高考复数复习讲义(第二讲)

第2讲 复 数

知识梳理

一．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是 ，虚部是 ，表示方式 ，当b =0时，则a ＋b i 为 ，若b ≠0，则a ＋b i 为 ，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为 ．

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔则 ． (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：Z=a ＋b i 则它的共轭复数是 ．

(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，

即|z |＝ ．

(5)复数的周期性：i = , i 2= , i 3= , i 4=

i 4n+1= , i 4n+2= , i 4n+3= , i 4n =

二、复数的几何意义

1．

复数z a bi =+←−−−

→一一对应

复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立

了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

x 轴叫做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 实轴上的点都表示 实数

三、复数的四则运算

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则

(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ． (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ． (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝ ．

(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ ．(c ＋d i ≠0)．（基本必考）

3、常用结论： (1±i)2＝±2i ，

1＋i 1－i ＝i ， 1－i

1＋i

＝－i. 四、知识应用：

考点一 虚数单位i 的性质

【例1】(2017·新课标全国)已知i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i +++

+= ．（用

i a b +的形式表示，a b ∈R ，）

练习1(2018·辽宁)1i ＋1i 3＋1i 5＋1

i 7＝…………………………………………( )． A 、0 B ．2i C ．－2i D ．4i

考点二 复数的有关概念： 【例2】（2016全国模拟）复数

1＋a i

2－i

为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D.1

2 练习1复数 i 2(1＋i)的实部是________．

练习2（2016，聊城质检）复数－i

1＋2i (i 是虚数单位)的共轭复数是________．

练习3 已知复数1＋i

i

，它的模是 _______

考点三 复数的几何意义：

【例3】（2016）在复平面内，复数Z=6＋5i ，Z1=－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是.( )．

A ．4＋8i

B ．8＋2i

C ．2＋4i

D ．4＋i

练习1 复数1＋i

1－i

对应的点位于复平面内的第________象限．

考点四 复数的运算

练习4.1复数1－3i 1－i ＝…………………………………………………………..( )．

A 、2－i

B ．2＋i

C ．－1－2i

D ．－1＋2i

练习4.2(2015·新课标全国)复数

5i

1－2i

＝……………………………………( )． A ．2－i B ．1－2i C 、－2＋i D ．－1＋2i

练习4.3(2013·新课标全国)

2

1i

=+……………………………………………..（ ） A.22 B.2 C 、2 D.1

能力提升练习

1．(2017·新课标全国卷Ⅱ，1)3＋i

1＋i

＝( )

A ．1＋2i

B ．1－2i

C ．2＋i

D ．2－i

2．(2018·河北衡水中学第三次调研)复数2＋i

1－2i

的共轭复数的虚部是( )

A ．－35 B.35 C ．－1 D ．1

3．(2017·北京卷，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)

B ．(－∞，－1)

C ．(1，＋∞)

D ．(－1，＋∞)

4.(2014·新课标全国)131i

i

+=-……………………………………………（ ）

A.12i + B 、12i -+ C.1-2i D .1-2i -

5.(2018·新课标全国)已知复数1z i =-，则2

1

z z =-……………………（ ） A.、2 B. －2 C. 2i D. －2i

6．若复数a

1－i

(a ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则

a 的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2 7．(2018·宁夏银川一中月考)设i 为虚数单位，复数(2－i)z ＝1＋i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

8.已知复数z1，满足(z1－2)(1＋i)＝1－i ，z1= ____