2021届北京市门头沟区高三一模数学试题详解版
2021年门头沟高三一模数 学 2021．3一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.复数i(1i)z =-的模||z =（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）122.集合{0}A x x =>，{|||2}B x x =≤，则=B A （A ）R （B ）[2,)-+∞ （C ）(0,2] （D ）(0,)+∞3. 二项式52)2(xx -展开式中，4x 的系数是（A ）40 （B ）10 （C ） 40- （D ）10-4. 某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥 最长的棱长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）235.数列}{n a 中，n n a a a 2,111-==+，数列}{n b 满足||n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S（A ）|1(2)|3n -- （B ）123n + （C ） 12-n（D ）1)2(--n 6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约.摩天轮直径88米，最高点A 距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟。
由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（A ）10分钟 （B ）12分钟 （C ）14分钟 （D ）16分钟7. "ln(1)0"x +<成立的一个必要而不充分条件是（A ）11ex -<<- （B ）0x > （C ）10x -<< （D ）0x <8.在平面直角坐标系xO y 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若25cos α=，则cos()αβ-= （A ）35- （B ）35 （C ）1 （D ）439.已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且ABF △为正三角形，则p =（A ）1 （B ）2 （C ）9 （D ）1810.在平面直角坐标系中，从点)2,3(-P 向直线02=---k y kx 作垂线，垂足为M ，则点)4,2(Q 与点M 的距离MQ 的最小值是A. 225-B. 24C. 26D. 17二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分. ） 11.在ABC △中，2π3B ∠=，1AB =，2BC =，则AC 的长为 . 12.在边长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且1//BM AD C 平面，则动点M 的轨迹所形成区域的面积是 .13.已知双曲线C 的中心在坐标原点，且经过点)3,2(P ，下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C ，该条件的序号是 ；满足该条件的双曲线C 的标准方程是 . 条件①双曲线C 的离心率2=e ；条件②双曲线C 的渐近线方程为x y 3±=； 条件③双曲线C 的实轴长为2.14.函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->在区间ππ(,)62上单调，且ππ()()062f f +=，则ω的最小值为 . 15.正ABC △的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边,AB AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ=，BD DC =. 给出下列四个结论：①1133AO AB AC =+ ②若2AN NC =，则14AD BN ⋅=-③11λμ+不是定值，与直线l 的位置有关④AMN △与ABC △的面积之比的最小值为49. 其中所有正确结论的序号是 .三、解答题：（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明） 16.(本小题满分12分)第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办。
为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了分数段 )40,30[ )50,40[ )60,50[ )70,60[ )80,70[ )90,80[ ]100,90[人数1228331我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀．（Ⅰ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（Ⅰ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中优秀人数，求X 的分布列与期望.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，AB PA =，PA ⊥底面ABCD ，π3ABC ∠=，且E 是PC 上任一点, ACBD O =.（Ⅰ）求证：平面EBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若E 是PC 的中点，求ED 与平面EBC 所成角的正弦值．18.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列}{n a ，其前n 项和为n S .数列.}{n b 为等差数列，满足2512,30b b ==.再从条件①、条件②这二个条件中选择一个作为己知，求解下列问题：（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a 和它的前n 项和n S ；（Ⅰ）若对任意n ∈N *不等式n n kS b ≥恒成立，求k 的取值范围.条件①n n n S a a 22=+条件②19a =，当2n ≥，22a =，12n n a a +=+注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分．19.（本小题满分15分）曲线C 上任一点(,)M x y 到点12(1,0),(1,0)F F -距离之和为点00(,)P x y 是曲线C 上一点，直线l 过点P 且与直线00220x x y y +-=垂直,直线l 与x 轴交于一点Q .（Ⅰ）求曲线C 的方程及点Q 的坐标（用点00(,)P x y 的坐标表示）； （Ⅱ）比较12PF PF 与12QF QF 的大小，并证明你的结论.20.（本小题满分15分）已知函数21()e ()2x f x ax a =-∈R ．（Ⅰ）若函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，求a 的取值范围； （Ⅰ）若函数()f x 在区间),0(+∞上存在极大值M ，证明：2a M <．21.（本小题满分15分） 对于一个非空集合A ，如果集合D 满足如下四个条件： ①{(,)|,}D a b a A b A ⊆∈∈ ； ②a A ∀∈，(,)a a D ∈；③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =； ④,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b c D ∈，则(,)a c D ∈， 则称集合D 为A 的一个偏序关系。
（Ⅰ）设}3,2,1{=A ，判断集合)}3,3(),3,2(),2,2(),2,1(),1,1{(=D 是不是集合A 的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A 的偏序关系的集合D 。
（Ⅱ）证明：{(,)|,,}R a b a R b b R a ≤=∈≤∈是实数集R 的一个偏序关系；（Ⅲ）设E 为集合A 的一个偏序关系，,a b A ∈。
若存在c A ∈，使得(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，且d A ∀∈，若(,)d a E ∈， (,)d b E ∈，一定有(,)d c E ∈，则称c 是a 和b 的交，记为c a b =∧证明：对A 中的两个给定元素,a b ，若a b ∧存在，则一定唯一。
2021年门头沟高三一模数 学 2021．3一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.复数i(1i)z =-的模||z =（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）12解析：21z i i i =-=+，22112z =+ A.2.集合{0}A x x =>，{|||2}B x x =≤，则=B A （A ）R （B ）[2,)-+∞ （C ）(0,2] （D ）(0,)+∞解析：画数轴，确定好交还是并，选C.3.二项式52)2(xx -展开式中，4x 的系数是（A ）40 （B ）10 （C ） 40- （D ）10-解析：2232452()()40C x x x⋅⋅-=，选A.4.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥 最长的棱长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）233223= D.5.数列}{n a 中，n n a a a 2,111-==+，数列}{n b 满足||n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S（A ）|1(2)|3n -- （B ）123n + （C ） 12-n（D ）1)2(--n解析：}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，1(12)2112n n n S ⨯-==--，选C.6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约.摩天轮直径88米，最高点A 距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟。
由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（A ）10分钟 （B ）12分钟 （C ）14分钟 （D ）16分钟 解析：过右侧点作直径的垂线，可得不是最佳观赏位置的角度为120︒， 故在运行的一圈里最佳观赏时长为3601201812360-⨯=分钟，选B.7. "ln(1)0"x +<成立的一个必要而不充分条件是（A ）11ex -<<- （B ）0x > （C ）10x -<< （D ）0x <解析：首先确定好谁推谁可以.条件可推出选项，但选项推不出条件.ln(1)0x +<，故011x <+<，即10x -<<； 故选D.8.在平面直角坐标系xO y 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若25cos α=，则cos()αβ-= （A ）35- （B ）35 （C ）1 （D ）43解析：25cos cos αβ==，5sin sin αβ=-=或5sin sin αβ=-=，故252555205153cos()cos cos sin sin 25255αβαβαβ--=+====，选B.9.已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且ABF △为正三角形，则p =（A ）1 （B ）2 （C ）9 （D ）18 解析：设点A 在第一象限，则6)A p . 当32p >，则232p p =，则22(3)2pp =-，化简(2)(18)0p p --=，解得2p =，18p =（舍）； 当32p <，则232p p ，则22(3)2pp =-，解得2p =（舍），18p =（舍，此时B 在x 轴的负半轴），无解.故选B.10.在平面直角坐标系中，从点)2,3(-P 向直线02=---k y kx 作垂线，垂足为M ，则点)4,2(Q 与点M 的距离MQ 的最小值是A. 5-24 C. 26 D. 17 解析：转化直线过定点(1,2)A -，则点M 在以AP 为直径得圆上,小强数学故min MQ 最小值为点Q 导圆心的距离-5=-，选A.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分. ） 11.在ABC △中，2π3B ∠=，1AB =，2BC =，则AC 的长为 .解析：余弦定理，22212cos 14212()72b c a ca B =+-=+-⨯⨯⨯-=，故AC12.在边长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且1//BM AD C 平面，则动点M 的轨迹所形成区域的面积是 .解析：垂直三等分模型，平面1//ACD 平面11A BC ，故动点M 的轨迹为平面11A BC ， 则动点M 的轨迹所形成区域的面积是223(22)23⨯+=.13.已知双曲线C 的中心在坐标原点，且经过点)3,2(P ，下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C ，该条件的序号是 ；满足该条件的双曲线C 的标准方程是 . 条件①双曲线C 的离心率2=e ；条件②双曲线C 的渐近线方程为x y 3±=；条件③双曲线C 的实轴长为2. 解析：若选择①、③，焦点可能在x 轴上或者y 轴上，不能唯一确定双曲线，所以序号是②；>x 轴上，则b a =222313a a-=，解得21a =，23b =， 故满足该条件的双曲线C 的标准方程是2213y x -=.14.函数2()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=->在区间ππ(,)62上单调，且ππ()()062f f +=，则ω的最小值为 .解析：11cos 2()sin 2sin(2)223x f x x x ωπωω+==+，又在区间ππ(,)62上单调，且ππ()()062f f +=，故2()sin()0333f πππω=+=，故233k ππωπ+=，31(0)2k ωω-=>， 故当1k =时，ω取得最小值1.15.正ABC △的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边,AB AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ=，BD DC =. 给出下列四个结论：①1133AO AB AC =+ ②若2AN NC =，则14AD BN ⋅=- ③11λμ+不是定值，与直线l 的位置有关④AMN △与ABC △的面积之比的最小值为49. 其中所有正确结论的序号是 . 解析：对于①，正三角形五心合一，221111()332233AO AD AB AC AB AC ==+=+，正确； 对于②，2211211111111()()22323623624AD BN AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅=+⋅-+=-+-⋅=-+-⨯=-，正确； 对于③，11113333AO AB AC AM AN λμ=+=+，因为,,M O N 三点共线，则11133λμ+=，故113λμ+=，故③错误；小强数学对于④，因为113λμ+=，故3λμλμ=+≥，故2294λμλμ≥，故49λμ≥， 1sin 4219sin 2AMN ABCAM AN A AM ANS S AB AC AB AC A λμ∆∆⋅⋅⋅===≥⋅⋅⋅，故④正确.故填①②④.三、解答题：（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明） 16.(本小题满分12分)第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办。
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3a B ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a【答案】C 【解析】 【分析】两复数相等，实部与虚部对应相等. 【详解】由3(21)ai b a i +=--，得312b a a=⎧⎨=-⎩，即a 13=，b ＝1．∴b ＝9a ． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.2．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围.由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度. 3．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞U C ．()1,1- D ．()()1,00,1-U【答案】B【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 4．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i -C ．2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算求解即可. 【详解】224422(1)2ii i i i ===---.故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.5．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x '=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 6．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π360【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n ︒,则每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n nπ︒=,当180n =时即可为所求. 【详解】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.7．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，⎛单调递增，在1,3⎛--⎝⎭和,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；且g =⎝⎭()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．8．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO=，则·OM ON u u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M的参数方程，则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r结果. 【详解】 设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·os OM ON θ=u u u u r u u u r又∵cos [1,1]θ∈-∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r故选：D 【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法10．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】由题,21cos 2()sin 2x f x x -==, 则向右平移12π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝⎭ cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭Q ,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；当12x π=时,206x π-=,所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴,②正确；当3x π=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个. 故选:C 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.11．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.12．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm【答案】B 【解析】»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 故选：B.本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 2．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()()()()555212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222x x x x x =⋅-----展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x xx x---=⨯.故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.3．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为A ．122- B ．122i + C ．122i + D ．122i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 4．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C.此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 6．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故z = A.7．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A．BC． D【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C，(P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴E ⎛ ⎝⎭.∴BE ⎛=- ⎝⎭u u u r，(0,2,PD =u u u r ，∴1132cos,133BE PDBE PDBE PD-⋅===-⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r，∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为cos,BE PDu u u r u u u r即为13.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.10．ABC∆中，5BC=D为BC的中点，4BADπ∠=，1AD=，则AC=（）A．5B．2C．65D．2【答案】D【解析】【分析】在ABD∆中，由正弦定理得10sin B=5cos cos4ADC Bπ⎛⎫∠=+=⎪⎝⎭，在ADC∆中，由余弦定理可得AC.【详解】在ABD∆中，由正弦定理得sin sin4AD BDBπ=，得10sin10B=，又BD AD>，所以B为锐角，所以310cos B=5cos cos4ADC Bπ⎛⎫∴∠=+=⎪⎝⎭在ADC∆中，由余弦定理可得2222cos4AC AD DC AD DC ADC=+-⋅∠=，2AC∴=.故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.11．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.12．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考数学复习基础知识专题讲义50 充分必要条件(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义知识点50 充分必要条件知识理解充分条件、必要条件BAA=B 且A ⊉B考向一充分必要条件的判断【例1】（2021·江苏常州市·高三一模）“sin 2α=”是“sin cos αα=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由sin 2α=，可得2,4k k Z παπ=+∈或32,4k k Z παπ=+∈， 当32,4k k Z παπ=+∈时，此时sin cos αα≠，即充分性不成立； 反之当sin cos αα=时，其中α可为54π，此时sin 2α=-，即必要性不成立， 考向分析所以“sin α=”是“sin cos αα=”的既不充分也不必要条件. 故选：D .【举一反三】1．（2021·浙江高三期末）已知m 、l 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊥，l β⊂，则“αβ⊥”是“//m l ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】充分性：若αβ⊥，设n αβ=，存在直线b β⊂，使得b n ⊥，由面面垂直的性质定理可得b α⊥，m α⊥，则//m b ，从而可得//m β或m β⊂，则m 与l 的位置关系不确定，充分性不成立； 必要性：m α⊥，//m l ，则l α⊥，l β⊂，αβ∴⊥，必要性成立.因此，“αβ⊥”是“//m l ”的必要不充分条件. 故选：B.2．（2021·天津高三月考）已知x ∈R ，则“2x <”是“21x>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1x =-时，“x <2”成立，但20x < ,故“21x<”，故“x <2”不是“21x >”的充分条件， “21x >”等价于2002x x x -<⇔<<，即21x>能推出2x <，∴“x <2”是“21x >”的必要条件， 故“x <2”是“21x>”的必要不充分条件，故选:B.3．（2021·浙江温州市·高三二模）已知,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，则“//l β”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，若//l β，则存在直线a β⊂，满足//l a ，因为l α⊥，所以a α⊥，所以αβ⊥，故充分性成立； 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊂，或//l β，故必要性不成立； 所以“//l β”是“αβ⊥”的充分不必要条件；故选：A考向二 充分必要条件的选择【例2】（2021·北京门头沟区·高三一模）“ln(1)0x +<”的一个必要而不充分条件是（ ） A ．11x e-<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x < 【答案】D【解析】ln(1)0x +<等价于011x <+<，即10x -<<， 因为10x -<<可以推出0x <，而x <0不能推出10x -<<， 所以0x <是10x -<<的必要不充分条件，所以“ln(1)0x +<”的一个必要而不充分条件是0x <. 故选：D 【举一反三】1．（2021·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥ 【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .2．（2021·甘肃兰州市·高三月考（理））命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 【答案】B【解析】命题为真命题，则2a x >对[)1,2x ∈恒成立 4a ∴≥{}4a a >是{}4a a ≥的真子集 4a ∴>是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：B3．（2021·全国高三专题练习（文））若0x >，则2020x a x+≥恒成立的一个充分条件是（ ） A ．80a >B ．80a <C ．90a >D ．90a < 【答案】B【解析】因为0x >，由基本不等式2020x x +≥=当且仅当2020x x =即x =时，取等号，要使得2020x a x +≥恒成立，则a ≤， 所以2020x a x+≥恒成立的一个充分条件是80a < 故选：B考向三 求参数【例3】（2021·浙江高三其他模拟）已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞ 【答案】A【解析】因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-． 故选：A 【举一反三】1．（2021·全国高三专题练习）若()2:140p a x +-=是2:60q x x +-=的充分不必要条件，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．D ．1或1-【答案】D【解析】由题意，命题()2:140p a x +-=即为241x a =+， 命题2:60q x x +-=即为3x =-或2x =， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以2421a =+或2431a =-+（舍去）， 所以1a =±. 故选：D.2．（2021·湖北襄阳市·高三月考）已知集合122A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，集合2{(2)20}B x x a x a =-++<若“”x A ∈是“”x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可知AB ，又{}()(){}2(2)20=|20B x x a x a x x a x =-++<--<，①当2a <时，{}|2B x a x =<<，若A B ，则12a <-； ②当2a >时，{}|2B x x a =<<，此时A B 不成立；③当2a =时，B =∅，A B 不成立.综上所述：12a <-. 故选：A.3．（2019·安徽宿州市·高三一模（文））设x ∈R ，若“log 2(x -2)＜1”是“x ＞m 2-1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,3)B ．(-1，1)C ．[3,3]D ．[-1，1] 【答案】C【解析】()22log 21log 2x -<=，解得24x <<，则“24x <<”是“x ＞m 2-1”的充分不必要条件，即212m -≤，解得33m -≤≤， 故选:C1．（2021·江苏徐州市·高三二模）已知x ∈R ，则“34x -≤≤”是“()2lg 21x x --≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】()22lg 210210x x x x --≤⇒<--≤，强化练习解得31x -≤<-或24x <≤，所以“34x -≤≤”不能推出“()2lg 21x x --≤”，反之成立， 所以“34x -≤≤”是“()2lg 21x x --≤”的必要不充分条件. 故选：B2．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210a a ->，所以1a >成立. 故选：C ．3（2021·浙江高三其他模拟）“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“tan αα>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】令函数tan y x x =-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2211tan 0cos y x x '=-=≥， 所以函数tan y x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则tan tan000αα->-=，即tan αα>，故充分；但是反之未必成立，比如取23πα=-，易知22tan 33ππ⎛⎫-=>- ⎪⎝⎭，满足tan αα>，但是不满足0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“tan αα>”的充分不必要条件， 故选：A ．4．（2021·浙江高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，且9512T =，则“241a a =”是“q =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知995512T a ==，所以52a =．若241a a =，则22431a a a ==，且50a >，所以31a =，故2532a q a ==，q =q =4a ，22a =，所以241a a =，必要性成立故“241a a =”是“q =. 故选：B ．5．（2021·北京平谷区·高三一模）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若2ϕπ=，则()sin()cos 2f x A x A x πωω=+=，()cos()cos ()f x A x A x f x ωω-=-==，所以()f x 为偶函数；若()sin()f x A x ωϕ=+为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ不一定等于2π.所以“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的必要不充分条件. 故选：B6．（2021·山西高三一模（文））“α∀∈R ，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，k ∈Z ”是“1k =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k =，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立 ；反之，当5k =，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭推不出1k =，故“α∀∈R ，sin cos 2k παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，k ∈Z ”是“1k =”的必要不充分条件 故选：B7．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件， 故选：B ．8．（2021·全国高三其他模拟）已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“12//l l ”是“32a =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若12//l l ，则()213a a -=，解得：32a =或1a =-， 当1a =-时，1:350l x y --=，2:350l x y -++=，直线1l ，2l 重合，32a ∴=； ∴充分性成立；当32a =时，1:20l x y +=，225:206l x y ++=，显然12//l l ，∴必要性成立. ∴故“12//l l ”是“32a =”的充要条件.故选：C.9．（2021·荆门市龙泉中学高三月考）已知{}2:230p A x x x =--≤，{}22:240q B x x mx m =-+->，若p 是q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞-+∞B ．()3,5-C ．[]3,5-D ．(][),35,-∞-+∞【答案】A【解析】由2230x x --≤解得：13x -≤≤，[]1,3A ∴=-.由22240x mx m -+->，即()24x m ->，解得2x m >+或2x m <-+.()(),22,B m m ∴=-∞-++∞.p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ，32m ∴<-+或21m +<-，解得：5m >或3m <-. m ∴的取值范围是()(),35,-∞-+∞.故选：A.10．（2021·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高三月考）若p :2,:x q x a ≤≤，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．{}|2?a a ≥B ．{}|2a a ≤C ．{}|2a a ≥-D ．{}|2a a ≤-【答案】A 【解析】因为2x ≤，所以22x -≤≤，因为p 是q 的充分不必要条件，所以2a ≥，故选:A.11．（2021·江苏镇江市·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知“x k ≤”是“12x ->”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(2,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】B 【解析】由12x ->得12x ->或12x -<-，解得：1x <-或3x >，因为“x k ≤”是“12x ->”的充分不必要条件，所以{}|x x k ≤是{|1x x <-或}3x >的真子集，可得：1k <-，故选：B12．（2019·兴安县第三中学高三期中）已知集合A ={x |x >5}，集合B ={x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，5)B ．(-∞，5]C ．(5，+∞)D ．[5，+∞)【答案】A【解析】【解析】由题意可知，A ⫋B ，又A ={x |x >5}，B ={x |x >a }，如图所示，由图可知，a <5.故选：A.13．（2021·安徽合肥市·高三三模（理））“关于x 的方程()212x x a +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ）A ．113a <<B ．12a ≥C ．213a <<D ．112a ≤< 【答案】C 【解析】由题知：()212x x a +=，221x x a =+， 令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++， 因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212x x a +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C14．（2021·贵溪市实验中学高三月考（文））已知：1:12p x ≥-，:||1q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3]-∞B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)【答案】C 【解析】由112x ≥-，得302x x -≥-，解得23x <≤，即:23p x <≤， 由||1x a -<，得11a x a -<<+，即:11q a x a -<<+，因为p 是q 的充分不必要条件，所以1213a a -≤⎧⎨+>⎩，解得23a <≤， 故选：C15．（2017·天津高三一模（文））命题“[]1,3x ∀∈，2x a ≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．9a ≤B ．9a ≥C ．10a ≤D ．10a ≥【答案】D【解析】[1,3]x ∀∈，219x ≤≤，因此2x a ≤恒成立，则9a ≥，因此D 是其一个充分不必要条件，故选D ．16．（2021·江苏高三专题练习）满足函数()()ln 3f x mx =+在(],1-∞上单调递减的一个充分不必要条件是A ．42m -<<-B ．30m -<<C ．40m -<<D ．3<1m -<-【答案】D【解析】结合复合函数的单调性，函数()()lg 3f x mx =+在(],1-∞上单调递减的充要条件是030m m <⎧⎨+>⎩，解得30m -<<． 选项A 中，42m -<<-是函数在(],1-∞上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A 不正确； 选项B 中，30m -<<是函数在(],1-∞上单调递减的充要条件，所以B 不正确；选项C 中，40m -<<是函数在(],1-∞上单调递减的必要不充分条件，所以C 不正确； 选项D 中，31m -<<-是函数在(],1-∞上单调递减的充分不必要条件，所以D 正确．故选D ．17（2021·全国高三专题练习）已知1:12p x ≥-，()2:1q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(-∞，3]B ．[2，3]C ．(2，3]D ．（2，3）【答案】C 【解析】由1:12p x -，所以23x <，又()2:1q x a -<，11a x a -<<+，因为p 是q 的充分不必要条件，所以3112a a <+⎧⎨-⎩，解得23a <≤即(]2,3a ∈． 故选：C ．18．（2021·全国高三专题练习）已知集合{|A x y ==，集合{|}B x x a =≥，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）A ．(),2-∞-B ．(],2-∞-C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】{{}||22A x y x x ===-≤≤， ∴当A B ⊆时，2a ≤-由充分不必要条件的性质可知，只有A 项满足∴2a <-，故选：A.19．（多选）（2021·江苏盐城市·高三一模）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有（ ）A ．0a =B ．3a ≥-+．0a >D ．3a ≤--【答案】AC【解析】0a ≥时必有解，当0a <时，()21803a a a ∆=-+>⇒<--或30a -+<， 故AC 符合题意.故选：AC20．（2021·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min 32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a >即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2021·广东佛山市·高三月考）已知p x k ≥：，q ：()()120x x +-<，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是________.【答案】2, 【解析】不等式(1)(2)0x x +-<的解集为{1B xx =<-∣或2}x > 令{}A xx k =∣ p 是q 的充分不必要条件，A B ∴⊆即2k >故答案为：2,22．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））已知集合128,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________.【答案】()2,+∞ 【解析】解：根据指数函数的性质得{}128,132x A xx R x x ⎧⎫=<<∈=-<<⎨⎬⎩⎭， 因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A B ，所以13m +>，解得2m >.所以实数m 的取值范围为()2,+∞故答案为：()2,+∞23．（2021·全国高三专题练习）条件:25p x -<<，条件2:0x q x a +<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________．【答案】5a >【解析】p 是q 的充分而不必要条件，p q ∴⇒，20xx a+<-等价于(2)()0x x a +-<，(2)()0x x a +-=的解为2x =-，或x a =，5a ∴>， 故答案为：(5,)+∞．。
2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷 【含答案】
2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）复数z＝i（1﹣i）的模|z|＝（）A．B．2C．1D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z＝i（1﹣i）＝1+i，∴|z|＝．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2．（4分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（）A．R B．[﹣2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3．（4分）二项式（x2﹣）5展开式中，x4的系数是（）A．﹣40B．10C．40D．﹣10【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由通项公式得：T r+1＝•（﹣2）r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，可得含有x4的系数是，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．4．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．4D．【分析】画出直观图，利用三视图的数据转化求解即可．【解答】解：根据直观图不难得出，PC是最长的棱长，长度为：．故选：D．【点评】本题考查三视图求解几何体的相关数据，最长棱长的求法，是基础题．5．（4分）数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝﹣2a n，数列{b n}满足b n＝|a n|，则数列{b n}的前n项和S n＝（）A．B．C．2n﹣1D．（﹣2）n﹣1【分析】由题设得到数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得其前n项和．【解答】解：由题设可知：b1＝|a1|＝1，＝＝2，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算，属于基础题．6．（4分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（）A．10分钟B．12分钟C．14分钟D．16分钟【分析】解法一，求出转动的角速度，利用直角三角形的边角关系求出OC、∠BOC的值，计算最佳观赏期的圆心角和运行的一圈里最佳观赏时长．解法二，求出转动的角速度，写出点P到从最下端开始运动，运行中到地面距离解析式f（t），计算f（t）≥34时t的取值范围，求出最佳观赏期的时长．【解答】解：如图所示，解法一，转动的角速度为，计算OC＝44﹣（34﹣12）＝22，所以，所以最佳观赏期的圆心角为，在运行的一圈里最佳观赏时长为（分钟）．解法二，转动的角速度为，所以点P到从最下端开始运动，运行中到地面距离为f（t）＝44sin（t﹣）+56（0≤t≤18），令f（t）≥34，得sin（t﹣）≥﹣，解得﹣≤t﹣≤，即3≤t≤15，所以最佳观赏期的时长为15﹣3＝12（分钟）．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．7．（4分）“ln（x+1）＜0”的一个必要而不充分条件是（）A．﹣1＜x＜B．x＞0C．﹣1＜x＜0D．x＜0【分析】直接利用对数的运算，不等式的解法，集合间的关系，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：设ln（x+1）＜0，整理得ln（x+1）＜ln1，解得：M＝{x|﹣1＜x＜0}，它的必要条件的集合为N，则M是N的真子集．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：对数的运算，不等式的解法，集合间的关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则cos（α﹣β）＝（）A．B．C．1D．【分析】由任意角的三角函数知cosα＝cosβ，sinα＝﹣sinβ，再根据两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：由题意得，cosα＝cosβ，sinα＝﹣sinβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝．故选：B．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9．（4分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x 轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝（）A．1B．2C．9D．18【分析】画出图形，通过B在解得F的左侧与右侧，判断三角形的形状，转化求解P即可．【解答】解：由题意可知，当B在焦点F的右侧时，，当B在焦点F的左侧时，同理可得P＝18，此时点B在x轴的负半轴，不合题意．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题．10．（4分）在平面直角坐标系中，从点P（﹣3，2）向直线kx﹣y﹣2﹣k＝0作垂线，垂足为M，则点Q （2，4）与点M的距离|MQ|的最小值是（）A．B．C．D．17【分析】根据直线kx﹣y﹣2﹣k＝0过定点N（1，﹣2），得到点M是在以PN为直径的圆C：（x+1）2+y2＝8上，再把所求问题转化即可求解结论．【解答】解：直线kx﹣y﹣2﹣k＝0过定点N（1，﹣2），∵PM⊥MN，可知点M是在以PN为直径的圆C：（x+1）2+y2＝8上，又，可得：，故选：A．【点评】本题主要考查直线方程过定点以及两点间的距离公式的应用，属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，满分25分。
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)- D ．1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 2．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）A ．23+B ．1+C ．2+D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-=，利用复数几何意义计算. 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上，而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-(,)a b到(2,1)-的距离，故21z i +-≤+=1. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决.3．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B ．C ．154D 【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 4．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15-B ．3715C ．3720D ．1315【答案】D 【解析】因为角α的终边经过点()3,4-,所以()22345r =+-=,则43sin ,cos 55αα=-=, 即113sin cos 15αα+=.故选D ． 5．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B【解析】 【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则4222a b a b =+≥⋅，所以2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.7．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12 B ．3.13C ．3.14D ．3.15【答案】B 【解析】 【分析】先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 【详解】因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角形三边长，则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯， 所以4354(1)2000π=⨯-=3.13. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.8．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.9．已知(2sin,cos ),,2cos )2222x x x x a b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.10．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 11．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 12．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或173【答案】D 【解析】 【分析】4=，解方程即得k 的值.【详解】4=，解方程即得k=-3或173.故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市门头沟区2021届新高考数学一模考试卷含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C 【解析】 【分析】显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解. 【详解】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心，代入渐近线方程，找到a b 、的关系，即可求解. 【详解】 解：()1,2E -，()2222:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线b y x a =-()21ba=-⨯-，2a b =()222222+b ,2,c a c a a e ==+=故选：B利用a b 、的关系求双曲线的离心率，是基础题.3．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年C ．10年D ．11年【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出$a ，求解$15y >，即可求出答案.【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y==在回归直线上，$$ˆ4.5 1.6 3.5, 1.1, 1.6 1.1a a y x =⨯+=-∴-＝，由1ˆ 1.6 1.115,1016yx x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.4．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.3C ．0.24D ．0.36【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ．本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．23B．13C．43D．56【答案】A【解析】【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．6．已知函数f（x）＝e b﹣x﹣e x﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题． 7．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义直接计算即可. 【详解】{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.8．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212D ．312【答案】D 【解析】 【分析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ， 由题意，球的体积为43π，即24433R ππ=可得球O 的半径为1，又由边长为2的正方形硬纸，可得圆O '的半径为12， 利用球的性质可得222131()22O O '=-=， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12， 所以球心到底面的距离为3131222++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.9．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x xdx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.考点：程序框图.11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.12．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可知方程()0f x x a +-=有且只有一个实根等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象，数形结合即可． 【详解】解：因为条件等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象如图，由图可知，1a >， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市门头沟区2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
北京市门头沟区2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB P ，BP OA P ，则DP =u u u v（ ）A ．2DA DC +u u u v u u u vB ．32DA DC +u u uv u u u vC ．2DA DC +u u u v u u u vD ．3122DA DC +u u uv u u u v【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【详解】连接OP ，由AP OB P ，BP OA P 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3122DA DC =+u u u r u u u r.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题2．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r r n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.3．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.4．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 5．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 6．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.1422⨯⨯=所以该几何体的表面积是()24cm .故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.8．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称， 即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2fa f <，Q 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM ⋅u u u v u u u u v等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件，表示出向量AM u u u u r,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v，可得12.33AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r则AB AM ⋅u u u v u u u u v =12()33AB AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r =212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量． 10．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A 【解析】 【分析】 由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】 因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.11．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 12．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（ ）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C．m ≤D ．4m ≤【答案】C 【解析】 【分析】先求导函数，函数在[,]63ππ上单调递减则()0f x '≤恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得. 【详解】依题意，2()2cos 2cos 34cos cos 1f x x m x x m x '=++=++， 令cos x t =，则1[,22t ∈，故2410t mt ++≤在[1,22上恒成立；结合图象可知，114104234104m m ⎧⨯+⨯+⎪⎪⎨⎪⨯++⎪⎩……，解得4m m -⎧⎪⎨⎪⎩……故3m ≤-. 故选：C. 【点睛】本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
考点43 分子动理论 实验：用油膜法估测油酸分子的大小
答案
解析 油膜法测分子大小的实验中，若先滴油酸酒精溶液，再撒爽身 粉，则油酸膜上也有爽身粉，无法看清油膜轮廓，故A错误；图乙所示连 线是按一定时间间隔记录的炭粒的位置的连线，不表示炭粒做布朗运动的 轨迹，故B错误；图丙中r0是分子力等于零的位置，纵轴的正负表示分子力 方向，由图丙可知，分子间距从r0增大时，分子力先增大后减小，故C错 误；温度越高，分子热运动越剧烈，速率较大的分子的数目占总分子数的 比例越大，故D正确。
解析
7．关于分子间相互作用力与分子间势能，下列说法正确的是( ) A．在两分子间距离小于r0的范围内，分子间总存在着相互作用力 B．分子间作用力为零时，分子间的势能一定是零 C．当分子间作用力表现为引力时，分子间的距离越大，分子势能越 小 D．两个分子间的距离变大的过程中，分子间作用力变化得越来越慢
答案
解析 由Epr图像意义可知，图线某点切线斜率的绝对值表示分子间作 用力的大小。假设将两个分子从r＝r2处释放，其相互作用的分子力为零， 则它们既不会相互靠近，也不会相互远离，故A、B错误；假设将两个分子
从r＝r1处释放，由于r1<r2，分子间作用力表现为斥力，两个分子相互远 离，r增大，切线斜率的绝对值变小，分子间作用力减小，加速度减小，当
r＝r2时，分子间作用力为零，加速度为零，当r>r2时，分子间作用力表现 为引力，切线斜率的绝对值先变大后变小，分子间作用力先变大后变小，
加速度先增大后减小，故加速度先减小后增大再减小，故C错误；分子由
静止释放后，分子的动能跟分子势能的总和保持不变，故将两个分子从r＝
r1处释放，分子应向势能减少的方向运动，当r＝r2时，分子势能最小，分 子的动能最大，速度最大，故D正确。
北京市门头沟区2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
北京市门头沟区2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ． 2．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【详解】21ln ()2()xf x x e x-'=--，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴在(0,)+∞上()f x 只有一个极大值也是最大值21()f e e a e=+-，显然0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，因此要使函数有两个零点，则21()0f e e a e =+->，∴21a e e<+． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．3． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）．A．21B．22C．23D．24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.5．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A．12个月的PMI值不低于50%的频率为1 3B．12个月的PMI值的平均值低于50%C．12个月的PMI值的众数为49.4%D．12个月的PMI值的中位数为50.3%【答案】D【解析】【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为41123=，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 6．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e为无理数）32>；②2ln3π<；③3ln3e<.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln,03f x x x=->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f eπ>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln,0f x e x x x=->，利用导数求得函数的最大值为()0f e=，进而得到()30f<，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e===，可得 2.25e>，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln,03f x x x=->，则()10f xx'=>，所以函数为单调递增函数，因为eπ>，则()()f f eπ>又由()221ln10333f e e=-=-=>，所以()0fπ>，即2ln3π>，所以②不正确；对于③中，设函数()ln,0f x e x x x=->，则()1e e xf xx x-'=-=，当(0,)x e∈时，()0f x'>，函数()f x单调递增，当(,)x e∈+∞时，()0f x'<，函数()f x单调递减，所以当x e=时，函数取得最大值，最大值为()ln0f e e e e=-=，所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( ) A ．(1,3⎤⎦ B ．)3,⎡+∞⎣C ．(1,5⎤⎦D ．)5,⎡+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】双曲线222:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(211,5b e a ⎛⎫⎤=+∈ ⎪⎦⎝⎭.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.8．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤- D ．{}35x x -≤≤【答案】C 【解析】【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M I ð，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M I ð，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.故选：C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.9．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S =V V （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+r r r变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =r设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r则2b OE =r u u u r由1a b +=r r代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为()2221x y ++=又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭rr r ,即2OC OP OE λμ=+uuur uuu r uuu r ,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a r变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】 【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 3．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin06f=>，所以()f x在[]0,2π上第1个零点1>0x，且1ππ212xωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x Tωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x，则8ππ7ππ7π47π2122212212x Tωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin6f=，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以23ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.4．在ABC∆中，点D是线段BC上任意一点，2AM AD=u u u u r u u u r，BM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A．12-B．-2 C．12D．2【答案】A【解析】【分析】设BD k BC=u u u r u u u r，用,AB ACu u u r u u u r表示出BMu u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD=u u u u r u u u r()112222k kBM BA BD AB AC AB∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1222k kAB AC⎛⎫=--+⎪⎝⎭u u u r u u u r，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.5．已知直线l 20y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 0y +-=20y +-=，③20x -+=0y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①② B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.6．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．7．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2x f x ++=， 故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩…，如图示：由()21f x ax a -=-， 得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-，由1(1,)2B ，(0,1)C ，可得1121112ABk +==+，2OA k =，11412AC k +==，若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <…或24a >，即1a 12<…或2a >； 当22111ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去）， 则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题. 9．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q ,cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数， 故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<， 所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.10．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，方程()22211k x y k -+=-．即222111y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，故选C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为222111y x k k -=-+是关键．11．函数()f x =）A ．{2x x ≤或}3x ≥ B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．22【答案】D 【解析】 【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。