变力做功的计算
求解变力做功的四种方法
联立解得 d′＝( 2－1)d. [归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时，
F
＝F1＋ F2
2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
成线性关系的情况 ．
*
栏目 导引
图象法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 变力做旳功W可用F－l图线与l轴所围成旳面积 表达．l轴上方旳面积表达力对物体做正功旳多 少，l轴下方旳面积表达力对物体做负功旳多少 ．
第七章 机械能守恒定律*
• 1．做功旳两个必要原因 • (1)作用在物体上旳力． • (2)物体在力方向上旳位移． • 2．功旳体现式：W＝Flcos α，α为力F与位移l旳
夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
*
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
• [答案] 50 J
• [易错提醒] F做功旳位移等于左边绳旳变短旳部分，而 不等于物体旳位移．
*
栏目 导引
[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝ W1＋ W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－m gR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
变力做功的计算
G ο60ο30A B变力做功的计算对于功的定义式W ＝αcos Fl ，其中的F 是恒力，适用于求恒力做功，其中的l 是力F 的作用点发生的位移，α是力F 与位移s 的夹角。
在高中阶段求变力做功问题，是学生学习的难点。
求变力做功的方法很多，比如用动能定理、功率的表达式Pt W=、功能关系、平均值、x F -图像、微元累积法等来求变力做功。
一、化变力做功为恒力做功求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式W ＝αcos Fl 求恒力的功，从而可知该変力的功。
等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
例1：人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg 的物体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为ο60，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动m s2=而到达B 点，ο30角，求人对绳的拉力做了多少功？二、运用F-x 图象求变力做功 某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F 与位移x 的图像，则F-x 图像中与x 轴所围的面积表示该过程中変力F 做的功。
运用F-x 图像中的面积求变力做功的关键是先表示出変力F 与位移x 的函数关系，再在画出F-x 图像。
例2：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm ，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？三、运用平均值求变力做功 求変力做功可通过l F W⋅=求，但只有在変力F 与位移l 成正比例、或一次函数关系时，即成线性关系时，221F F F +=才成立。
用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F 。
例3：某人用竖直向上的力匀速提起长为Ｌ、质量为ｍ的置于地面上的铁链，求将铁链从提起到刚提离地面时，提力所做的功．四、运用动能定理求变力做功动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。
如何求变力做功
F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。
既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。
对于具体问题要具体分析。
为此笔者在教学中总结了以下几种方法。
一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。
例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘， 力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线 一致，则转动圆盘一周该力做多少功。
分析与解 在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。
这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。
因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。
即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。
再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。
则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。
也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。
二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。
例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。
下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。
1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。
2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。
3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。
通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。
4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。
功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。
5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。
根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。
6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。
万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。
通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。
这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法第一种方法是曲线切线式。
在物体沿曲线运动的情况下，可以通过计算力的切线分量与物体速度的乘积来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定物体在其中一时刻的速度，然后取该时刻的力的切线分量（即与物体速度方向相同的力的分量），最后将该切线分量与物体速度的乘积相乘，即可得到变力做功的大小。
第二种方法是常力法。
在物体受到一定的恒定力作用下，可以通过计算力与物体位移方向的夹角的余弦值再乘上力的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的大小，然后确定物体的位移方向与力的方向之间的夹角，最后将位移方向与力的方向之间夹角的余弦值乘以力的大小，即可得到变力做功的大小。
第三种方法是分力法。
当物体受到多个力的作用时，可以通过计算各个力的分力与物体位移方向之间的夹角的余弦值再分别乘上各个分力的大小来确定变力做功的大小，然后将各个分力的做功求和即可得到变力做功的总大小。
第四种方法是连续变力法。
在物体受到连续变化的力作用下，可以通过将力的大小关于物体位移的函数表示出来，然后对该函数进行积分来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力对物体位移的函数关系式，然后对该函数进行积分，最后得到的积分值即为变力做功的大小。
第五种方法是有功做功法。
在物体受到非保守力作用下，可以通过计算力的非保守分量与物体位移的乘积再加上势能变化的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的保守分量与非保守分量，然后将非保守分量与位移的乘积相加，再加上势能变化的大小，即可得到变力做功的大小。
第六种方法是负功做功法。
在物体受到反向力作用下，可以通过计算该反向力的绝对值与物体位移的乘积再乘上负一来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定反向力的大小，然后将反向力的绝对值与位移的乘积相乘，并将结果乘以负一，即可得到变力做功的大小。
综上所述，变力做功的六种常见计算方法分别是曲线切线式、常力法、分力法、连续变力法、有功做功法和负功做功法。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScosα,但是学生在应用时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法,希望对同学们有所启发。
方法一:用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外,其他的力的功很好求,可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0。
25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小.解析:当拉力为F时，小球做匀速圆周运动,F提供向心力，则F=mv12/R;当拉力为0。
25F时,0.25F=mv22/2R。
此题中，当半径由R 变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F，我们可以由动能定理，求得外力对物体所做的功的大小W=0。
5mv12—0。
5mv22=0。
25RF.方法二:用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2。
25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析:机车先做加速度减小的变加速直线运动,再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小,最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0。
5mv2—0，把P=Fv=fv代入得,阻力f=25000N.方法三:平均力法如果变力的变化是均匀的(力随位移线性变化），而且方向不变时,可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可.例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上,弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
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θ L
mF
在第三种情况下， FLsin = mgL1 cos
F 1 cos tan
mg sin
2
可见在摆角为 时小球的速度最大。实际上，因为F与mg
的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当
于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。
2.一对作用力和反作用力做功的特点 ⑴一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为
答案：A、B
B.Pt
D.Ff
v0 vmax t 2
பைடு நூலகம்
提示：发动机所做的功即为发动机牵引力所做的功，由 功率定义Ｗ＝Ｐｔ可知，选项B正确。
汽车以恒定功率启动，当Ｆ＝Ｆｆ 时，达到最速度ｖｍａｘ， 应有Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝Ｆｆｖｍａｘ所以
W Pt Ff vmaxt
选项A正确。选项C、D均将汽车的运动看作匀变速运动，其 中选项C是先求出a，再求出合外力ma的功，选项D是先算出
0.016m
物体的位移：
S2 x1 x2 0.1m 0.016 m 0.084 m
在这一过程中弹力的功在数值上等于图8中梯形OADC 的面积，
即
W弹
k x1
kx2 OC
2
所以物体的最大动能为
Ekm
W弹
W摩
1 2
k x1
x2
s2
mgs2
1 500 0.1 0.016 0.084J 0.4 2 10 0.084J 1.764J
2
发散练习2： 用质量为5kg的均匀铁索从10m深的
井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中至少要
做多少功？（g取10 ｍ／S2 ）
答案：2250J 提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重 力，但在拉起来的过程中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也 逐渐减小，即拉力是一个随距离长度变化的变力，从物体在 井底开始算起，拉力随深度h的变化关系是
例1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动 一周，如图1所示，已知物体的质量为m，物体与轨道间的动摩 擦因数为μ。求此过程中的摩擦力所做的功。
分析解答：把圆轨道分成无穷多个微元段S1,S2,S3,Sn . 摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段是摩擦力的功分别
W1 mgs1,W2 mgs2 ,W3 mgs3 , Wn mgsn
1 mv2 2
2 10 0.5J
1 2 22 J 2
6J
橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能 必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功-6J。
小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此
类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹力做功与弹性
势能变化的关系.
发散演习１：1、将一质量为m的物体以初速度为
mv0 2
1 0 k 2h 0 1 mv2
2
2
1 v 2v0
2
小结点评：若力随位移按一次方函数关系变化
时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒
力功的公式求功，也可用图象求功；若力随位移的
变化不是一次函数关系，则可用 F--s 图象求功， 而
不能用平均值求功。
发散演习1：如图7所示，有一劲度系数k =500N/m的轻弹 簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量m=2㎏的物块，物块 与水平面间的动摩擦因数0.4,弹簧处于自然状态。现缓慢推动 物块使弹簧从B到A 处压缩10㎝，然后由静止释放物块， 求:（1）弹簧恢复原长时，物块的动能多大？
答案： 1107 J
提示：阻力 Ff kmg 0.051105 10N 5104
则牵引力为 F 103 s 5104
作出F-s图象如图10所示，图中梯形OABD的 面积表示牵引力的功，所以
W 5 1510 4 100 J 1.0 10 7 J
2
三、利用W=Pt求变力做功
如果F-s图象是一条曲线（如图5所
示），表示力的大小随位移不断变化， 在曲线下方作阶梯形折线，则折线下放 每个小矩形面积分别表示相应恒力所做 的功。当阶梯折线越分越密时，这些小 矩形的总面积越趋进于曲线下方的总面 积，可见曲线与坐标所围成的面积在数 值上等于变力所做的功。由于F-s图象 可以计算功，因此F-s图象又称为示功 图。
摩擦力在一周内所做的功。 W W1 W2 W3 WN mg (s1 s2 s3 sn ) 2mgR
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行 计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式，如力 的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用公式计 算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运 动的路程。
Ｖ０竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为Ｖ，已知空 气阻力与速率成正比，则从抛出到落回抛出点的整个过
程中，空气阻力做的功为 ：（ ）
答案：
1 2
mv2
1 2
mv02
提示：对整个过程应用动能理。
发散演习２、如图12所示，物体沿曲面从A点无速 度滑下，滑至曲面的最底点B时，下滑的高度为5m， 速度为６ｍ／ｓ，若物体的质量为1kg，则下落过程 中物体克服阻力做的功为多少？
例2、子弹以速度v0射入墙壁，如射深度为h，若子弹在墙 壁中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h， 求子弹的速度应增大到多少？
思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示，由图象求 出子弹克服阻力所做的功，在由动量定理进行求解。
正确解答：解法一：设射入深度为h 时，子弹克服阻
力做功w1；射入深度为2h时，子弹克服阻力做功W2 。由图 6可知W2=4W1
这是一种等效代换的观点，用W=Pt计算功时，必须满 足变力的功率是一定的。
例３汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进 距离s的过程中，其速度由ｖ１增至最大速ｖ２。假定汽车在 运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间为 ___.
思路点拨：汽车以恒定的功率P加速时，由P=Fv可知， 牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当 Ｆ＝Ｆｆ 时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大 的速度做匀速直线运动。
答案：根据动能定理可得
WG W f EKB EKA
W f WG WKB 32 J
例5.如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖 直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细 线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是 多少？
⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位 置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有
思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对
象，在小球从A运动到B的过程中，只有系统内的重力和弹力
做功，机械能定恒。
正确解答：取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡
皮条为原长时的弹性势能为零，设在B时橡皮条的弹性势能为
ＥＰ２,由机械能守恒定律得
1 mv2 2
EP2
mgh
EP2
mgh
F Mg mg 10 h 250 5h0 h 10
10
作出 图线如图9所示，利用示功图求解拉力的功（可用图 中梯形面积），得出
W 250 200 10J 2250J 2
发散练习：一辆汽车质量为1 ×105kg，从静止开始运 动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的 距离是线形关系，且 F=103 s ×5×104N，Ff 是车所受阻 力，当该车前进100m时，牵引力做了多少功？
正、可能为负、也可能为零。 ⑵一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩
擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。
这样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，
不能用
v
1 2
(v1
v2 )求平均速度。
小结点评：汽车以恒定的功率启动时，牵引力是变力，
牵引力的功不能用W=Fs计算，但可以用W=Pt计算，若用
W F s 1 ( P P )s 求牵引力的功也是错误的． 2 v1 v2
因为牵引力随位移的变化不是线性关系，不能用
A. FLcos B. FLsin C. FL1 cos D. mgL1 cos
解：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只
能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服 重力做的功。选D
⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。
选B
⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的
速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动 能定理求功都是正确的。选B、D
发散演习１：如图3所示，某个力F=10N作用与半径R=1m的 转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点 的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少？
答案：31.4J
二、图象法
在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的 力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s，如果作 用在物体上的力是恒力，则其F-s图象如图4所示。经 过一端时间物体发生的位移为S，则图线与坐标轴所围 成的面积（阴影面积）在数值上等于对物体做的功 Ｗ＝Ｆｓ，s轴上方的面积表示对物体做的正功，S轴下 方的面积表示力对物体做功（如图4（b）所示）。
（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的大动能为多大？
答 案：（1）1.7J：（2）1.764J.
提示：（1）从A到B的过程中，对物体 应用动能定理得：
WKB W弹 W摩 其中W摩 mgx1
Ｗ弹可利用示功图求出，画出弹簧力随位移变化的图（如
图8所示），F1=kx1 弹簧做功的值等于△OAB 的面积,即
根据动能定理，子弹减少的动 能用于克服阻力做功，有