三大抽样分布
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三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)
x2 x2
~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F
F1
(n2
,
n1
)
1
,
比较后得
F1
(n2 ,
三大抽样分布
三大抽样分布众所周知，在概率论中有二项分布、正态分布、泊松分布着三大分布，而统计学中也有三大抽样分布，分别是x2分布、t布和F分布。
这三大抽样分布的发现正好是现代统计学的形成时期，对于以参数统计推断为主要内容的现代统计学理论的形成有着重要意义。
X2分布的发现来源于Kad Pears0n创立X2拟合优度理论的过程，而t分布的发现来源于Gosset小样本理论的创立过程，F分布则是来源于Fisher创立方差分析理论的过程。
三大抽样分布的研究意义c．R．Rao曾经说过“在终极的分析中，一切知识都是历史，在抽象的意义下，一切科学都是数学，在理性的基础上，所有的判断都是统计学。
”这句话一语道破统计学的重要性。
三大抽样分布在统计学理论中占据着重要地位，由此可见，研究三大抽样分布对于科学研究有着重要意义。
在实际工作中，统计工作者对于三大抽样分布的研究必不可少，通过研究三大抽样分布的产生、发展和完善，能够充分了解三大抽样分布理论的重要性。
具体到统计学三大分布，对于三大分布理论的研究，能够在充分吸收前人研究成果的基础上不断进行理论创新，从而推动科学技术的进步。
纵观所有的科技进步，无一不是在充分研究前人成果的基础上发展而来的研究统计学三大抽样分布，对于我国社会经济发展有着重要的推动作用。
三大抽样分布产生于19世纪末20世纪初，在统计学的发展过程中，每一次新的分析统计数据概率模型的发现，统计学理论都会发生一次重大飞跃。
为此，要想研究三大抽样分布，就应该对其发展过程进行研究。
统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布。
X2分布x2的早期发展由于受到中心极限定理和正态误差理论的影响，正态分布一直在统计学中占据重要地位。
在很多数学家和哲学家心目中，正态分布是唯一可用的分析和解释统计数据的方法。
但是随着时代的发展，一些学者开始对正态性提出了质疑，随后，在多位科学家的试验验证下，正态分布与实际数据拟合不好的情况日渐凸显出来，科学家纷纷开始研究比正态分布范围更广的分布类型，波那个人产生了偏态分布，其中，x2就是最早的偏态分布最早引入偏态分布的是JamesClerk Maxwel，他在研究气体分子运动的过程中引入了X2分布。
三大抽样分布课件
在方差分析中，t分布用于检验 各个组之间的均值是否存在显著
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识4-5
2
t 分布的概率密度函数图形如图所示
①关于x =0 对称； ②当k充分大时，其图形
k 30 k 3
与标准正态分布图形相似.
k 1
lim
k
ft ( x)
( x)
1
x2
e 2 ,xR
2π
t(30) N(0,1)
4/4/2020
13
例3. 设总体X和Y相互独立 ，且都服从 N (0,9),
X1, X 2 , , X 9和Y1,Y2 , ,Y9来自总体 X ,Y的样本，
自由度k：指χ 2
X
2 1
X
2中包含独立
k
变
量的个数.
特别地,当k=1时,若X1 ~ N (0,1)，则X12 ~ （2 1）
4/4/2020
2
其概率密度函数:
1
k 1 x
f
2
(
x)
2
k 2
(
k 2
)
x
2
e 2 , x 0;
0,
x 0.
其图形随着参数k的变化而改变，如图所示
k2
k 6
k 1
26
第五节 正态总体统计量的分布
基本内容： 一、抽样分布——统计量的分布； 二、正态总体下的抽样分布
4/4/2020
27
一、统计量的分布
统计量是对样本信息的“加 它依赖于样本,
工”, 由于样本是随机变量,
所以统计量也是随机变量,
故统计量有一定的概率分布.
我们称统计量的分布为抽样分布.
4/4/2020
在这样的背景下，十九世纪初英国一位年经
酿酒化学技师Gosset W S，他在酒厂从事试验和
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
数理统计
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
§5.4三大抽样分布
所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0
1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：
5-4三大抽样分布
F 0 .0 5 (1 2 , 9 ) 1 F1 0 .0 5 (9 ,1 2 ) 1 2 .8 0 0 .3 5 7
三、t 分布 设X1～N(0,1) , X2～ (n ) , 且X1与X2相 X1 互独立，则称变量 t
1、定义:
2
X2 n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
例2:
若总体X ~ N ( 0,1)，从此总体中取一个容量为
6的样本X 1 , X 2 ，X 6 , 设 Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 )
2 2 2
试决定常数C，使随机变量CY服从 分布 .
解:
因为
X 1 X 2 X 3 ~ N (0, 3), 所以
2
( y 0)
F
( y1 ym ) / m ( x1 xn ) / n
2 2
p( y )
( m2 n )
m
m 2
1
( ) ( )
m 2 n 2
( ) 2 ( y)
m n
1
m n
y
n n 2
m (n 2) (n 4)
2
( y 0)
1
1 2 2 3 43 5 4 6 5 6
2. F分布的性质
(1).F分布的数学期望
E(F )
n n2
(n>2)
即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. (2).F分布的分位数
对于给定的 (0 1), 称满足条件
P F F1 (m, n)
F ( m , n ) 1
p( y )dy 1
的点F1 (m, n)为F (m, n)分布的1- 分位数. 如图所示.
三、t 分布 设X1～N(0,1) , X2～ (n ) , 且X1与X2相 X1 互独立，则称变量 t
1、定义:
2
X2 n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
例2:
若总体X ~ N ( 0,1)，从此总体中取一个容量为
6的样本X 1 , X 2 ，X 6 , 设 Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 )
2 2 2
试决定常数C，使随机变量CY服从 分布 .
解:
因为
X 1 X 2 X 3 ~ N (0, 3), 所以
2
( y 0)
F
( y1 ym ) / m ( x1 xn ) / n
2 2
p( y )
( m2 n )
m
m 2
1
( ) ( )
m 2 n 2
( ) 2 ( y)
m n
1
m n
y
n n 2
m (n 2) (n 4)
2
( y 0)
1
1 2 2 3 43 5 4 6 5 6
2. F分布的性质
(1).F分布的数学期望
E(F )
n n2
(n>2)
即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. (2).F分布的分位数
对于给定的 (0 1), 称满足条件
P F F1 (m, n)
F ( m , n ) 1
p( y )dy 1
的点F1 (m, n)为F (m, n)分布的1- 分位数. 如图所示.
三大抽样分布的理解与具体性质
数学学习与研究 2019. 12
பைடு நூலகம்
( ) 还有一个实用的结论，Γ
1 2
= 槡π．
若 X ～ Γ（ α，β） ，我 们 可 以 计 算 出 它 的 矩 母 函 数 为
MX （ t） = （ 1 － βt） －α ，下面的分布就与这个矩母函数有关． 三、三大分布的性质
（ 一） 卡方分布
1． 定义
如果 Z ～ N（ 0，1） ，且 X = Z2 ，我们就说 X 服从自由度为
1 的卡方分布，记作 X ～ χ21 ． 证明如下：
FX （ x） = P（ X ≤ x） = P（ Z2 ≤ x） = P（ － 槡x ≤ Z ≤槡x） ，
FX （ x） = FZ （ 槡x） － FZ （ － 槡x） ，
求导可得，fX （ x） =
1
1
x－
1 2
e
－
x 2
，
2 2 槡π
( ) 或者 fX（ x）
二、预备知识
如果一个随机变量 X 服从形状参数为 α，尺度参数为 β
的伽马分布，我们记 X ～ Γ（ α，β） ，那么其概率密度函数为
f（ x）
=
x
α
－1
e
－
x β
βαΓ（ α）
，α，β
＞
0，x ≥ 0，则 E（
X）
= αβ，Var（ X）
=
∫∞
αβ2 ，其中 Γ（ α） 为伽马函数，且 Γ（ α） = xα－1 e －x dx，另外 0
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143
三大抽样分布的理解与具体性质
◎蔡则元 （ 甘肃省兰州市榆中县兰州大学榆中校区，甘肃 兰州 730107）
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存在 t1-? (n)>0， 满足
P{t? t1-? (n)} = 1- ?
则称 t1-? (n)为
t(n) 的下侧1- ? 分位点.
12 February 2020
第15页
t1?? (n)
第五章 统计量及其分布
第16页
当随机变量t ?t(n) 时，称满足
P(t ? t1?? (n)) =1? ? 的 t1??(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1? ? 分位数.
12 February 2020
第13页
第五章 统计量及其分布
第14页
? 自由度为1的 t 分布就是标准柯西分布，
它的均值不存在；
t1( x)
?
1
? (1 ?
x2)
,
?? ? x? ?.
? n?1时, t 分布的数学期望存在且为 0；
? n?2时，t 分布的方差存在，且为 n/(n?2)；
? 当自由度较大 (如n?30) 时， t 分布可以用
?? b ( 3 X 3 ? 4 X 4 ) ~ N ( 0 ,1 )
?? D [ ?
a ( X 1 ? 2 X 2 )] ? 1
?? D [ b ( 3 X 3 ? 4 X 4 )] ? 1
?a =1/20 b=1/100
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
第7页
5.4.2 F 分布
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
t(n) 的概率密度为 :
第12页
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
t 分布的密度函 数的图象是一个 关于纵轴对称的 分布，与标准正 态分布的密度函 数形状类似 ，只 是峰比标准正态 分布低一些尾部 的概率比标准正 态分布的大一些。
定义5.4.2 设X1 ? ?2(m), X2 ? ?2(n), X1与X2独立，
则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F ? F(m, n)，其中m 称为分子自
由度，n 称为分母自由度。其概率密度为
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
第1页
§5.4 三大抽样分布
大家很快会看到，有很多统计推断是基于正 态分布的假设的，以标准正态变量为基石而 构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应 用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景， 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式， 它们被称为统计中的 “ 三大抽样分布 ” 。
12 February 2020
分位数 t1?? (n) 可以从附表 4中查到。
譬如 n=10,? =0.05，那么从附表 4上查得
t1?0.05(10) = t0.95(10)=1.812 .
由于 t 分布的密度函数关于 0 对称, 故其分位数间 有如下关系
t? (n? 1)= ? t1??(n? 1)
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该密度 函数的 图象也 是一只 取非负 值的偏 态分布
12 February 2020
第8页
第五章 统计量及其分布
第9页
2. F — 分布的分位点
对于 0<? <1，若存在
F1-? (m, n)>0 满足
P{F? F1-? (m, n)} = 1-? ，
则称 F1-? (m, n)为
F(m, n)的下侧1- ? 分位数
正态分布 N(0,1)近似。
lim
n? ?
tn ( x)
?
1 e? x2 2,
2?
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
分位点
设T～t(n)，若对0<? <1,
第3页
?2—分布的密度函数曲线
这是一个特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)
?2 分布的性质：
分布可加性 若X～?2(n1)，Y～?2(n2 )， X 与 Y 独立，则 X+ Y～?2(n1+n2 ).
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第五章 统计量及其分布
第4页
当随机变量 ?2 ? ?2(n) 时，对给定 ? (0?? ?1)，称满足
第五章 统计量及其分布
注:
第17页
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第五章 统计量及其分布
第18页
例 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分
布 则
N ,(而0,9)
和 X1,? ,分X9别是Y1来,?自,Y总9 体 X和Y的 s.r.s,
U ? X1 ? ? X9 ~ t (9) Y12 ? ? Y92
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
F — 分布性质:
第10页
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第五章 统计量及其分布
第11页
5.4.3 t 分布
定义 5.4.3 设随机变量 X1 与X2 独立，
且X1 ? N(0,1), X2 ? ?2(n), 则称
t=X1/? X2/n
的分布为自由度为 n 的t 分布，记为 t ?t(n) 。
? 证明：
X
?
1 9
9 i?1
Xi
~
N( 0,1 ),
Yi ~ N ( 0 ,1 ) 3
? ? 故
Y~ ?
9 i?1
(Yi )2 3
?
1 9
9 i ?1
第五章 统计量及其分布
第2页
5.4.1 ?2 分布(卡方分布)
定义5.4.1 设 X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准
正态分布N(0,1) ，则?2= X12+… Xn2的分布称 为自由度为 n 的?2分布，记为 ?2 ? ?2(n) 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
P(?2 ? ?1?? 2(n)) 的 ?1? ? 2(n) 是自由度为n? 1的卡方分布 的1?? 分位数.
分位数 ?1?? 2(n) 可以从附表3 中查到。
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第五章 统计量及其分布
第5页
该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E? 2 ? n,
Var( ? 2 ) ? 2n
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第五章 统计量及其分布
第6页
例 设 X1 , X2 ,是X取3 , 自X4总体 N(0,4)的简单随机样
本.
X ? a(X1 ? 2X2)2 ? b(3X3 ? 4X4)2
当a= , b= 时,则
X ~ ? 2 (2).
解：由题意得
?? ?
a ( X 1 ? 2 X 2 ) ~ N ( 0 ,1 )
P{t? t1-? (n)} = 1- ?
则称 t1-? (n)为
t(n) 的下侧1- ? 分位点.
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t1?? (n)
第五章 统计量及其分布
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当随机变量t ?t(n) 时，称满足
P(t ? t1?? (n)) =1? ? 的 t1??(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1? ? 分位数.
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第五章 统计量及其分布
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? 自由度为1的 t 分布就是标准柯西分布，
它的均值不存在；
t1( x)
?
1
? (1 ?
x2)
,
?? ? x? ?.
? n?1时, t 分布的数学期望存在且为 0；
? n?2时，t 分布的方差存在，且为 n/(n?2)；
? 当自由度较大 (如n?30) 时， t 分布可以用
?? b ( 3 X 3 ? 4 X 4 ) ~ N ( 0 ,1 )
?? D [ ?
a ( X 1 ? 2 X 2 )] ? 1
?? D [ b ( 3 X 3 ? 4 X 4 )] ? 1
?a =1/20 b=1/100
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第五章 统计量及其分布
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5.4.2 F 分布
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的概率密度为 :
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第五章 统计量及其分布
t 分布的密度函 数的图象是一个 关于纵轴对称的 分布，与标准正 态分布的密度函 数形状类似 ，只 是峰比标准正态 分布低一些尾部 的概率比标准正 态分布的大一些。
定义5.4.2 设X1 ? ?2(m), X2 ? ?2(n), X1与X2独立，
则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F ? F(m, n)，其中m 称为分子自
由度，n 称为分母自由度。其概率密度为
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第五章 统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
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§5.4 三大抽样分布
大家很快会看到，有很多统计推断是基于正 态分布的假设的，以标准正态变量为基石而 构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应 用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景， 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式， 它们被称为统计中的 “ 三大抽样分布 ” 。
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分位数 t1?? (n) 可以从附表 4中查到。
譬如 n=10,? =0.05，那么从附表 4上查得
t1?0.05(10) = t0.95(10)=1.812 .
由于 t 分布的密度函数关于 0 对称, 故其分位数间 有如下关系
t? (n? 1)= ? t1??(n? 1)
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该密度 函数的 图象也 是一只 取非负 值的偏 态分布
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第五章 统计量及其分布
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2. F — 分布的分位点
对于 0<? <1，若存在
F1-? (m, n)>0 满足
P{F? F1-? (m, n)} = 1-? ，
则称 F1-? (m, n)为
F(m, n)的下侧1- ? 分位数
正态分布 N(0,1)近似。
lim
n? ?
tn ( x)
?
1 e? x2 2,
2?
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
分位点
设T～t(n)，若对0<? <1,
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?2—分布的密度函数曲线
这是一个特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)
?2 分布的性质：
分布可加性 若X～?2(n1)，Y～?2(n2 )， X 与 Y 独立，则 X+ Y～?2(n1+n2 ).
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第五章 统计量及其分布
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当随机变量 ?2 ? ?2(n) 时，对给定 ? (0?? ?1)，称满足
第五章 统计量及其分布
注:
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第五章 统计量及其分布
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例 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分
布 则
N ,(而0,9)
和 X1,? ,分X9别是Y1来,?自,Y总9 体 X和Y的 s.r.s,
U ? X1 ? ? X9 ~ t (9) Y12 ? ? Y92
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第五章 统计量及其分布
F — 分布性质:
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第五章 统计量及其分布
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5.4.3 t 分布
定义 5.4.3 设随机变量 X1 与X2 独立，
且X1 ? N(0,1), X2 ? ?2(n), 则称
t=X1/? X2/n
的分布为自由度为 n 的t 分布，记为 t ?t(n) 。
? 证明：
X
?
1 9
9 i?1
Xi
~
N( 0,1 ),
Yi ~ N ( 0 ,1 ) 3
? ? 故
Y~ ?
9 i?1
(Yi )2 3
?
1 9
9 i ?1
第五章 统计量及其分布
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5.4.1 ?2 分布(卡方分布)
定义5.4.1 设 X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准
正态分布N(0,1) ，则?2= X12+… Xn2的分布称 为自由度为 n 的?2分布，记为 ?2 ? ?2(n) 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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第五章 统计量及其分布
P(?2 ? ?1?? 2(n)) 的 ?1? ? 2(n) 是自由度为n? 1的卡方分布 的1?? 分位数.
分位数 ?1?? 2(n) 可以从附表3 中查到。
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第五章 统计量及其分布
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该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E? 2 ? n,
Var( ? 2 ) ? 2n
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第五章 统计量及其分布
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例 设 X1 , X2 ,是X取3 , 自X4总体 N(0,4)的简单随机样
本.
X ? a(X1 ? 2X2)2 ? b(3X3 ? 4X4)2
当a= , b= 时,则
X ~ ? 2 (2).
解：由题意得
?? ?
a ( X 1 ? 2 X 2 ) ~ N ( 0 ,1 )