考全国Ⅲ理数】已知曲线e ln x

y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为

2y x b =+，则( )

A ．e,1a b ==-

B ．e,1a b ==

C ．1

e 1,a b -==

D ．1

,e 1b a -==-

2、【2019高考全国Ⅲ理数】设函数()sin()(0)5

f x x ωωπ

=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,

)10

π

单调递增 ④ω的取值范围是1229,510??

????

其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④

B ．②③

C ．①②③

D ．①③④

3、【2019高考天津卷理数】已知R a ∈，设函数222,1

()ln ,1

x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的

不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[]0,1

B.[]0,2

C.[]0,e

D.[]1,e

4、【2019高考全国Ⅰ理数】曲线2

3()e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 5、【2019高考浙江卷】已知R a ∈，函数3

()f x ax x =-，若存在R t ∈，使得

2

|(2)()|3

f t f t +-≤

，则实数a 的最大值是____. 6、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________

7、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点

A 处的切线经过点(e,1)--(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_________

8、【2019高考北京卷理数】设函数f （x ）=e x

+a e ?x

（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则

a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．

9、【2019高考全国Ⅰ理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：

1.()f x '在区间(1,)2

π

-存在唯一极大值点； 2.()f x 有且仅有2个零点．

10、【2019高考全国Ⅱ理数】已知函数()1

1

ln x f x x x -=-

+.

1.讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；

2.设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00l (,)n A x x 处的切线也是曲线e

x

y =的切线.

11、【2019高考全国Ⅲ理数】已知函数3

2

()2f x x ax b =-+. 1.讨论()f x 的单调性；

2.是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.

12、【2019高考天津卷理数】设函数()e cos ,()x

f x x

g x =为()f x 的导函数.

1.求()f x 的单调区间；

2.当,42x ??∈???π?π时，证明()()02f x g x x ??π

+-≥ ???

；

3.设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m ??

+

π+π ?π??

内的零点，其中N n ∈，证明200

22sin cos n n n x x e x -π

π+-π<-.

13、【2019高考浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +

>

1.当3

4

a =-

时，求函数()f x 的单调区间；

2.对任意21[

,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=?为自然对数的底数.

14、【2019高考江苏卷】设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为()f x 的导函数．

1.若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；

2.若,a b b c ≠=，且()f x 和'()f x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值；

3.若0,01,1a b c =<≤=，且()f x 的极大值为M ，求证:4

27

M ≤． 15、【2019高考北京卷理数】已知函数3

21()4

f x x x x =

-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；

（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当

M （a ）最小时，求a 的值．

答案以及解析

1答案及解析： 答案：D

解析：详解：'ln 1,x

y ae x =++

1'|12x k y ae ===+= 1a e -∴=

将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．

2答案及解析： 答案：D

解析：

()sin (0)5f x wx w π?

?=+> ??

?，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，

12555wx w ππ≤+≤π+，1229

510

w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确．

当010x π

<<时，

5105

w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002

w +=+=<ππππππ

． ∴③正确，故选D ．

3答案及解析： 答案：C

解析：首先(0)0f ≥，即0a ≥， 当01a ≤≤时，

2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，

当1a <时，(1)10f =>，

故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x

a x

≤

在(1,)+∞上恒成立， 令()ln x

g x x =，则2

ln 1'()(ln )x g x x -=，

易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点， 故max

()()g x g e e ==，所以a e ≤。

综上可知，的取值范围是[0,]e 。 故选C 。

4答案及解析： 答案：3y x =

解析：解：/223(21)3()3(31),x x x

y x e x x e x x e =+++=++

所以，/

0|3x k y ===

所以，曲线23()e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．

5答案及解析： 答案：

43

解析：

6答案及解析： 答案：4

解析：当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线2

2gR r

的距

离最小. 由24

11y x

'=-

=-

，得)x =

，y =

即切点Q ，

则切点Q 到直线2

2gR r

4=，

故答案为：4．

7答案及解析： 答案：(e,1)

解析：设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x

'=， 当0x x =时，0

1y x '=

， 点A 在曲线ln y x =上切线为000

1

()y y x x x -=

-， 即00

ln 1x

y x x -=

-， 代入点(),1e --，得00

1ln 1e

x x ---=

-，

即00ln x x e =，

考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，

注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .

8答案及解析：

答案：(1). -1; (2). (],0-∞.

解析：若函数

()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，

()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.

若函数

()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x x f x e ae -=-≥恒成

立,2,0x

a e a ≤≤.

即实数的取值范围是(],0-∞

9答案及解析：

答案：1.设()()g x f 'x =，则1

()cos 1g x x x

=-

+，21sin ())(1x 'x g x =-++.

当1,2x π?

?∈- ???时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π?

?- ???

有唯一

零点， 设为α.

则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,

2x α?

π?

∈ ???

时，()0g'x <.

所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,

2απ?

? ???单调递减，故()g x 在1,2π?

?- ??

?存在唯一极大值点，

即()f 'x 在1,

2π?

?

- ???

存在唯一极大值点. 2.()f x 的定义域为(1,)-+∞.

（i ）当(1,0]x ∈-时，由1知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.

（ii ）当0,2x ?π?

∈ ??

?

时，由1知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2

απ?? ??

?

单调递减，而(0)=0f '，

02f 'π??< ???，所以存在,2βαπ??

∈ ???，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ??∈ ???时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ??

???

单调递减.

又(0)=0f ，1ln 1022f ππ????=-+>

? ?????，所以当0,2x ?π?

∈ ???

时，()0f x >.从而，()f x 在0,2??

???

π没有零点. （iii ）当,2x π??∈π

???时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π??

π ???单调递减.而02f π??

> ???

，()0f π<，所以()f x 在,2π??

π ???

有唯一零点.

（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()0f x <，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点. 解析：

10答案及解析：

答案：1.()f x 的定义域为(0,1),(1,)+∞单调递增．

因为e 1(e)10e 1f +=-<-，222

22e 1e 3(e )20e 1e 1

f +-=-=>--， 所以()f x 在(1,)+∞有唯一零点1x ，即1()0f x =． 又111111111

01,()ln ()01

x f x f x x x x +<

<=-+=-=-， 故()f x 在(0,1)有唯一零点

1

1

x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．

2.因为0

ln 01e x x -=，故点00

1(ln ,)B x x -在曲线e x y =上． 由题设知0()0f x =，即0001

ln 1

x x x +=

-， 故直线AB 的斜率000000000

0111ln 11

1ln 1

x x x x x k x x x x x x +---=

==+-----． 曲线x

y e =在点001(ln ,

)B x x -处切线的斜率是0

1

x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是0

1

x ，

所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线e x

y =的切线． 解析：

11答案及解析：

答案：1.2

()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3

a x =

.

若0a >，则当(,0)

,3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当0,3a x ??

∈ ???

时，()0f x '<．

故()f x 在(,0),,3a ??-∞+∞

???单调递增，在0,3a ??

???

单调递减； 若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；

若0a <，则当,(0,)3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当,03a x ??

∈ ???

时，()0f x '<．

故()f x 在,

,(0,)3a ?

?-∞+∞ ???单调递增，在,03a ?? ???

单调递减. 2.满足题设条件的,a b 存在.

（i ）当0a ≤时，由1知，()f x 在[0,1]单调递增，所以()f x 在区间[0,1]的最小值为

(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时,a b 满足题设条件当且仅当1b =-，

21a b -+=，即0a =，1b =-．

（ii ）当3a ≥时，由1知，()f x 在[0,1]单调递减，所以()f x 在区间[0,1]的最大值为

(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时,a b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，

1b =，即4,1a b ==．

（iii ）当03a <<时，由1知，()f x 在[0,1]的最小值为3327a a f b ??

=-+ ???

，最大值为b 或2a b -+．

若3

127

a b -+=-，1b =，则a =，与03a <<矛盾.

若3

127

a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与03a <<矛盾．

综上，当且仅当0a =，1b =-或4,1a b ==时，()f x 在[0,1]的最小值为–1，最大值为1． 解析：

12答案及解析：

答案：1.由已知，有'()(cos sin )x

f x e x x =-.因此，当52,244x k k π??

∈π+

π+ ?π??()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k π?

?

∈π-π+ ??

?

π(Z)k ∈时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增.

所以，()f x 的单调递增区间为32,2(Z),()44k k k f x π??

π-π+∈????π的单调递减区间为52,2(Z)44k k k π?

?π+π+∈??π??

. 2.记()()()2h x f x g x x ??=+- ???π.依题意及1，有()(cos sin )x

g x e x x =-，从而

'()2e sin x g x x =-.当π,42x ??

∈ ???π时，()'0g x <，故

'()'()'()()(1)'()022h x f x g x x g x g x x ????

=+-+-=-< ? ?????

ππ.

因此，()h x 在区间,42?ππ?????上单调递减，进而()022h x h f ????

≥== ?π ?????π.

所以，当,42

x ??∈???π?π时，()()02f x g x x ??π

+-≥ ???

.

3.依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x

n x =.记2n n y x n =-π，则,42n y ?π∈π?

???

，且()()()22e cos e

cos 2e N n n y

x n n n n n f y y x n n -π

-π=-π=∈=.

由()()20e

1n n f y f y -π

==≤及1，得0n y y ≥.由2知，当,42

x ??

∈ ??π?

π时，()'0g x <，所以()g x 在,42?ππ?????上为减函数，因此()()004n g y g y g π??

≤<= ???

.又由2知，

()()02n n n f y g y y ??

π+-≥ ???

，故

()()()()()022220000e e e e e 2sin cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x

-π-π-π-π

--=-≤=-π-≤<. 所以，200

22sin c s e o n n n x x x -ππ+-π<-.

解析：

13答案及解析： 答案：1.当34a =-

时，3

()ln 04

f x x x =-+>．

3()4f 'x x =-

=

所以，函数()f x 的单调递减区间为03（，），单调递增区间为3+∞（，）． 2.由1(1)2f a ≤

，得04

a <≤

当04a <≤

时，()f x ≤

2ln 0x -≥．

令1

t a

=

，则t ≥．

设()22ln ,g t t x t =≥，则

()2ln g t g x ≥=．

（i ）当1,7x ??∈+∞????

≤

()2ln g t g x ≥=．

记1

()ln ,7

p x x x =≥

，则

1()p'x x =

=

. 故

所以，()(1)0p x p ≥=

．

因此，()

2()0g t g p x ≥

=≥．

（ii ）当211,e 7x ??

∈????

时，()g t g ≥=

． 令211()(1),,e 7q x x x x ??

=++∈????

，则()10q'x

=+>， 故(

)q x 在211,e 7???

???上单调递增，所以1()7q x q ??

≤ ???． 由（i

）得1

1(1)077q p p ????=<= ? ???

??

． 所以，()<0q x ．

因此

()0g t g ≥=>． 由（i ）（ii ）得对任意2

1,e x ??

∈+∞????

，

),()0t g t ∈+∞≥， 即对任意2

1,e x ??∈+∞??

??，均有()2f x a

≤． 综上所述，所求a 的取值范围是0,4? ??

．

解析：

14答案及解析：

答案：1.因为a b c ==，所以3

()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．

因为(4)8f =，所以3

(4)8a -=，解得2a =．

2.因为b c =，

所以2

3

2

2

()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，

从而2()3()3a b f 'x x b x +??=-- ?

??．令()0f 'x =，得x b =或23

a b

x +=． 因为2,,

3a b

a b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33

a b

a b +===-． 此时2

()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．

令()0f 'x =，得3x =-或1x =． 列表如下：

所以()f x 的极小值为2

(1)(13)(13)32f =-+=-．

3.因为0,1a c ==，

所以3

2

()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2

()32(1)f 'x x b x b =-++． 因为01b <≤，所以2

2

4(1)12(21)30b b b ?=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点， 设为()1212,x x x x <．

由()0f 'x =，得121133

b b x x ++==

． 列表如下：

所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：

()321111(1)M f x x b x bx ==-++

()()2

2

11

11211(1)32(1)3

999b b x b b b x b x b x -+++??=-++--+ ?

?? ()23

21(1)

(1)227

927

b b b b b --+++=

++

2

3(1)2(1)(1)2

272727

b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤

+≤． 因此4

27

M ≤． 解法二：

因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．

当(0,1)x ∈时，2

()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2

()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ??=-- ???

．

令()0g'x =，得13

x =． 列表如下：

所以当13x =

时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ??== ???

．

所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此4

27

M ≤． 解析：

15答案及解析： 答案：（Ⅰ）2

3()214

f x x x '=

-+，令23()2114f x x x '=-+=得0x =或者83x =.

当0x =时，(0)0f =，此时切线方程为y x =，即0x y -=；

当83x =

时，88()327f =，此时切线方程为64

27

y x =-，即2727640x y --=； 综上可得所求切线方程为0x y -=和2727640x y --=.

（Ⅱ）设321()()4g x f x x x x =-=

-，23()24g x x x '=-，令2

3()204

g x x x '=-=得0

x =或者83x =，所以当[2,0]x ∈-时，()0g x '≥，()g x 为增函数；当8

(0,)3

x ∈时，()0g x '<，

()g x 为减函数；当8

[,4]3

x ∈时，()0g x '≥，()g x 为增函数；

而(0)(4)0g g ==，所以()0g x ≤，即()f x x ≤； 同理令3

21()()664

h x f x x x x =-+=

-+，可求其最小值为(2)0h -=，所以()0h x ≥，即()6f x x ≥-，综上可得6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知6()0f x x -≤-≤， 所以()M a 是,6a a +中的较大者，

若6a a ≥+，即3a -≤时，()3M a a a ==-≥； 若

6a a <+，即3a >-时，()663M a a a =+=+>；

所以当()M a 最小时，()3M a =，此时3a =-. 解析：