抽屉原理

抽屉原理

一、教学准备

（一）教学对象。小学生。

（二）教学方法。鉴于小学生无初中生的抽象思维、推理演绎能力，采用归纳总结方法教学，再加上小学生注意力不能长时保持集中，应该综合运用游戏闯关、趣闻轶事、生活常识等手段，使之在乐趣中学习，在学习中成长，使之对数学产生浓厚兴趣，使之学会资料查询、网络搜索等能力。

（三）教学时间。40分钟。

二、教学实施（40分钟）

分三个阶段实施，第一阶段引出抽屉原理概念，第二阶段对抽屉原理进行应用，第三阶段发散思维，引出抽屉原理趣闻轶事。

（一）定义概念（10分钟）

1.小猴子有3个苹果，它想把他们放在2个无差别的抽屉中，但它不能将苹果切开，那么我们发现至少有一个抽屉有2个苹果。

（0,3）、（1,2）两种。

4个苹果放在3个抽屉中呢？同样发现至少有一个抽屉有2个苹果。

（0,4）、（1,3）、（2,2）三种。

5个苹果放在4个抽屉中，仍然是至少有一个抽屉有2

个苹果。

（0,5）、（1,4）、（2,3）三种。

以此类推：“n+1个苹果放在n个抽屉中，至少有一个抽屉里有2个苹果。”这种现象称为“抽屉原理”，也叫“鸽巢原理”。抽屉原理是组合数学的一个重要原理。

抽屉原理的一般含义：“如果每个抽屉代表一个集合①，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n 个集合中去，其中必定有一个集合里至少有2个元素。”它是由德国数学家狄利克雷在1834年提出的。

2.n+1个苹果放在n个抽屉中，至少有一个抽屉里有2个苹果，那如果把多于n+1个苹果放在n个抽屉中，能保证至少有一个抽屉里有2个苹果吗？（显然能！）

抽屉原理的另一层含义：把多于n+1个的元素放到n个集合中，则至少有一个集合含有不少于2个元素。即n+k(k ≥1)个元素放到n个集合中，则至少有一个集合含有不少于2个元素。

3.大家再算算：把5个苹果放在2个抽屉里，至少能保证有一个抽屉里有几个苹果呢？（5÷2＝2···1，即把5个苹果试着平均分配，每个抽屉里分到2个，结果还余出来一个，

①集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。

例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。

则这时能保证有一个抽屉里有3个苹果）

同样，若5个苹果放在3个抽屉里呢？（5÷3＝1···2，即把5个苹果试着平均分配，每个抽屉里分到1个，结果还余出来2个，下面我们再怎么分配呢？这就把问题转换成了2个苹果分配在3个抽屉里的问题了。答案是1+1=2）更进一步：把多于mn+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。（如

何理解呢？mn+1

n =m+1

n

(n≠0)，当n=1时，公式变成了

m+1=m+1，即表示把多于m+1个物体放入1个抽屉中，显然只能放这么多。）

（二）现实运用（20分钟）

1.属相是有12个，那么任意37个人中，那么能保证至少有一个属相是不少于几个人？

运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是苹果（元素），哪个是抽屉（集合）。显然，12个属相代表12个抽屉（集合），37个人就是37个苹（jí）果(hé)（集合）。所以有37÷12＝3···1，则至少有一个属相不少于4个人。

2.解放军叔叔一个连100人要过河，河面上只有3座独木桥可供使用，已知河面宽15米，人与人间距1.5米，他们过桥速度是1.5米/秒，问他们最快用时多长时间？

100÷3＝33···1，则即使人员均分，仍然有1队有34个人，33个间距。则有33×1.5+15

1.5

=43秒。

3.例如，有300人到招聘会求职，其中软件设计有100人，市场营销有80人，财务管理有70人，人力资源管理有50人。那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同呢？

此时我们考虑的最差情况为软件设计、市场营销和财务管理各录取69人，人力资源管理的50人全部录取，则此时再录取1人就能保证有70人找到的工作专业相同。因此至少需要69*3+50+1=258人。

那么我们根据抽屉原理推导：mn+1个人的时候必有m+1个人找到的工作专业相同，所以是要求出mn+1的人数，现在已知n=3，m+1=70。考虑到人力资源专业只有50人，得出mn+1=(69*3+50)+1=258人，多出来的这个50，是我们在考虑过程中有一个最差原则，根据这个原则把干扰因素去除后，就把我们不熟悉的问题化解成了我们能够解决的问题了，这个过程叫做“化繁为简”，也是我们常用的数学思维。

（三）发散思维（20分钟）

1.在第一点我们自己得出了mn+1

n

=m+1

n

(n≠0)，我们设

为x，即x=m+1

n

，则有m

2.设y=mn+1，代入我们得到的公式y

n =y−1

n

+1

n

(n≠0)

用取整函数来表示抽屉原理：将y个元素放入n个抽屉，则在其中一个抽屉里至少会有[(y-1)/n]+1个元素。运用这

②取整函数，在数学微积分和计算机领域有着广泛应用。

个公式，我们可以试着把之前学过的问题用新的方法进行解答。（给大家5分钟时间自行练习）

3.证明：任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。

初等数论范畴的问题。因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

4.在一个集会上，两个人或者彼此认识，或者彼此不认识，拉姆塞得出结果是说，当集会人数大于或等于6时，则必定有3个人，他们或者彼此者认识或者彼此都不认识。

证明：在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。

六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个