抽屉原理[1].

一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

【巩固】（第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类.（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例.【巩固】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数.【例7】任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数.【巩固】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数?【例8】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）.【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题•证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目.【例9】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数.【巩固】任意给定一个正整数n，—定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.【例10】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f，使得（a-b）（c - d）（e - f）是105的倍数. 【巩固】任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为105的倍数.【巩固】（2008年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在100张卡片上不重复地编上1~100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？【例11】把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17.【巩固】圆周上有2000个点，在其上任意地标上0,1,2, |||,1999 （每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）.证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999【例12】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识.【巩固】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上•证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中, 一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边.【巩固】假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？【巩固】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形•证明：一定有一个三角形三边的颜色相同.【例13】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操•老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生？如果能，请说明理由;如果不能，请举出实例.【例14】8个学生解8道题目.（1）若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出. （2）如果每道题只有4个学生解出，那么（1）的结论一般不成立.试构造一个例子说明这点•【巩固】试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案•一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同•问参加考试的学生最多有多少人？(2) 求抽屉【例15】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔?【例16】把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【巩固】某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校.”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【例17】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组•问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？(3) 求苹果【例18】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【巩固】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【巩固】有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子.请问：至少需要有几只鸽子?【巩固】三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？【例19】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到150厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分, 不答不得分。

问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分.至少________ 人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同.（二八构造抽屉利用公式进行解题【例21】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样•你能说明这是为什么吗？【巩固】在一只口袋中有红色与黄色球各4只，现有4个小朋友，每人从口袋中任意取出2个小球，请你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样.【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果, 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？【巩固】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本•请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本•试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问: 至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【巩固】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个, 最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要 有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果, 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？【例22】红、蓝两种颜色将一个 2 5方格图中的小方格随意涂色 否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？【例23】将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色.（每一列的三小格涂的颜色不相同） ，不论如何涂色,其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？【例24】从2、4、6、8、 、50这25个偶数中至少任意取出多少个数， 才能保证有2个数的和是52 ？【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【巩固】 从1, 4, 7, 10,…，37, 40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有 2个数的和是41.【巩固】 从1 , 2 , 3 ,, 100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这 51个数中，一定有两个数的差为50。