2任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系含答案

2任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系

1．任意角三角函数的定义

设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.

2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

3．诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值________，即：

sin(α＋k ·2π)＝______，cos(α＋k ·2π)＝________，tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z .

4．三角函数的定义域

正弦函数y ＝sin x 的定义域是______；余弦函数y ＝cos x 的定义域是______；正切函数y ＝tan x 的定义域是_______________________________．

5．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：____________________.

(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2

，k ∈Z )． 6．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：

sin 2α＝________；cos 2α＝________；

(sin α＋cos α)2＝____________________；

(sin α－cos α)2＝________________；

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；

sin α·cos α＝______________________＝________________________.

(2) tan α＝sin αcos α

的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.

知识梳理

1. y r x r y x

3.相等 sin α cos α tan α

4．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2

，k ∈Z } 5．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α

6．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－12

1－(sin α－cos α)22 (2)cos αtan α sin αtan α

一、选择题

1．sin 780°等于( )

A.32 B ．－32 C.12 D ．－12

2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x

的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33

3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

4．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )

A ．sin α＋cos α>1

B ．sin α＋cos α＝1

C ．sin α＋cos α<1

D ．不能确定

5．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6．若sin α＝45

，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43

二、填空题

7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______.

8．在[0,2π]上满足sin x ≥12

的x 的取值范围为________． 9．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.

三、解答题

10．求下列各式的值．

(1)cos ⎝⎛⎭⎫－233π＋tan 174

π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.

11．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34

y ，求cos α和tan α的值．

12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x

.

作业设计

1．A

2、B

3．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0，

∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]

4．A [设α终边与单位圆交于点P ，sin α＝MP ，cos α＝OM ，

则|OM |＋|MP |>|OP |＝1，即sin α＋cos α>1.]

5、B

6、A

7．－713

8、.⎣⎡⎦⎤π6，5π6

9、45 解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1

， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.

10．解 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32

. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝0.

11．解 sin α＝y 3＋y 2＝34

y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.

当y ≠0时，由y 3＋y 2

＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝

⎛⎭⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73

. 当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433

， ∴cos α＝－34，tan α＝73

. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x

＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )

＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x

＝右边．

∴原等式成立．